西南名校2020届高三“3+3+3”高考诊断联考(三)理科数学试卷及答案解析2020.6

慎审题多思考多Just for you!2020屈“3+3+3”岛考备考诊断性联考卷(三)理科数学注意事项：I- #妁前.考生务必用黑色曦累笔将白己的昱幺、淮考证号、考场号、座位号朮答题卡上境写清定•2.每小題选出答案后.用2B铅笔把签盘卡上对总题目的答案标号涂黑，如需改动，用椽皮撩干净后，选涂其他篆案标号.准试題卷上作答无效.3.考试於束后.请将本试卷和冬期卡一并交回.満分150分，考试用时120分钟.一、选择題(本大题共12小題，每小题5分，共60分在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题口耍求@1.若孩数工满足(x-i)(l-i)=i,则在复平面上复数：所对应的点所在象限是A.笫一象限B.第一彖限C・第三象限I).第四象限2.已知集^A=\x\\o^x<\l .集合fi=|xlVxM^0, X6Z|(K中Z表示整数集)，则/1门心〃)=A. II, 2, 3|B. |-1, 1|C. 11, 2|D. |1|3.已知数列la. i既是等差数列乂退等比数列，由项a, = 1,则它的前2020项的和等于B. 2021a,+202lxlOlOdC. 2020D. 80%5. (H2x2)(l-x)5的展开式中工的系数等于C. 一D. —657・方程/R*lrl=2|¥j图形大致形状为慎审题多思考多 Just for you!C ・(DTO8- J衣小rm. g “农航平而.给出如下5个命弧 ①若a 〃/则o 〃0①若。

丄6.贝Ua 丄0；③a 与0不祈.和・1.1.1 ,.八—〜 P* /lt 则“丄〃利J 俺成龙：④扒“八f. all 9 bll.则a 丄/3：⑤a 丄仪aP 冋<«丄人则。

丄〃・兀中贞命题的个数见A. 01). 1a 211 3巳知能负实数“ •'満足：“2尸220. 3r-2>-2<0,则2x-3y 的取值范国左K 1-2. 4*1 r ,41-I 31十.-]G U 。

西南名校联盟“3＋3＋3” 2020届高考备考诊断性联考卷（一）数学（理）试题一、单选题1．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( ) A ．1150 B ．1380C ．1610D ．1860【答案】C【解析】根据样本中看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例等于总体看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例，即可计算出全校中看过该影片的人数. 【详解】依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有23000.7=1610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C ． 【点睛】本题考查根据样本的频率分布与总体的频率分布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布一致. 2．若复数z 满足2iz+＝i ，则|z |=( )A ．5B C ．D 【答案】D【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解，也可以运用复数模的运算性质，等式两侧直接求模． 【详解】方法1：由2ii z+=，得|2i||i|||||z z +==，方法2：由2i i z+=，可得2i1-2i z i +==，z ==D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组( ) A ．n =360，m =14 B ．n =420，m =15 C ．n =540，m =18 D ．n =660，m =19【答案】C【解析】个体有明显差异的几个部分组成时往往采用分层抽样，分层抽样中每个个体被抽到的可能性和个体在每个部分中被抽到的可能性相等，总人数等于各层抽取人数的和，列出等式即可进行求解． 【详解】某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=， 青年人为636060n n =， 2686060n n m m ++=⇒+=，代入选项计算，C 不符合，故选C ． 【点睛】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中，属于基础题． 4．()221(1)+-ax ax 的展开式中4x 项的系数为-8，则a 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．D ．-【答案】B【解析】利用二项展开式，得到4x 项，即可得到a 的值. 【详解】解：22(1)(1)ax ax +-的展开式中，4x 项为34a x ，382a a =-=-∴，， 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理，考查计算能力，属于基础题.5．已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若24836149a a a a a ++=+，则149=S S ( ) A ．149B ．73C ．32D ．2【答案】B【解析】先通过24836149a a a a a ++=+，设首项和公差分别为1a 和d ，代入即可找出二者之间的关系，再由()112n n n S na d -=+，计算可得149S S 的值. 【详解】设{}n a 的公差为d ，由24836149a a a a a ++=+，10a d =≠，1141419914()1415729()91032a a S d a a S d +⨯===+⨯，故选B ． 【点睛】本题考查等差数列的基本量以及前n 项和公式，关键是求出1a 和d 的值，考查了计算能力，是中档题.6．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1 B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－1【答案】C【解析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x -'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ．【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-.7．函数2cos2()1x xf x x =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的奇偶性排除C ，D ，再根据函数值的正负即可判断． 【详解】由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当π04x <<时，()0f x >，故选B ．【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝1，BC ＝2， ∠ABC =60°，PA ⊥平面ABCD ，AE ⊥PC 于E ，下列四个结论：①AB ⊥AC ；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ；④BE ⊥PC ．正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】在ABC ∆中，由余弦定理可求出90o BAC ∠=，再由P A ⊥平面ABCD ，可证出AB ⊥平面P AC ，再由AE ⊥PC 于E ，线面垂直的判定定理，可证明PC ⊥平面ABE ，根据线面垂直的判定,可证出BE ⊥PC ，因此可知正确命题的个数. 【详解】已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，，由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-⋅︒3=，所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确；由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理,考查了逻辑推理能力，属于中档题. 9．已知i 为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的z 为( )A ．－iB ．iC ．0D ．1+i【答案】C【解析】由程序框图，先确定n 的值，再判定其和20之间的关系，逐次运行，即可求出结果. 【详解】由程序框图得0z =，第一次运行011101011a z n =+==+==+=，，； 第二次运行0i i 1i 112b z n =+==+=+=，，；第三次运行，…， 故(1111)(i i i)z =-++-+-+-L L 0=，故选C ． 【点睛】本题考查的是算法与流程图，对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，分清是求和还是求项.10．双曲线E ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若△OAF 的面积是5O 为原点)，则双曲线E 的实轴长是( ) A ．4 B ．2C ．1D ．2【答案】D【解析】先由近线方程为2y x =,可求出,,a b c 之间的关系，再结合△OAF 的面积是5，找到等量关系，进而求出双曲线的实轴长． 【详解】因为双曲线E 的一条渐近线方程为2y x =，所以2b a =， c e a ===，由OAF △的面积是221422b c b b a⨯===得所以，，所以1a =，双曲线的实轴长为2，故选D ． 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．11．已知函数()xxg x e e -=-，()()f x xg x =,若53,,(3)22⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则a ,b ,c 的大小关系为（ ） A ．a <b <c B ．c <b <a C ．b <a <c D ．b <c <a【答案】C【解析】由题意可得()e exxg x -=-为奇函数，且在R 上单调递增，进而判断出()f x 为偶函数，且在(0)+∞，上递增，即可比较大小. 【详解】解：依题意，有()()g x g x -=-，则()e e xxg x -=-为奇函数，且在R 上单调递增，所以()f x 为偶函数． 当0x >时，有()(0)g x g >，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，由不等式的性质可得()()11220x g x x g x >>， 即()()120f x f x >>，所以，函数()f x 在(0)+∞，上递增， 因此，355(3)222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：C ． 