二次方程 反比例函数

反比例函數1. 反比例函數的定义。

反比例函數是一种特殊的函數，它的定义为：一个变量与另一个变量的倒数成反比例关系的函数。

也就是说，当一个变量增加时，另一个变量会减少，而且减少的幅度与增加的幅度成反比。

反比例函数可以用一元二次方程来表示，其形式为：y=k/x，其中k为常数，x和y分别为变量。

2. 反比例函數的图像反比例函数的图像是一条以原点为中心的对称曲线，其形状为“U”字形。

其函数表达式为y=k/x，其中k为正实数，x不等于0。

函数图像的横轴和纵轴上的任意一点都满足反比例函数的函数关系，横轴上的点的横坐标和纵轴上的点的纵坐标都是k的倒数。

反比例函数的图像具有对称性，即以原点为中心，其图像左右对称，上下对称。

此外，反比例函数的图像在原点处有一个拐点，曲线在原点处的切线斜率为无穷大。

3. 反比例函數的性质反比例函数是一种变量之间的反比例关系，其函数表达式为 y=k/x，其中k为常数。

反比例函数的性质如下：1. 反比例函数的图像是一条抛物线，其图像经过原点，且抛物线的斜率与x轴的斜率正好相反；2. 反比例函数的图像在x轴上的对称轴是y轴；3. 反比例函数的图像在y轴上的对称轴是x轴；4. 反比例函数的图像在x轴上的截距是k/2；5. 反比例函数的图像在y轴上的截距是k/2；6. 反比例函数的图像在x轴上的极值点是(0, k)；7. 反比例函数的图像在y轴上的极值点是(k, 0)；8. 反比例函数的图像在x轴上的最小值是k；9. 反比例函数的图像在y轴上的最大值是k；10. 反比例函数的图像在x轴上的最大值是无穷大；11. 反比例函数的图像在y轴上的最小值是0。

4. 反比例函數的应用反比例函數的应用：1. 生物学：反比例函數可以用来描述植物对光照的反应，以及动物对食物的反应。

2. 经济学：反比例函數可以用来表示供求关系，以及价格与需求量之间的关系。

3. 医学：反比例函數可以用来描述药物的作用，以及药物与毒性之间的关系。

二次函数与反比例函数交点个数文章标题：深度剖析二次函数与反比例函数交点个数的规律一、引言在数学中，二次函数和反比例函数是两种常见且重要的函数类型，它们在图像和性质上有着许多不同之处。

然而，我们是否曾经思考过二次函数和反比例函数在图像上的交点个数呢？这似乎是一个简单而又深远的问题，但其中隐藏着许多规律和变化，值得我们深入研究和思考。

二、二次函数与反比例函数的定义和性质让我们简单回顾一下二次函数和反比例函数的定义和性质。

二次函数的一般形式为：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$不等于0。

它的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，具有顶点、对称轴和轴线等性质。

而反比例函数的一般形式为：$f(x) = \frac{k}{x}$，其中$k$不等于0。

它的图像通常是由一条过原点并且斜率减小的曲线所组成，具有渐近线和反比例关系等性质。

三、二次函数与反比例函数的交点规律探究接下来，让我们来探讨二次函数和反比例函数在图像上的交点规律。

以简单的二次函数$f(x) = x^2 - 4$和反比例函数$f(x) =\frac{16}{x}$为例，我们可以通过求解它们的交点来找出规律。

我们需要将两个函数相等，即$x^2 - 4 = \frac{16}{x}$。

将方程整理后得到$x^3 - 4x = 16$，进一步得到$x(x^2 - 4) = 16$。

解得$x_1= -2, x_2 = 2$，那么在此例中，二次函数与反比例函数有两个交点。

通过这个简单的例子，我们可以初步观察到：当二次函数与反比例函数相交时，可能有一个、两个或者零个交点存在。

接下来，我们可以尝试通过改变二次函数和反比例函数的系数来观察交点的变化规律。

当二次函数变为$f(x) = 2x^2 - 4$，反比例函数变为$f(x) = \frac{16}{x}$时，我们发现两个函数再次相交于$x_1 = -\sqrt{2}, x_2 = \sqrt{2}$处。

第十三讲反比例函数【基础知识回顾】一、反比例函数的概念：一般地：函数y （k是常数，k≠0）叫做反比例函数【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠02、反比例函数的另一种表达式为y=（k是常数，k≠0）3、反比例函数解析式可写成xy= k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于】二、反比例函数的图象和性质：1、反比例函数y=kx（k≠0）的图象是，它有两个分支，关于对称2、反比例函数y=kx（k≠0）当k>0时它的图象位于象限，在每一个象限内y随x的增大而当k<0时，它的图象位于象限，在每一个象限内，y随x的增大而【名师提醒：1、在反比例函数y=kx中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】3、反比例函数中比例系数k的几何意义：双曲线y=kx（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线两垂线与坐标轴围成的矩形面积为，即如图：S矩形ABOC=S△AOB=【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】三、反比例函数解析式的确定因为反比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法一、反比例函数的应用解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一、一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．二、一般形式：ax2＋bx+c=0(a ≠0）。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）²=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

