四边形性质及判定总结

四边形的性质与判定四边形是我们在数学学习中经常接触到的几何图形。

它具有丰富多样的性质和独特的判定方法，这些性质和判定方法在解决几何问题、建筑设计、物理学等领域都有着广泛的应用。

四边形的定义很简单，就是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形。

常见的四边形有平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形等。

先来说说平行四边形的性质。

平行四边形的对边是平行且相等的。

这意味着，如果我们有一个平行四边形 ABCD，那么 AB 平行且等于CD，AD 平行且等于 BC 。

它的对角也是相等的，比如∠A 等于∠C，∠B 等于∠D 。

另外，平行四边形的两条对角线互相平分，也就是 AO ＝ OC，BO ＝ OD 。

平行四边形的判定方法也有多种。

如果两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。

两组对边分别相等也能判定为平行四边形。

一组对边平行且相等同样可以。

还有就是对角线互相平分的四边形是平行四边形。

矩形是一种特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有自己独特的性质。

矩形的四个角都是直角，对角线相等。

判定一个四边形是矩形，可以先判定它是平行四边形，然后再看是否有一个角是直角或者对角线是否相等。

菱形也是特殊的平行四边形。

菱形的四条边都相等，对角线互相垂直且平分每组对角。

要判定一个四边形是菱形，可以先判定它是平行四边形，然后看它的邻边是否相等或者对角线是否互相垂直。

正方形则更加特殊，它既是矩形又是菱形，所以具备矩形和菱形的所有性质。

判定一个四边形是正方形，可以先判定它是矩形，然后看邻边是否相等；或者先判定它是菱形，然后看有一个角是否为直角。

梯形是另一类常见的四边形。

梯形分为等腰梯形和直角梯形。

等腰梯形的两腰相等，同一底上的两个角相等，对角线相等。

直角梯形则有一个角是直角。

在实际应用中，四边形的性质和判定方法有着重要的作用。

比如在建筑设计中，设计师需要根据不同的需求和条件来设计房屋的结构，这就可能涉及到各种四边形的运用。

四边形知识点总结6．等腰梯形的性质：因为ABCD 是等腰梯形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321）对角线相等（；）同一底上的底角相等（两底平行，两腰相等；）（ 等腰梯形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+++对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等）梯形（321⇒ABCD 是等腰梯形 7．三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. 注：被中位线分成的三角形的周长是原三角形的1/2 被中位线分成的三角形的面积是原三角形的1/48．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 注：梯形的面积等于中位线乘高.第二部分、常用的辅助线技巧1.平行四边形与特殊的平行四边形常见的辅助线：①.平行四边形:（1）连对角线或平移对角线 （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 ②.菱形：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.注意：当菱形有一个内角为60°或有一条高垂直平分底边时连接对角线即可得到等边三角形。

③．矩形：计算题型（翻折问题），一般通过作辅助线（垂线等）构造直角三角形借助勾股定理解题 证明题型（探究问题），一般连接对角线借助对角线相等来解决问题注意：当矩形的对角线与一边（或另一条对角线）的夹角为60°时，其对角线与边长围成的三角形是等边三角形。

④．正方形：连接对角线 2．梯形中常见的辅助线：①．延长两腰交于一点（使梯形问题转化为三角形问题。

若是等腰梯形则得到等腰三角形。

）②．平移一腰（使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。

）③．作高（使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。

）④.平移一条对角线(得到平行四边形ACED ，使CE=AD ，BE 等于上、下底的和，S 梯形ABCD =S DBE ）⑤.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。