【点睛】本题考查函数值大小的比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理与转化能力，属于中档题.12．已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 和b 都是变数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】首先设出11()E x y ，，22()F x y ，，进而可得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，再将直线和圆联立方程组，运用韦达定理即可进行判断. 【详解】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=， 由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀) 【点睛】本题考查了三角函数的定义和韦达定理，运算求解是关键，考查了转化和化归思想，属于中档题.二、填空题13．已知|a r |=1，|b r |=8，·()3a b a ⋅-=r r r，则向量a r 与b r 向量的夹角是________.【答案】π3【解析】由()3a b a ⋅-=r r r，运算可求得4a b ⋅=r r ，再由平面向量的数量积即可求出向量a r 与b r 向量的夹角. 【详解】由()3a b a ⋅-=r r r ，得3a b a a ⋅-⋅=r r r r ，即4a b ⋅=r r ，故1cos 2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅r rr r r r ，，则向量a r 与b r 的夹角为π3．【点睛】本题考查平面向量的数量积，由公式cos ||||a ba b a b ⋅〈〉=⋅r rr r r r ，即可求出夹角,属于基础题. 14．数列{n a }的前n 项和2n S An Bn =+(A ≠0)，若1=1a ，125,,a a a 成等比数列，则3=a ________.【答案】5【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由125,,a a a 成等比数列，求得0d =或2d =，进而求得3a . 【详解】由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1114d d ++，，成等比数列，故2(1)14d d +=+，即220d d -=，解得0d =或2d =，若01n n d a S n ===，，，与0A ≠矛盾，故32125d a d ==+=，． 【点睛】本题主要考查了等比数列和等差数列的前n 项和公式的应用，其中根据等差数列的前n 项和公式求出通项，再由等比数列列出方程，求解公差是解题的关键，着重考查了推理与运算能力. 15．如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为____.【答案】823【解析】上下是两个相同的正四棱锥，由棱长由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可求解. 【详解】由边长为22213-312-=222822⨯⨯ 【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考察了运算求解能力，属于基础题.16．已知点F 1，F 2，是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的左、右焦点，以F 1为圆心，F 1F 2为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P ．若椭圆C 的离心率为23，1215PF F S =△则椭圆C 的方程为________. 【答案】22195x y +=【解析】首先由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，再求得21sin PF F ∠，结合三角形12PF F 的面积，即可求得椭圆的方程. 【详解】依题意，112||||2PF F F c ==，由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，所以21cos PF F ∠=212||2||PF F F=1111224a c c e -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而2115sin PF F ∠=，因为离心率23c a =，所以12PF F S =△12g 212||||PF F F ⋅21sin PF F ∠=21515()c a c c -=，又1215PF F S =△，解得24c =，所以2295a b ==，故椭圆C 的方程为22195x y +=．【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，合理转化和求解是解题的关键，属于中档题.三、解答题17．根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约1．5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在175cm 至185cm 之间；女性身高普遍在163cm 至175cm 之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184cm 至190cm 之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C 为事件：“某一阅兵女子身高不低于169cm ”，根据直方图得到P (C )的估计值为0．5．(1)求直方图中a ，b 的值；(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) 【答案】(1)a=0.125 0.075b = (2)169.12cm【解析】（1）根据频率分布直方图可得频率，结合P (C )的估计值为0.5从而可计算,a b . （2）利用组中值可计算这个阵营女子身高的平均值. 【详解】解：（1）由已知得(0.110.065)20.5b ++⨯=， 故0.075b =法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)a =-⨯++++， 0.125a =∴．法二：1()10.50.5P C -=-=，2(0.050.075)0.50.125a a ⨯++==∴，∴． （2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++ 2 3.567.12=⨯=，估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=(cm )． 【点睛】本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题.18．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，bcosC +(c -2a )cosB ＝0． (1)求角B ；(2)若a ＝1，求b +c 的取值范围．【答案】(1) π3B =．(2) 2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】（1）先根据正弦定理可求得1cos 2B =，再由特殊角的三角函数求得B ； （2）根据正弦定理求b ＋c 的表达式，再由23B A π=-,结合A 的范围即得b ＋c 的取值范围． 【详解】解：（1）cos (2)cos 0b C c a B +-=∵，cos cos 2cos b C c B a B ∴+=，由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=， sin()sin(π)sin 0B C A A +=-=≠，12cos 1cos 2B B ==∴， 又B 是ABC V 的内角，π3B ∴=． （2）ABC QV 为锐角三角形，π13B a ==，，2πππ362A C A +=<<∴，，由正弦定理得1sin sin sin b cA B C==， 2πsin πsinsin sin 33sin sin sin sin A B C b c A A A A⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+∴ 31cos sin 333cos 13(1cos )122sin sin 22A AA A A A ++=+=+⨯+=+， ππ62A b c <<+∵，∴关于A 为减函数 ππ31cos 31cos 1126ππ222sin 2sin 26b c ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+∴， 3132b c +<+<+∴，即b c +的取值范围是3132⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查正弦定理，考查了三角函数的单调性，求出A 的范围是解题的关键，考查了运算求解能力，属于中档题.19．如图，在三棱锥P -ABC 中，已知22====，AC AB BC PA ，顶点P 在平面ABC 上的射影为ABC V 的外接圆圆心.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱PA 上，||||=λAM AP ，且二面角P -BC -M 的余弦值为533，试求λ的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）12λ=【解析】（1）设AC 的中点为O ，连接PO ，易知点O 为ABC V 的外接圆圆心，从而PO ⊥平面ABC ，即可证明平面PAC ⊥平面ABC ；（2）以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面MBC 与平面PBC 的法向量，代入公式即可建立λ的方程，解之即可. 【详解】（1）证明：如图，设AC 的中点为O ，连接PO ，由题意，得222BC AB AC +=，则ABC V 为直角三角形， 点O 为ABC V 的外接圆圆心．又点P 在平面ABC 上的射影为ABC V 的外接圆圆心， 所以PO ⊥平面ABC ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ． （2）解：由（1）可知PO ⊥平面ABC ， 所以PO OB ⊥，PO OC ⊥，OB AC ⊥，于是以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)O ，，，(100)C ，，，(010)B ，，，(100)A -，，，(001)P ，，， 设[01](101)(10)AM AP AP M λλλλ=∈=-u u u u v u u u v u u u v ，，，，，，，，， (110)BC =-u u u v ，，，(101)PC =-u u u v ，，，(20).MC λλ=--u u u u v ，，设平面MBC 的法向量为111()m x y z =u r，，，则·0·0m BC m MC ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u u v v ，，得11110(2)0x y x z λλ-=⎧⎨--=⎩，， 令11x =，得11y =，12z λλ-=，即211m λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭v，，． 