一次函数(y=ｋx+b)1.当ｘ=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0, b)。

[1]2.当b=0时,一次函数变为正比例函数。

当然正比例函数为特殊的一次函数。

［1]3.对于正比例函数，y除以ｘ的商是一定数(x≠0)。

对于反比例函数,ｘ与ｙ的积是一定数。

４．在两个一次函数表达式中:•当两个一次函数表达式中的k相同,ｂ也相同时,则这两个一次函数的图像重合;•当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行;•当两个一次函数表达式中的k不相同,b也不相同时，则这两个一次函数的图像相交；•当两个一次函数表达式中的k不相同,b相同时，则这两个一次函数图像交于ｙ轴上的同一点（0，b）;•当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。

［１]5.直线ｙ=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示:k>0,b＞0经过第一、二、三象限k>0,b<0经过第一、三、四象限k>0，b＝0经过第一、三象限【k>0时,图象从左到右上升，y随ｘ的增大而增大】k＜0b>０经过第一、二、四象限ｋ<0,b＜0经过第二、三、四象限K＜０，ｂ＝0经过第二、四象限【ｋ＜0图象从左到右下降，ｙ随x的增大而减小】一. 定义型例１．已知函数是一次函数，求其解析式。

解:由一次函数定义知，，,故一次函数的解析式为y＝-6x＋3。

注意:利用定义求一次函数y=kｘ＋b解析式时,要保证k≠0。

如本例中应保证m-3≠0。

二. 点斜型例２. 已知一次函数y＝kx-3的图像过点（2，-1)，求这个函数的解析式。

解: 一次函数的图像过点(2, -１），，即k=1。

故这个一次函数的解析式为y=x-3。

变式问法:已知一次函数y＝kx-3,当ｘ=2时，y＝-１,求这个函数的解析式。

三. 两点型例３.已知某个一次函数的图像与x 轴、ｙ轴的交点坐标分别是（-2, 0)、（０, ４），则这个函数的解析式为_____。

二次函数与反比例函数典型习题1. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y=bx-c在同一坐标系内的图象大致是（）2. 点P1（-1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A. y3＞y2＞y1， B。

y3＞y1＞y2 C。

y1＞y2＞y3 D。

y1=y2＞y33. 已知点（m-1，y1），（m-3，y2）是反比例函数（m＜0）图象上的两点，则y1 y2（填“＞”、“＝”、“＜”）4. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc＜0，②，③ac-b+1=0，④OA·OB=.其中正确的结论是（只填序号）5. 如图，双曲线（x＞0）经过矩，形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k= 。

6. 将x=代入反比例函数y=-中，所得函数值记为y1，再将x=y1+1代入该函数中，所得函数值记为y2，再将x=y2+1代入该函数中，所得函数值记为y3，...。

如此继续下去，则y2014= 。

7. 在均速运动中，路程S（km）一定时，速度v（km/h）关于时间t（h）的函数关系的大致图象是（）。

8. 已知开口向下的抛物线y=（m2-2）x2+2mx+1的对称轴经过点（-1,3），则m的值为（）A.2 B。

-1 C。

2或-1 D。

1或-29. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x=-1，且过点（-3,0），现有下列说法：①abc＜0，②2a-b=0，③4a+2b+c＜0，④若（-5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（）A. ①② B。

②③ C。

①②④ D。

②③④10. 若抛物线y=x2-2（k+1）x+16的顶点在x轴上，则k= 。

二次函数及反比例函数知识点二次函数和反比例函数是初中和高中数学中经常涉及的函数。

它们在数学上有着重要的应用，同时也具有一定的难度。

下面我们来详细介绍二次函数和反比例函数的知识点。

一、二次函数1. 定义：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数，且a≠0。

2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

3.二次函数的性质：(1) 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2 + bx + c。

(2)对称轴：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))的直线称为二次函数的对称轴，方程为x=-b/2a。

(3)开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的正负。

(4) 判别式：二次函数ax^2 + bx + c的判别式为Δ = b^2 - 4ac，当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ = 0时，有两个相等的实根；当Δ < 0时，无实根。