（可得△ADE ≌△FCE ，所以使S 梯形ABCD =S △ABF .）。

平行四边形的性质与判定一、平行四边形的性质1.对边平行且相等：平行四边形的对边分别平行且相等。

2.对角相等：平行四边形的对角线互相平分，且对角线交点将平行四边形分为两个相等的三角形，这两个三角形的角相等。

3.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即平行四边形的对角线交点是对角线中点的两倍。

4.相邻角互补：平行四边形的相邻角互补，即它们的和为180度。

5.对边角相等：平行四边形的对边角相等，即平行四边形的对边上的角相等。

6.对角线所在的平行线间的距离相等：平行四边形的对角线所在的平行线间的距离相等。

二、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。

5.相邻角互补的四边形是平行四边形。

6.对边角相等的四边形是平行四边形。

7.对角线所在的平行线间的距离相等的四边形是平行四边形。

8.矩形：矩形是四个角都是直角的平行四边形。

9.菱形：菱形是四条边都相等的平行四边形。

10.正方形：正方形是四个角都是直角且四条边都相等的平行四边形。

四、平行四边形的应用1.计算平行四边形的面积：平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。

2.证明平行四边形的性质：利用平行四边形的性质证明四边形的形状或关系。

3.解决实际问题：应用平行四边形的性质解决生活中的实际问题，如设计图形、计算面积等。

知识点：__________习题及方法：1.习题：已知ABCD是平行四边形，AB=6cm，AD=4cm，求BC和CD 的长度。

答案：BC和CD的长度分别为6cm和4cm。

解题思路：根据平行四边形的性质，对边相等，所以BC=AD=4cm，CD=AB=6cm。

2.习题：在平行四边形ABCD中，∠B=60°，求∠D的度数。

答案：∠D的度数为120°。

解题思路：根据平行四边形的性质，相邻角互补，所以∠D=180°-∠B=120°。

等边四边形的性质及其判定一、等边四边形的性质1.所有边相等：等边四边形的四条边长度相等。

2.所有角相等：等边四边形的四个内角都相等，每个角的大小为180°/4 = 45°。

3.对角线互相平分：等边四边形的对角线互相平分，且每条对角线将四边形分成两个等腰三角形。

4.相邻角互补：等边四边形的相邻内角互补，即两个相邻角的和为180°。

5.对边平行：等边四边形的对边平行。

6.对角相等：等边四边形的对角相等。

7.中心对称：等边四边形的中心点是对称中心，即四边形的任何一条对角线都可以作为对称轴。

二、等边四边形的判定1.边长判定：如果一个四边形的四条边长度都相等，那么这个四边形是等边四边形。

2.角度判定：如果一个四边形的四个内角都相等，每个角的大小为45°，那么这个四边形是等边四边形。

3.对角线判定：如果一个四边形的对角线互相平分，并且每条对角线将四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形是等边四边形。

4.相邻角判定：如果一个四边形的相邻内角互补，即两个相邻角的和为180°，那么这个四边形是等边四边形。

5.对边判定：如果一个四边形的对边平行，那么这个四边形是等边四边形。

6.对角判定：如果一个四边形的对角相等，那么这个四边形是等边四边形。

7.中心对称判定：如果一个四边形的中心点是对称中心，即任何一条对角线都可以作为对称轴，那么这个四边形是等边四边形。

以上就是等边四边形的性质及其判定的详细知识点介绍，希望对你有所帮助。

习题及方法：1.习题：已知四边形ABCD是等边四边形，求证AD=BC。

方法：由等边四边形的性质可知，等边四边形的所有边相等，因此AD=BC。

2.习题：已知四边形ABCD是等边四边形，求证∠B=∠D。

方法：由等边四边形的性质可知，等边四边形的所有角相等，因此∠B=∠D。

3.习题：已知四边形ABCD是等边四边形，求证AC平分BD。

方法：由等边四边形的性质可知，等边四边形的对角线互相平分，因此AC平分BD。

四边形判定定理以及性质定理一'平行四边形：判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

性质：（1）平行四边形两组对边分别平行。

（2）平行四边形的对边相等。

（3）平行四边形的对角相等。

（4）平行四边形的两条对角线互相平分。

（5）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

二、矩形：判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形。

（2）有三个内角是直角的四边形是矩形。

（3）对角线相等平行四边形是矩形。

性质：（1）矩形的四个角都是直角。

（2）矩形的两条对角线相等。

三、菱形：判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（2）四条边都相等的四边形是菱形。

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

性质：（1）菱形的四条边都相等。

（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

四、正方形：判定：（1）有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形是正方形。

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（3）有一个内角是直角的菱形是正方形。

性质：（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

（2）正方形的两条对角线相等，井且互相垂直，每条对角线平分一组对角。

五、梯形：判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形。

)word(2)在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

(3)对角线相等的四边形是等腰梯形。

性质：(1)等腰梯形在同一底边上的两个内角相等。

(2)等腰梯形的两条对角线相等。

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四边形整章复习秘籍一、性质：二、判定平行四边形：（1）有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（——定义）（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

★（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

很少用到平行四边面积=底×高矩形：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（——定义）（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）有三个角是直角的四边形是矩形矩形面积=长×宽菱形：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（-----定义）（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

（3）四边相等的四边形是菱形。

菱形面积=底×高菱形面积=1/2对角线乘积正方形:（1）一组邻边相等的矩形是正方形。

（2）一个角是直角的菱形是正方形。

正方形面积=边长×边长正方形面积=1/2对角线乘积三、梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等。

等腰梯形的两条对角线相等。

判定：（1）两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（---定义）（2）对角线相等的梯形叫做等腰梯形；（3）同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

梯形面积=1/2（上底+下底）×高梯形面积=中位线×高梯形中常见的辅助线：（作法1，5，7是常用的方法）对称性：既是轴对称又是中心对称的图形矩形菱形正方形；平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线。

