等比数列及其前n项和 高考考点精讲
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1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.
3．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.
6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
【知识拓展】
等比数列{an}的单调性
(1)满足 a1>0，q>1或 a1<0，00，01时，{an}是递减数列．
(3)当 a1≠0，q＝1时，{an}为常数列．
(4)当q<0时，{an}为摆动数列．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( × )
(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.( × )
(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( × )
(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( ×
)
1．(教材改编)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q等于( )
A．－12 B．－2
C．2 D.12
答案 D
解析 由题意知q3＝a5a2＝18，∴q＝12.
2．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于( )
A．21 B．42 C．63 D．84
答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于( )
A．31 B．32 C．63 D．64
答案 C
解析 根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.
4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
答案 27,81
解析 设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.
5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝________.
答案 －11
解析 设等比数列{an}的公比为q，
∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.
∴q3＋8＝0，∴q＝－2，
∴S5S2＝a11－q51－q·1－qa11－q2
＝1－q51－q2＝1－－251－4＝－11.
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( )
A．2 B．1 C.12 D.18
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，则Snan＝________.
答案 (1)C (2)2n－1
解析 (1)由{an}为等比数列，得a3a5＝a24，
又a3a5＝4(a4－1)，所以a24＝4(a4－1)，
解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，
则由a4＝a1q3，得2＝14q3，解得q＝2，
所以a2＝a1q＝12.故选C.
(2)∵ a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，∴ a1＋a1q2＝52， ①a1q＋a1q3＝54， ②
由①除以②可得1＋q2q＋q3＝2，
解得q＝12，代入①得a1＝2， ∴an＝2×(12)n－1＝42n，
∴Sn＝2×[1－12n]1－12＝4(1－12n)，
∴Snan＝41－12n42n＝2n－1.
思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A.152 B.314 C.334 D.172
(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.
答案 (1)B (2)3n－1
解析 (1)显然公比q≠1，由题意得 a1q·a1q3＝1，a11－q31－q＝7，
解得 a1＝4，q＝12或 a1＝9q＝－13(舍去)，
∴S5＝a11－q51－q＝41－1251－12＝314.
(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，
可得a3＝3a2，所以公比q＝3，
故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.
题型二 等比数列的判定与证明
例2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 又 Sn＋1＝4an＋2， ①Sn＝4an－1＋2n≥2， ②
由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，
故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
(2)解 由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
∴an＋12n＋1－an2n＝34，
故{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列．
∴an2n＝12＋(n－1)·34＝3n－14，
故an＝(3n－1)·2n－2.
引申探究
若将本例中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列{an}的通项公式．
解 由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n.
∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，
∴an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2，(*)
又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，即a2＋1＝2(a1＋1)，
∴当n＝1时(*)式也成立，
故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.
思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明：{an＋12}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明：1a1＋1a2＋…＋1an<32.
证明 (1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋12＝3(an＋12)．
又a1＋12＝32， 所以{an＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．
所以an＋12＝3n2，因此{an}的通项公式为an＝3n－12.
(2)由(1)知1an＝23n－1.
因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以13n－1≤12×3n－1.
于是1a1＋1a2＋…＋1an≤1＋13＋…＋13n－1
＝32(1－13n)<32，
所以1a1＋1a2＋…＋1an<32.
题型三 等比数列性质的应用
例3 (1)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝12，则S9S3＝________.
答案 (1)50 (2)34
解析 (1)因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，
所以a10a11＝e5.
所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20
＝ln(a1a2…a20)
＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]
＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)
＝10ln e5＝50ln e＝50.
(2)方法一 ∵S6∶S3＝1∶2，∴{an}的公比q≠1.
由a11－q61－q÷a11－q31－q＝12，得q3＝－12，
∴S9S3＝1－q91－q3＝34.
方法二 ∵{an}是等比数列，且S6S3＝12，∴公比q≠－1，
∴S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，
将S6＝12S3代入得S9S3＝34.
思维升华 等比数列常见性质的应用
