2013湖南长沙中考数学

一、选择题：1.（2013湖南长沙 第 1题 3分）下列实数是无理数的是（ ）1 2A.-1B.0C. 【答案】D.【答案】C 。

3 .（2013湖南长沙 第 3题 3分）如果一个三角形的两边长分别是2和 4，则第三边可能是 （ ） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B.1）B.外切C.相交D.内切）6338222221则该校篮球队 12名同学的身高的众数是（单位：cm)）AAaa12 121 2 b1 bBBD CCABCD【答案】D8.（2013湖南长沙 第 8题 3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形【答案】A.9.（2013湖南长沙第9题3分）在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（）【答案】C.）A.a＞0B.c＞0 D.a+b+c＞0【答案】D.=8 2 2=（2-1）。

【答】根据完全平方公式得，x +2x+1=（x+1)，故填（x+1)2 22度2 114.（2013湖南长沙第14题3分）方程【答案】x=1【答案】4.17.（2013湖南长沙第17题3分）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒子中的求摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n19.（2013湖南长沙第19题6分）计算：3【解】原式=3+4-1=6。

+（-2）2-（+1）0520.（2013湖南长沙第20题6分）解不等式组来，（1）统计图共统计了天的空气质量情况。

4022.（2013湖南长沙第22题8分）如图，△A B C 中，以A B 为直径的⊙O 交A C 于点D, ∠D B C=∠B A C.O B=O D,∴△O B D 是等边三角形，∴S =S阴影扇形△23 .360 2 3（1）求证：△AB N≌△C D M；1 12 213股定理求的NE=232013是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；x21 1，12013，即1≤y≤2013，所以反比例函数y= 是闭区间[1,2013]上的“闭函x≤n，得k m+b≤kx+b≤kn+b，根据“闭函数”的规定有，方程相减得k(m-n)=m-n，15 5115475 5≤x ≤b 时， b 2- b - ≤y ≤ a 2- a - ，由规定可得，方程相减得5 5 5 5 5 5 1 54511b=-2 或 b=1,由于 a ＜b ,b=1，此时 a=-2.故.②当 a ＜2＜b 时，函数的最小值为- ，5 11 1 4 7 11 14 7 555 55 5 5 5115， 解 得（ 其 中1 4 71a 2b 25 55552 1 4 7 55 5222229 109 根，s= ，不合题意，应舍去.211 11a a 5 综上所述：a 、b 的值为.52（2）求证△A OF ∽△BE O ；1 2 1 22 0a2a 2 2 22 点 E 坐 标 为 （ a ,-a+2), 点 F 坐 标 为 （ ， ）， AF=a a a 2 2O A BE 22 O A AF BE O B a，∴2a2a 2b 2a 2ab 4 ，∴O A ·O B=AF ·BE ，∴2222222 2 2 22222222212 【，2 21 1=a+b-2;∴S +S = (a+b-2) +（a+b-2）= [(a+b-2)+ ] - ,对2 2 21 22 212称轴是 x=- ,抛物线的开口向上。