中点四边形依次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形。

（中点四边形的形状只与原四边形对角线的数量与位置关系是否特殊有关）（1）如果原四边形对角线无特殊关系，则中点四边形为平行四边形，如平行四边形的中点四边形是平行四边形。

四边形的判定四边形是指具有四个边和四个角的图形。

在几何学中，根据四边形的性质和特点，可以进行不同的判定和分类。

本文将介绍四边形的判定方法，帮助读者准确辨识和识别四边形。

一、四边形的基本定义四边形是由四条线段连接起来构成的图形，它有四个顶点、四条边和四个内角。

四边形的边可以是直线段或曲线，而四边形的角可能是锐角、直角、钝角或其他类型的角。

二、四边形的常见类型1. 矩形矩形是指具有四个内角都是直角（90度）的四边形。

判定一个图形是否为矩形，可以通过检查它的四个内角是否都为90度。

2. 正方形正方形是指具有四个内角都是直角，且四条边长度相等的四边形。

判定一个图形是否为正方形，可以通过检查它的四个内角是否都为90度，以及四条边是否长度相等。

3. 平行四边形平行四边形是指具有两对相对边平行的四边形。

判定一个图形是否为平行四边形，可以通过检查它的两对相对边是否平行。

4. 长方形长方形是指具有四个内角都是直角，且相对边长度相等的四边形。

判定一个图形是否为长方形，可以通过检查它的四个内角是否都为90度，以及相对边是否长度相等。

5. 菱形菱形是指具有四个边长度相等，但不一定有直角的四边形。

判定一个图形是否为菱形，可以通过检查它的四条边是否长度相等。

6. 梯形梯形是指具有两边是平行的四边形。

判定一个图形是否为梯形，可以通过检查它的两边是否平行。

三、四边形的判定方法1. 角度判定法通过测量四边形的内角，判断是否满足特定的角度条件，可以判定四边形的类型。

比如，如果四个内角都是直角，那么就是矩形或正方形；如果有两组相等的内角，那么就是平行四边形等。

2. 边长判定法通过测量四边形的边长，判断是否满足特定的长度条件，可以判定四边形的类型。

比如，如果四条边的长度都相等，那么就是正方形或菱形；如果有一对边是平行且长度相等，另一对边也是平行的，那么就是梯形等。

3. 平行关系判定法通过判断四边形的边和角是否满足平行关系，可以判定四边形的类型。

四边形的性质与判定四边形是平面几何中的一种基本图形，它具有一些独特的性质和特点。

本文将探讨四边形的性质，以及如何进行判定。

一、四边形的定义和基本性质四边形是由四条线段构成的封闭图形，其中相邻的两条线段相交于一点，共享一个端点。

四边形的基本性质如下：1. 四边形的内角和为360度：四边形的内角和是指四个内角的度数之和，总是等于360度。

2. 对角线的性质：四边形的对角线是连接四个非相邻顶点的线段。

对角线有以下性质：a. 两条对角线的交点在四边形的中点上；b. 对角线的长度可以用勾股定理求解；c. 对角线平分四边形的面积；d. 矩形和菱形的对角线互相垂直。

3. 两组对边平行性质：四边形的两组对边可能平行，也可能不平行。

有以下情况：a. 平行四边形：四边形的两组对边都平行；b. 矩形：四边形的两组对边都平行且相等；c. 菱形：四边形的两组对边都平行且相等。

二、四边形的判定方法在几何中，判断一个图形是否是四边形是很重要的。

下面是几种常见的四边形判定方法：1. 边长判定法：如果一个图形有四条边且边长满足某种条件，如满足任意三边之和大于第四边的边长，那么这个图形就是一个四边形。

2. 点的位置关系判定法：如果一个图形的四个顶点的位置关系满足某种几何特征，如相邻两边相等、对角线相等等，那么这个图形就是一个四边形。

3. 角度判定法：如果一个图形的四个内角的度数满足某种几何特征，如和为360度、相对角度相等等，那么这个图形就是一个四边形。

三、实例分析现在我们通过一些实例来具体应用四边形的性质和判定方法。

例1：判断ABCD是否为平行四边形。

已知AB = CD，AD = BC，∠A = 80度。

解：根据已知，我们可以得知ABCD是一个四边形，并且AB = CD，AD = BC。

如果我们能证明ABCD的两组对边都是平行的，那么ABCD就是一个平行四边形。

首先，通过角度性质可知∠A + ∠C = 180度，因为∠A = 80度，所以∠C = 180度 - 80度 = 100度。

平行四边形的定义性质与判定
1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
2．性质：
(1)平行四边形的对边平行且相等；
(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4．两条平行线间的距离：
定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．
性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．
5．平行四边形的面积：
1.平行四边形的面积=底×高；
2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，BM⊥AC、DN⊥AC，CF⊥BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN∥MF．。