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概率论与数理统计 第二章 考研真题

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1

例1（2010考研真题）设随机变量X的分布函数0, <01, 0<121-e, 1xxFxxx．则1112PXe．

解 根据分布函数的性质，有

1111111110122PXPXPXFFee。

例 2（2000考研真题）设随机变量1,[0,1]32(),[3,6]90,xXfxx的概率密度为其他，

若k使得2{}3PXk．则k的取值范围是[1,3] ．

解 若,0k则根据密度函数的定义，有

,3213231)()()(}{6310dxxfdxxfdxxfkXPk

若由时当,10,0kk

1631212{}()(1)1,13933kkPXkfxdxdxdxkk得，

13,k当时由假设6322{}(),193kPXkfxdxdxk得，

即：13,k当时结论成立．

由时当,63k32)6(9292)(}{6kdxdxxfkXPkk；即,63时当k结论不成立．同理6k时，结论也不成立．

综上所述，k的取值范围是[1，3]．

例3（2008考研真题）设随机变量X服从参数为1的泊松分布．则2112PXEXe．

解 由1,XP知1,EXDX22[]2,EXDXEX

所以21122PXEXPXe．

例 4 （1990考研真题）某地抽样调查表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，2

平均成绩为72分；96分以上占考生总数的2．3％．试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率．

表2-4

x 0 0．5 1．0 1．5 2．0 2．5 3．0

)(x 0．500 0．692 0．841 0．933 0．977 0．994 0．999

其中)(x是标准正态分布函数．

解 设X表示考生的外语成绩，由已知X～),,72(2N现求2．因为

023.0)24(1}729672{1}96{1}96{XPXPXP，

有22424()0.977,2,12,(72,12)XN查表得故服从正态分布，

于是，所求概率为

607272847272{6084}{}{11}1212XXPXPP(1)(1)2(1)120.84110.682．

例5 （1995考研真题）设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：XeY21在区间(0,1)上服从均匀分布．

证明 已知22,0()0,xXexfx其他，又}1{}{)(2yePyYPyFXY，

当0,()0YyFy时有； 当1,()1YyFy时有；

当10y时，有

)}1ln(21{}2)1{ln(}1{)(2yXPXyPyePyFXY

dxedxxfxyXy2)1ln(210)1ln(212)(，

故 1ln(1)2200,0()2,011,1yxYyFyedxyy，

1,01()()0,YYyfyFy其他，即Y在区间(0,1)上服从均匀分布．

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武汉科技大学2022年《概率论与数理统计》考研真题与答案解析

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一、选择题

1、已知, ，则的最大值为（ A ）.

()0.5PA()0.6PB()PAB

A. 0.5； B. 0.6； C. 0.1； D. 1

2、设随机变量为，为常数，且，则下列结论正确的

(0,1)XN:,YaXb,ab0a

是（ B ）

A. ； B. ； C. D.

EYa2DYaEYab22DYab

3、设表示二维随机变量的联合分布函数，则下列说法中不正确的是

(,)Fxy(,)XY

（ A ）

A. B. 关于单调不减； 1

(0,)

2F(,)Fxx

C. 表示随机向量落在第三象限的概率；（包括边界）

(0,0)F(,)XY

D. ；

1(0,)(,0)(0,0)0FFF

4、设为随机变量，分别表示的期望和方差，为常数，则下述结论

X,EXDXXC

正确的是（ B ）

A. ； B. ；

()EXCEX()EXCEXC

C. ； D.

()DXCDXC()DEXCEX

5、设连续型随机变量的密度函数为，下述结论不正确的是

X1,01

()

0,x

fx

其它

（ D ）

A. ； B. ； C. ； D. 1

()

2EX1

()

12DX21

()

3EX2()1EX

6、设二维随机变量，则如下结论不正确的是（ A ）

(,)(0,0,1,1;0)XYNA. ； B. ； C. ； D. 不相关

()1EY()1DY

1

(0)

2PY,XY

二、填空题

1、设事件为两两互不相容，且已知,则

,,ABC()0.1,PA()0.2,PB()0.3PC

0.6 .

()PABCUU

2、设连续型随机变量的密度函数为

X

，,0

()

0,0xex

fx

x

计算 .