相关资料湖南省长沙市2013 年中考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

请在答题卡中填涂符合题意的选项。

本题共10 个小题，每小题3 分，共30 分）1．（3 分）（2013•长沙）下列实数是无理数的是（）B．0 C． D．A．﹣1考点：无理数．分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解答：解：A、是整数，是有理数，选项错误；B、是整数，是有理数，选项错误；C、是分数，是有理数，选项错误；D、是无理数．故选D．点评：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π 等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（3 分）（2013•长沙）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（）A．617×105 B．6.17×106 C．6.17×107 D．0.617×108考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．解答：解：将61700000 用科学记数法表示为6.17×107．故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．（3 分）（2013•长沙）如果一个三角形的两边长分别为2 和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点：三角形三边关系．分析：已知三角形的两边长分别为2 和4，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．÷ 2 2 2解答：解：设第三边长为 x ，则由三角形三边关系定理得 4﹣2＜x ＜4+2，即 2＜x ＜6．因此，本题的第三边应满足 2＜x ＜6，把各项代入不等式符合的即为答案． 2，6，8 都不符合不等式 2＜x ＜6，只有 4 符合不等式．故选 B ．点评：本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．4．（3 分）（2013•长沙）已知⊙O 1 的半径为 1cm ，⊙O 2 的半径为 3cm ，两圆的圆心距 O 1O 2 为 4cm ，则两圆的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切考点：圆与圆的位置关系．分析：本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案． 解答：解：∵⊙O 1 和⊙O 2 的半径分别为 1cm 和 3cm ，圆心距 O 1O 2=4cm ，∴O 1O 2=1+3=4， ∴两圆外切． 故选 B ． 点评：本题主要考查圆与圆的位置关系，外离，则 P ＞R+r ；外切，则 P=R+r ；相交，则 R ﹣r ＜P ＜R+r ；内切，则 P=R ﹣r ；内含，则 P ＜R ﹣r ． （P 表示圆心距，R ，r 分别表示两圆的半径）．5．（3 分）（2013•长沙）下列计算正确的是（ ） A ．a 6 a 3=a 3 B ．（a 2）3=a 8 C ． D ．a 2+a 2=a 4（a ﹣b ） =a ﹣b考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 解答：解：A 、正确；B 、（a 2）3=a 6，选项错误；C 、（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2，选项错误；D 、a 2+a 2=2a 2，选项错误． 故选 A ．点评：本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．人数 1 2 5 3 1则该校篮球队12 名同学身高的众数是（单位：cm）（）A．192 B．188 C．186 D．180考点：众数分析：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合表格信息即可得出答案．解答：解：身高188 的人数最多，故该校篮球队12 名同学身高的众数是188cm．故选B．点评：本题考查了众数的知识，掌握众数的定义是解题的关键．7．（3 分）（2013•长沙）下列各图中，∠1 大于∠2 的是（）A．B．C．D．考点：等腰三角形的性质；对顶角、邻补角；平行公理及推论；平行线的性质．分析：根据等边对等角，对顶角相等，平行线的性质，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、∵AB=AC，∴∠1=∠2，故本选项错误；B、∠1=∠2（对顶角相等），故本选项错误；C、根据对顶角相等，∠1=∠3，∵a∥b，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，故本选项错误；D、根据三角形的外角性质，∠1＞∠2，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了等边对等角，对顶角相等，平行线的性质，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的性质，熟记各性质是解题的关键．8．（3 分）（2013•长沙）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形考点：多边形内角与外角．分析：设多边形的边数是n，根据多边形的内角和定理即可求解．解答：解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=360，解得n=4．故选A．点评：本题考查了多边形的内角和定理的计算公式，理解公式是关键．9．（3 分）（2013•长沙）在下列某品牌T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（）A．B．C．D．考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．分析：根据轴对称及旋转对称的定义，结合各选项进行判断即可．解答：解：A、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；B、利用了轴对称，故本选项错误；C、没有运用旋转，也没有运用轴对称，故本选项错误；D、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了轴对称及旋转对称的知识，解答本题的关键是掌握轴对称及旋转对称的定义．10．（3 分）（2013•长沙）二次函数y=ax2+bx+c 的图象中如图所示，则下列关系式错误的是（）D．a+b+c＞0A．a＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＞0考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线的开口向上得出a＞0，根据抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上得出c ＞0，根据抛物线与x 轴有两个交点得出b2﹣4ac＞0，把x=1 代入抛物线的解析式得出y=a+b+c＜0，根据以上内容判断即可．解答：解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，正确，故本选项错误；B、∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c＞0，正确，故本选项错误；C、∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，正确，故本选项错误；﹣﹣ D 、把 x=1 代入抛物线的解析式得：y=a+b+c ＜0，错误，故本选项正确； 故选 D ．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，主要考查学生的理解能力和运用能力．二、填空题(本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．（3 分）（2013•长沙）计算： = ．考点：二次根式的加减法．分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 解答：解：原式=2 = ．点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．12．（3 分）（2013•长沙）分解因式：x 2+2x+1= （x+1）2 ．考点：因式分解-运用公式法．分析：本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的 2 倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解． 解答：解：x 2+2x+1=（x+1）2．点评：本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．（1）三项式；（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；（3）另一项为这两个数（整式）的积的 2 倍（或积的 2 倍的相反数）． 13．（3 分）（2013•长沙）已知∠A=67°，则∠A 的余角等于 23 度． 考点：余角和补角分析：根据互余两角之和为 90°即可求解． 解答：解：∵∠A=67°，∴∠A 的余角=90°﹣67°=23°．故答案为：23．点评：本题考查了余角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和为 90°是解题关键．14．（3 分）（2013•长沙）方程的解为 x= 1．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：最简公分母为（x+1）x ，方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．结果要检验．解答：解：方程两边都乘（x+1）x，得2x=x+1，解得x=1，检验：当x=1 时，（x+1）x≠0．∴原方程的解是x=1．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程需代入最简公分母验根．15．（3 分）（2013•长沙）如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 为BD 上的一点，PE⊥BA 于点E，PE=4cm，则点P 到边BC 的距离为 4 cm．考点：角平分线的性质．分析：BD 是∠ABC 的平分线，再根据角平分线的性质即可得到点P 到BC 的距离．解答：解：∵BD 是∠ABC 的平分线，PE⊥AB 于点E，PE=4cm，∴点P 到BC 的距离=PE=4cm．故答案为4．点评：本题考查了角平分线的性质．由已知能够注意到P 到BC 的距离即为PE 长是解决的关键．16．（3 分）（2013•长沙）如图，在△ABC 中，点D，点E 分别是边AB，AC 的中点，则△ADE 和△ABC 的周长之比等于1：2 ．考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：D、E 分别是AB、AC 边的中点，则DE 是△ABC 的中位线；根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，因而中位线分三角形得到的小三角形与原三角形一定相似，且相似是1：2，然后根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解．解答：解：∵点D，点E 分别是边AB，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC，且DE：BC=1：2，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE 与△ABC 的周长比为1：2．故答案为1：2．点评：本题主要考查了三角形的中位线定理以及相似三角形的判定与性质，难度中等．17．（3 分）（2013•长沙）在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2 个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是10 ．考点：利用频率估计概率．分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．解答：解：由题意可得，=0.2，解得，n=10．故估计n 大约有10个．故答案为：10．点评：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．18．（3 分）（2013•长沙）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AE∥CD 交BC 于点E，若AD=2，BC=5，则边CD 的长是 3 ．考点：梯形；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．分析：先判定四边形AECD 是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AD=EC，再求出BE 的长度，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠AEB=∠C，再根据三角形的内角和定理求出∠BAE=50°，从而得到∠B=∠BAE，再根据等角对等边得到AE=BE，从而得解．解答：解：∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD 是平行四边形，∴AD=EC=2，CD=AE，∵AD=2，BC=5，∴BE=BC﹣EC=5﹣2=3，∵AE∥CD，∠C=80°，∴∠AEB=∠C=80°，在△ABE 中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠AEB=180°﹣50°﹣80°=50°，∴∠B=∠BAE，∴AE=BE=3，∴CD=3．故答案为：3．点评：本题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，以及三角形的内角和定理，根据度数确定出相等的角，从而得到相等的边是解答本题的关键．三、解答题本题共2 小题，每小题6 分，共12 分）19．（6 分）（2013•长沙）计算：．考点：实数的运算；零指数幂．分析：分别进行绝对值、平方及零指数幂的运算，然后合并即可得出答案．解答：解：原式=3+4﹣1=6．点评：本题考查了实数的运算，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．20．（6 分）（2013•长沙）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．解答：解：由①得，x≤1；由②得，x＞﹣2，故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示为：点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．四、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）21．（8 分）（2013•长沙）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013 年1 月份至4 月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了100 天空气质量情况．（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形圆心角度数．（3）从小源所在班级的40 名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？考点：条形统计图；扇形统计图；概率公式．分析：（1）根据良的天数是70 天，占70%，即可求得统计的总天数；（2）利用360 度乘以对应的百分比即可求解；（3）利用概率公式即可求解．解答：解：（1）70÷70%=100（天），故答案是：100；（2）空气质量为“优”所在扇形圆心角度数是：360°×20%=72°；（3）班级的40 名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8 分）（2013•长沙）如图，△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D，∠DBC=∠BAC．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．考点：切线的判定；扇形面积的计算分析：（1）求出∠ADB 的度数，求出∠ABD+∠DBC=90°，根据切线判定推出即可；（2）分别求出等边三角形 DOB 面积和扇形 DOB 面积，即可求出答案． 解答：（1）证明：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°， ∵∠DBC=∠BAC ， ∴∠DBC+∠ABD=90°， ∴AB ⊥BC ， ∵AB 为直径， ∴BC 是⊙O 切线；（2）解：连接 OD ，过 O 作 OM ⊥BD 于 M ， ∵∠BAC=30°，∴∠BOD=2∠A=60°， ∵OB=OD ，∴△OBD 是等边三角形， ∴OB=BD=OD=2， ∴BM=DM=1， 由勾股定理得：OM=，∴阴影部分的面积 S=S 扇形 DOB ﹣S △DOB =×2×= π﹣．点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠ABD+⊕DBC=90°和分别求出扇形 DOB 和三角形 DOB 的面积．五、解答题（本题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 23．（9 分）（2013•长沙）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁 1、2 号线．已知修建地铁 1 号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资 265 亿元；若 1 号线每千米的平均造价比 2 号线每千米的平均造价多 0.5 亿元．（1） 求 1 号线，2 号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2） 除 1、2 号线外，长沙市政府规划到 2018 年还要再建 91.8 千米的地铁线网．据预算，这 91.8 千米地铁线网每千米的平均造价是 1 号线每千米的平均造价的 1.2 倍，则还需投资多少亿元？考点：二元一次方程组的应用分析：（1）假设 1 号线，2 号线每千米的平均造价分别是 x 亿元，y 亿元，根据“修建地铁 1号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资 265 亿元；若 1 号线每千米的平均造价比 2 号线的平均造价多 0.5 亿元”分别得出等式求出即可；﹣（2）根据（1）中所求得出建91.8 千米的地铁线网，每千米的造价，进而求出即可．解答：解：（1）设1 号线，2 号线每千米的平均造价分别是x 亿元，y 亿元，由题意得出：，解得：，答：1 号线，2 号线每千米的平均造价分别是6 亿元和 5.5 亿元；（2）由（1）得出：91.8×6×1.2=660.96（亿元），答：还需投资660.96 亿元．点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．24．（9 分）（2013•长沙）如图，在▱ABCD 中，M、N 分别是AD，BC 的中点，∠AND=90°，连接CM 交DN 于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）过点C 作CE⊥MN 于点E，交DN 于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN 的长．考点：平行四边形的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由M、N 分别是AD，BC 的中点，即可利用SAS 证得△ABN≌△CDM；（2）易求得∠MND=∠CND=∠2=30°，然后由含30°的直角三角形的性质求解即可求得答案．解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，∵M、N 分别是AD，BC 的中点，∴BN=DM，∵在△ABN 和△CDM 中，，∴△ABN≌△CDM（SAS）；（2）解：∵M 是AD 的中点，∠AND=90°，∴MN=MD= AD，∴∠1=∠MND，∵AD∥BC，∴∠1=∠CND，∵∠1=∠2，∴∠MND=∠CND=∠2，∴PN=PC，∵CE⊥MN，∴∠CEN=90°，∴∠2=∠PNE=30°，∵PE=1，∴PN=2PE=2，∴CE=PC+PE=3，∴CN==2 ，∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，∴△CNM 是等边三角形，∵△ABN≌△CDM，∴AN=CM=2 ．点评：此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．六、解答题（本大题共2 小题，每小题10 分，共20 分）25．（10 分）（2013•长沙）设a、b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m≤x≤n 时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若二次函数y=x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b 的值．考点：二次函数综合题；一次函数的性质；反比例函数的性质．分析：（1）根据反比例函数y= 的单调区间进行判断；，解得] （2） 根据新定义运算法则列出关于系数 k 、b 的方程组或，通过解该方程组即可求得系数 k 、b 的值；（3） y=x 2﹣x ﹣=（x ﹣2）2﹣，所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣，且当 x ＜2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x ＞2 时，y 随 x 的增大而增大；根据新定义运算法则列出关于系数 a 、b 的方程组 或 ，通过解方程组即可求得 a 、b 的值． 解答：解：（1）反比例函数 y= 是闭区间[1，2013 上的“闭函数”．理由如下：反比例函数 y=在第一象限，y 随 x 的增大而减小，当 x=1 时，y=2013；当 x=2013 时，y=1，所以，当 1≤x ≤2013 时，有 1≤y ≤2013，符合闭函数的定义，故反比例函数 y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”；（2）分两种情况：k ＞0 或 k ＜0．①当 k ＞0 时，一次函数 y=kx+b （k ≠0）的图象是 y 随 x 的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，．∴此函数的解析式是 y=x ；②当 k ＜0 时，一次函数 y=kx+b （k ≠0）的图象是 y 随 x 的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，．∴此函数的解析式是 y=﹣x+m+n ；（3）∵y=x 2﹣x ﹣=（x ﹣2）2﹣，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣ ，且当 x ＜2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x ＞2 时，y 随 x 的增大而增大；，解得，解得，∵ ＜0，①当 b ≤2 时，此二次函数 y 随 x 的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知，，解得，（不合题意，舍去）或 ；②当 a ＜2＜b 时，此时二次函数 y=x 2﹣ x ﹣ 的最小值是﹣=a ，根据“闭函数”的定义知，b=a 2﹣a ﹣、b=b 2﹣b ﹣； a ）当 b=a 2﹣a ﹣时，由于 b=（﹣）2﹣×（﹣）﹣=＜2，不合题意，舍去；b ）当 b=b 2﹣b ﹣时，解得 b=，由于 b ＞2， 所以 b=；③当 a ≥0 时，此二次函数 y 随 x 的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，∴舍去．综上所述，或 ．点评：本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论” 数学思想的应用．26．（10 分）（2013•长沙）如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2 与x 轴，y 轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB 相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON 的面积为定值2．（1）求∠OAB 的度数；（2）求证：△AOF∽△BEO；（3）当点E，F 都在线段AB 上时，由三条线段AE，EF，BF 组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF 的面积为S2．试探究：S1+S2 是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题分析：（1）当x=0 或y=0 时分别可以求出y 的值和x 的值就可以求出OA 与OB 的值，从而就可以得出结论；（2）根据平行线的性质可以得出，，就可以得出．再由∠OAF=∠EBO=45°就可以得出结论；（3）先根据E、F 的坐标表示出相应的线段，根据勾股定理求出线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF 为斜边，则可以表示此三角形的外接圆的面积S1，再由梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以表示出S2，就可以表示出和的解析式，再由如此函数的性质就可以求出最值．解答：解：（1）∵直线y=﹣x+2，∴当x=0 时，y=2，B（0，2），当y=0 时，x=2，A（2，0）∴OA=OB=2．∵∠AOB=90°∴∠OAB=45°；（2）∵四边形OAPN 是矩形，∴PM∥ON，NP∥OM，∴，，∴BE=OM，AF= ON，∴BE•AF= OM•ON=2OM•ON．∵矩形PMON 的面积为2，∴OM•ON=2∴BE•AF=4．∵OA=OB=2，∴OA•OB=4，∴BE•AF=OA•OB，即．∵∠OAF=∠EBO=45°，∴△AOF∽△BEO；（3）∵四边形OAPN 是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，∴△AME、△BNF、△PEF 为等腰直角三角形．∵E 点的横坐标为a，E（a，2﹣a），∴AM=EM=2﹣a，∴AE2=2（2﹣a）2=2a2﹣8a+8．∵F 的纵坐标为b，F（2﹣b，b）∴BN=FN=2﹣b，∴BF2=2（2﹣b）2=2b2﹣8b+8．∴PF=PE=a+b﹣2，∴EF2=2（a+b﹣2）2=2a2+4ab+2b2﹣8a﹣8b+8．∵ab=2，∴EF2=2a2+2b2﹣8a﹣8b+16∴EF2=AE2+BF2．∴线段AE、EF、BF 组成的三角形为直角三角形，且EF 为斜边，则此三角形的外接圆的面积为S1=EF2=•2（a+b﹣2）2=（a+b﹣2）2．∵S 梯形OMPF= （PF+ON）•PM，S△PEF= PF•PE，S△OME= OM•EM，﹣∴S 2=S 梯形 OMPF ﹣S △PEF ﹣S △OME ，=（PF+ON ）•PM ﹣PF •PE ﹣OM •EM ， =[PF （PM ﹣PE ）+OM （PM ﹣EM ）]， =（PF •EM+OM •PE ）， =PE （EM+OM ）， =（a+b ﹣2）（2﹣a+a ）， =a+b ﹣2． ∴S 1+S 2=（a+b ﹣2）2+a+b ﹣2．设 m=a+b ﹣2，则 S 1+S 2=m 2+m=（m+）2﹣，∵面积不可能为负数， ∴当 m ＞﹣时，S 1+S 2 随 m 的增大而增大．当 m 最小时，S 1+S 2 最小． ∵m=a+b ﹣2=a+ ﹣2=（ ）2+2﹣2，∴当= ，即 a=b=时，m 最小，最小值为 2﹣2∴S 1+S 2 的最小值=（2 ﹣2）2+2﹣2，=2（3﹣2）π+2﹣2．点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，梯形的面积公式的运用，圆的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用二次函数的顶点式的运用，在解答时运用二次函数的顶点式求最值是关键和难点．。