设平面PBC 的法向量为222()n x y z =r，，，由·0·0n BC n PC ⎧=⎨=⎩u u u v r u u u v r ，，得222200x y x z -=⎧⎨-=⎩，， 令1x =，得1y =，1z =，即(111)n =r，，，22·cos ||?||33n m n m n m λ-+〈〉===r vr vr v ， 解得1110222⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，，λM 即M 为P A 的中点． 【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 20．已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R ． (1)当k =－1时，求函数()f x 的单调区间；(2)当k ∈[1，2]时，求函数()f x 在[0，k ]上的最大值．【答案】(1) ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞， (2)2max ()(1)e k f x k k k =-- 【解析】(1) 首先求出()'f x ，再由()'0f x >求得单调递增区间，由()'0f x <，解不等式即可求出单调减区间；(2) 首先求得()0f x '=，结合k 的范围，可求得函数在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，再比较(0)()f f k ，的大小，即可求得最大值. 【详解】解：（1）21()(1)e x k f x x x =-=---，， 令()e 2(e 2)00x x f x x x x x '=--=-+=⇒=， 故(0)()0(0)()0x f x x f x ''∈-∞>∈+∞<，，；，，， ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，（2）()e 2(e 2)x x f x kx x x k '=-=-，令2()0ln [0ln 2]f x x k'=⇒=∈，，其中[12]k ∈，． 令2()ln [12]g k k k k=-∈，，， 211()21102k g k k k⎛⎫'=⨯--=--< ⎪⎝⎭，故()g k 在[12]，上单调递减， 故2()(1)ln 210lng k g k k=-<⇒<≤， 故220ln ()0ln ()0x f x x k f x k k ⎛⎫⎛⎫∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，，；，，， 从而()f x 在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 故在[0]k ，上，函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， 由于2()(0)(1)e [(1)e 1]kkf k f k k k k k k k -=--+=--+， 令()(1)e 1[12]k h k k k k =--+∈，，， ()e 10k h k k '=->，对于[12]k ∀∈，恒成立， 从而()(1)0h k h =≥，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立， 故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--． 【点睛】本题考查函数的单调性和函数的最值，(1)一般来说，判断函数的单调区间，就要考察函数的导函数在此区间上的符号，若函数中含有参数，这就可能引起分类讨论；(2)求函数在某区间上的最值，一般仍是先考察函数在此区间上的单调性，再求其最值，本题中的参数是引起分类讨论的原因，难度较大，分类时要层次清晰.21．已知抛物线E ：2y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 的斜率为k ，与抛物线E 交于A ，B 两点，抛物线在点A ，B 处的切线分别为1l ，2l ，两条切线的交点为D . （1）证明：90ADB ∠=︒；（2）若ABD ∆的外接圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2) k >k <【解析】（1）写出两直线1l ，2l 斜率，利用直线l 与抛物线方程联立后根与系数的关系可得121k k =-，即可证明（2）根据（1）得到圆的方程，与抛物线联立消元得关于x 的四次方程，分解因式得两个二次方程，只需判别式同时大于0即可求解. 【详解】（1）证明：依题意有10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l ：14y kx =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214y x y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去y ，化简得2104x kx --=，所以，12x x k +=，1214x x =-． 又因为2y x '=，所以直线1l 的斜率112k x =. 同理，直线2l 的斜率222=k x ， 所以，121241==-k k x x ，所以，直线12l l ⊥，即90ADB ∠=︒． （2）由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆，设(),P x y 是圆Γ上的一点，则0PA PB ⋅=u u u r u u u r，所以，圆Γ的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=， 又因为12x x k +=，1214x x =-，21212111442kx kx k y y =+++=+，221212116==y y x x ， 所以，圆Γ的方程可化简为222130216⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭x y kx k y ， 联立圆Γ与抛物线E 得2222130216x y kx k y y x ⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩， 消去y ，得422130216⎛⎫----= ⎪⎝⎭x k x kx ， 即22211042x kx ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2213044⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x kx x kx ，若方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=有相同的实数根0x ， 则20020020010114032404x kx kx x x kx ⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩矛盾， 所以，方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=没有相同的实数根， 所以，圆Γ与抛物线E有四个不同的交点等价于221030k k k k ⎧+>⇔><⎨->⎩综上所述，k >k <【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，圆的方程，圆与抛物线相交，属于中档题.22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6sinθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系．直线l 的参数方程是cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|ABk ．【答案】(1) 22(3)9x y +-=． (2) 1k =±．【解析】（1）运用x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，即可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）方法1:化直线的参数方程为普通方程，再由条件，即可得到直线方程，再求出圆心到直线的距离，结合|AB2:直接把直线的参数方程代入圆，运用韦达定理，计算12t t -，结合|AB【详解】解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=，得直角坐标方程为226x y y +=，即22(3)9x y +-=．（2）把直线l 的参数方程cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），代入圆C 的方程得22(cos )(sin 1)9t t θθ+-=， 化简得22sin 80t t θ--=．设A B ，两点对应的参数分别是12t t ，，则122sin t t θ+=，128t t =-故12||||AB t t =-=得sin θ=， 得1k =±． 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，运用点到直线的距离公式，结合弦长运用勾股定理即可求得斜率，考查运算能力，属于中档题． 23．已知a ，b ，c ∈R +，且a +b +c ＝2． 求证：(1)1346a b c++≥+； (2)2222c a b a b c++≥．【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析【解析】（1）运用柯西不等式，求1134()2a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值，即可证明；（2）运用柯西不等式，计算2221()2c a b a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，即可证明. 【详解】证明：（1）由柯西不等式，得213411341()622a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++=+ ⎪⎝⎭≥所以1346a b c++≥+． （2）由柯西不等式，得222222211()()222c a b c a b a b c c a b ab c a b c ⎛⎫⎛⎫++=++++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 所以2222c a b a b c++≥．【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，考查了推理论证能力.。