(1)PX1e

3、设二维随机变量服从区域上的均匀分布，则可

(,)XY

(,);01,01Gxyxy得 1/2 .1

()

2PX

《概率论与数理统计》习题及答案

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概率论与数理统计

第一部份 习题

第一章 概率论基本概念

一、填空题

1、设A，B，C为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(BAPAP，且A与B互不相容，则)(BP 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率

为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A，B为两事件，3.0)(,7.0)(BAPAP，则)(BAP 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A，B为两事件，2.0)(,5.0)(BAPAP，则)(ABP 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率

为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X和Y分别表示先后掷出的点数，10YXA

YXB，则)|(ABP 。

11、设BA,是两事件，则BA,的差事件为 。

12、设CBA,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(BPAP则)(CP ，)(ABP 。

13、设A与B为互不相容的两事件，,0)(BP则)|(BAP 。

14、设A与B为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(BPAP，则)(ABP 。

考研数学二(概率论与数理统计)模拟试卷3(题后含答案及解析)

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题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 关于随机事件{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}，下列结论正确的是( )

A．为对立事件．

B．为互不相容事件．

C．为相互独立事件．

D．P{X≤a，Y≤b}＞P{X＞a，Y＞b}．

正确答案：B

解析：如图3—1所示，选项(A)、(D)都是不一定成立的．如果{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}相互独立，则应P{(X≤a，Y≤b)(X＞a，Y＞b)}=0，不一定与P{X≤a，Y≤b}P{X＞a，Y＞b}相等，故(C)不正确．综上，应选

B． 知识模块：概率论与数理统计

2． 设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(X，X)的分布函数G(x，y)为( )

A．F(x，y)．

B．F(y，x)．

C．F(一x，一y)．

D．F(一y，一x)．

正确答案：B

解析：G(x，y)=P{Y≤x，x≤y}=P{x≤y，Y≤x}=F(y，x)． 故应选

B． 知识模块：概率论与数理统计

3． 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)=，则常数A和B的值依次为( )

A．

B．

C．

D．

正确答案：C

解析：V(x，y)能够作为分布函数，则需满足 0≤F(x，y)≤1，F(+∞，+∞)=1，F(一∞，一∞)=F(x，一∞)=F(一∞，y)=0，关于x，y单调不减且右连续，故F(+∞，+∞)=Aπ(B+)=1，满足此条件的只有(C)． 知识模块：概率论与数理

统计

4． 设随机变量X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(x)，Z=X+Y，FZ(z)为Z的分布函数，则下列成立的是( )

A．FZ(2z)=2F(z)．

B．FZ(2z)=[r(z)2

C．FZ(2z)≤[F(z)]2．

考研数学二(概率论与数理统计)-试卷6

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(总分：58.00，做题时间：90分钟)

一、 选择题(总题数：12，分数：24.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

解析：

2.设A，B，C是同一个试验的随机事件，则事件(A∪B)(A∪∪B)可以化简为( )

（分数：2.00）

A.A∪B．

B.A—B．

C.AB．

√

D.．

解析：解析：注：化简数学式子主要从两个角度着手，一是简化形式，二是简化结果．注意事件的运算满足交换律、结合律、分配律，德.摩根律和吸收律．把握这些特征，有利于化简复杂事件．

3.设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是( )

（分数：2.00）

A.不相容．

B.相容．

C.P(AB)=P(A)P(B)．

D.P(A一B)=P(A)． √

解析：解析：由图1—1，显然(A)不成立，由图1一2，选项(B)不成立． 又AB=，故P(AB)=0，而P(A)P(B)＞0，选项(C)不正确．

4.对于任意两个随机事件A和B，则( )．

（分数：2.00）

A.如果AB≠，则A，B一定独立．

B.如果AB≠，则A，B有可能独立． √

C.如果AB=，则A，B一定独立．

D.如果AB=，则A，B一定不独立．

解析：解析：一般地，随机事件互不相容与相互独立之间没有必然联系，如果 0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，

且A和B相互独立，则0＜P(AB)=P(A)P(B)＜1，则AB≠． 反之，如果AB≠，P(AB)与P(A)P(B)有可能相等，故应选B．

5.设A为随机事件，且P(A)=1，则对于任意的随机事件B，必有( )