湖南省长沙市2013年初中毕业学生水平考试试卷数学答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】A 是整数，是有理数，选项错误；B 是整数，是有理数，选项错误；C 是分数，是有理数，选项错误；D 是无理数，故选D ．【提示】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【考点】无理数 2.【答案】C【解析】将61700000用科学记数法表示为76.1710⨯，故选C ．【提示】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 【考点】科学记数法表示较大的数 3.【答案】B【解析】设第三边长为x ，则由三角形三边关系定理得4242x -<<+，即26x <<．因此，本题的第三边应满足26x <<，把各项代入不等式符合的即为答案．2，6，8都不符合不等式26x <<，只有4符合不等式，故选B ．【提示】已知三角形的两边长分别为2和4，根据在三角形中任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边；即可求第三边长的范围． 【考点】三角形三边关系 4.【答案】B【解析】⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1cm 和3cm ，圆心距124cm O O =，12134O O ∴=+=，∴两圆外切．故选B ．【提示】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【考点】圆与圆的位置关系 5.【答案】A【解析】633a a a ÷=，故A 选项正确；362()a a =，故B 选项错误；222()2a b a ab b -=-+，故C 选项错误；2222a a a +=，故D 选项错误．故选A ．【提示】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【考点】同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式 6.【答案】B【解析】身高188的人数最多，故该校篮球队12名同学身高的众数是188cm ，故选B ． 【提示】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合表格信息即可得出答案． 【考点】众数 7.【答案】D 【解析】AB AC =，∴12∠=∠，故A 选项错误；12∠=∠（对顶角相等），故B 选项错误；根据对顶角相等，13∠=∠，a b ∥，23∴∠=∠，∴12∠=∠，故C 选项错误；根据三角形的外角性质，12∠>∠，故D 选项正确，故选D ．【提示】根据等边对等角，对顶角相等，平行线的性质，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角对各选项分析判断后利用排除法求解．【考点】等腰三角形的性质，对顶角，邻补角，平行公理及推论，平行线的性质 8.【答案】A【解析】设多边形的边数是n ，则(2)180360n -=，解得4n =，故选A ． 【提示】设多边形的边数是n ，根据多边形的内角和定理即可求解． 【考点】多边形内角与外角 9.【答案】C【解析】即运用了轴对称也利用了旋转对称，故A 选项错误；利用了轴对称，故B 选项错误；没有运用旋转，也没有运用轴对称，故C 选项正确；即运用了轴对称也利用了旋转对称，故D 选项错误；故选C ． 【提示】根据轴对称及旋转对称的定义，结合各选项进行判断即可． 【考点】利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案 10.【答案】D【解析】抛物线的开口向上，0a ∴>，正确，故A 选项不符合题意；抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>，正确，故B 选项不符合题意；抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，正确，故C 选项不符合题意；把1x =代入抛物线的解析式得0y a b c =++<，错误，故D 选项符合题意；故选D ．【解析】67∠=︒A 【考点】余角和补角【答案】1【解析】BD【解析】点【解析】AD BC ∥，2AD =，，AE CD ∥180=︒-∠B 3，故答案为是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得【解析】由①得，1x ≤；由②得，2x >-，故此不等式组的解集为21x -<≤，在数轴上表示为：如图所示：1）AB ，DBC ∠=，AB ，∠=BAC ，OB OD =，，∴阴影部分的面积2π21223=π336023-⨯⨯-）四边形，M ，在）M ，AD BC ∥12∠=∠，CE MN ⊥90=︒CEN ，，又END ∠=2=∠PNE ，1PE =，2PN PE ∴=23cos30=︒CE，∠=MNC 是等边三角形，ABN △≌△，∴AN CM =．）215y x =y 随x 的增大而减小；当，91092-a⎧=⎪）直线∠=AOB）四边形∴BEOM OA=222BE AF OM ON OM ON ==矩形2OM ON =，4BE AF =OA OB =4OA OB =，BE AF OA OB ∴=，即AF OB ∠=OAF AOF BEO ∽△（3）四边形是矩形，45∠=∠=︒OAF EBO ，AME ∴△E 点的横坐标为F 2ab =，∴线段AE ππ(2)4S EF a b =+-1()2OMPF S PF OM PM =+梯形，12PEF S PF PE =△，OME S OM EM △，∴2PEF OME OMPF S S S S =--△△梯形111=()22PF OM PM PF PE OM EM +-- )PF EM OM PE +面积不可能为负数，=+m a b∴当a=2。

2013年湖南省长沙市中考数学试卷（数学）注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂料胶和贴纸；6.本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分。

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

请在答题卡中填涂符合题意的选项。

本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.下列实数是无理数的是（ ） A.－1 B.0 C.21D.3 2.小星同学在“百度”搜索引擎中；输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61 700 000，这个数用科学记数法表示为（ ）A.617×105B.6.17×106C.6.17×107D.0.617×1083.如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ） A.2 B.4 C.6 D.84.已知⊙O 1的半径为1㎝、⊙O 2的半径为3㎝，两圆的圆心距O 1O 2为4㎝，则两圆的位置关系是（ ）A.外离B.外切C.相交D.内切 5.下列计算正确的是（ ）A.336a a a =÷B.()832a a = C.()222b a b a -=- D.422a a a =+6.某校篮球队12名同学的身高如下表：则该校篮球队12名同学身高的众数是（单位：㎝）（ ）A.192B.188C.186D.180 7.下列各图中，∠1大于∠2的是（ ）8.下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形9.在下列某品牌T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有．．运用旋转或轴对称知识的是（ ）10.二次函数c bx axy ++=2的图象如图所示，则下列关系错误．．的是（ ） A. a ＞0 B. c ＞0 C. ac b 42-＞0 D. a +b +c ＞0 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 11.计算：28-= .12.因式分解：122++x x = . 13.已知∠A=67°，则∠A 的余角等于 度.21（AB=AC ）C B Aba21（a b ）ba 21D21CBAAB C DAB C D14.方程xx 112=+的解为x = .15.如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 是BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE=4㎝，则点P 到边BC 的距离为 ㎝.16.如图，在⊿ABC 中，点D ，点E 分别是边AB ，AC 的中点，则⊿ADE 与⊿ABC 的周长之比等于 .17.在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是 .18.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，AE ∥CD 交BC 于点E ，若AD=2，BC=5，则CD 的长是 .三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分） 19.计算：()()021523+--+-20.解不等式组()⎩⎨⎧-+≤+xx x x 34312π并将其解集在数轴上表示出来.E PD CB A E D CBA E DCB A（第10题）（第15题） （第16题） （第18题）四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）21.“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们关注.我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了 天的空气质量情况.（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数. （3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测站点参观，则恰好选到小源的概率是多少？22.如图，⊿ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，∠DBC=∠BAC. （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积.-24各类空气质量天数条形统计图类别污染污染良各类空气质量天数扇形统计图（第21题）五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）23.为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线..已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元. （1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2）除1，2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网，据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？24.如图，在□ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∠AND=90°，连接CM 交DN 于点O. （1）求证：⊿ABN ≌⊿CDM ；（2）过点C 作CE ⊥MN 于点E ，交DN 于点P ，若PE=1，∠1=∠2，求AN 的长.六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）25.设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[]a，b .对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时 ，有m ≤y ≤n ，我们就称此函数是闭区间[]m，n 上的“闭函数”. （1）反比例函数xy 2013=是闭区间[]20131，上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数()0≠+=k b kx y 是闭区间[]m，n 上的“闭函数”，求此函数的解析P NMEO D21CBA（第22题）（第24题）式；（3）若二次函数5754512--=x x y 是闭区间[]a，b 上的“闭函数”，求实数a ，b 的值.26.如图，在平面直角坐标系中，直线2+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，动点P （a ，b ）在第一象限内，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN （垂足为M ，N ）分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点P （a ，b ）运动时，矩形PMON 的面积为定值2. （1）求∠OAB 的度数； （2）求证：⊿AOF ∽⊿BEO ；（3）当点E ，F 都在线段AB 上时，由三条线段AE ，EF ，BF 组成一个三角形，记此三角形的+S 2是否存在最小值？若存在，请求出该最（第26题）2013年湖南省长沙市中考数学试卷答案及解析一、选择题、1、D 【详解】根据无理数的定义可知，只有D是无理数.2、C 【详解】根据科学记数法的原则可知选C.3、B 【详解】三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，只有B符合.4、B 【详解】因为1+3=4，即两圆半径之和等于圆心距，所以两圆外切.5、A 【详解】B、（a2）3=a2×3=a6C、（a-b）2=a2-2ab+b2D、a2+a2=2a26、B 【详解】众数就是出现次数最多的数，表格中188出现了5次，是最多的，所以12名同学身高的众数是188，选B.7、D 【详解】A、△ABC是等腰三角形，所以∠1=∠2；B、∠1与∠2是对顶角，所以∠1=∠2；C、对顶角相等与根据两直线平行、同位角相等性质可知∠1与∠2；D、由于∠1是△ABC的外角，且∠1=∠B+∠2，所以∠1＞∠2；综上所述，选D8、A 【详解】所有多边形的外角和都是360°，而内角和公式为180°（n-2），其中n表示多边形的边数，所以当180°（n-2）=360°时，n=4，即四边形的内角和与外角和相等，选A。

