控制工程第5章系统的频率特性

自动控制原理第5章频率特性

频率特性是指系统对输入信号频率的响应特点。在自动控制系统设计中，了解和分析系统的频率特性是非常重要的，因为它可以帮助工程师评估系统的稳定性，性能和稳定裕度。本章主要介绍频率特性的相关概念和分析方法，包括频率响应函数、频率幅频特性、相频特性、对数坐标图等。

1.频率响应函数

频率响应函数是描述系统在不同频率下的输出和输入之间的关系的函数。在连续时间系统中，频率响应函数可以表示为H(jω)，其中j是虚数单位，ω是频率。频率响应函数通常是复数形式，它包含了系统的振幅和相位信息。

2.频率幅频特性

频率幅频特性是频率响应函数的模的图形表示，通常用于表示系统的增益特性。频率幅频特性通常用对数坐标图绘制，以便更好地显示系统在不同频率下的增益特性。对数坐标图上，增益通常以分贝（dB）为单位表示。

3.相频特性

相频特性是频率响应函数的相角的图形表示，通常用于表示系统的相位特性。相频特性可以让我们了解系统对输入信号的相位延迟或提前情况。在相频特性图上，频率通常是以对数坐标表示的。

4. Bode图 Bode图是频率幅频特性和相频特性的综合图形表示。它将频率幅频特性和相频特性分别绘制在纵轴和横轴上，因此可以直观地了解系统在不同频率下的增益和相位特性。

5.系统的稳定性分析

频率特性可以帮助工程师判断系统的稳定性。在Bode图上，当系统的相位角趋近于-180度，且增益在此处为0dB时，系统即将变得不稳定。对于闭环控制系统，我们希望系统在特定频率范围内保持稳定，以便实现良好的控制性能。

6.频率特性的设计

频率特性的设计是自动控制系统设计中的一个重要任务。工程师需要根据系统对不同频率下的增益和相位的要求，设计出合适的控制器。常见的设计方法包括校正器设计、分频补偿、频率域设计等。

总结：

本章重点介绍了自动控制系统的频率特性，包括频率响应函数、频率幅频特性、相频特性和Bode图。频率特性的分析和设计对于掌握自动控制系统的稳定性、性能和稳定裕度非常重要。通过对频率特性的研究和了解，工程师可以更好地设计和优化系统的控制器，以满足系统的要求。

第五章

§5-1 引言

§5-2频率特性

§5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制

§5-4开环和闭环系统Bode图的绘制方法

§5-5 系统稳定性分析

§5-6控制系统的相对稳定性分析

第五章 控制系统的频率响应分析

[教学目的]：掌握利用频域法进行系统分析的一般方法 ，为后面的校正及信号与系统分析打下基础。

掌握系统频率特性分析与系统幅角之间的关系，掌握Nyquist图和Bode图的绘制方法，根据系统的Nyquist图和Bode图分析系统的性质。本章的难点是Nyquist稳定性分析。

[主要容]：

一、引言

二、 频率特性

三、 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制

四、 频率域稳定判据

五、 稳定裕度

六、 闭环系统的频域性能指标

[重点]： 频率特性的基本概念，各种频域特性曲线的绘制，Nyquist稳定判据的应用，及相对稳定裕度的分析，理解三频段的概念与作用。

[难点]：时域性能指标与频域性能指标之间的相互转换。闭环频域性能指标的理解与应用

[讲授方法及技巧]：联系传递函数，微分方程等数学模型，将频率法和时域分析法、根轨迹法相比较，理解和掌握古典控制系统的完整体系。准确理解概念，把握各种图形表示法的相互联系。与时域法进行对比，以加深理解。

§5-1 引言

1.时域分析法（特点）

1)

以传递函数和单位阶跃响应为分析基础构成的一整套解析法为主响应曲线图形分析法为辅的分析方法。它具有直观、明确的物理意义，但就是运算工作量较大，参数的全局特征不明显。

2) 原始依据－－数学模型，得来不易，也同实际系统得真实情况有差异，存在较多的近似、假设和忽略，有时对于未知对象，还可能要用经验法估计。

3) 对工程中普遍存在的高频噪声干扰的研究无能为力。

4) 在定性分析上存在明显的不足。

5) 属于以“点”为工作方式的分析方法。

2.根轨迹法（特点）

1）根轨迹法弥补了时域分析法中参数全局变化时特征不明显的不足，在研究单一指定参数对整个系统的影响时很有用；

1 第五章 频域分析法

 目的：

①直观，对高频干扰的抑制能力。对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。

②便于系统的分析与设计。

③易于用实验法定传函。

§5.1 频率特性

一. 定义

)()()()(1npspsssG

在系统输入端加一个正弦信号：tRtrmsin)(

))(()(22jsjsRsRsRmm

系统输出：))(()()()()(1jsjsRpspsssYmn 2 tjtjeAeAtyty瞬态响应)()(1

若系统稳定，即)(sG的极点全位于s左半平面，则 0)(lim1tyt

稳态响应为：

tjtjsseAeAty)(

而)(21)()(22jGRjjssRsGAmjsm

)(21)()(22jGRjjssRsGAmjsm

∴tjmtjmssejGRjejGRjty)(21)(21)(

=])()([21tjtjmejGejGRj

又)(sG为s的有理函数，故)()(*jGjG，即 3 jejGjG)()(

jejGjG)()(

∴][)(21)()()(tjtjmsseejGRjty

=)sin()(tjGRm

=)sin(tYm

可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。其幅值是输入正弦信号幅值的)(jG倍，其相移为)(jG。

∴)()()(jGjGjG表示了稳定线性定常系统的稳态输出和输入正弦波之间的关系，故称)(jG为频率响应函数。又称)(jG为系统的频率特性。

可证：)()()()(jRjYsGjGjs（见上面A，A的求法）

146 第5章 线性系统的频域分析与校正

时域分析法具有直观、准确的优点。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解

后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高

阶系统的微分方程比较困难。而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是容易实现

事。

本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。频域法是基于频率特性或频率

响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故又称为频率响应法。

频率法的优点较多。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否

稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对

应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性

曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。此外，频率特性不但可

由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。这对于某些难以用机理分析方

法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。因此，频率法得到了

广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。

5.1 频率特性的基本概念

5.1.1 频率特性的定义

为了说明什么是频率特性，先看一个R－C电路，如图5-1所示。设电路的输入、输出

电压分别为()

rut

和()

cut

，电路的传递函数为 ()1

()

()1c

rUs

Gs

UsTs



式中，RCT

为电路的时间常数。

若给电路输人一个振幅为X

、频率为

的正弦信号

即： ()sin

rutXt



(5-1)

当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为

图5-1 RC

电路

147 2211

()()

11crX

UsUs

TsTss





对上式取拉氏反变换，得出输出时域解为 

22

22()sinarctan

1

1t

T

cXTX

utetT

T

T













上式右端第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。当t

时，第一项趋于0，电路稳态

输出为 