12020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（二）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．结合图象易知2y x =与y x =有两个交点，所以A B 的元素个数为2，故选B ．2．设i z a b =+，由题意知，cos30a =︒=1sin302b =︒=，所以1i 2z =，故选A ． 3．湖北最新确诊人数有增有减，A 错误；全国最新确诊人数呈先增加后减少的趋势，B 错误；2月4号全国新增确诊人数达到最多，并非患病人数最多，C 错误；非湖北地区1月20日至2月10日这几天内新增确诊人数相较于湖北地区新增确诊人数的波动性较小，变化比较平稳，方差更小，D 正确，故选D ．4．圆22220x y x y m +--+=化为标准方程为22(1)(1)2x y m -+-=-(2)m <，由题意(11)，到C ．5．双曲线x c =，得2b y a =±，所以22||b AB a=，由题意222b c a =，化简得22c a ac -=，所以210e e --=，解得1e，2e =（舍去），所以e =，故选B ．6．1πcos ()ln πcos x f x x x +⎛= -⎝除C ，D ；当π02x ⎛∈ ⎝，A ．27．令t x ω=+D ． 8．因为()-⊥a b 2=a b b ，2cos ||||||=ab b a b a b 又因为222282[(2)2]2]4t t -+=-++=≥，所以10cos 2<〈〉，≤a b ，所C ． 9．()ln(e e )xxf x -=+，x ∈R ，则()ln(e e )()xxf x f x --=+=，并且e e ()e e x xx xf x ---'=+，则[0)x ∈+∞，时，()0f x '≥，当且仅当0x =时，“=”成立，所以()f x 为在[0)x ∈+∞，上单增，在(0]x ∈-∞，上单减的偶函数，ππ2200111sin d (cos )|222a x x x ==-=⎰，1.111110222b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221log log 32c ==-，2211()log 3log 322f c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()()f c f a f b >>，故选C ．10．由程序框图可知1n =时，2πS r =，r =；2n =时，223ππ4S r r =+，234r r r ==⎝⎭；3n =时，222233πππ44S r r r ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，34r =；4n =时，222233πππ44S r r r ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭3323π4r ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由以上规律可知2020n =时，232222333ππππ444S r r r r ⎛⎫⎛⎫=+++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭201922019202022233333ππ14π144444r r r ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故选B ． 11．如图1所示，线段GP 在平面ABCD 上的投影随着点P 的变化而变化，故①错；11||33C BPG P BCG BCG BCG V V S h S AB --===△△为定值，②正确；因为E ，F ，G 分别为棱AA '，AD ，CC '的中点，所以EF A D '∥，EG A C ''∥，EG EF E =，所以平面EFG A DC ''∥平面，所以GP ∥平面A DC ''，③正确；因为BD '不垂直于DC ，所以一定不存在点P ，使得BD '⊥平面PDC ，④错误，故选B ．12．2()ln f x x a x a '=--，设2()ln g x x a x a =--，22()20a x ag x x x x-'=-=>，所以()f x '在[12]，上为增函数，不妨设12x x >，则1212|()()|||f x f x a x x ''->-等价于12()()f x f x ''->12()a x x -，即1122()()f x ax f x ax ''->-，设2()()ln h x f x ax x a x ax a '=-=---，则证明12()()h x h x >，即证明()20ah x x a x '=--≥在[12]，上恒成立，化简得221x a x +≤，[12]x ∈，，设1x t +=，则22(21)122t t a t t t -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭≤，[23]t ∈，，因为1()22m t t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在[23]，上单调递增，所以min 1()22212m t ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以min ()1a m t =≤，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16 答案 24124 47(043]，图1413．412x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为4442144C (2)(1)C (2)(1)r r r r r rr r r T x x x ----+=-=-，令2r =，得2234C 224T ==，所以展开式的常数项为24．14．因为(1)4f -=，所以1m -≥时，(1)2f -=，不满足题意，1m >-时，(1)4f m -==，满足题意，所以4m =，又因为23log 34+>，所以223log 33log 32111(3log 3)222f +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⨯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1118324=⨯=． 15．设11()A x y ，，22()B x y ，，联立方程2202y x y px -+=⎧⎨=⎩，，得2240y py p --=，显然0∆>，由韦达定理得122y y p +=，124y y p =-，所以12|||AB y y =-=，M y p =，则2M x p =+，2N p x =，则||||22M N pMN x x =-=+，又因为M 为AB 的中点，且π2ANB ∠=，所以||2||AB MN =，4p +，解得47p =． 16．由sin (2cos )=sin 1+cos CA A C-，化简得2sin sin sin C A B =+，所以2c a b =+．法一：4c =，8a b =-，且满足844848b b b b b b -+>⎧⎪+>-⎨⎪+->⎩，，，解得26b <<，由余弦定理得cos A =222262b c a b bc b +--=，又因为1sin 2ABC S bc A =△，所以2222221sin 4(1cos )4ABCS b c A b A ==-△ 212(812)(26)b b b =-+-<<，所以2(048]ABCS ∈△，，则(0ABC S ∈△， 法二：因为4c =，8a b +=，所以顶点C 的轨迹为以A 和B 为焦点的椭圆，由图形可知当4a b ==，即ABC △为等边三角形时面积最大，此时ABC S =△，又因为ABC S △可以趋近0，所以(0ABC S ∈△，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）517．（本小题满分12分）解：（1）{}n a 为等差数列，因为410S =，55a =， 所以14610a d +=，145a d +=，解得11a =，1d =，所以n a n =．………………………………………………………………………………（3分）因为4(41)3n n T =-，所以当2n ≥时，1144(41)(41)433n n n n n n b T T --=-=---=；……………………………………………………………………（5分）当1n =时，114b T ==，综上，4n n b =，n *∈N ．…………………………………………………………………（6分） （2）2111log 42(1)1n n c n n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，…………………………………………（8分）所以12n n C c c c =+++=2(123)n ++++11111112231n n ⎛⎫+-+-++- ⎪+⎝⎭1(1)11n n n ⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭(1)1n n n n =+++，所以(1)1n nC n n n =+++，………………………………………………………………（10分） 因为(1)1001n n C n n n =++<+，当1n ≥时，1(1)11n C n n n =++-+为关于n 的递增数列， 8999010010C C <=+<，101011010011C =+>， 所以n 的最大值为9．…………………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）6解：（1）应选择模型①，因为模型①每组数据对应的残差绝对值都比模型②的小，残差波动小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高．（言之有理即可）………………………………………………………………………………………（4分） （2）由（1）知，需剔除第一组数据，得到下表x6 7 8 9 10 y3.55.27.08.610.7则上表的数据中，7.56585x ⨯-==， 5.960.475y ⨯-==，5280x y =，25320x =， 51299.850.4297.8i ii x y==-⨯=∑，52135525330i i x ==-=∑，所以5152215297.82803303205i ii ii x yx yb xx ==--===--∑∑17.81.7810=，………………………………………………………………………………………（10分） ˆ7 1.7887.24ay bx =-=-⨯=-，得模型①的回归方程为 1.787.24y x =-， 则11x =时， 1.78117.2412.34mm y =⨯-=，故光照时间为11h 时，该植物的平均增长高度为12.34mm ．