【中考数学试题汇编】2013—2018年湖南省长沙市中考数学试题汇编（含参考答案与解析）1、2013年湖南省长沙市中考数学试题及参考答案与解析 (2)2、2014年湖南省长沙市中考数学试题及参考答案与解析 (21)3、2015年湖南省长沙市中考数学试题及参考答案与解析 (42)4、2016年湖南省长沙市中考数学试题及参考答案与解析 (62)5、2017年湖南省长沙市中考数学试题及参考答案与解析 (83)6、2018年湖南省长沙市中考数学试题及参考答案与解析 (104)2013年湖南省长沙市中考数学试题及参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．下列实数是无理数的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．12D 2．小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（ ）A ．617×105B ．6.17×106C ．6.17×107D ．0.617×108 3．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．84．已知⊙O 1的半径为1cm ，⊙O 2的半径为3cm ，两圆的圆心距O 1O 2为4cm ，则两圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 5．下列计算正确的是（ ）A ．a 6÷a 3=a 3B ．（a 2）3=a 8C ．（a ﹣b ）2=a 2﹣b 2D ．a 2+a 2=a 4 6．某校篮球队12名同学的身高如下表：身高（cm ） 180 186 188 192 195 人数12531则该校篮球队12名同学身高的众数是（单位：cm ）（ ） A ．192 B ．188 C ．186 D ．180 7．下列各图中，∠1大于∠2的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ） A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．八边形9．在下列某品牌T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中如图所示，则下列关系式错误的是（ ）A ．a ＞0B ．c ＞0C ．b 2﹣4ac ＞0D ．a+b+c ＞0 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分）11 ． 12．分解因式：x 2+2x+1= ．13．已知∠A=67°，则∠A 的余角等于 度． 14．方程211x x=+的解为x= ． 15．如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 为BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE=4cm ，则点P 到边BC 的距离为 cm ．16．如图，在△ABC 中，点D ，点E 分别是边AB ，AC 的中点，则△ADE 和△ABC 的周长之比等于 ．17．在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是 ．18．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，AE ∥CD 交BC 于点E ，若AD=2，BC=5，则边CD 的长是 ．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：())|3|21-+--．20．（6分）解不等式组()21343x x x x ⎧++⎪⎨-⎪⎩≤①＜②，并将其解集在数轴上表示出来．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了 天空气质量情况．（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形圆心角度数．（3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？22．（8分）如图，△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，∠DBC=∠BAC ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2）除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？24．（9分）如图，在▱ABCD 中，M 、N 分别是AD ，BC 的中点，∠AND=90°，连接CM 交DN 于点O ．（1）求证：△ABN ≌△CDM ；（2）过点C 作CE ⊥MN 于点E ，交DN 于点P ，若PE=1，∠1=∠2，求AN 的长．六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）设a 、b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m≤x≤n 时，有m≤y≤n ，我们就称此函数是闭区间[m ，n]上的“闭函数”． （1）反比例函数2013y x=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数y=kx+b （k≠0）是闭区间[m ，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式； （3）若二次函数2147555y x x =--是闭区间[a ，b]上的“闭函数”，求实数a ，b 的值． 26．（10分）如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，动点P （a ，b ）在第一象限内，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN （垂足为M ，N ）分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点P （a ，b ）运动时，矩形PMON 的面积为定值2． （1）求∠OAB 的度数； （2）求证：△AOF ∽△BEO ；（3）当点E ，F 都在线段AB 上时，由三条线段AE ，EF ，BF 组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S 1，△OEF 的面积为S 2．试探究：S 1+S 2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．参考答案与解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列实数是无理数的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．12D 【知识考点】无理数．【思路分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答过程】解：A 、是整数，是有理数，选项错误； B 、是整数，是有理数，选项错误； C 、是分数，是有理数，选项错误； D 、是无理数． 故选D ．【总结归纳】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（ ）A ．617×105B ．6.17×106C ．6.17×107D ．0.617×108 【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【解答过程】解：将61700000用科学记数法表示为6.17×107． 故选C ．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【知识考点】三角形三边关系．【思路分析】已知三角形的两边长分别为2和4，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．【解答过程】解：设第三边长为x ，则由三角形三边关系定理得4﹣2＜x ＜4+2，即2＜x ＜6． 因此，本题的第三边应满足2＜x ＜6，把各项代入不等式符合的即为答案． 2，6，8都不符合不等式2＜x ＜6，只有4符合不等式． 故选B ．【总结归纳】本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．4．已知⊙O 1的半径为1cm ，⊙O 2的半径为3cm ，两圆的圆心距O 1O 2为4cm ，则两圆的位置关系是（ ）A．外离B．外切C．相交D．内切【知识考点】圆与圆的位置关系．【思路分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解答过程】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为1cm和3cm，圆心距O1O2=4cm，∴O1O2=1+3=4，∴两圆外切．故选B．【总结归纳】本题主要考查圆与圆的位置关系，外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．5．下列计算正确的是（）A．a6÷a3=a3B．（a2）3=a8C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．a2+a2=a4【知识考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【思路分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．【解答过程】解：A、正确；B、（a2）3=a6，选项错误；C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，选项错误；D、a2+a2=2a2，选项错误．故选A．【总结归纳】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．6．某校篮球队12名同学的身高如下表：身高（cm）180 186 188 192 195人数 1 2 5 3 1则该校篮球队12名同学身高的众数是（单位：cm）（）A．192 B．188 C．186 D．180【知识考点】众数【思路分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合表格信息即可得出答案．【解答过程】解：身高188的人数最多，故该校篮球队12名同学身高的众数是188cm．故选B．【总结归纳】本题考查了众数的知识，掌握众数的定义是解题的关键．7．下列各图中，∠1大于∠2的是（）A．B．C．D．【知识考点】等腰三角形的性质；对顶角、邻补角；平行公理及推论；平行线的性质．【思路分析】根据等边对等角，对顶角相等，平行线的性质，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答过程】解：A、∵AB=AC，∴∠1=∠2，故本选项错误；B、∠1=∠2（对顶角相等），故本选项错误；C、根据对顶角相等，∠1=∠3，∵a∥b，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，故本选项错误；D、根据三角形的外角性质，∠1＞∠2，故本选项正确．故选D．【总结归纳】本题考查了等边对等角，对顶角相等，平行线的性质，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的性质，熟记各性质是解题的关键．8．下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【知识考点】多边形内角与外角．【思路分析】设多边形的边数是n，根据多边形的内角和定理即可求解．【解答过程】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=360，解得n=4．故选A．【总结归纳】本题考查了多边形的内角和定理的计算公式，理解公式是关键．9．在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（）A．B．C．D．【知识考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．【思路分析】根据轴对称及旋转对称的定义，结合各选项进行判断即可．【解答过程】解：A、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；B、利用了轴对称，故本选项错误；C、没有运用旋转，也没有运用轴对称，故本选项错误；D、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；故选C．【总结归纳】本题考查了轴对称及旋转对称的知识，解答本题的关键是掌握轴对称及旋转对称的定义．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象中如图所示，则下列关系式错误的是（）A．a＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＞0【知识考点】二次函数图象与系数的关系．【思路分析】根据抛物线的开口向上得出a＞0，根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上得出c ＞0，根据抛物线与x轴有两个交点得出b2﹣4ac＞0，把x=1代入抛物线的解析式得出y=a+b+c＜0，根据以上内容判断即可．【解答过程】解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，正确，故本选项错误；B、∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，正确，故本选项错误；C、∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，正确，故本选项错误；D、把x=1代入抛物线的解析式得：y=a+b+c＜0，错误，故本选项正确；故选D．【总结归纳】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，主要考查学生的理解能力和运用能力．二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．【知识考点】二次根式的加减法．【思路分析】运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【解答过程】解：原式=2﹣=．【总结归纳】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．12．分解因式：x2+2x+1=．【知识考点】因式分解-运用公式法．【思路分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解．。

长沙市2013年初中毕业学业水平考试------数学试题评价报告长沙市中学数学教学专业委员会2013年长沙市初中毕业学业水平考试数学科试卷按照“体现学业水平考试性质，兼顾选拔”的总体要求，本着有利于引导和促进我市初中数学教育教学教研全面落实《义务教育课程标准》（2011版）所设立的课程目标，有利于引导老师和学生进一步转变教育教学观念，改善教与学的方式，提高数学教学效率，有利于减轻学生过重的课业负担，培养学生创新精神与实践能力的命题原则，客观、全面、公正、准确地考查了学生在基础知识与基本技能、数学活动过程、解决问题的能力、对数学的基本认识等方面的目标达成情况．下面就我市2013年初中毕业学业水平考试数学试卷及评卷情况作简要分析。

一、命题的基本思路1、以义务教育《数学课程标准》（2011版）及《湖南省2013年初中毕业学业水平考试数学学科标准》和《2013年长沙市初中毕业学业水平考试数学学科说明》（以下简称《说明》）为依据．以考查学生对基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验掌握情况为重点，突出数与式、方程、函数、基本图形的性质等初中数学核心知识的考查。

2、在控制总题量的前提下，优化试卷结构，尽量增大知识点的覆盖面。

试卷对《说明》中一级指标覆盖面达到100％，具体知识点覆盖面不低于90％。

3、突出试卷的学业水平考试特征，兼顾试题的选拔和甄别功能，控制整卷试题的难度。

关注各能力层次试题的比例，设置合理的试卷梯度。

4、注重发挥考试为数学教学的导向作用，关注对学生基本数学素养的考查，以学生熟悉的生活背景材料为素材命制试题，引导学生关注社会，体现数学的应用价值；适当设计开放探究性问题，考查学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

