等差数列教学设计

等差数列（第一课时）教学设计
江苏省常州高级中学 陈玉娟
一．教材依据
《江苏教育出版社》必修5 第二章 第二节“等差数列”
二．设计思想
数列是刻画一类离散现象的数学模型，在我们的日常生活中，会遇到如存款利息、构房贷款、资产折旧等一些计算问题，数列模型可以帮助我们解决这类实际问题，学习数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义。

本章主要通过对日常生活中大量的实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些性质，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。

“等差数列”第一课时是以概念为主的一节课，内容主要是等差数列的定义和通项公式。

等差数列的通项公式与前n 项和的公式的导出都离不开等差数列的定义，因此，教学中首先要讲清等差数列的定义，并且自始自终都要紧扣这个定义。

由于等差数列的定义学生较易理解，而且学生也具备这方面的基础，所以在本节内容的教学设计上，充分体现学生是学习的主体这一特点，首先从实际问题和学生已有知识出发，提供一组具体数列，然后引导学生通过观察、分析它们的规律，归纳出等差数列的定义。

紧接着教师提出一个开放性的问题：“在等差数列}{n a 中，若公差为d ，请根据等差数列的定义，写出与之相关的等式”。

并用实物投影展示有代表性的学生的列式，由学生评价、补充。

在这过程中，学生通过数学符号语言与文字语言的互译，加深了对定义的理解。

而且用不同的方法推导出了通项公式，把等差数列的定义与通项公式有机地联系起来。

让学生充分体验数学知识的形成过程，尽可能地让学生通过观察、分析、猜想、归纳、类比、推理等在发现探索知识的过程中体验数学，让学生在自主探求知识的同时，获得了分析问题、解决问题的能力，培养了创新意识。

在教学设计上突出了数学思想方法，如对数列概念的介绍和通项公式的探究中充分体现函数思想和类比思想；在公式的运算中体现方程思想和数形结合思想。

在通项公式的应用中，有针对性地选择例题，充分挖掘教材例题的内涵。

通过例1（教材例4）的教学，让学生感受等差数列与一次函数的关系，联系教材36页的“思考”进行教学设计，引导学生发现等差数列的公差d 便是数列的各点所在直线的斜率，进一步得出公差d 与等差数列函数单调性的关系。

在例2（教材例2）的教学中，让学生初步感受数列通项公式的应用，并引导学生发现a 6=a 3+6d ，进一步探索通项公式更一般的形式。

三．教学目标
1．认知目标：理解等差数列的定义，掌握等差数列通项公式的推导方法以及它的简单应用。

2．能力目标：在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维能力。

3．情感目标：通过学生自主的探索活动，获得新知识，让学生感受到成功的喜悦，从中培养他们的创新意识。

四．教学重点：
理解等差数列的定义，掌握等差数列通项公式的推导方法。

五．教学难点：
对等差数列通项公式的透彻理解以及通项公式的函数意义。

六．教学准备：
1、认真研读“数列”这一章新旧教材，比较它们的异同，以便备课时能更好地体现新课程理念。

2、课前发给每位同学一张白纸，要求学生带黑色水笔，以备课堂实物投影所需。

3、老师制作投影片，课前检查实物投影仪。

七．教学过程：
㈠引言：
1． 从学生上一课所学的“剧场座位”的数列实例（教材P 29）导入新课。

2． 教师出示【投影片1】 某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后
一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，…。

思考：第30排有多少个座位？
㈡关于等差数列定义的学习过程：
1． 实例展示，引出定义
⑴教师出示【投影片2】并提出问题：观察下列数列有何共同特点？
⋯
⋯⋯⋯
⋯⋯---⋯⋯⋯⋯⋯⋯,3,3,3,3,3)4(,15,10,5,0,5)3(,10,8,6,4,2)2(,9,7,
5,3,1)1( （设计目的：①逐步引导学生自己描述出这些数列的共同特征，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。

②培养学生的观察能力和归纳、表达能力。

） ⑵教师：揭示课题（板书），出示【投影片3】：
如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

（设计目的：加深对定义中关键词的理解。

）
2． 对定义的再认识：
⑴教师再次出示【投影片2】，并提出问题：以上四个等差数列从第2项起，每一项与前一项的差是多少？
（设计目的：引出公差的概念及符号表示。