………………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图2，连接DM ，因为2AB BC ==90ABC ADC ∠=∠=︒，M 为AC 的中点，所以BM AC ⊥，………………………………………（1分） 2AC =，1DM BM ==， 又因为2DB 222DM BM DB +=，所以BM DM ⊥，……………………………………………………（3分） DMAC M =，所以BM ⊥平面ADC ，而DC ⊂平面ADC ，所以BM DC ⊥．图27………………………………………………………………………………………（4分） （2）解：取MC 的中点为O ，BC 的中点为E ，连接DO ，OE ，则BM OE ∥， 因为60DCA ∠=︒，所以1DC MC DM ===， 又因为O 为MC 的中点，所以DO AC ⊥， 由（1）知BM ⊥平面ADC ，DO ⊂平面ADC ， 所以BM DO ⊥， 又BMAC M =，所以DO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OA ，OE ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示坐标系，………………………………………………………………………………………（6分） 由题意知3002A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1102B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，00D ⎛ ⎝⎭，，1002C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，则112BD ⎛=-- ⎝⎭，，(110)BA =-，，，102DC ⎛=-- ⎝⎭，，，设平面DAB 的向量为()n x y z =，，，则1020n BD x y n BA x y ⎧=--+=⎪⎨⎪=-=⎩，，令1x =，得(11n =，，为平面DAB 的一个法向量， ………………………………………………………………………………………（8分） 假设线段DC 上存在点Q ，使得直线BQ 与平面ADB ， 设[01]DQ DCλλ=∈，，，则BQ BD DQ BD DC λ=+=+， 所以1(1)1)2BQ λλ⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭，，82|cos |||||5n BQ n BQ n BQ λλ=〈〉==-+，化简得21520λλ+-=，解得113λ=，225λ=-（舍去），所以存在这样的点Q ，……………………………………………………………………………………（11分）此时1133DQ DC ==．…………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）解：由0012x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，得到002x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，又因为00()P x y ，在圆224x y +=上，所以2204x y +=①，把0x =，02y y =带入①，得2212x y +=，所以曲线C 的标准方程为2212x y +=．…………………………………………………（4分）（2）证明：设直线AB 的方程为1x my =+，11()A x y ，，22()B x y ，12(x x ≠，， 联立直线和椭圆方程22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，化简得22(2)210m y my ++-=，易知0∆>，由韦达定理12222m y y m -+=+，12212y y m -=+，…………………………………………（6分）由题意：直线NA l y x =：，所以2D ⎛⎫⎝， 所以D F k =，所以FE k =9所以1)FE l y x =-：，令2x =，得2E ⎛ ⎝，， ………………………………………………………………………………………（8分）因为(0)N ，(10)F ，，所以22()NB x y =+，2NE ⎛⎫=+- ⎝，因为222(2((2y x y ⎡+--=++⎢⎢⎣====0==，所以NB 与NE 共线，所以N ，B ，E 三点共线．……………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）当0k =时，2()2cos f x x x =-，()22sin 2(sin )f x x x x x '=+=+，………………………………………………………………………………………（1分） 设()sin g x x x =+，()1cos 0g x x '=+≥，且()0g x '=在任意子区间上不恒成立， 所以()g x 在R 上单增，又因为(0)0g =，所以(0)x ∈+∞，时，()0g x >，即()0f x '>；10(0)x ∈-∞，时，()0g x <，即()0f x '<，………………………………………………（3分） 所以()f x 的单调减区间为(0)-∞，，单调增区间为(0)+∞，．………………………………………………………………………………………（4分） （2）因为()f x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为单调递增函数，()22sin (cos sin sin )f x x x k x x x x '=+-+-22sin cos x x kx x =+-在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的任意子区间内不恒为0，所以()0f x '≥在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，令()22sin cos h x x x kx x =+-，π0.2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，……………………………………………（5分）①当0k ≤时，()22sin cos 0h x x x kx x =+-≥显然成立，满足题意；………………………………………………………………………………………（6分） ②当0k >时，()22cos (cos sin )2(2)cos sin h x x k x x x k x kx x '=+--=+-+， （ⅰ）当04k <≤时，()2(2)cos sin 22cos sin 0h x k x kx x x kx x '=+-+-+>≥， 所以()h x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单增，所以()(0)0h x h =≥，满足题意；………………………………………………………………………………………（8分） （ⅱ）当4k >时，()2(2)cos sin h x k x kx x '=+-+，()(22)sin cos 0h x k x kx x ''=-+≥， 所以()h x '在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单增，因为(0)40h k '=-<，π2π >022k h ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，11 所以0π02x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，使得0()0h x '=， 又因为()h x '在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单增，所以0(0)x x ∈，时，()0h x '<，0π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '>， 所以0x 为()h x 在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上唯一的极小值点，所以0()()h x h x ≥， 又因为(0)0h =，所以0()(0)0h x h <=，所以0(0)x x ∈，时，()0h x <，不满足题意．………………………………………………………………………………………（11分） 综上所述，4k ≤．……………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）联立22cos 0ρρθ-=和π6θ=，得到10ρ=（舍去），2ρ= 所以π6M ⎫⎪⎭，，则π2N ⎫⎪⎭，．………………………………………………………（4分） （2）由（1）知，OMN △则外接圆的直径2R ，得1R =， 将π6M ⎫⎪⎭，，π2N ⎫⎪⎭，化为直角坐标为32M ⎛ ⎝⎭，(0N ，所以内接圆的圆心坐标为12C ⎛ ⎝⎭，所以圆C的标准方程为22112x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，化为普通方程为220x y x +-=，12 所以圆C的极坐标方程为2cos sin 0ρρθθ-=，化简得π2sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ………………………………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：因为0m >，所以22()|2||2|42222m m x m m f x x m x m x x m m x ⎧-⎪⎪⎪=--+=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，，，≥，所以max ()24f x m ==，所以2m =．……………………………………………………（5分）（2）证明：由（1）知，2abc =，且a ，b ，c 为正实数，故有333()()()3()()()a b a c b c a b a c b c +++++=+++≥348⨯⨯⨯=≥， 所以333()()()48a b a c b c +++++≥．…………………………………………………（10分）。