二、试卷的整体结构3、试题难度设计全卷平均分86.08，难度0.72。

试题难度布局合理，容易题56分，占46.5%；中等题38分，占31.6%；较难题16分，占13.3；难题10分，占8.3%。

2013年湖南省长沙市中考数学试题及参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列实数是无理数的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．12D 2．小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（ ）A ．617×105B ．6.17×106C ．6.17×107D ．0.617×1083．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．已知⊙O 1的半径为1cm ，⊙O 2的半径为3cm ，两圆的圆心距O 1O 2为4cm ，则两圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切5．下列计算正确的是（ ）A ．a 6÷a 3=a 3B ．（a 2）3=a 8C ．（a ﹣b ）2=a 2﹣b 2D ．a 2+a 2=a 46则该校篮球队A ．192 B ．188 C ．186 D ．1807．下列各图中，∠1大于∠2的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．八边形 9．在下列某品牌T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中如图所示，则下列关系式错误的是（ ）A ．a ＞0B ．c ＞0C ．b 2﹣4ac ＞0 D ．a+b+c ＞0二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．12．分解因式：x 2+2x+1= ．13．已知∠A=67°，则∠A 的余角等于 度．14．方程211x x=+的解为x= ． 15．如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 为BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE=4cm ，则点P 到边BC 的距离为 cm ．16．如图，在△ABC 中，点D ，点E 分别是边AB ，AC 的中点，则△ADE 和△ABC 的周长之比等于 ．17．在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是 ．18．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，AE ∥CD 交BC 于点E ，若AD=2，BC=5，则边CD 的长是 ．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：())00|3|21-+--． 20．（6分）解不等式组()21343x x x x ⎧++⎪⎨-⎪⎩≤①＜②，并将其解集在数轴上表示出来．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了天空气质量情况．（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形圆心角度数．（3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？22．（8分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2）除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？24．（9分）如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．（1）反比例函数2013y x=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数y=kx+b （k≠0）是闭区间[m ，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式； （3）若二次函数2147555y x x =--是闭区间[a ，b]上的“闭函数”，求实数a ，b 的值． 26．（10分）如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，动点P （a ，b ）在第一象限内，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN （垂足为M ，N ）分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点P （a ，b ）运动时，矩形PMON 的面积为定值2．（1）求∠OAB 的度数；（2）求证：△AOF ∽△BEO ；（3）当点E ，F 都在线段AB 上时，由三条线段AE ，EF ，BF 组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S 1，△OEF 的面积为S 2．试探究：S 1+S 2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．参考答案与解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列实数是无理数的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．12D 【知识考点】无理数．【思路分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答过程】解：A 、是整数，是有理数，选项错误；B 、是整数，是有理数，选项错误；C 、是分数，是有理数，选项错误；D 、是无理数．故选D ．【总结归纳】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（ ）A ．617×105B ．6.17×106C ．6.17×107D ．0.617×108。

2013年长沙市初中毕业学业水平考试试卷数 学注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分。

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

请在答题卡中填涂符合题意的选项。

本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．下列实数是无理数的是A ．－1B ．0C ．12D 2．小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结 果的条数约为61 700 000，这个数用科学记数法表示为 A ．561710⨯ B ．66.1710⨯C ．76.1710⨯D ．80.61710⨯ 3．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．84．已知1O e 的半径为１cm ，2O e 的半径为3cm ，两圆的圆心距12O O 为4cm ，则两圆的位置关系是 A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 5．下列计算正确的是A ．633a a a ÷=B ．238()a a =C ．222()a b a b -=-D ．224a a a += 6则该校篮球队12名同学身高的众数是（单位：cm ） A ．192 B ．188 C ．186 D ．180 7．下列各图中，1Ð大于2Ð的是A B C D8．下列多边形中，内角和与外角和相等的是A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．八边形 9．在下列某品牌T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有．．运用旋转或轴对称知识的是①②10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关系式错误．．的是 A ．0a >B ．0c >C ．240b ac ->D ．0a b c ++>（第10题）二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．12．因式分解：221x x ++= ．13．已知67A ?o ，则A Ð的余角等于 度．14．方程211x x=+的解为x = ．15．如图，BD 是ABC Ð的平分线，P 是BD 上的一点，PE BA ^于点E ，4PE cm =，则点P 到边BC 的距离为 cm ．（第15题） （第16题） （第18题）16．如图，在△ABC 中，点D ，点E 分别是边AB ，AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的周长之比等于 ．17．在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球．每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重 复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是 ． 18．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，50B ?o ，80C ?o ，//AE CD 交BC 于点E ，若AD ＝2，BC ＝5，则边CD 的长是 ．三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分） 19．计算：20|3|(2)1)-+--．20．解不等式组2(1)3,43,x x x x +≤+⎧⎨-<⎩并将其解集在数轴上表示出来．四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分） 21．“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们关注．我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至４月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：A B CD（1）统计图共统计了 天的空气质量情况．（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数． （3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测站点参观，则恰好选到小源的概率是多少？22．如图，△ABC 中，以AB 为直径的e O 交AC 于点D ，∠DBC ＝∠BAC ．（1）求证：BC 是e O 的切线；（2）若e O 的半径为2，∠BAC ＝30°， 求图中阴影部分的面积．（第22题） 五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）23．为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元． （1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2）除1，2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？24．如图，在Y ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∠AND ＝90°，连接CM 交DN于点O ．（1）求证：△ABN ≌△CDM ；（2）过点C 作CE ⊥MN 于点E ，交DN 于点P ，若PE ＝1，∠1=∠2，求AN 的长．（第24题）六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）25．设,a b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[]a,b ．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m x n ≤≤时，有m y n ≤≤，我们就称此函数是闭区间[],m n 上的“闭函数”． （1）反比例函数2013y x=是闭区间[]1,2013上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数(0)y kx b k =+≠是闭区间[]m,n 上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若二次函数2147555y x x =--是闭区间[]a,b 上的“闭函数”，求实数,a b 的值．26．如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，动点P (,)a b 在第一象限内，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN （垂足为M ，N ）分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点P (,)a b 运动时，矩形PMON 的面积为定值2． （1）求OAB ∠的度数；（2）求证：△AOF ∽△BEO ；（3）当点E ，F 都在线段AB 上时，由三条线段 AE ，EF ，BF 组成一个三角形，记此三角 形的外接圆面积为1S ，△OEF 的面积为2S ． 试探究：12S S +是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．（第26题）2013年长沙市初中毕业学业水平考试试卷数学参考答案及评分标准二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）11 12．2(1)x + 13．23 14．1 15．4 16．1:2 17．10 18．3三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）19．解：原式=3416+-=. ························································ 6分 20．解：解不等式①，得：1x ≤； ·················································· 2分 解不等式②，得：2x >-； ·············································· 4分所以原不等式组的解集是：21x -<≤. ······································ 5分 解集在数轴上表示如图所示:··················· 6分四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）21. 解：（1）100 ； ··············································································· 2分 （2）补充条形统计图如下图所示； ··············································· 4分空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数：36020%72︒⨯=︒； ········ 6分 （3）恰好选到小源的概率是140. ··················································· 8 分 22．（1）证明： AB 为e O 直径，∴90ADB ∠=︒ ， ······················ 1分 ∴90BAC ABD ∠+∠=︒ ，····················································· 2分 D B C B A C∠=∠ ∴= +=90ABC ABD DBC ∠∠∠︒， ··················································· 3分 点B 在e O 上，∴ BC 是e O 的切线. ································· 4分 （2）解：连接OD ，30o BAC ∠=，则∠BOD ＝2∠A=60°， ······· 5分∴=O B D S S S ∆-阴扇·································································· 6分60243603ππ=⨯=∴阴影部分的面积为23π··············································· 8分五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）23．解：（1）设1号线，2号线每千米的平均造价分别是x 亿元，y 亿元， 则由题意可得24222650.5x yx y +=⎧⎨-=⎩ ·························································· 3分解之得65.5x y =⎧⎨=⎩································································ 6分所以1号线，2号线每千米的平均造价分别为6亿元，5.5亿元； ······ 7分 （2）由题意得：91.8 1.26660.96⨯⨯=（亿元），所以还需投资660.96亿元. ························································ 9分24．（1）证明：在Y ABCD 中，,B ADC ∠=∠ ········································· 1分A B C D =, ··········································································· 2分M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∴11,22BN BC AD DM === ····· 3分∴△ABN ≌△CDM ； ······························································· 4分 （2）解：在Y ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∴//,CN DM CN DM =，∴四边形CDMN 为平行四边形； ··········· 5分 在Rt △AND 中，M 为AD 中点，∴MN =MD ； ∴Y CDMN 为菱形. (由AN //CM ，得CM ⊥DN ，亦可证菱形) ············· 6分 ∴∠MND =∠DNC =∠1=∠2，CE ⊥MN ，∴∠MND =∠DNC =∠1=∠2＝30°. (由MN =MD ，亦可得∠MND =∠DNC =∠1=∠2＝30°) ······················· 7分在Rt △PEN 中，PE =1， ∴EN ······································ 8分∠MNC=∠MND +∠DNC ＝60°，∴△MNC 为等边三角形，又由(1)可得，MC =AN , ∴AN =MC =NC=∴AN 的长为 ······························· 9分六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）25．解：（1）是； ······································································· 1分由函数2013y x=的图象可知，当12013x ≤≤时，函数值y 随着自变量x 的增大而减少，而当1x =时，2013y =；2013x =时，1y =，故也有12013y ≤≤，所以，函数2013y x=是闭区间[]1,2013上的“闭函数”. ··········· 3分（2）因为一次函数(0)y kx b k =+≠是闭区间[],m n 上的“闭函数”，所以根据一次函数的图象与性质，必有：①当0k >时，km b mkn b n +=⎧⎨+=⎩()m n ≠，解之得1k =，0b =∴y x =，②当0k <时，km b nkn b m +=⎧⎨+=⎩()m n ≠，解之得1k =-，b m n =+∴y x m n =-++，故一次函数的解析式为y x =或y x m n =-++. ············· 6分（3）由于函数2147555y x x =--的图象开口向上，且对称轴为2x =， 顶点为11(2,)5-，由题意根据图象，分以下三种情况讨论：①当b a <≤2时，必有x a =时，y a =且x b =时，y b =，即方程214755x x x --=必有两个不等实数根，解得x =，2的两边，这与b a <≤2矛盾，舍去； ····· 7分②当2≤<b a 时，必有x a =时，y b =且 x b =时，y a =，即22147(1)555147(2)555a a b b b a ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩（1）-（2）得,1-=+b a 代入（1）得⎩⎨⎧=-=12b a 或⎩⎨⎧-==21b a （舍去）, 故此时有21a b =-⎧⎨=⎩满足题意； ············································· 8分③ 当b a <<2时，必有函数值y 的最小值为115-， 由于此二次函数是闭区间[],a b 上的“闭函数”，故必有115a =-， 从而有[]11,,5ab b ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，而当115x =-时，166125y =，即得点11166-5125⎛⎫⎪⎝⎭，；又点11166-5125⎛⎫ ⎪⎝⎭，关于对称轴2x =的对称点为111664+5125⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由“闭函数”的定义可知必有x b =时，11(4)5y b b =>+, 又由①知,21099+=b 故可得115a =-，b =符合题意.综上所述，2a =-,1b =或115a =-，b =为所求的实数. ·········· 10分26．解：（1）OAB ∠= 45°； ····························································· 3分（2）由题意可得：点(,2)E a a -，点(2,)F b b -， ······················ 4分BE =，AF , ··························································· 5分OAF EBO ∠=∠=45°，由2ab == 即,AF BOAO BE =所以AOF ∆∽BEO ∆；当点F 在第二象限或点E 在第四象限时，同理可证. ······················ 6分（3）设,,AME BNF PEF ∆∆∆的面积分别是,,s t r 显然,,AME BNF PEF ∆∆∆均为等腰直角三角形，从而它们都相似，故由相似三角形的性质可得到：222()()2s ME a r PE a b -==+-， 222()()2t NF b r PE a b -==+- 由于22222222844()()122844a b a b a ba b a b a b a b --++--+==+-+-++-- 从而有 22()()1s t AE BF r r EF EF+=+= 得到 222A EB F E F +=，故以三线段AE,EF,BF 所组成的三角形为直角三角形. ··········· 7分（或代数计算或翻折或旋转等方法同样可证得）故 221(2)22EF S a b ππ⎛⎫=⨯=+- ⎪⎝⎭，21122(2)2(2)222S a b a b =-⨯⨯--⨯⨯-=+-,从而212(2)(2)2S S a b a b π+=+-++-，令2a b u +-=，212(2)(2)2S S a b a b π+=+-++-22u u π=+211()22u πππ=+-； ···· 8分当0a >，0b >时，20≥，a b ∴+≥a b =时取“=”，则22u a b =+-≥，当且仅当a b == ········ 9分根据二次函数的图象与性质，可得：当2u =时，12S S +有最小值为：22)2)622ππ+=-+. ···························· 10分 (本卷各题的其它合理解答均酌情计分)。

