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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学试卷（理工类） 2016．3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． i 为虚数单位，复数
2i
1i
+= A ．1i - B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i +
2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}
2
0N x x x =-<，则下列结论正确的是
A ．M N N =I
B ．()U M N =∅I ð
C ．M N U =U
D ．()U M N ⊆ð 3．
>e e a
b
>”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42 B ．19 C ．8 D ．3
5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,.a b c
若222
()tan a c b B +-=
，则角B 的值为
A ．
3π B ． 6π C ． 233
ππ或 D ． 566ππ或
6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．
的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1
B. 结余最高的月份是7月
至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D. 前6个月的平均收入为40万元 （注：结余=收入-支出）
(第4题图)
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
A ．
13 B ．12
C ．1
D ．3
2
8．若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A
．0r << B
．0r <<
C
．0r << D
．0r <<第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9． 二项式251
()x x
+的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）． 10．已知等差数列}{n a (
n *∈N )中，11=a ，47a =，则数列}{n a 的通项公式n a = ；
2610410n a a a a +++++=L ______．
11．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为22
2x y +=，曲线2C 的参数方程为
2,
(x t t y t
=-⎧⎨
=⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲 线1C 与2C 的交点的极坐标．．．
为 ．
月
2
3 4
1 25
6
8
9 10 7
1112
5
8
(第7题图)
侧视图
俯视图
12．不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+-≤⎩
所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值
范围是 ．
13．已知M 为ABC ∆所在平面内的一点，且14
AM AB nAC =+u u u u r u u u r u u u r
．若点M 在ABC ∆的内部(不含边界)， 则实数n
的取值范围是____．
14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第
i （1,2,,12i =L ）项能力特征用i x 表示，0,1i i x i ⎧=⎨
⎩
如果某学生不具有第项能力特征，
，如果某学生具有第项能力特征.
若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =L ，1212(,,,)B b b b =L ，则,A B 两名学生的不同能力特征项数为 （用,i i a b 表示）．如果两个
同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
已知函数21()sin 222
x f x x ωω=
-
，0ω>． （Ⅰ）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若()13
f π
=，求()f x 的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值．
16．（本小题满分13分）
为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．
（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4
的概率
（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变
量X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需 写出结论）． 17．（本小题满分14分）
如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面
11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．
（Ⅰ）求证：11A C AP ⊥；
（Ⅱ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余
弦值； （
Ⅲ
）
是
否
存
在
点
P
，
使
得
直
线
1A C AMP ()f x =ln ,x a x a +∈R ()f x []1,2x ∈()0f x >a (13)P ，()y f x
=P :C 22142
x y +=1F
2F 12PF F ∆:
l 20(0)y m m -+=≠C A B PA PB x M N PM PN
=}{n a 31()n a n n *
=-∈N 数列{}n b 为等比数列,且n n k b a =.
（Ⅰ）若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小， （ⅰ）写出数列{}n b 的前4项； （ⅱ）求数列{}n k 的通项公式；
（Ⅱ）证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.
北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期高三年级统一考试
数学答案（理工类） 2016．3
一、选择题：（满分40分）
二、填空题：（满分30分）
（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）
A
M
P
C
B
A 1
C 1
B 1