2020年西南名校联盟“3＋3＋3”高考数学诊断试卷2（三）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在复平面内，复数z 的对应点为(1,1)，则z 2=( )A. √2B. 2iC. −√2D. 2+2i2. 设集合A ={x|1<x <4}，B ={x|−1≤x ≤3}，则A ∩(∁R B)等于( )A. {x|1<x <4}B. {x|3<x <4}C. {x|1<x <3}D. {x|1<x <2}∪{x|3<x <4}3. 已知等比数列{a n }的公比q =2，且2a 4，a 6，48成等差数列，则{a n }的前8项和为( )A. 127B. 255C. 511D. 10234. 已知x ，y ∈[0,2]，则事件“x +y ≤1”发生的概率为( )A. 116B. 18C. 1516D. 78 5. (1+2x)3(2−y)4的展开式中x 2y 3的系数是( )A. −96B. 64C. −32D. 16 6. 函数f(x)=ln(2x+3)−2x 2x 的图象在点(−1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A. 23B. 43C. 12D. 16 7. 方程x 2+(x 2+y 2−1)2=0表示的图形是( )A. y 轴和圆B. x 轴和圆C. 两点(0,1)，(0,−1)D. y 轴和直线y =±18. 关于直线a ，b ，c 以及平面α，β，给出下列命题：①若a//α，b//α，则a//b②若a//α，b ⊥α，则a ⊥b③若a ⊂α，b ⊂α，且c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥α④若a ⊥α，a//β，则α⊥β其中正确的命题是( )A. ①②B. ②③C. ②④D. ①④9. 已知实数x ，y 满足{x +y −2≤0,x −2y −2≤0,2x −y +2≥0,则z =x +2y 的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5 10. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与抛物线y 2=4x 有公共焦点F ，P 是它们的公共点，设Q(0,1)，若QP ⊥QF ，则C 的离心率e =( )A. √2+1B. √52C. √2D. √2−1 11. 已知函数f(x)=x(2x −12x )，若f(x −1)>f(x)，则x 的取值范围是( )A. (−∞,12)B. (−∞,−12)C. (12,+∞)D. (−12,+∞)12. 已知函数f(x)=2sin 2x −1，以下四个有关函数f(x)的结论：(1)单调递增区间为[kπ,π2+kπ]，k ∈z ；(2)最大值为2；(3)满足f(−x)=f(x)；(4)满足f(x)=−f(−x)；其中正确的个数( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，D 为BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n = ______ ．14. 在等差数列{a n }中，若a 1=1，前5项的和S 5=25，则a 2013=______．15. 已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线上，点M 的坐标为(23,0)，且M 到直线AF 1，AF 2的距离相等，则△AF 1F 2的周长为________．16. 圆锥的母线长为2，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的表面积为______，若该圆锥内有一个内接圆柱(圆柱的底面在圆锥的底面上)，则圆柱体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表：(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，当价格x =40元/kg 时，日需求量y 的预测值为多少？参考公式：线性回归方程y =b ^x +a ^，其中b ∧=∑x i n i=1y i −nx·y ∑x i 2n i=1−nx 2=ni=1i −x)(y i −y)∑(x −x)2n ，a ^=y −b ^x ．18.在△ABC中，a=7，b=8，cosB=−1．7(Ⅰ)求∠A；(Ⅱ)求△ABC的面积．19.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点．(1)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值；(2)求二面角A1−EC−A的余弦值．20.已知函数f(x)=ax2−(x−1)e x(a∈R)．(1)当a=12时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．21.已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的离心率e=√32，且经过点(√3,12)，A，B，C，D为椭圆的四个顶点(如图)，直线l过右顶点A且垂直于x轴．(1)求该椭圆的标准方程；(2)P为l上一点(x轴上方)，直线PC，PD分别交椭圆于E，F两点，若S△PCD=2S△PEF，求点P 的坐标．22.已知圆C的参数方程为为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，求直线l与圆C的交点的直角坐标．23.已知函数f(x)=|4x+1|−|4x−a|．(1)若a=2，解关于x的不等式f(x)+x<0；(2)若∃x∈R，使f(x)≤−5，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查复数的几何意义及乘法运算.根据复数的几何意义得到z=1+i，即可根据乘法运算求解.属于基础题．【解答】解：复数z的对应点为(1,1)，则z=1+i，∴z2=(1+i)2=1+2i−1=2i．故选B．2.答案：B解析：解：∁R B={x|x<−1，或x>3}；∴A∩(∁R B)={x|3<x<4}．故选：B．进行补集、交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集和补集的运算．3.答案：B解析：解：∵2a4、a6、48成等差数列，∴2a6=2a4+48，∴2a1q5=2a1q3+48，又等比数列{a n}的公比q=2，∴2a125=2a123+48，解得a1=1，∴{a n}的前8项和为S8=a1(1−q n)1−q =1×(1−28)1−2=255．故选B．根据且2a4、a6、48成等差数列，列出方程2a6=2a4+48，求出首项a1，再根据等比数列的求和公式，即可得答案．本题主要考查等差数列的定义和性质、等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式．属于基础题．4.答案：B解析：解：由题意x，y∈[0,2]，在平面直角坐标系中做出对应的区域，及事件“x+y≤1”对应的区域，如下图所示：所以事件“x+y≤1”发生的概率为12×1×12×2=18；故选：B．在[0,2]上随机取两个实数x，y，列出x和y满足的关系式，在平面直角坐标系中做出对应的区域，利用面积之比求解即可．本题考查几何概型知识、二元一次不等式表示的平面区域等，属基本运算的考查．5.答案：A解析：【分析】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，是基础题．分别求出(1+2x)3中含x2的项与(2−y)4的含y3的项，作积得答案．【解答】解：∵(1+2x)3(2−y)4的展开式中含x2y3的项为C32⋅(2x)2⋅C43⋅2⋅(−y)3=−96x2y3．∴(1+2x)3(2−y)4的展开式中x2y3的系数是−96．故选A．6.答案：C解析：解：∵f(x)=ln(2x+3)−2x2x，∴f′(x)=(22x+3−4x)⋅x−(ln(2x+3)−2x2)x2．则f′(−1)=−4，即函数f(x)的图象在点(−1,2)处的切线的斜率为−4．∴切线方程为：y−2=−4(x+1)，即4x+y+2=0．当x=0时，y=−2，当y=0时，x=−12．∴切线与坐标轴围成的三角形的面积等于12×2×12=12．故选：C．求出原函数的导函数，得到函数在x=−1时的导数，即切线的斜率，由直线方程的点斜式得切线方程，求出直线在两坐标轴上的截距，从而求得切线与坐标轴围成的三角形的面积．本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，关键是掌握简单的复合函数的求导法则，考查直线的点斜式方程和三角形面积的求法，是中档题．7.答案：C解析：【分析】本题考查曲线与方程，属于基础题，对已知式子进行分析可得x=0且x2+y2−1=0，即可得到答案．【解答】解：由x2+(x2+y2−1)2=0，得x=0且x2+y2−1=0，∴x=0且y=±1，故方程表示两点(0,−1)，(0,1)．故选C．8.答案：C解析：解：对于①，若a//α，b//α，则a与b位置关系有相交、异面、平行，故错；对于②，设β为过a的平面，且α∩β=l.∵a//α，∴a//l.∵直线b⊥平面α，l⊂α，∴b⊥l，∴b⊥a.故a⊥b.故正确；对于③，若a⊂α，b⊂α，a//b，c⊥a，c⊥b时，由于a、b不一定相交，故c⊥α不一定成立，故③错误；对于④，∵直线a//平面α，∴平面α中必存在一条直线b与直线a平行，∵直线a⊥平面β，∴直线b⊥平面β，∴α⊥β.故正确；故选：C①，若a//α，b//α，则a与b位置关系有相交、异面、平行②，设β为过a的平面，且α∩β=l.由a//α，得a//l.由b⊥l，得b⊥a．③，根据线面垂直的判定定理，可判断；④，由直线a//平面α，各平面α中必存在一条直线b与直线a平行，由此根据直线a⊥平面β，利用平面与平面垂直的判定定理得α⊥β．本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线和平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理和几何特征是解答的关键．9.答案：C解析：解：作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由目标函数z=x+2y的几何意义，平移直线x+2y=0至点(0,2)时，z=x+2y取得最大值，所以z max=4．故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键10.答案：A解析：解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与抛物线y2=4x有公共焦点F，F(1,0)，Q(0,1)，QP⊥QF，所以k QP=1，直线QP：y=x+1，代入y2=4x得到P(1,2)，所以PF⊥x轴，|PF|=2．|PF′|=2√2，a=|PF′|−|PF|2=√2−1.c=1，∴e=ca =1√2−1=√2+1．故选：A．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用直线的垂直关系，求出P的坐标，利用双曲线的定义，求出a，然后求解离心率．本题考查双曲线与抛物线的位置关系的应用，双曲线以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．11.答案：A解析：解：x>0时，f(x)在(0,+∞)递增，而f(−x)=f(x)，f(x)是偶函数，故f(x)在(−∞,0)递减，若f(x−1)>f(x)，则|x−1|>|x|，即(x−1)2>x2，，解得：x<12故选：A．