2020高考数学圆锥曲线最值问题大题精做理科
1.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，B 为其短轴的一个端点，1F ，2F 分别为其左右两个
焦点，已知三角形
12BF F 121
cos 3
F BF ∠=．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若动直线22:0,3l y kx m m k ⎛
⎫=+≠≠ ⎪⎝
⎭与椭圆C 交于()11,P x y ，()22,Q x y ，M 为线段PQ
的中点，
且22
12
3x x +=，求OM PQ ⋅的最大值．
2.已知点()1,0F -，直线:4l x =-，P 为平面内的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点M ，且11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫
-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点F 作直线1l （与x 轴不重合）交C 轨迹于A ，B 两点，求三角形面积OAB 的取值范围．（O 为坐标原点）
3.如图，已知抛物线2:2C y px =和()2
2:41M x y -+=，过抛线C 上一点()()
000,1H x y y ≥作两条直线与M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线于E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为
17
4
．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率； （3）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．
4.已知直线2
p
y x =-
与抛物线()2:20C y px p =>交于B ，D 两点，线段BD 的中点为A ，点F 为C 的焦点，且OAF △（O 为坐标原点）的面积为1． （1）求抛物线C 的标准方程；
（2）过点()2,2G 作斜率为()2k k ≥的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线OM ，ON 分别交直线2y x =+于P ，Q 两点，求PQ 的最大值．
1.【答案】（1）22132x y +=；
（2）5
2
． 【解析】（1）由22222122
22411
cos 3233
a c c F BF a c a a -∠==⇒=⇒=，222
b
c =，
12121cos sin 3F BF F BF ∠=⇒∠=
，
结合1222132F BF S a a ===△，22b ⇒=，
故椭圆C 的方程为22
132
x y +=．
另解：依题意：12
122
F BF S cb bc =⨯==△2212
12212cos 2cos
1233F BF b F BF a ∠∠=-=⇒=， 解得2
3a =，2
2b =，故椭圆C 的方程为22
132
x y +=．
（2）联立
()()222222222
3263602432032236
y kx m
k x kmx m Δk m k m x y =+⇒+++-⎧⎨⎩=⇒=+->⇒+>+=． 且122632
km
x x k -+=+，21223632m x x k -=+；
依题意()()
()
()222
22
12
12122
22
626323332
32m km x x x x x x k k
--+=⇒+-=⇒-
=++，
化简得：22322k m +=（∵232k ≠）；
设()00,M x y ，由()()22
112222
012121222
120222362233236
x y x y y x x y y k x x y x y ⎧⎪⎨+=-⇒-=--⇒==--+=⎪⎩， 又00y kx m =+，解得31,2k M m m ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
22222943142k m OM m m +-⇒=
=， ()()
()
()
()2222
2
222
2
122
2
222243222111251132432k m m PQ k
x x k
OM PQ m m m k +-+⎛
⎫⎛⎫=+-=+=
⇒⋅=-+≤
⎪⎪⎝
⎭⎝⎭+， 52OM PQ ⋅≤
．当且仅当221132m m -=+
，即m =时，OM PQ ⋅的最大值为5
2
． 2.【答案】（1）22143x y +=；
（2）30,2⎛⎤
⎥⎝⎦
． 【解析】（1）设动点(),P x y ，则()4,M y -，
由11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫
-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，2214PF PM ∴=，
即2
214PF PM ∴=，()222
1144
x y x ∴++=+，化简得22143x y +=．
（2）由（1）知轨迹C 的方程为22143x y +=，
当直线1l 斜率不存在时31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭， 13
22
OAB S AB OF ∴=
⋅=△， 当直线1l 斜率存在时，设直线l 方程为()10x my m =-≠，设()11,A x y ，()22,B x y ， 由22
1
14
3x my x y ⎧⎪
⎨-+=⎪⎩=，得()
2234690m y my +--=． 则21441440Δm =+>，122634m y y m +=+，12
29
34
y y m -=+，
1211122
OAB
S OF y y =⋅-=⨯△
=
=，
令()211m t t +=>
，则
OAB S ==△，
令()196f t t t =++，则()21
9f t t
'=-，当1t >时，()0f t '>，
()1
96f t t t
∴=++在()1,+∞上单调递增，()()116f t f
∴>=，32OAB S ∴<=△， 综上所述，三角形OAB 面积的取值范围是30,2⎛⎤
⎥⎝⎦
．
3．【答案】（1）2y x =；（2）1
4
-；（3）11-．
【解析】（1）∵点M 到抛物线准线的距离为17424p +
=，∴1
2
p =，即抛物线C 的方程为2y x =．
（2）∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点()4,2H ，∴HE HF k k =-， 设()11,E x y ，()22,F x y ，∴
1212H H H H y y y y x x x x --=---，∴12
2222
12H H H H y y y y y y y y --=---， ∴1224H y y y +=-=-．21212221212111
4
EF y y y y k x x y y y y --=
===---+． （3）设点()
()2,1H m m m ≥，2
42716HM m m =-+，2
42715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为()()2
2
242715x m y m m m -+-=-+，……①