2013年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

请在答题卡中填涂符合题意的选项。

本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2013•长沙）下列实数是无理数的是（）A．﹣1 B．0 C．D．【考点】M116 无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．由此即可判定选择项．A、是整数，是有理数，选项错误；B、是整数，是有理数，选项错误；C、是分数，是有理数，选项错误；D、是无理数．【难度】容易题【解答】D．【点评】本题重点考查了无理数的概念，即无理数就是无限不循环小数，比较简单，是一道基础题．2．（3分）（2013•长沙）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（）A．617×105 B．6.17×106C．6.17×107D．0.617×108【考点】M11D 科学记数法．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．所以61700000用科学记数法表示为6.17×107．【难度】容易题【解答】C．【点评】本题主要考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，解题关键是要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2013•长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】M322 三角形三边的关系．【分析】设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得4﹣2＜x＜4+2，即2＜x ＜6．因此，本题的第三边应满足2＜x＜6，把各项代入不等式符合的即为答案．2，6，8都不符合不等式2＜x＜6，只有4符合不等式．【难度】容易题【解答】B．【点评】本题重点考查了三角形三边关系，较为简单，解题关键是要根据三角形三边关系定理列出不等式．4．（3分）（2013•长沙）已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为3cm，两圆的圆心距O1O2为4cm，则两圆的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切【考点】M34E 圆与圆的位置关系．【分析】∵⊙O1和⊙O2的半径分别为1cm和3cm，圆心距O1O2=4cm，∴O1O2=1+3=4，∴两圆外切．【难度】容易题【解答】B．【点评】本题重点考查了圆与圆的位置关系，较为简单，若d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径，当两圆外离时，则d＞R+r；两圆外切时，则d=R+r；两圆相交时，则R﹣r＜d＜R+r；两圆内切时，则d=R﹣r；两圆内含时，则d＜R ﹣r．5．（3分）（2013•长沙）下列计算正确的是（）A．a6÷a3=a3 B．（a2）3=a8C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a2+a2=a4【考点】M11T 同底数幂的除法；M11Q 幂的乘方；M11R 积的乘方；M11L 完全平方公式和平方差公式；M11U 合并同类项．【分析】A、根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，a6÷a3=a3，故A选项正确；B、（a2）3=a6，根据幂的乘方，底数不变指数相乘，故B选项错误，C、（a ﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C选项错误；D、合并同类项，a2+a2=2a2，故D选项错误．【难度】容易题【解答】A．【点评】本题重点考查同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方、完全平方公式以及合并同类项等知识的运用，比较简单，记准运算法则是解题关键．A．192 B．188 C．186 D．180【考点】M214 中位数、众数．【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，身高188的人数最多，故该校篮球队12名同学身高的众数是188cm．【难度】容易题【解答】B．【点评】本题主要考查了众数的概念，较为简单，熟记众数的定义是解题的关键．7．（3分）（2013•长沙）下列各图中，∠1大于∠2的是（）A．B． C．D．【考点】M327 等腰三角形性质与判定；M31B 相交线（对顶角、邻补角、同位角、同旁内角、内错角、）；M31C 平行线的判定及性质．【分析】A、∵AB=AC，∴∠1=∠2，故本选项错误；B、∠1=∠2（对顶角相等），故本选项错误；C、根据对顶角相等，∠1=∠3，∵a∥b，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，故本选项错误；D、根据三角形的外角性质，∠1＞∠2，故本选项正确．【难度】容易题【解答】D．【点评】本题重点考查了等腰三角形的性质、对顶角相等以及平行线的性质，较为简单，灵活运用各性质是解题关键．8．（3分）（2013•长沙）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【考点】M331 多边形的内（外）角和．【分析】设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=360，解得n=4．【难度】容易题【解答】A．【点评】本题重点考查了多边形的内角和定理这一知识点，属于基础题型，熟记多边形的内角和公式是解题关键．9．（3分）（2013•长沙）在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（）A．B．C．D．【考点】M411 中心对称图形及轴对称图形．【分析】根据轴对称及旋转对称的定义，结合各选项进行判断即可．A、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；B、利用了轴对称，故本选项错误；C、没有运用旋转，也没有运用轴对称，故本选项正确；D、即运用了轴对称也利用了旋转对称，故本选项错误；【难度】容易题【解答】C．【点评】本题重点考查了中心对称图形及轴对称图形的概念，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的性质．10．（3分）（2013•长沙）二次函数y=ax2+bx+c的图象中如图所示，则下列关系式错误的是（）A．a＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＞0【考点】M162 二次函数的的图象、性质M128 一元二次方程根的判别式．【分析】A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，正确，故A选项不符合题意；B、∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，正确，故B选项不符合题意；C、∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，正确，故C选项不符合题意；D、把x=1代入抛物线的解析式得：y=a+b+c＜0，错误，故D选项符合题意；【难度】中等题【解答】D．【点评】本题重点考查了二次函数的的图象、性质以及一元二次方程根的判别式等知识，难度适中，解题关键是懂得灵活运用二次函数的相关知识．二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2015•衡阳）化简：﹣=．【考点】M11J 二次根式混合运算M11E 二次根式的化简．【分析】首先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．所以原式=2﹣=．【难度】容易题【解答】．【点评】本题重点考查的是二次根式的减法运算，较为简单，解题关键是掌握二次根式的化简．12．（3分）（2014•济南）分解因式：x2+2x+1=．【考点】M11K 因式分解M11L 完全平方公式和平方差公式【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解．所以x2+2x+1=（x+1）2．【难度】容易题【解答】（x+1）2．【点评】本题主要考查了公式法分解因式，较为简单，解题关键是要熟记完全平方公式．13．（3分）（2013•长沙）已知∠A=67°，则∠A的余角等于度．【考点】M317 周角、平角、钝角、直角、锐角、余角、补角．【分析】∵∠A=67°，∴∠A的余角=90°﹣67°=23°．【难度】容易题【解答】23．【点评】本题重点考查了余角的定义，较为简单，掌握互余两角之和为90°是解题关键．14．（3分）（2013•长沙）方程的解为x=．【考点】M12B 解可化为一元一次方程的分式方程．【分析】方程两边都乘（x+1）x，得2x=x+1，解得x=1，检验：当x=1时，（x+1）x≠0．∴原方程的解是x=1．【难度】容易题【解答】1．【点评】本题主要考查了解分式方程的基本步骤，是一道基础题，掌握解分式方程的基本思想即“转化思想”是本题的解题关键．15．（3分）（2013•长沙）如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA 于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为cm．【考点】M318 角平分线的性质与判定M315 点到直线的距离．【分析】∵BD是∠ABC的平分线，PE⊥AB于点E，PE=4cm，∴点P到BC的距离=PE=4cm．【难度】容易题【解答】4．【点评】本题重点考查了点到直线的距离，同时也考查了角平分线的性质，较为简单，解题关键是能由已知注意到P到BC的距离即为PE长这一点．16．（3分）（2013•长沙）如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AB，AC的中点，则△ADE和△ABC的周长之比等于．【考点】M32H 相似三角形性质与判定；M323 三角形的中位线；M325 三角形的面积、周长．【分析】∵点D，点E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE：BC=1：2，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的周长比为1：2．【难度】中等题【解答】1：2．【点评】本题重点考查了相似三角形的判定与性质以及三角形的中位线定理，难度适中，解题关键是要理解相似三角形的周长之比等于边长之比．17．（3分）（2014•朝阳）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是．【考点】M224 概率的意义、应用M225 利用频率估计概率．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，由题意可得，=0.2，解得，n=10．故估计n大约有10个．【难度】中等题【解答】10．【点评】本题重点考查了概率的意义、应用以及利用频率估计概率，难度中等，解题关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．18．（3分）（2013•长沙）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AE∥CD交BC于点E，若AD=2，BC=5，则边CD的长是．【考点】M336 梯形及其中位线；M327 等腰三角形性质与判定；M332 平行四边形的性质与判定；M321 三角形内（外）角和．【分析】∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=EC=2，CD=AE，∵AD=2，BC=5，∴BE=BC﹣EC=5﹣2=3，∵AE∥CD，∠C=80°，∴∠AEB=∠C=80°，在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠AEB=180°﹣50°﹣80°=50°，∴∠B=∠BAE，∴AE=BE=3，∴CD=3．【难度】中等题【解答】3．【点评】本题重点考查了梯形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识点，综合性较强，难度适中，解答本题的关键在于将角的相等转换成边相等．三、解答题（本题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2013•长沙）计算：．【考点】M11A 实数的混合运算；M11O 指数幂；M113 绝对值；M11P 乘方．【分析】先将每一项的值求出来，然后进行实数的运算即可得出答案．【难度】容易题【解答】解：原式=3+4﹣1=6．（6分）【点评】本题是一道计算题，考查了考生的计算功底，做计算类题型时一定要细心运算，防止粗心大意，解决本题的关键是熟练掌握指数幂、绝对值以及乘方等考点的运算．20．（6分）（2013•长沙）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．【考点】M12J 解一元一次不等式（组）；M12M 在数轴上表示不等式（组）的解集．【分析】此题较为简单，首先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【难度】容易题【解答】解：由①得，x≤1；由②得，x＞﹣2，故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．（4分）在数轴上表示为：（6分）【点评】本题重点考查的是解一元一次不等式组等知识，难度不大，充分掌握不等式解集在数轴上的表示方法是解答此题的关键．