2002年高考试题——数学理(全国卷) (1)
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2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9
页．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．圆1)1(22
=+−yx的圆心到直线3
3yx=
的距离是
A．
21
B．
23
C．1 D
．3
2．复数3
)
23
21
(i+
的值是
A．i− B．i C．1− D．1
3．不等式0|)|1)(1(−+xx的解集是
A．}10|{xx B．0|{xx且}1−x
C．}11|{−xx D．1|{xx且}1−x
4．在)2,0(
内，使xxcossin
成立的x
的取值范围是
A．)
45
,()
2,
4(
B．),
4(
C．)
45
,
4(
D．)
23
,
45
(),
4(
5．设集合},
41
2|{Zkk
xxM+==，},
21
4|{Zkk
xxN+==
，则
A．NM=
B．NM
C．NM
D．=NM
6．点)0,1(P
到曲线
==
tytx
22
（其中参数Rt
）上的点的最短距离为
A．0 B．1 C
．2
D．2 7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆
锥轴截面顶角的余弦值是
A．
43
B．
54
C．
53
D．
53
−
8．正六棱柱
111111FEDCBAABCDEF−
的底面边长为1
，侧棱长为2
，则这个棱柱侧面
对角线DE
1与
1BC
所成的角是
A．90
B．60
C．45
D．30
9．函数cbxxy++=2
（),0[+）是单调函数的充要条件是
A．0b
B．0b
C．0b
D．0b
10．函数
11
1
−−=
xy
的图象是
11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933
亿元，比上年增长7．3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都
按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为
A．115000亿元 B．120000亿元 C．127000亿元 D．135000亿元
第II卷
(非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．
13．函数x
ay=
在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a
＝
14．椭圆5522
=+kyx
的一个焦点是)2,0(，那么=k
15．72
)2)(1(−+xx
展开式中3
x
的系数是
16．已知
22
1)(
xx
xf
+=，那么)
41
()4()
31
()3()
21
()2()1(fffffff++++++
＝
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
xy
O11
(A)
xy
O11
(B)
xy
O-11
(C)
xy
O-11
(D)17．已知12coscos2sin2sin2
=−+，)
2,0(
，求sin
、tg的值
18．如图，正方形ABCD
、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD
、ABEF互相垂直点M
在AC
上移动，点N
在BF上移动，若aBNCM==
（20a
）
（1）求MN
的长；
（2）a
为何值时，MN
的长最小；
（3）当MN
的长最小时，求面MNA
与面MNB
所成二面角
的大小
19．设点P到点)0,1(−、)0,1(距离之差为m2
，到x
、y轴的距
离之比为2，求m的取值范围
20．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么
每年新增汽车数量不应超过多少辆？
21．设a
为实数，函数1||)(2
+−+=axxxf
，Rx
（1）讨论)(xf的奇偶性；
（2）求)(xf的最小值
22．设数列}{
na
满足：12
1+−=
+nnnnaaa
，,3,2,1=n
（I）当2
1=a
时，求
432,,aaa
并由此猜测
na
的一个通项公式；
（II）当3
1a
时，证明对所的1n
，有
（i）2+na
n
（ii）
21
11
11
11
11
321
+++
++
++
+
naaaa
A
BC
D
E
FP
QM
N
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C D C B B C B A B B C
二、填空题
（13）2 （14）1 （15）1008 （16）
27
三、解答题
（17）解：由12coscos2sin2sin2
=−+，得
0cos2cossin2cossin42222
=−+
0)1sinsin2(cos222
=−+
∵)
2,0(
∴01sin+
，0cos2
=
∴01sin2=−
，即
21
sin=
∴
6
=
∴
33
=tg
（18）解（I）作MP∥AB交BC
于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意
可得MP∥NQ，且NQMP=，即MNQP是平行四边形
∴PQMN=
由已知aBNCM==
，1===BEABCB
∴2==BFAC
，aBQCP
22
==
2
2cos(2sin1)(sin1)0−+=
)20(
21
)
22
( )
2()
21( )1(
22222
+−=+−==+−==
aaaaBQCPPQMN
（II）由（I）
21
)
22
( 2
+−=aMN
所以，当
22
=a时，
22
=MN
即当M、N
分别为AC
、BF的中点时，MN的长最小，最小值为
22
（III）取MN
的中点G
，连结AG
、BG
，
∵BNBMANAM==,，G
为MN
的中点
∴MNBGMNAG⊥⊥,，即AGB
即为二面角的平面角
又
46
==BGAG
，所以，由余弦定理有
31
46
46
21)
46
()
46
(
cos22
−=
−+
=
故所求二面角为
31
arccos−=
（19）解：设点P的坐标为),(yx，依题设得2
||||
=
xy
，即xy2=，0x
因此，点),(yxP、)0,1(−M、)0,1(N三点不共线，得
2||||||||=−MNPNPM
∵0||2||||||=−mPNPM
∴1||0m
因此，点P
在以M
、N
为焦点，实轴长为||2m
的双曲线上，故
