2019最新考研数学模拟试题（含答案）
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
题号 一 总分 得分
一、解答题
1．试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ，b ，c ，d ，使得x =－2处曲线有水平切线，(1，－10)为拐点，且点(－2，44)在曲线上. 解：令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d
联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0 可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.
2．求下列函数在所示点的导数： (1)()sin cos t f t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在点π
4t =；
解：()
2π2422f ⎛⎫
⎪'= ⎪ ⎪
- ⎪⎝⎭
(2)()22,x y g x y x y +⎛⎫
= ⎪ ⎪+⎝⎭，在点()(),1,2x y =；
解：()111,224g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
(3)sin cos u v u T u v v v ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎝⎭，在点π1u v ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
解：1010101T -⎛⎫⎛⎫ ⎪
'=- ⎪ ⎪π⎝⎭ ⎪
⎝⎭
(4)2222232u x y
v x x y w x y y ⎧=-⎪
=-⎨⎪=-⎩在点()3,2-. 解：6
26
6362-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪--⎝⎭
3．
试求曲线e
x
y -=在点（0，1）及点（－1，0）处的切线方程和法线方程.
解：231
e e (1)3
x
x
y x ---'=-⋅+
1
2
. 3
x x y y ==-'
'
=-=∞
故在点（0，1）处的切线方程为：
2
1(0)3
y x -=--，即2330x y +-=
法线方程为：2
1(0)3
y x -=
-，即3220x y -+= 在点（－1，0）处的切线方程为：1x =- 法线方程为：0y =
4．求下列函数的微分： ⑴ e x
y x =； ⑵ ln x
y x
=
； ⑶
y = ⑷ ln tan 5x
y =；
⑸ 286e x
x
y x =-； ⑹
2(arctan )y x =.
解：
⑴ d (e )d e (1)d x x
y x x x x '==+；
⑵ 22
1
ln ln 1ln d ()d ()d d x x
x x x y x x x x x x ⋅--'===； ⑶
d d (y x x x '==-=； ⑷ ln tan ln tan 21
d (5)d (ln 55sec )d tan x x y x x x x
'==⋅⋅
⋅ ln tan 1
2ln 55d sin 2x x x
=⋅⋅
； ⑸ 22d (86e )d [8(1ln )12e ]d x
x
x
x
y x x x x x '=-=+-； ⑹
2
21
d (arctan )]d 2arctan ]d .1y x x x x x '==+⋅+；
5．设0a >，且b 与n
a 相比是很小的量，证明：
1
.n b
a na
-≈+
1
1x
n
≈+，有
1
1
(1)
n n
b b
a a
n a na-
=≈+⋅=+.
6．求函数
1
()
f x
x
=在
1
x=-处的n阶泰勒公式.
解：
1
21
2
1
1(1)(1)
1(1)
n
n n n
n
x
x x x
x x
θ
+
+
+
=--++-+-
++
1
2
2
11
()
1[(1)]
(1)
{1(1)(1)(1)} (01).
[1(1)]
n
n
n
f x
x x
x
x x x
x
θ
θ
+
+
∴==-
+-+
+
=-++++++++<<
-
+
7
．某人走过一桥的速度为4km·h-1，同时一船在此人底下以
8 km·h-1的速度划过，此桥比船高200m，求3min后，人与船相离的速度.
解：设t小时后，人与船相距s公里，则
d
d
s
s
t
==
=
且
1
20
d
8.16
d t
s
t=
=≈ (km·h－1)
8．国民收入的年增长率为7.1%，若人口的增长率为1.2%，则人均收入年增长率为多少？解：人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.
习题三
9．验证：函数()lnsin
f x x
=在
π5π
[,]
66
上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使()0
fξ'=.
证：()lnsin
f x x
=在区间
π5π
[,]
66
上连续，在
π5π
(,)
66
上可导，且
π5π
()()ln2
66
f f
==-，即在
π5π
[,]
66
上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一
