数学模型在金融领域的应用

技经济市场　浅谈数学模型在金融市场中的应用　何宏庆　（延安大学财经学院，陕西延安７１６０００）　摘　要：数学模型在金融市场中具有重要作用，数学模型应用于金融市场的重大突破是证券组合投资模型和资本资产定价　模型的出现。本文将概括性介绍一些数学模型及其在金融市场中的应用。　关键词：金融市场；金融数学模型；证券组合；资产定价　１　引言　在现代金融市场中，对所研究的对象进行量化，建立适当的　数学模型，进而应用现代数学理论知识研究金融资产及其衍生　资产定价、复杂投资技术与公司的金融政策，已经成为现代金融　分析的主要发展趋势。数学模型应用于金融市场的重大突破是　证券组合投资模型和资本资产定价模型的出现，下面将概括性　介绍一些模型和他们的应用。　２金融市场应用中的几个重要数学模型　２．１证券投资组合模型　证券投资组合理论是研究怎样在未来不确定的竞争中如何　选择分配资源的理论。现代投资组合理论是由美国经济学家马　柯威茨提出的。投资组合理论认为投资组合是一个各种资产的　集合，组合中的每项资产都有和其相联系的平均收益和收益方　差。下面分别介绍资产组合的收益和收益方差的数学模型。　２．１．１资产组合的预期收益模型　把投资组合中的证券价格作为随机变量，用其均值表示收　益，投资组合中的预期收益Ｅ（ｒｎ）是投资组合中所有资产预期收　益的简单加权平均值，　为第ｊ种收益预期，其中的加权Ｘ为　各种资产投资占总投资的比率，公式为　（　）＝∑　Ｅ（，：）　＝ｌ　其中Ｘ１＋Ｘ２…Ｘｎ＝１　２．１．２资产组合的方差模型　方差反映的是随机变量对数学期望的离散程度。对于投资　组合来说，就是资产组合的收益与其预期收益偏离数的平方，即　—Ｆ（　．ｐ）］　ｌ为假设状态，ｒｎｆ为资产组合Ｐ在ｌ状态下的收益率。对于　ｎ个资产组合来说计算方差的一般公式是　。＝∑∑　ｃＯＶ（Ｘ，　）　１，　１　收益率的方差越大，说明其可能的各种收益偏离其预期收　益率的程度越大，投资风险也就越大。　２．２资本资产定价模型（ＣＡＰＭ模型）　资本资产定价模型主要描述了当市场处于均衡状态下，如　何解决资产的相关风险以及收益和风险的相互关系。在均衡市　场中，理性的投资者都会持有市场的证券组合的比例。诺贝尔经　济学奖获得者Ｓｈａｐｅ和Ｌｉｎｔｎｅｒ作了十条十分严格的假设，得到　了如下资本资产定价模型　Ｒ—　＋　）二　其中，可为证券的预期收益率，Ｒ，为无风险利率，Ｅ（Ｒ　为市　２００９年第３期　场证券组合的期望收率，仃　为市场证券组合收益率的标准差，　盯ｉ为证券ｉ的标准差。　２．３套利定价模型（Ａ　模型）　应用资本资产定价模型，投资者是基于预期收益和方差来　选择的，对预期收益的定义不同而得到的期望值和方差就会迥　然不同。套利定价模型是一种与ＣＰＡＭ不同的资产定价模型，其　原理基于一个价格准则：完全相同的两件物品不能以不同的价　格出售，否则就会出现套利机会。假设投资者是具有相同预期　的，可得到如下模型：　Ｒｔ＝　ｌ＋ｂｌＬＩ　＋ｂｌ１Ｉ２＋…＋ｂｌ　Ｉ　ｌ十ｅｌ　其中ａ　为证券ｉ的收益独立于所有指数的部分，Ｌ为影响　证券ｉ收益的第ｊ个指数　ｂ为证券ｉ的收益对于第ｉ个指数　的敏感系数，ｅｉ为随机残差。　ＡＰＴ理论的贡献主要在于其对均衡状态的描述，但其只是　阐明了资产定价的结构，后来不少学者对这一理论加以完善和　推广。　２．４期权定价模型　金融市场上交易的主要是金融衍生工具，这方面的研究主　要集中在对金融衍生工具，特别是期权工具的定价上。１９７３年，　Ｆｉｓｃｈｅｒ　Ｂｌａｃｋ和Ｍｙｍｎ　Ｓｃｈｏｌｅｓ建立了期权定价公式。设Ｓ为　标的股票的价格，ｆ为期权的价值，ｒ为无风险利率，　为股　票价格的波动率，则可得如下形式的片微分方程：　，鲁＋《　１　２　＝矿　’　＋　二＋一　。　ａｔ　ａＳ　２　ａｓ　Ｊ　Ｂｌａｃｋ和Ｓｃｈｏｌｅｓ成功地求解决这一微分方程，得到了殴式　看涨期权和看跌期权定价的精确公式。若记Ｘ为期权的交割价　格，ｃ为殴式看涨期权的价格，Ｐ为殴式看跌期权的价格，则　ｃ＝ｓＮｆ　１一ｘｅ　１Ｊ　Ｎｆ　１　其中　Ｐ；　８　Ⅳ（一　）－ｓＮ（一　）　（７ｌ＝　＋　——　一　＝　一　√　一　Ｎｆｘ）为标准正态分布变量的累积概率分布函数。　利用上式期权公式很容易计算期权的价值。举例如下：某人　欲在３个月后购买某支股票，又担心其涨价，于是先购买该支股　票的一个３个月到期的看涨期权。这样既可以锁定股票投资成　本又可以规避股票未来涨价的风险。若到期时标的物市场价格　下跌，则可以行使期权，否则放弃期权，损失的仅仅是少量的期　权费。现设该看跌期权购买时标的物的协议价格是５０元，到期　时标的物的市场价格为每股４４元，其风险盯为０．５，无风险证　券的利率为０．３，求期权价格。依题义，Ｔ－￣ｌ／３　年，查正态分布表得：　（下接第１６页）

