异面直线及其所成角PPT课件

答案解析
答案一解析
首先，由于AB和CD为异面直线，且AB ⟂ CD，我们可以知道异面直线AB与CD所成的 角为∠BAC。因为∠BAC = 60°，所以异面直线AB与CD所成的角也为60°。
答案二解析
首先，找到与AB和AD₁都平行的平面或线段。在长方体中，这样的平面或线段是A₁D和 A₁B₁。然后，利用平移将异面直线AB和AD₁平移到同一个起点，例如点A。最后，利用 余弦公式计算异面直线AB与AD₁所成角的余弦值。具体计算过程涉及长方体的边长和
常见误区
列举了在求解过程中可能出现 的常见错误和误区，并给出了
正确的解释和纠正方法。
展望
01
02
03
04
进一步研究
鼓励学习者在掌握基本方法的 基础上，深入研究异面直线所 成的角的更多性质和应用。
与其他知识的结合
提倡将异面直线所成的角与其 他几何知识进行结合，形成更
完整的知识体系。
实际应用拓展
强调将所学知识应用于实际问 题解决中，培养解决实际问题
在空间向量中的应用
异面直线所成的角在空间向量中也有着重要的应用。向量 的数量积、向量的模长以及向量的夹角都可以通过异面直 线所成的角来表示。
在解决空间向量的加法、数乘以及向量的模长和夹角等问 题时，常常需要利用异面直线所成的角来建立向量关系， 从而得到向量的具体表示和运算结果。
在物理问题中的应用
成的角的余弦值等于 $frac{overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}}{|overset{lon
grightarrow}{a}| cdot
利用向量的夹角公式求异面直线所成的角
要点一

解：首先计算$\vec{a}$和$\vec{b}$的点积，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = 4$；
然后求出$\vec{a}$和$\vec{b}$的模， $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$， $|\vec{b}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$；
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入
异面直线的定义
定义 判定定理
异面直线所成角的概念
定义
范围
两条异面直线所成角的范围是(0°,90°]， 若两条异面直线互相垂直，则说它们 所成的角是90°；若两条异面直线所成 的角是锐角或直角，则就按照锐角或 直角来度量。
求解异面直线所成角的意义
实际应用
拓展思维
02
向量法求解异面直线所成角
向量点积与夹角关系
点积定义
夹角与点积关系
利用向量点积求解异面直线所成角步骤
01
02
03
04
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
05
实际应用与拓展
异面直线所成角在实际问题中的应用
建筑设计 机器人路径规划 航空航天
拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
三角函数法
06

2
3
3
在 Rt△SOA 中，因为 AO＝ × a＝ a，
3 2
3
3
AO 3 a
3
所以 cos∠SAO＝ ＝
＝ ，
SA 2a
6
3
即侧棱和底面所成角的余弦值为 .
6
例 如图，在四棱锥P − ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO ⊥
平面ABCD，M，E分别为AB，BC的中点，PE = 3，B到平面PEM的距离为
∴∠PCA 即为 PC 和平面 ABC 所成的角.
1
1
PA
在 Rt△PAC 中，∵AC＝ AB＝ PA，∴tan∠PCA＝ ＝2.
2
2
AC
异面直线所成的角及直线
与平面所成的角的解法
教学目标
1.理解异面直线所成的角的概念，会运用平移的方法求异面直线所成的
角.(重点)
2.掌握直线与平面所成角的求法.(难点)
异面直线所成角：
文字语言：
已知两条异面直线，，经过空间任一点O分别作直线 ’ ∥ ， ’ ∥ ，我们把
直线 ’ 与 ’ 所成的角叫做异面直线与所成的角（夹角）.
图形语言：
范围：
两条异面直线a与b所成角的范围是0°<α≤90°.
特殊情况：
当两条异面直线所成的角为90°时，称两条异面直线相互垂直.
例1
直接平移法
如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，AA1
＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
1
A.5
3
C.5
70
，求直线PB与平面PEM所成的角的正弦值.
7
1.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线D′A与BB′所成的角可以表示为

b'
b
a
a'
o
o a a'
平行移动法
.
7
思考：1、异面直线a、b所成角的范围？（0，90]
若异面直线a、b所成角是直角，则称 异面直线a、b互相垂直，记作a⊥b.
2、异面直线a、b所成的角的大小与点o的
位置是否有关？
异面直线a、b所成角的大小与点O的位置无 关,通常取在其中一条直线上或取特殊点.
.
1
复习回顾：
空间两直线的位置关系
位置关系
共面情况
公共点个数
相交
在同一个平面内 有且只有一个
平行 异面
在同一个平面内 不在同一个平面内
没有 没有
.
2
探究：
1、在下面长方体中，直线AB与A1C具有怎样的 位置关系？
2、在下面长方体中，还有哪些棱所在直线与A1C 异面？
3、在平面ABCD中，你还能找到哪些直线与A1C 异面？能否得到一般性结论？
这个平面内不经过该点的直线是异面直线。
符号表示:
若 l ,A ,B ,B l，A
则直线 AB与l是异面直. 线
B
l
.
5
常见异面直线的画法:
a
b
b
a
b
a
.
6
异面直线所成角:
设a、b是异面直线，过空间任一点O作
a//a， b//b，则 a，b所成的锐角(或直角)，
叫做异面直线a、b所成的角.
b
D1
C1
A
A1
D
A
B1 C
B
.
B
l
3
思考：
已l 知 ,A ： ,B ,B l