习题11
11-1．直角三角形ABC 的A 点上，有电荷C 108.19
1-⨯=q ，B 点上有电荷
C 108.492-⨯-=q ，试求C 点的电场强度(设0.04m BC =，0.03m AC =)。
解：1q 在C 点产生的场强：
1
12
04AC
q E i r πε=
， 2q 在C 点产生的场强：
2
22
04BC
q E j r πε=
，
∴C 点的电场强度：44
12 2.710 1.810E E E i j =+=⨯+⨯；
C 点的合场强：
22
412 3.2410V
E E E m =+=⨯，
方向如图：
1.8
arctan
33.73342'2.7α===。
11-2．用细的塑料棒弯成半径为cm 50的圆环，两端间空隙为cm 2，电量为C 1012.39-⨯的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小
和方向。
解：∵棒长为2 3.12l r d m π=-=， ∴电荷线密度：91
1.010q C m l λ--==⨯⋅
可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去m d 02.0=长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O 点产生的场强。 解法1：利用微元积分：
2
1cos 4O x Rd dE R λθ
θ
πε=
⋅
，
∴
2000cos 2sin 2444O d
E d R R R α
α
λλλθθααπεπεπε-==
⋅≈⋅=⎰10.72V m -=⋅；
解法2：直接利用点电荷场强公式：
由于d r <<，该小段可看成点电荷：11
2.010q d C λ-'==⨯，
则圆心处场强：119
1
22
0 2.0109.0100.724(0.5)O q E V m
R πε--'
⨯==⨯⨯=⋅。
方向由圆心指向缝隙处。
11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电
荷线密度为λ，四分之一圆弧AB 的半径为R ，试求圆心O 点的场强。
解：以O 为坐标原点建立xOy 坐标，如图所示。 ①对于半无限长导线A ∞在O 点的场强：
α
i
2cm O R x αα
有：00(cos cos )42(sin sin )42Ax A y E R E R λπππελπππε=-=-⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
②对于半无限长导线B ∞在O 点的场强：
有：00(sin sin )42(cos cos )42B x B y E R E R λπππελπππε=-=-⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
③对于AB 圆弧在O 点的场强：有：
20
00
2000cos (sin sin )442sin (cos cos )442AB x AB y E d R R E d R R π
π
λλπθθππεπελλπθθππεπε==-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪=--⎩⎰⎰
∴总场强：04O x E R λπε=，04O y E R λπε=，得：0()
4O E i j R λ
πε=+。
或写成场强：
22024O x O y E E E R λ
πε=+=
，方向45。
11-4．一个半径为R 的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为λ，求环心处O 点的场强E 。
解：电荷元dq 产生的场为：
204d q
d E R πε=
； 根据对称性有：0
y
d E
=⎰，则：
2
0sin sin 4x R d E dE d E R π
λθθθπε===⎰⎰⎰
02R λ
πε=
， 方向沿x 轴正向。即：
02E i R λ
πε=
。 11-5．带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度 为0sin λλϕ=，式中0λ为一常数，ϕ为半径R 与x 轴
所成的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度。
解：如图，
02
00sin 44d dl
dE R R λϕϕλπεπε==， cos sin x y dE dE dE dE ϕ
ϕ==⎧⎪⎨⎪⎩考虑到对称性，有：0=x E ；
o
R
X
Y
λ
θd θ
dq
E
d
x
y
E
∴
20000
0000sin (1cos 2)sin 4428y d d E dE dE R R R π
πλϕϕλλϕϕ
ϕπεπεε-=====
⎰⎰⎰
⎰，
方向沿y 轴负向。
11-6．一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心O 处的电场强度。
解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为d l Rd θ=，所带电荷：2dq r d l πσ=。
利用例11-3结论，有：
3
32
22
22
2
0024()
4()x dq r xdl
d E x r x r σππεπε⋅=
=
++
∴3222
02cos sin 4[(sin )(cos )]
R R Rd dE R R σπθθθ
πεθθ⋅⋅⋅=
+，
化简计算得：
2
01sin 2224E d πσσθθεε=
=⎰
，∴04E i σε=。
11-7．图示一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为ρ。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x 变化的图线，即x E -图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox 轴垂直于平板)。
解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1S 为高斯面，
当2d x ≤
时，由12S E dS E S ⋅=⋅∆⎰和2q x S ρ=∆∑， 有：0x E ρε=
； 当2d x >
时，由22S E dS E S ⋅=⋅∆⎰和2q d S ρ=∆∑，
有：
02d E ρε=
。图像见右。 11-8．在点电荷q 的电场中，取一半径为R 的圆形平面(如图所示)，
平面到q 的距离为d ，试计算通过该平面的E 的通量.
解：通过圆平面的电通量与通过与A 为圆心、AB 为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。
【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r ，有22R d r +=， 球冠面一条微元同心圆带面积为：2sin dS r rd πθθ=⋅ θ
x
O
r
2d ρε-
x
E
2d ρε2
d 2
d
-O
•d θ
x
O
r
sin r θ