4.二次函数的平移：二次函数的横向平移和纵向平移可以通过对函数的自变量和因变量进行平移操作实现。

5.二次函数的解析式：通过给定的定点和顶点坐标，可以确定一条与x轴相交的二次函数。

6.二次函数的应用：二次函数在数学和物理等领域有着广泛的应用，如碰撞问题、抛物线运动等。

二、反比例函数1.定义：反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k为非零实数。

2.变化规律：反比例函数的特点是随着x的增大，y的值会逐渐减小；反之，随着x的减小，y的值会逐渐增大。

3.反比例函数的性质：(1)零点：当x≠0时，y=0称为反比例函数的零点。

(2)渐近线：反比例函数y=k/x的图像有两个渐进线x=0和y=0。

(3)对称性：反比例函数的图象关于坐标轴对称。

(4)奇函数：反比例函数是一个奇函数，满足f(-x)=-f(x)。

二次函数与反比例函数的组合与应用在数学中，二次函数和反比例函数是两个重要的函数类型，它们拥有不同的特点和应用场景。

本文将探讨二次函数和反比例函数的组合，并介绍它们在实际问题中的应用。

一、二次函数与反比例函数的概念与性质1. 二次函数的概念与性质二次函数是指函数表达式中含有二次项的函数，一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

二次函数的图像为抛物线，开口的方向由a的正负决定，顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

二次函数的性质包括：- 对称性：关于直线x = -b/2a对称；- 零点：方程ax^2 + bx + c = 0的解即为二次函数的零点；- 极值点：当a > 0时，函数图像有最小值；当a < 0时，函数图像有最大值。

2. 反比例函数的概念与性质反比例函数是指函数表达式中含有两个变量的比例关系，一般形式为：f(x) = k/x，其中k为常数且k ≠ 0。

反比例函数的图像通常为一个双曲线，开口的方向由k的正负决定。

反比例函数的性质包括：- 反比例关系：函数值的乘积为常数，即f(x) * x = k；- 特殊点：当x = 0时，函数值无定义，即不存在f(0)；- 渐近线：x轴和y轴分别为反比例函数的水平和垂直渐近线。

二、二次函数与反比例函数的组合在实际问题中，我们常常需要使用多个函数相互结合来描述事物的变化规律。

二次函数与反比例函数的组合可以用于更加精确地描述实际情况。

1. 二次函数与反比例函数的叠加当二次函数和反比例函数进行叠加时，可以得到更加复杂的函数表达式。

例如，可以将二次函数的顶点作为反比例函数的原点，将二次函数的零点作为反比例函数的水平渐近线。

2. 反比例函数的平移与缩放对于反比例函数，我们可以通过平移和缩放来改变其图像的位置和形状。

平移操作可以改变函数图像的水平和垂直位置，而缩放操作可以改变函数图像的大小和开口程度。

二次函数和反比例函数的交点二次函数和反比例函数，是中学数学中重要的两类函数。

它们的交点有其特殊的含义和应用。

一、二次函数的基本概念二次函数是指函数的自变量为二次元的函数，通常表现为 y = ax^2 + bx + c 的形式，其中 a 为非零实数，称为二次项系数，b 和 c 分别为实数，称为一次项系数和常数项。

二次函数与抛物线的关系密不可分。

二次函数的图像是一个关于 y 轴对称的抛物线，开口方向为上或下，取决于 a 的正负。

当 a > 0 时，二次函数的图像开口向上；当 a < 0 时，图像开口向下。

二次函数有很强的求最值能力，一般应用于对关于某一自变量的抛物线物理问题的建模、求解等。

二、反比例函数的基本概念反比例函数是指函数的形式为 y = k/x 的函数，其中k 为非零实数，称为比例系数。

这种函数的图像是一个关于 x 轴和 y 轴的反比例曲线，通常呈现一条双曲线的形式。

抛物线则是它的变形。

反比例函数一般被用于描述“比例”的关系，如人数、价格、速度等，通常在物理、经济、生物中广泛应用。

反比例函数的一个重要的性质是，当 x 趋近于 0 时，函数值趋向无穷大或无穷小，具有良好的定义域和值域。

三、二次函数和反比例函数的交点对于二次函数与反比例函数，它们的图像通常不会相交，因为它们的开口方向是不同的。

但是当特殊的条件满足时，它们的图像可以交于一点，这一点也是二次函数和反比例函数的交点。

这些条件包括但不限于以下情形：1. 当二次函数与反比例函数都对于 y 轴对称时，它们的交点一定在 y 轴上，且 y 坐标相等。

2. 当二次函数与反比例函数的交点在第一象限时，其横坐标和纵坐标均为正数。

3. 当二次函数与反比例函数的交点在第三象限时，其横坐标和纵坐标均为负数。

在应用问题中，二次函数和反比例函数的交点可能有多种解释。

例如在物理问题中，它可能表示物体运动过程中的某个时刻，速度和距离相等的情况。

在经济学中，交点可能代表产量和成本的平衡点，即收益最大点。

反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以为对称中心的中心对称的反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与相交（K≠0）。

2、性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

为x≠0；为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的，与坐标轴围成的面积为S1，S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是，又是，它有两条y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），是坐标原点。

6.若设y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于。

7.设在内有反比例函数y=k/x和y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x的：x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x,并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的越远。

13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。