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2013•长沙）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了天空气质量情况．（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形圆心角度数．（3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？【考点】M216 统计图（扇形、条形、折线）；M222 概率的计算；M344 圆心角与圆周角．【分析】（1）从统计图中可以看出，良的天数是70天，占70%，即可求得统计的总天数；（2）要求空气质量为“优”所在扇形圆心角度数，直接利用360度乘以对应的百分比即可求解；（3）直接利用概率公式即可求解．【难度】中等题【解答】解：（1）70÷70%=100（天），故答案是：100；（2分）（2）空气质量为“优”所在扇形圆心角度数是：360°×20%=72°；如图所示：（5分）（3）班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是．（8分）【点评】本题重点考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，同时也考查了概率的计算，难度适中，需要考生有一定的读图能力并能从图表中获取必要的解题信息．22．（8分）（2013•长沙）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．【考点】M348 切线的性质与判定；M343 扇形、弓形M34D 直线与圆的位置关系M325 三角形的面积、周长M344 圆心角与圆周角M328 等边三角形性质与判定．【分析】（1）要证BC是⊙O的切线，首先求出∠ADB的度数，求出∠ABD+∠DBC=90°，根据切线判定推出即可；（2）已知⊙O的半径为2，∠BAC=30°，分别求出等边三角形DOB面积和扇形DOB面积，即可求出答案．【难度】中等题【解答】（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∵∠DBC=∠BAC，∴∠DBC+∠ABD=90°，∴AB⊥BC，（3分）∵AB为直径，∴BC是⊙O切线；（4分）（2）解：连接OD，过O作OM⊥BD于M，∵∠BAC=30°，∴∠BOD=2∠A=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴OB=BD=OD=2，∴BM=DM=1，（7分）由勾股定理得：OM=，﹣S△DOB=﹣×2×=π﹣．（8分）∴阴影部分的面积S=S扇形DOB【点评】本题重点考查了切线的性质与判定、扇形面积，直线与圆的位置关系、等边三角形的性质和判定等知识，难度适中，三角形与圆的综合题属于中考常考知识点，需要考生牢牢掌握相关性质来解题．本题的解题关键是分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积．五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2013•长沙）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2）除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？【考点】M12F 解二元一次方程组M12G 二元一次方程组的应用．【分析】（1）要求的是1号线，2号线每千米的平均造价，直接设1号线，2号线每千米的平均造价分别是x亿元，y亿元，根据“修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线的平均造价多0.5亿元”分别得出等式求出即可；（2）由第（1）问中所求得出建91.8千米的地铁线网每千米的造价，进而求出即可．【难度】中等题【解答】解：（1）设1号线，2号线每千米的平均造价分别是x亿元，y亿元，由题意得出：，（2分）解得：，（4分）答：1号线，2号线每千米的平均造价分别是6亿元和5.5亿元；（5分）（2）由（1）得出：91.8×6×1.2=660.96（亿元），（8分）答：还需投资660.96亿元．（9分）【点评】本题是一道应用题，主要考查了二元一次方程组的应用，解答此类题型的关键是要学会在题目中找到合适的等量关系并列出方程解答，须注意的是应用题一定要作答．24．（9分）（2013•长沙）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．【考点】M332 平行四边形的性质与判定；M32A 全等三角形性质与判定；M329 直角三角形性质与判定M32D 特殊角三角函数的值M328 等边三角形性质与判定．【分析】（1）要证△ABN≌△CDM，首先由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由M、N分别是AD，BC的中点，即可利用SAS证得△ABN≌△CDM；（2）要求AN的长，由△ABN≌△CDM得AN=CM，转换成求CM的长，求出∠MND=∠CND=∠2=30°，证出△CNM是等边三角形，从而求出AN=CM=2．【难度】较难题【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，∵M、N分别是AD，BC的中点，∴BN=DM，（2分）∵在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（SAS）；（4分）（2）解：∵M是AD的中点，∠AND=90°，∴MN=MD=AD，∴∠1=∠MND，∵AD∥BC，∴∠1=∠CND，∵∠1=∠2，∴∠MND=∠CND=∠2，∴PN=PC，（5分）∵CE⊥MN，∴∠CEN=90°，∠END+∠CNP+∠2=180°﹣∠CEN=90°又∵∠END=∠CNP=∠2∴∠2=∠PNE=30°，∵PE=1，∴PN=2PE=2，∴CE=PC+PE=3，∴CN==2，（7分）∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，∴△CNM是等边三角形，∵△ABN≌△CDM，∴AN=CM=2．（9分）【点评】本题重点考查了平行四边形的性质、全等三角形性质与判定、直角三角形的性质、等边三角形性质与判定以及特殊角三角函数的值等知识点，有一定难度，属于中考常考知识点，解题关键是要熟练掌握这些性质，同时也要注意数形结合思想的应用．六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2013•长沙）设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若二次函数y=x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．【考点】M162 二次函数的的图象、性质M165 二次函数的最值M142 一次函数的的图象、性质M152 反比例函数的的图象、性质M12G 二元一次方程组的应用M12F 解二元一次方程组．【分析】（1）根据题意，由反比例函数y=的单调区间进行判断；（2）此问不难，但需要分k＞0或k＜0两种情况讨论，根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组或，通过解该方程组即可求得系数k、b的值；（3）此问比较复杂，已知y=x2﹣x﹣=（x﹣2）2﹣，所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x ＞2时，y随x的增大而增大；根据新定义运算法则列出关于系数a、b的方程组或，通过解方程组即可求得a、b的值．【难度】较难题【解答】解：（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”．理由如下：反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，当x=1时，y=2013；当x=2013时，y=1，所以，当1≤x≤2013时，有1≤y≤2013，符合闭函数的定义，故反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”；（3分0（2）分两种情况：k＞0或k＜0．①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y=x；(5分)②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y=﹣x+m+n；（6分）（3）∵y=x2﹣x﹣=（x﹣2）2﹣，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；（7分）①当a≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知，，解得，（不合题意，舍去）或；②当a＜2＜b时，此时二次函数y=x2﹣x﹣的最小值是﹣=a，根据“闭函数”的定义知，b=a2﹣a﹣或b=b2﹣b﹣；a）当b=a2﹣a﹣时，由于b=（﹣）2﹣×（﹣）﹣=＜2，不合题意，舍去；b）当b=b2﹣b﹣时，解得b=，由于b＞2，所以b=；③当a≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，解得，，∵＜0，∴舍去．综上所述，或．（10分）【点评】本题重点考查了二次函数的图象、性质，反比例函数图象的性质以及一次函数图象的性质，同时也考查了二次函数的最值以及二元一次方程组的应用，综合性较强，难度较大，解题关键是读懂题意，弄清楚“闭函数”的定义，同时也要注意“分类讨论”数学思想的应用．26．（10分）（2013•长沙）如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．（1）求∠OAB的度数；（2）求证：△AOF∽△BEO；（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．【考点】M142 一次函数的的图象、性质M327 等腰三角形性质与判定M329 直角三角形性质与判定M32B 勾股定理M325 三角形的面积、周长M338 四边形的面积M34F 圆的相关计算M165 二次函数的最值M31C 平行线的判定及性质M333 矩形的性质与判定．【分析】（1）要求∠OAB的度数，首先得求OA与OB的长，当x=0或y=0时分别可以求出y的值和x的值就可以求出OA与OB的值，从而就可以得出结论；（2）已经求出∠OAB=45°，可知△AOB是等腰直角三角形，所以AB：OA=：1，根据平行线的性质可以得出，，就可以得出．再由∠OAF=∠EBO=45°就可以得出结论；（3）此问有一定难度，首先根据E、F的坐标表示出相应的线段，由勾股定理求出线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则可以表示此三角形的外接圆的面积S1，再由梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以表示出S2，就可以表示出和的解析式，再由如此函数的性质就可以求出最值．【难度】较难题【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+2，∴当x=0时，y=2，B（0，2），当y=0时，x=2，A（2，0）∴OA=OB=2．∵∠AOB=90°∴∠OAB=45°；（3分）（2）∵四边形OMPN是矩形，∴PM∥ON，NP∥OM，∴，，∴BE=OM，AF=ON，∴BE•AF=OM•ON=2OM•ON．∵矩形PMON的面积为2，∴OM•ON=2∴BE•AF=4．∵OA=OB=2，∴OA•OB=4，∴BE•AF=OA•OB，即．(4分)∵∠OAF=∠EBO=45°，∴△AOF∽△BEO；（6分）（3）∵四边形OMPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形．∵E点的横坐标为a，E（a，2﹣a），∴AM=EM=2﹣a，∴AE2=2（2﹣a）2=2a2﹣8a+8．∵F的纵坐标为b，F（2﹣b，b）∴BN=FN=2﹣b，∴BF2=2（2﹣b）2=2b2﹣8b+8．∴PF=PE=a+b﹣2，∴EF2=2（a+b﹣2）2=2a2+4ab+2b2﹣8a﹣8b+8．∵ab=2，∴EF2=2a2+2b2﹣8a﹣8b+16∴EF2=AE2+BF2．∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆的面积为S1=EF2=•2（a+b﹣2）2=（a+b﹣2）2．（8分）∵S=（PF+OM）•PM，S△PEF=PF•PE，S△OME=OM•EM，梯形OMPF∴S2=S梯形OMPF﹣S△PEF﹣S△OME，=（PF+OM）•PM﹣PF•PE﹣OM•EM，=[PF（PM﹣PE）+OM（PM﹣EM）]，=（PF•EM+OM•PE），=PE（EM+OM），=（a+b﹣2）（2﹣a+a），=a+b﹣2．∴S1+S2=（a+b﹣2）2+a+b﹣2．设m=a+b﹣2，则S1+S2=m2+m=（m+）2﹣，∵面积不可能为负数，∴当m＞﹣时，S1+S2随m的增大而增大．当m最小时，S1+S2最小．∵m=a+b﹣2=a+﹣2=（﹣）2+2﹣2，∴当=，即a=b=时，m最小，最小值为2﹣2∴S1+S2的最小值=（2﹣2）2+2﹣2，=2（3﹣2）π+2﹣2．（10分）【点评】本题考查了一次函数的的图象、性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的最值、平行线的判定及性质、矩形的性质与判定、梯形的面积公式的运用、三角形的面积公式、圆的面积公式等众多知识点，综合性较强，难度较大，需要考生有扎实的数学基础，能够综合运用所学知识进行解题，同时要注意数形结合思想的运用．。