）
⑵教师提出问题：如果等差数列}{n a ： ,,,,21n a a a ，公差为d ，根据等差数列的定义，写出与之相关的等式，选择列式有代表性的学生板演。

（估计学生会出现以下几种状况）
状况d a a =-12 状况二：d a a +=12
d a a =-23 d a a +=23
┄┄ ┄┄
d a a n n =--1 d a a n n +=-1
各式相加：得 各式相加：得
d n a a n )1(1-=- d n a a n )1(1-+=
即：d n a a n )1(1-+=
状况三：d a a =-12 状况四：d a a n n +=-1
d a a 213=- d d a n ++=-)(2 d a a 314=- d d a n 23++=- ┄┄ ┄┄
d n a a n )1(1-=- d n a )1(1-+= 即：d n a a n )1(1-+= 即：d n a a n )1(1-+= 根据学生在课堂上的具体情况进行具体评价、引导。

（设计目的：①加深对定义的理解，培养学生的自主探索能力；②根据学生板演情况，a ）引导学生得出等差数列定义的符号语言：)2(1≥=--n d a a n n ；b ）为等差数列通项公式的推导设好铺垫。

）
㈢关于等差数列通项公式的学习过程
1． 从等差数列定义出发，引导学生自己导出等差数列的通项公式。

根据学生的具体情
况，选用两种或三种方法：不完全归纳法、累加法、迭代法。

（设计目的：①加强学生自主获取知识的能力，培养他们的创新意识。

②让学生初步尝试处理数列问题的常用方法。

）
2． 公式的简单运用和再认识。

⑴教师出示【投影片1】第30排有多少个座位？【投影片2】并提出问题：求下列四个等差数列的通项公式（学生口答）。

⑵教师出示【投影片4】例1 （课本P 37例4 ） 已知等差数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n-1,求a 1和公差d.）
⑶对通项公式的再认识：引导学生认识到通项公式反映的本质是n a 与n 之间
的函数的关系；数列的图形表示：（出示）【投影片5】活动投影片展示等差数列的图形表示：由于函数)(1d a n d a n -+⋅=中的N n ∈，所以它的图形是位于y 轴右半平面上的一些孤立的点，而且这些点都在直线)(1d a dx y -+=上。

（设计目的：①使学生熟悉通项公式的应用；从函数观点出发，利用数形结合，加深对等差数列通项公式的理解。

）
⑷教师出示【投影片6】（两位学生板演）练习（课本P 36例2 ） 已知等差数
列｛a n ｝中已知a 3=10，a 9=28，求：a 12。

活动设计：①师生共同评价解题过程；②教师提问：是否有另外的解法？③ 教师根据课堂中的具体情况，引导学生得出d a a )47(47-+=，而后由学生推广到d k n a a k n )(-+=，再引导学生说明该等式与通项公式的关系以及该等式的作用在
于：Ⅰ．已知等差数列的某一项与公差可求出任意指定项；Ⅱ．已知等差数列的任意两项可求出公差，并且从等差数列的图形上加以形象的说明。

（设计目的：①再次强化通项公式的应用；②加强学生对方程（组）思想方法的应用；③加强对通项公式的深入理解。

培养学生观察、归纳能力以及分析问题、解决问题的能力，让学生再次尝试数列问题常用的处理方法。

）
㈣小结
1．本课所学知识；
2．本课涉及到的数学思想方法；
3．从基本定义、概念出发，运用旧知，通过探索得出一些新的结论，这是学习数学常用的方法。

㈤出示【投影片7】布置作业
八．教学反思：
该课是笔者在2000年“江苏省高中青年数学评优课”（曾获一等奖）的基础上进行修改的，当时的教材和必修5（新教材）已有较大幅度的改变。

必修5中本节内容以现实问题为背景，体现“现实问题情境——建立数学模型——解决实际问题”的过程。

按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序展开，在学生了解数列及等差数列的概念及初步建立了等差数列的数列模型的基础上，探索等差数列的通项公式，并研究等差数列模型的应用。

在备课的过程我深刻体会到本教学设计较好地体现以下方面的数学新课程重要理念：倡导积极主动、勇于探索的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；发展学生的数学应用意识。