根据函数的单调性得到关于x的不等式，解不等式即可．本题考查了函数的单调性问题，考查转化思想，是一道中档题．12.答案：B解析：解：函数f(x)=2sin2x−1=−cos2x，对于(1)，由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，可得kπ≤x≤kπ+π，k∈Z，2+kπ]，k∈Z，故(1)正确；则单调递增区间为[kπ,π2，k∈Z，则f(x)的最大值为1，故(2)不正确；对于(2)，由cos2x=−1，即x=kπ+π2由f(−x)=−cos(−2x)=−cos2x=f(x)，故(3)正确，(4)不正确．故选：B．化简f(x)=−cos2x，由余弦函数的单调性可判断(1)；由余弦函数的值域可判断(2)；计算f(−x)，与f(x)比较可判断(3)(4)．本题考查二倍角余弦公式的运用，考查函数的单调性和奇偶性、最值求法，考查化简变形能力，属于基础题．解析：【分析】本题考查了向量的三角形法则和向量共线定理，属于基础题．利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出．【解答】解：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴m =23，n =13， ∴m +n =1，故答案为：1． 14.答案：4025解析：解：由题意可得，s 5=5a 1+5×4d 2=5+10d =25∴d =2∴a 2013=1+2012×2=4025故答案为：4025由已知利用等差数列的求和公式可求公差d ，然后再利用等差数列的通项公式即可求解 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应，属于基础试题15.答案：10解析：本题考查双曲线的几何性质，以及求焦点三角形的周长，难度一般．【解答】解：双曲线C ：x 2−y 23=1，则a =1,c =2,b =√3，因为点M 的坐标为(23,0)，且M 到直线AF 1，AF 2的距离相等，则M 在∠F 1AF 2的角平分线上，所以AF 1AF 2=F 1MF 2M =2，又|AF 1−AF 2|=2，所以AF 1=4,AF 2=2 则△AF 1F 2的周长为4+4+2=10．故答案为10．16.答案：3π 4√3π27解析：解：∵圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，∴半圆的弧长为2π，即圆锥的底面周长为2π，设圆锥的底面径是R ，则2πR =2π，解得R =1，∴圆锥的底面半径是1，∴圆锥的表面积S =πR(R +l)=3π；作出圆锥轴截面如图所示：圆锥的底面半径R =1，母线长l =2，则圆锥的高ℎ=√3，当圆锥内部放置一个内接圆柱的底面半径为r 时，圆柱的高x 满足：r R =ℎ−x ℎ， 即r 1=√3−x √3，则x =√3−√3r ，故圆柱的体积V =πr 2(√3−√3r)=−√3πr 3+√3πr 2，得：V′=−3√3πr 2+2√3πr ，当r ∈(0,23)时，V′>0，V 随r 的增大而增大；当r ∈(23,1)时，V′<0，V 随r 的增大而减小．故当r =23时，V 取最大值4√327π． 故答案为：3π；4√327π． 由已知求出半圆弧长，得到圆锥的底面周长是2π，利用弧长公式计算底面半径后，可得圆锥的表面积；画出圆锥及内接圆柱的轴截面，根据三角形相似对应边成比例，用r 表示圆柱的高x ，代入圆柱体积公式，利用导数法，可得V 的最大值．本题考查旋转体体积最值的求法，考查函数与方程思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题． 17.答案：解：(1)由所给数据计算得x =15(10+15+20+25+30)=20， y =15(11+10+8+6+5)=8， ∑(5i=1x i −x)2=(−10)2+(−5)2+02+52+102=250， ∑(5i=1x i −x)(y i −y)=−10×3+(−5)×2+0×0 +5×(−2)+10×(−3)=−80，b ̂=5i=1i −x)(y i −y)∑(5x −x)2=−80250=−0.32， â=y −b ̂·x =8−(−0.32)×20=14.4; ∴所求线性回归方程为y =−0.32x +14.4．(2)由(1)知当x =40时，y =−0.32×40+14.4=1.6，故当价格x =40元/kg 时，日需求量y 的预测值为1.6kg ．解析：本题考查线性回归方程，解题的关键是求出线性回归系数，注意解题的运算过程不要出错，属于基础题．(1)根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；(2)把x =40，代入回归方程解出y 即可．18.答案：解：(Ⅰ)△ABC 中，a =7，b =8，cosB =−17．所以：sinB =4√37， 利用正弦定理得：a sinA =b sinB ，解得：sinA =√32， 由于π2<B <π，所以：∠A =π3；(Ⅱ)利用余弦定理：b 2=a 2+c 2−2accosB ，解得：c =3．所以：S △ABC =12acsinB =6√3．解析：(1)直接利用正弦定理求出结果．(2)直接利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．19.答案：解：如图所示，建立空间直角坐标系，设AB =1，则B(1,1，0)，D 1(0,0，1)，C(0,1，0)，E (1,12,0)， (1)BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−12,0)， 故cos⟨BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−12√3×√52=−√1515， 所以异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值是√1515． (2)DD 1⊥平面AEC ，所以DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面AEC 的一个法向量，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，设平面A 1EC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 又A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,12,−1)， A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−1)，由{n ⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{12y −z =0,−x +y −z =0,取n ⃗ =(1,2,1)，所以cos⟨DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=√66． 结合图形知二面角A 1−EC −A 的余弦值为√66．解析：【分析】本题考查利用空间向量求线线角和面面角；(1)建立空间直角坐标系，设AB =1，写出B ，D 1，C ，E 的坐标，写出异面直线BD 1与CE 对应向量的坐标，利用向量的数量积公式得到所求；(2)找出平面AEC 的一个法向量，利用利用平面的法向量夹角与二面角的余弦值关系得到所求． 20.答案：解：(1)a =12时，f(x)=12x 2−(x −1)e x ，f′(x)=x −xe x =x(1−e x ).当x ≥0时，1−e x ≤0，f′(x)≤0.当x <0时，1−e x >0，f′(x)<0．所以f′(x)≤0恒成立，于是f(x)在(−∞,+∞)是减函数．(2)f′(x)=2ax −xe x =x(2a −e x ).当a ≤0时，2a −e x ≤0，于是f(x)在(−∞,0)上是增函数，在(0,+∞)上是减函数．所以f(x)≤f(0)=1，成立．当0<a ≤12时，f(x)在(−∞,ln2a)上是减函数，在(ln2a,0)上是增函数，在(0,+∞)上是减函数．因为f(x)在(−∞,ln2a)上是减函数，且x →−∞时，f(x)→+∞不符合题意．当a >12时，f(x)在(−∞,0)上是减函数，在(0,ln2a)上是增函数，在(ln2a,+∞)上是减函数．在区间(−∞,0)上有f(x)>f(0)=1，不符合题意．综上，a 的取值范围是(−∞,0]．解析：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；(2)f′(x)=2ax −xe x =x(2a −e x )，分类讨论，确定f′(x)的正负，即可求得a 的取值范围．21.答案：解：(1)因x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的离心率e =√32，且经过点(√3,12)， 所以{c a=√32(√3)2a 2+14b 2=1 解得a 2=4，b 2=1.所以椭圆标准方程为x 24+y 2=1． (2)由(1)知椭圆方程为x 24+y 2=1，所以直线l 方程为x =2，C(0,1)，D(0,−1).设P(2,m)，m >0，则直线PC 的方程为y =m−12x +1， 联立方程组{y =m−12x +1x 24+y 2=1消y 得(m 2−2m +2)x 2+4(m −1)x =0， 所以E 点的横坐标为x E =−4(m−1)m 2−2m+2；又直线PD 的方程为y =m+12x −1， 联立方程组{y =m+12x −1x 24+y 2=1消y 得(m 2+2m +2)x 2−4(m +1)x =0， 所以F 点的横坐标为x F =4(m+1)m 2+2m+2．由S △PCD =2S △PEF 得12PC ⋅PDsin∠DPC =2×12PE ⋅PFsin∠EPF ，则有PC⋅PD PE⋅PF =2，则2−02+4(m−1)m 2−2m+2⋅2−02−4(m+1)m 2+2m+2=2， 化简得m 4+4m 4=2，解得m 2=2，因为m >0，所以m =√2，所以点P 的坐标为(2,√2)．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．(1)利用椭圆的离心率e =√32，且经过点(√3,12)，列出方程组求解即可． (2)设P(2,m)，m >0，直线PC 的方程为y =m−12x +1，与椭圆联立，利用韦达定理，推出E 的坐标，结合联立方程组{y =m+12x −1x 24+y 2=1求出F 点的横坐标，由S △PCD =2S △PEF ，转化求解即可． 22.答案：解：圆C 的参数方程为为参数)，转换为直角坐标方程为：x 2+(y −1)2=1．直线l 的极坐标方程为ρsinθ=1，转换为直角坐标方程为y =1．则：直线y =1，经过圆心且平行于x 轴，所以直线与圆的交点坐标为(−1,1)和(1,1)．解析：首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和圆的位置关系建立等量关系，最后求出交点的坐标．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)若a =2，则不等式化为f(x)=|4x +1|−|4x −2|+x <0，若x <−14，则−4x −1+4x −2+x <0，解得x <3，故x <−14；若−14≤x ≤12，则4x +1+4x −2+x <0，解得x <19，故−14≤x ≤19；若x >12，则4x +1−4x +2+x <0，解得x <−3，故无解，综上所述，关于x 的不等式f(x)+x <0的解集为(−∞,19)，(2)∃x ∈R ，使f(x)≤−5等价于[f(x)]min ≤−5，因为|f(x)|=||4x +1|−|4x −a||≤|(4x +1)−(4x −a)|=|1−a|，所以−|1−a|≤|f(x)|≤|1−a|，所以f(x)的最小值为−|1−a|，所以−|1−a|≤−5，得a ≥6或a ≤−4所以a 的取值范围是(−∞,−4]∪[6,+∞)．解析：(1)若a =2，则不等式化为f(x)=|4x +1|−|4x −2|+x <0，解得答案；(2)若∃x ∈R ，使f(x)≤−5，则[f(x)]min ≤−5，进而得到答案．本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，零点分段法，难度中档．。

