高三数学第二轮复习教学案
第十二课时 空间角与空间距离
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【考纲解读】
1.掌握两条直线所成的角、直线和平面所成的角及二面角的平面角的概念，并会求
这些角.
2.掌握两条异面直线间的距离（只要求会计算已给出公垂线时的距离）直线和平面间的距离及两个平面间的距离的概念,并会求直线和平面间的距离,两个平面间的距离.
【教学目标】
1.能够运用转化的思想化空间角为平面角;化线面间距离，面面间距离等为点到线或
线到面的距离.
2.培养学生空间想象能力,并能把空间想象能力与运算能力,逻辑思维能力相结合.
【例题讲解】
例题1
(1) 如图:PA平面90,ACBABC且
aBCACPA, 则异面直线PB与
AC所成角的正切值等于________;
(2) 下面是关于三棱锥的四个命题:
①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥;
②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;
③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；
④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥,其中,真命题的编号是___________.(写出的所有真命题的编号).
(3)四棱锥ABCDP中,PD底面ABCDABCD,为正方形,且1ABPD,G为ABC的重心,则PG与底面ABCD所成的角为
( )
A 43 B 34172arccos C 232arctan D 33arcsin
(4)已知球的表面积为20,球面上有CBA,,三点,如果32,2BCACAB,则球心到平面ABC的距离为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 2
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立体几何中的空间角问题专题复习
作者：程雷虎
来源：《中学教学参考·理科版》2019年第10期 龙源期刊网 龙源期刊网 龙源期刊网 龙源期刊网
[摘; ;要]空间角问题是立体几何中的高频考点.空间角问题主要为异面直线所成角、直线与平面所成角以及二面角.只要能掌握几何法和空间向量法，就能找到解决问题的关键.
[关键词]立体几何;空间角;复习
[中图分类号]; ; G633.6; ; ; ; [文献标识码]; ; A; ; ; ; [文章编号]; ; 1674-6058（2019）29-0001-03
立体几何是高中数学的重要组成部分.高考中，立体几何主要考查点、线、面的位置关系以及简单几何体为载体的线面位置关系的论证、角与距离的探求.它可与函数最值、空间向量、概率等知识交汇命题.此类问题涉及转化、分类、运动变化、数与方程、类比等数学思想方法.题目既注重考查通性通法，又关注学生的数学素养，是培养学生空间想象能力的主要素材. 龙源期刊网
下面笔者以近年的高考试题为例，对空间角的重要考点举例分析，希望对2020年的高三数学复习有所帮助.
点评：在两个平面内分别作公共棱的垂线（垂足可以不同），由向量性质及二面角的定义知，两垂線所在向量的夹角即为二面角的大小（两向量的起点均为各自的垂足）.对于本题而言，垂棱向量法比垂面向量法要方便，计算量小，并且不需要判断向量的“穿进穿出”问题.在复习过程中，教师不能就题而讲题，要将解决问题的思路拓宽，要引导学生运用多样手段解决问题.
二、空间角的复习建议
复习要根据考试大纲研究复习的内容，以及怎样高效地复习.这对于高三复习教学有着至关重要的作用.对于空间角的复习，笔者给出如下建议.
1.回归教材，夯实基础，理解概念
通山一中2018-2019学年上学期高三数学第一轮复习《立体几何》
导学案
使用时间：2018-10
编制人： 李 汉 审核人： 班级： 小组： 姓名： 评价：
第45讲 立体几何中的向量方法(2)—求空间角和距离
考纲要求： 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
命题趋势： 用向量法证明线线、线面、面面的平行与垂直，用向量法求空间角和空间距离，用向量法解决探索性问题.
1．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ a与b的夹角β
范围 θ β
求法 cos θ＝____________ cos β＝___________
2．直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝_______________.
3．求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ为__________________.
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝_________|__，二面角的平面角大小是向量n1与n的夹角(或其补角)．
4．利用空间向量求距离(供选用)
(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB→|＝___________________.
(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，
n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO→|＝_____________.
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1 / 11 高三数学空间角与空间距离的计算通用版
【本讲主要内容】
空间角与空间距离的计算
空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的大小，直线与直线、直线与平面、平面与平面间的距离的求解
【知识掌握】
【知识点精析】
空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．
1. 空间的角的概念及计算方法
（1）空间角概念——空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值X围，如 ①两异面直线所成的角θ∈（0，2）
②直线与平面所成的角θ∈[0，2]
③二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈（0，π）．
说明：对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步提高运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．
（2）空间的角的计算方法
①求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；
②求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；
③求二面角－l－的平面角（记作）通常有以下几种方法：
（ⅰ）根据定义；
（ⅱ）过棱l上任一点O作棱l的垂面，设∩＝OA，∩＝OB，则∠AOB＝（图1）；
（ⅲ）利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A，分别作另一个平面的垂线AB（垂足为B），或棱l的垂线AC（垂足为C），连结AC，则∠ACB＝或∠ACB＝－（图2）；
word 2 / 11 （ⅳ）设A为平面外任一点，AB⊥，垂足为B，AC⊥，垂足为C，则∠BAC＝或∠BAC＝－（图3）；