如何利用数学解决经济与金融问题

在现代社会，数学不仅是一门学科，更是一种思维方式和工具。数学的应用范围十分广泛，除了在科学领域，它也在经济与金融领域发挥了重要作用。本文将探讨如何利用数学解决经济与金融问题。

一、数学模型在经济与金融中的应用

数学模型是指用数学语言和符号表示现实世界中的某种实际问题。在经济与金融中，数学模型可以解决许多复杂的问题，例如市场供求关系、价格弹性、投资决策等等。通过建立数学模型，我们可以对经济活动进行量化分析和预测，提供决策依据。

二、统计学在金融市场的应用

统计学是数学的一个分支，广泛应用于金融市场的分析和决策。统计学通过对历史数据的分析和处理，可以预测未来市场的趋势和走势。例如，通过对过去几年的股票价格数据进行统计分析，可以得出某只股票未来的涨跌概率。

三、微积分在金融中的应用

微积分是数学的一个重要分支，也是解决经济与金融问题的重要工具。微积分可以帮助我们求解极值问题、优化问题等。例如，在投资决策中，我们可以利用微积分来确定最优的投资组合，以最大化收益或最小化风险。

四、线性代数在金融分析中的应用 线性代数是数学的一个基础分支，也是金融分析中不可或缺的工具。线性代数可以用来解决多元线性回归、矩阵运算等问题。例如，在建立投资组合模型时，我们可以利用线性代数的方法对各种资产的权重进行计算。

五、概率论与随机过程在金融中的应用

概率论与随机过程是数学的一个分支，也是金融领域中不可或缺的知识。概率论可以帮助我们理解金融市场的风险与回报关系，随机过程则可以用来模拟金融市场价格的变动。例如，在期权定价中，我们可以利用随机过程模拟股票价格的变动情况，进而确定期权的价格。