2020年西南名校联盟高考数学诊断试卷(理科)(三)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数z=i1−i+i2021对应的点所在的象限是()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合A={x|1<x<4}，B={x|−1≤x≤3}，则A∩(∁R B)等于()A. {x|1<x<4}B. {x|3<x<4}C. {x|1<x<3}D. {x|1<x<2}∪{x|3<x<4}3.已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{a n}前10项的和为()A. 10B. 8C. 6D. −84.已知x，y∈[0,2]，则事件“x+y≤1”发生的概率为()A. 116B. 18C. 1516D. 785.(1+2x)3(2−y)4的展开式中x2y3的系数是()A. −96B. 64C. −32D. 166.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是()A. 75B. 752C. 272D. 277.方程√1−|x|=√1−y表示的曲线是()A. 两条线段B. 两条直线C. 两条射线D. 一条射线和一条线段8.已知α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①若α//β，则l⊥m；②若l//m，则α⊥β；③若α⊥β，则l//m；④若l⊥m，则α//β；其中，正确命题个数有()A. 1B. 2C. 3D. 49.已知实数x，y满足1≤2y≤x+2y≤ax+6，若y−2x的最大值是3.则实数a的取值范围是()A. [−1,5]B. (−∞,5]C. [−5,+∞)D. [3,+∞)10.已知抛物线C：x2=4y，P在C的准线l上，直线PA，PB分别与C相切于A，B，M为线段AB的中点，若|AB|=λ|MP|，则λ的值是()A. 与P 的位置有关B. 32 C. 3D. 211. 已知函数f (x )=53−x −5x−3+1，则( )A. 函数f (x )在R 上单调递减，且函数f (x )的图象关于点(3,1)对称B. 函数f (x )在R 上单调递减，且函数f (x )的图象关于点(−3,1)对称C. 函数f (x )在R 上单调递增，且函数f (x )的图象关于点(3,1)对称D. 函数f (x )在R 上单调递增，且函数f (x )的图象关于点(−3,1)对称12. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0<ω<l,|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，且关于直线x =2π3对称，则下列结论正确的是( )A. f(x)在[π12,2π3]上是减函数B. 若x =x 0是f(x)的一条对称轴，则一定有f′(x 0)≠0C. f(x)≥1的解集是[2kπ,2kπ+π3]，k ∈Z D. f(x)的一个对称中心是(−π3,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图所示，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若m═37，则n =______．14. 等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1=2，S 3=12，则a 6=______． 15. 已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线上，点M 的坐标为(23,0)，且M 到直线AF 1，AF 2的距离相等，则△AF 1F 2的周长为________． 16. 学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上)，圆锥底面直径为10√2cm ，高为10 cm.打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为____________g.(π取3.14)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某位同学进行社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了12月11日至12月15日的白天平均气温x(℃)与该小卖部的这种饮料销量y(杯)，得到如下数据：(1)请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)据(1)中所得的线性回归方程，若天气预报12月16日的白天平均气温7(℃)，请预测该奶茶店这种饮料的销量. (参考公式：b ∧=i −x)(y i −y)n i=1∑(x −x)2n ，a ̂=ŷ−b ̂x)18. 已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3c =2asinC ．(1)求角A 的大小； (2)若c =3，b =4，求a ．19.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是线段AB的中点．(1)求证：D1E⊥CE；(2)求二面角D1−EC−D的正切值．20.设函数f(x)=x(e x−1)−ax2．(1)若a=12，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(√2,1)，且焦点坐标分别为(−√2,0),(√2,0)，直线L：y=x+m与椭圆交于A、B两点．(1)求椭圆方程；(2)若在y 轴上存在点Q ，使得△QAB 是正三角形，求m ．22. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =−6+5cosαy =5sinα(α为参数)(Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； (Ⅱ)若点(x,y)是圆C 上的动点，求x +y 的最大值．23. 已知f(x)=|x +1|+|x −m|．(1)若f(x)≥2恒成立，求m 的取值范围；(2)已知m >1，若∃x ∈(−1,1)使f(x)≥x 2+mx +3成立，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查复数的运算以及几何意义，属于基础题．先将z化简成代数形式，再确定对应的点所在的象限．解：z=i1−i+i2021=i(1+i)2+i=−12+32i，所以复数z在复平面内对应的点为(−12,32 )，故复数z=i1−i+i2021对应的点所在的象限为第二象限，故选B．2.答案：B解析：解：∁R B={x|x<−1，或x>3}，又A={x|1<x<4}，∴A∩(∁R B)={x|3<x<4}．故选：B．进行补集、交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集和补集的运算．3.答案：A解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比中项的定义，考查方程思想和运算能力，属于基础题．设公差d=2，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．解析：解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32=a1a4，即有(a1+4)2=a1(a1+6)，解得a1=−8，则{a n}前10项的和为S n=−8×10+12×10×9×2=10．故选：A．4.答案：B解析：解：由题意x，y∈[0,2]，在平面直角坐标系中做出对应的区域，及事件“x+y≤1”对应的区域，如下图所示：所以事件“x+y≤1”发生的概率为12×1×12×2=18；故选：B．在[0,2]上随机取两个实数x，y，列出x和y满足的关系式，在平面直角坐标系中做出对应的区域，利用面积之比求解即可．本题考查几何概型知识、二元一次不等式表示的平面区域等，属基本运算的考查．5.答案：A解析：本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，是基础题．分别求出(1+2x)3中含x2的项与(2−y)4的含y3的项，作积得答案．解：∵(1+2x)3(2−y)4的展开式中含x2y3的项为C32⋅(2x)2⋅C43⋅2⋅(−y)3=−96x2y3．∴(1+2x)3(2−y)4的展开式中x2y3的系数是−96．故选A．6.答案：C解析：本题考查导数知识的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．解：由题意，f′(x)=3x2，所以f′(1)=3，所以切线方程为y−12=3(x−1)，即3x−y+9=0，当x=0时，y=9，当y=0时，x=−3，所以l与坐标轴围成三角形的面积等于12×9×3=272．故选C．7.答案：A解析：本题考查曲线与方程，根据条件得到y=|x|(y≤1)，即可得到答案，属于基础题．解：由已知得1−|x|=1−y，且1−y≥0，所以y=|x|(y≤1)，表示两条线段．故选A．8.答案：B解析：解：有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①若α//β，∴l⊥β，又m⊂β，则l⊥m，正确；②若l//m，m⊂β，则α⊥β，正确；③若α⊥β，则l//m或异面直线，不正确；④若l⊥m，则α//β或相交，因此不正确．其中，正确命题个数为2．故选：B．有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①由α//β，利用线面垂直的判定可得l⊥β，又m⊂β，利用线面垂直的性质可得l⊥m，即可判断出正误；②若l//m，m⊂β，利用面面垂直的判定定理可得α⊥β，即可判断出正误；。