厦门双十中学初中部数学全等三角形易错题(Word版 含答案)
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厦门双十中学初中部数学全等三角形易错题(Word 版 含答案)
一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)
1.在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,将△AEF 沿直线EF 翻折,点A 落在点P 处,且点P 在直线BC 上.则线段CP 长的取值范围是____.
【答案】15CP ≤≤
【解析】
【分析】
根据点E 、F 在边AB 、AC 上,可知当点E 与点B 重合时,CP 有最小值,当点F 与点C 重合时CP 有最大值,根据分析画出符合条件的图形即可得.
【详解】
如图,当点E 与点B 重合时,CP 的值最小,
此时BP=AB=3,所以PC=BC-BP=4-3=1,
如图,当点F 与点C 重合时,CP 的值最大,
此时CP=AC ,
Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,根据勾股定理可得AC=5,所以CP 的最大值为5, 所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5,
故答案为1≤CP≤5.
【点睛】
本题考查了折叠问题,能根据点E、F分别在线段AB、AC上,点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大(小)值是解题的关键.
2.△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠D=90°,AB=AC=6.现将
△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起,使△ABC保持不动,△DEF运动,且满足点E在边BC上运动(不与B,C重合),边DE始终经过点A,EF与AC交于点M.在△DEF 运动过程中,若△AEM能构成等腰三角形,则BE的长为______.
【答案】363
【解析】
【分析】
分若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°;若AE=EM;若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°三种情况讨论解答即可;
【详解】
解:①若AE=AM 则∠AME=∠AEM=45°
∵∠C=45°
∴∠AME=∠C
又∵∠AME>∠C
∴这种情况不成立;
②若AE=EM
∵∠B=∠AEM=45°
∴∠BAE+∠AEB=135°,∠MEC+∠AEB=135°
∴∠BAE=∠MEC
在△ABE和△ECM中,
B
BAE CEN
AE EII
C
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△ABE≌△ECM(AAS),
∴CE=AB6,
∵AC=BC=2AB=23,
∴BE=23﹣6;
③若MA=ME 则∠MAE=∠AEM=45°
∵∠BAC=90°,
∴∠BAE=45°
∴AE平分∠BAC
∵AB=AC,
∴BE=1
2
BC=3.
故答案为23﹣6或3.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定,掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键.
3.如图,△ABC是等边三角形,高AD、BE相交于点H,BC=43,在BE上截取BG=2,以GE为边作等边三角形GEF,则△ABH与△GEF重叠(阴影)部分的面积为_____.
53
【解析】
试题分析:如图所示,由△ABC是等边三角形,BC=433
,
∠ABG=∠HBD=30°,由直角三角的性质,得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°,由对顶角相等,得∠MHE=∠BHD=60°,由BG=2,得EG=BE﹣BG=6﹣2=4.由GE为边作等边三角形GEF,得FG=EG=4,∠EGF=∠GEF=60°,△MHE是等边三角形;
S △ABC =12AC•BE=12AC×EH×3EH=13BE=13×6=2.由三角形外角的性质,得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°,由∠IBG=∠BIG=30°,得IG=BG=2,由线段的和差,得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2,由对顶角相等,得∠FIN=∠BIG=30°,由∠FIN+∠F=90°,得∠FNI=90°,由锐角三角函数,得FN=1,IN=3.S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣
S △FIN =223314231442
⨯-⨯-⨯⨯=532,故答案为532.
考点:1.等边三角形的判定与性质;2.三角形的重心;3.三角形中位线定理;4.综合题;5.压轴题.
4.如图,△ABC 中,AB =AC ,∠A =30°,点D 在边AB 上,∠ACD =15°,则AD BC
=____.
【答案】
22. 【解析】
【分析】
根据题意作CE ⊥AB 于E ,作DF ⊥AC 于F ,在CF 上截取一点H ,使得CH =DH ,连接DH ,并设AD =2x ,解直角三角形求出BC (用x 表示)即可解决问题.
【详解】
解:作CE ⊥AB 于E ,作DF ⊥AC 于F ,在CF 上截取一点H ,使得CH=DH ,连接DH .
设AD=2x ,
∵AB=AC ,∠A=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°,DF 12=
AD=x ,AF 3=, ∵∠ACD=15°,HD=HC ,
∴∠HDC=∠HCD=15°,
∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°,
∴DH=HC=2x ,FH 3=,
∴3x ,
在Rt △ACE 中,EC 12
=AC=x 3+,AE 3=3=, ∴BE=AB ﹣AE 3=﹣x ,
在Rt △BCE 中,BC 22BE EC =
+=2x , ∴22
22AD BC x ==. 故答案为:
22. 【点睛】
本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
5.如图,已知△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=90°,直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点,两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ,给出下列四个结论:
①AE=CF ;
②△EPF 是等腰直角三角形;
③EF=AB ;
④12
ABC AEPF S S ∆=
四边形,当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合),上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).