湖南省长沙市2013年中考数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列实数是无理数的是（）A．﹣1 B．0C．D．2．小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（）A．617×105B．6.17×106C．6.17×107D．0.617×1083．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4C．6D．84．已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为3cm，两圆的圆心距O1O2为4cm，则两圆的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切5．下列计算正确的是（）A．a6÷a3=a3B．（a2）3=a8C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．a2+a2=a4A．192 B．188 C．186 D．1807．下列各图中，∠1大于∠2的是（）A．B．C．D．8．下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形9．在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（）A．B．C．D．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象中如图所示，则下列关系式错误的是（）A．a＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＞0二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分）11．计算：﹣=．12．分解因式：x2+2x+1=．13．已知∠A=67°，则∠A的余角等于度．14．方程的解为x=．15．如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC 的距离为cm．16．如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AB，AC的中点，则△ADE和△ABC的周长之比等于．17．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是．18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AE∥CD交BC于点E，若AD=2，BC=5，则边CD的长是．三、解答题本题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：．20．（6分）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了100天空气质量情况．（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形圆心角度数．（3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？22．（8分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2）除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？解：（1）设1号线，2号线每千米的平均造价分别是x亿元，y亿元，24．（9分）如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若二次函数y=x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．26．（10分）如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．（1）求∠OAB的度数；（2）求证：△AOF∽△BEO；（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．湖南省长沙市2013年中考数学试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列实数是无理数的是（D）A．﹣1 B．0C．D．2．小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（C）A．617×105B．6.17×106C．6.17×107D．0.617×1083．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（B）A．2 B．4C．6D．84．已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为3cm，两圆的圆心距O1O2为4cm，则两圆的位置关系是（B）A．外离B．外切C．相交D．内切5．下列计算正确的是（A）A．a6÷a3=a3B．（a2）3=a8C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．a2+a2=a4A．192 B．188 C．186 D．1807．下列各图中，∠1大于∠2的是（D）A．B．C．D．8．下列多边形中，内角和与外角和相等的是（A）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形9．在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（C）A．B．C．D．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象中如图所示，则下列关系式错误的是（D）A．a＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＞011．计算：﹣=．12．分解因式：x2+2x+1=（x+1）2．13．已知∠A=67°，则∠A的余角等于23度．14．方程的解为x=1．15．如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC 的距离为4cm．16．如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AB，AC的中点，则△ADE和△ABC的周长之比等于1：2．17．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是10．18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AE∥CD交BC于点E，若AD=2，BC=5，则边CD的长是3．三、解答题本题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：．解：原式=3+4﹣1=6．20．（6分）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．解：由①得，x≤1；由②得，x＞﹣2，故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示为：21．（8分）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了100天空气质量情况．（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形圆心角度数．（3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？解：（1）70÷70%=100（天），故答案是：100；（2）空气质量为“优”所在扇形圆心角度数是：360°×20%=72°；（3）班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是．22．（8分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∵∠DBC=∠BAC，∴∠DBC+∠ABD=90°，∴AB⊥BC，∵AB为直径，∴BC是⊙O切线；（2）解：连接OD，过O作OM⊥BD于M，∵∠BAC=30°，∴∠BOD=2∠A=60°，∵OB=OD，∴OB=BD=OD=2，∴BM=DM=1，由勾股定理得：OM=，∴阴影部分的面积S=S扇形DOB﹣S△DOB=﹣×2×=π﹣．五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2）除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？解：（1）设1号线，2号线每千米的平均造价分别是x亿元，y亿元，由题意得出：，解得：，答：1号线，2号线每千米的平均造价分别是6亿元和5.5亿元；（2）由（1）得出：91.8×6×1.2=660.96（亿元），答：还需投资660.96亿元．24．（9分）如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，∵M、N分别是AD，BC的中点，∴BN=DM，∵在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（SAS）；（2）解：∵M是AD的中点，∠AND=90°，∴MN=MD=AD，∴∠1=∠MND，∵AD∥BC，∴∠1=∠CND，∵∠1=∠2，∴∠MND=∠CND=∠2，∴PN=PC，∵CE⊥MN，∴∠CEN=90°，∴∠2=∠PNE=30°，∵PE=1，∴PN=2PE=2，∴CE=PC+PE=3，∴CN==2，∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，∴△CNM是等边三角形，∵△ABN≌△CDM，∴AN=CM=2．六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若二次函数y=x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．分析：（1）根据反比例函数y=的单调区间进行判断；（2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组或，通过解该方程组即可求得系数k、b的值；（3）y=x2﹣x﹣=（x﹣2）2﹣，所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；根据新定义运算法则列出关于系数a、b的方程组或，通过解方程组即可求得a、b的值．解答：解：（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”．理由如下：反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，当x=1时，y=2013；当x=2013时，y=1，所以，当1≤x≤2013时，有1≤y≤2013，符合闭函数的定义，故反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”；（2）分两种情况：k＞0或k＜0．①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y=x；②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y=﹣x+m+n；（3）∵y=x2﹣x﹣=（x﹣2）2﹣，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；①当b≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知，，解得，（不合题意，舍去）或；②当a＜2＜b时，此时二次函数y=x2﹣x﹣的最小值是﹣=a，根据“闭函数”的定义知，b=a2﹣a﹣、b=b2﹣b﹣；a）当b=a2﹣a﹣时，由于b=（﹣）2﹣×（﹣）﹣=＜2，不合题意，舍去；b）当b=b2﹣b﹣时，解得b=，由于b＞2，所以b=；③当a≥0时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，解得，，∵＜0，∴舍去．综上所述，或．26．（10分）如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．（1）求∠OAB的度数；（2）求证：△AOF∽△BEO；（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵直线y=﹣x+2，∴当x=0时，y=2，B（0，2），当y=0时，x=2，A（2，0）∴OA=OB=2．∵∠AOB=90°∴∠OAB=45°；（2）∵四边形OAPN是矩形，∴PM∥ON，NP∥OM，∴，，∴BE=OM，AF=ON，∴BE•AF=OM•ON=2OM•ON．∵矩形PMON的面积为2，∴OM•ON=2∴BE•AF=4．∵OA=OB=2，∴OA•OB=4，∴BE•AF=OA•OB，即．∵∠OAF=∠EBO=45°，∴△AOF∽△BEO；（3）∵四边形OAPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形．∵E点的横坐标为a，E（a，2﹣a），∴AM=EM=2﹣a，∴AE2=2（2﹣a）2=2a2﹣8a+8．∵F的纵坐标为b，F（2﹣b，b）∴BN=FN=2﹣b，∴BF2=2（2﹣b）2=2b2﹣8b+8．∴PF=PE=a+b﹣2，∴EF2=2（a+b﹣2）2=2a2+4ab+2b2﹣8a﹣8b+8．∵ab=2，∴EF2=2a2+2b2﹣8a﹣8b+16∴EF2=AE2+BF2．∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆的面积为S1=EF2=•2（a+b﹣2）2=（a+b﹣2）2．∵S梯形OMPF=（PF+ON）•PM，S△PEF=PF•PE，S△OME=OM•EM，∴S2=S梯形OMPF﹣S△PEF﹣S△OME，=（PF+ON）•PM﹣PF•PE﹣OM•EM，=[PF（PM﹣PE）+OM（PM﹣EM）]，=（PF•EM+OM•PE）=PE（EM+OM），=（a+b﹣2）（2﹣a+a）=a+b﹣2．∴S1+S2=（a+b﹣2）2+a+b﹣2．设m=a+b﹣2，则S1+S2=m2+m=（m+）2﹣，∵面积不可能为负数，∴当m＞﹣时，S1+S2随m的增大而增大．当m最小时，S1+S2最小．∵m=a+b﹣2=a+﹣2=（﹣）2+2﹣2，∴当=，即a=b=时，m最小，最小值为2﹣2∴S1+S2的最小值=（2﹣2）2+2﹣2，=2（3﹣2）π+2﹣2．。