六、数学优化在经济规划中的应用

数学优化是一门研究如何寻找最优解的学科，也是经济规划中的重要工具。数学优化可以帮助我们在有限资源下，实现最大化利润或最小化成本。例如，在生产计划中，我们可以利用数学优化的方法确定最佳的生产量和资源配置方案。

统计学在金融证券等领域的应用

随着信息科学技术的飞速发展，统计学与其他学科的相互渗透与影响更加广泛深入，应用于各个领域。在商业以及工业中，统计被用来了解与测量系统变异性，程序控制，对决策提供数据支持；在服务行业中，例如在金融行业中，运用统计技术将各种交易资料加以分类、整理，从而得到如客户贡献度、客户偏好、存款变动趋势、产品分析、行业发展等数据，从而为管理层提供决策依据，等等。

下面我们从金融证券、人口统计、企业质量管理三方面浅谈统计学的应用研究。

(一) 统计学方法在金融、证券领域的应用研究

1997年开始的亚洲金融风暴，给亚洲乃至世界经济的健康发展带来危机，我国经济的发展也受到亚洲金融风暴的影响。国家的经济安全、金融安全被国家领导核心重视，为统计技术与方法的应用提供了新的机遇，在全国应运而生建立了金融数学与金融工程管理中心、证券期货模拟实验室、金融数学系等。全国有不少统计学者成为研究金融、证券、投资的主力。从发表的论文来看统计方法研究金融、证券问题主要有：（1）有效投资组合研究。最为典型的是VaR技术的运用和具有异方差的时间序列模型技术的应用。（2）结构分析研究。运用多元统计方法分析股票的投资结构、探讨股票涨跌规律、寻求证券市场发展与影响因素的关系。（3）金融安全概率的研究。有学者运用东南亚等国和中国的金融数据资料，结合金融安全给出预警概率，为国家宏观经济调控和金融风险防范提供了有力的决策依据。

(二) 统计学方法在人口方面的应用研究

统计学在人口方面的应用是在社会生产力有了一定的发展以后开始的。随着奴隶主对于奴隶人数的计量和管理，这样就有了人口统计的需求。同时，由于征集兵役、缴纳贡税和摊派徭役等，就有了对人口进行分性别、分年龄统计的需求。它通过统计人口数量，并研究揭示人口数量特征。另外，还进一步研究人口现象诸多的内在数量关系。为国家制定各种人口政策提供了理论依据。

(三) 统计学方法在企业质量管理中的应用研究

设计

（ 20 届）

数学建模方法及其在金融领域的应用

所在学院

专业班级 信息与计算科学

学生姓名 学号

指导教师 职称

完成日期 年 月

I 摘要：随着科学技术的快速发展，数学在自然科学、社会科学、工程技术与现代化管理等许多方面得到了越来越广泛而深入的应用。尤其是在经济发展中的金融领域，数学建模有着很重要的作用。数学建模方法有很多，而在解决实际问题的过程中，建立数学模型是其关键之步。因此，本次论文我们主要研究数学建模的基本方法和它在金融领域中的应用。

我们首先介绍数学建模方法的历史背景、研究意义、应用前景。接着总结数学建模的基本方法及相关应用领域，并举出两个在某些领域中的具体实例，建立数学模型来说明建模的方法和使用过程。最后讨论数学建模在金融中的应用和意义，重点分析金融中的期权定价问题和数学建模在其他经济管理领域中的应用，并辅助实例加以说明。

关键词：数学建模方法；数学模型；金融；期权定价；应用

II Mathematical modeling method and its application in the

financial sector

Abstract: With the rapid development of science and technology ，mathematics

got more and more extensive and in-depth applications in natural science, social science,

engineering technology and modern management and many other aspects. Especially in