反比例函数知识点归纳(重点)

反比例函数知识点总结一、定义和性质y=k/x其中k为常数，称为反比例函数的比例常数。

1.y随着x的增加而减小，或随着x的减小而增加。

2.当x=0时，函数y无定义。

3.曲线y=k/x在第一象限中，以坐标轴为渐近线。

二、图像和图像特征第一象限：当x>0时，y>0，两者同号，图像在该象限中呈现右上方向的增长，且随着x增大而逐渐降低，但不会等于0。

这个分支与y轴无交点，但是它和x轴的交点是(1/k,k)。

第二象限：当x<0时，y<0，两者异号，图像在该象限中呈现左下方向的增长，且随着x减小而逐渐增大，但不会等于0。

这个分支与y轴无交点，但是它和x轴的交点是(-1/k,-k)。

三、定义域和值域四、解析表达式五、反比例函数的性质与变换1.反比例函数的比例常数k越大，曲线的形状越平缓，即曲线与坐标轴之间的夹角越小。

2.反比例函数的图像关于y轴对称。

3.对于反比例函数的图像，x轴和y轴是渐近线，即曲线会无限接近x轴和y轴。

4.若给定一个特定的函数值y0，可以通过求解方程y0=k/x，得到x 与y的关系式。

六、反比例函数的应用1.马力与速度的关系：汽车的马力与速度成反比例关系，马力越大，达到其中一速度所需的时间越短。

2.投资收益与投资金额的关系：在一些投资项目中，投资收益与投资金额成反比例关系，这意味着投资金额较小的项目可能会有更高的投资收益率。

3.速度与时间的关系：在物理学中，速度和时间是反比例关系，速度越大，所需的时间越短。

4.电阻与电流的关系：根据欧姆定律，电阻与电流成反比例关系，电阻越大，所能通过的电流越小。

总结：反比例函数是一类常见的函数关系，具有重要的应用价值。

对于反比例函数的定义和性质，需要了解其图像特征以及定义域和值域的范围。

同时，反比例函数可以通过解析表达式表示，并具有一些特殊的性质和变换规律。

在实际生活中，反比例函数有着广泛的应用，例如在汽车马力与速度的关系、投资收益与投资金额的关系、速度与时间的关系以及电阻与电流的关系等方面。

反比例函数知识点知识点总结反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。

其中，x 是自变量，y 是因变量，k 叫做比例系数。

需要注意的是，反比例函数中自变量 x 的取值范围是x≠0，因为在分母中，分母不能为 0。

二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0），这是最基本的形式。

2、 xy ＝ k（k 为常数，k≠0），通过对 y ＝ k/x 两边同时乘以 x 得到。

3、 y ＝ kx^（－1)（k 为常数，k≠0），这是用幂的形式表示。

三、反比例函数的图像反比例函数的图像属于双曲线。

当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小。

当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

反比例函数的图像是以原点为对称中心的中心对称的两条曲线。

四、反比例函数的性质1、单调性当 k＞0 时，函数在区间（∞，0）和（0，＋∞）上分别单调递减；当 k＜0 时，函数在区间（∞，0）和（0，＋∞）上分别单调递增。

2、对称性反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。

它有两条对称轴，分别是直线 y ＝ x 和 y ＝ x；对称中心是原点（0，0）。

3、渐近线当 x 趋近于正无穷或负无穷时，曲线无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。

4、取值范围当 k＞0 时，y＞0 或 y＜0；当 k＜0 时，y＜0 或 y＞0。

五、反比例函数中 k 的几何意义1、过反比例函数 y ＝ k/x（k≠0）图像上任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则矩形 PMON 的面积 S ＝PM×PN ＝｜y|×｜x| ＝｜xy| ＝｜k|。

反比例函数是什么？反比例函数相关知识1：反比例函数是什么？反比例函数的定义域和值域因为x在分母上，所以x≠0，即自变量X的取值范围为非零实数。

而且常数k≠0，因此y≠0，即因变量y的`取值范围为非零实数。

反比例函数的图像及其性质形状：反比例函数的图象是两条双曲线，每一条曲线都无限向X轴Y轴延伸但不与坐标轴相交。

增减性：当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。

对称性：反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。

2：反比例函数知识点1、反比例函数的表达式X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)(即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方)y=kx(k为常数且k≠0，x≠0)若y=k/nx此时比例系数为：k/n2、函数式中自变量取值的范围①k≠0;②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。

解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)y=kx(k为常数(k≠0)，x不等于0)3、反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola)，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。

4、反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用?过反比例函数y=k/x(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值_y的.绝对值=(x_y)的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。

反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM?PN=|y|?|x|=|xy|=|k|。

反比例函数知识点总结反比例函数知识点总结1.反比例函数的定义一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

它可以从以下几个方面来理解：⑴ x是自变量，y是x的反比例函数；⑵自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数值的取值范围是y≠0；⑶比例系数k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式：① y=k/x（k≠0）；② y=kx^-1（k≠0）；③ xy=k（定值）（k≠0）；⑸函数y=k/x（k≠0）与函数x=k/y（k≠0）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。

当k=0时，y=k/x就不是反比例函数了。

2.用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数y=k/x（k≠0）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

3.反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称。

由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例函数的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

4.反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表所示：反比例函数 y=k/x（k≠0） k的符号 k>0 k0 y0时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。

当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

反比例是数学中一种重要的函数关系，主要出现在初中数学的学习内容中。

以下是反比例函数的相关知识点总结：1. 定义：两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么我们就称这两种量成反比例关系。

表达式为：y = k/x (k ≠0)，其中，k 是常数，x 是自变量，y 是因变量。

2. 图像特征：反比例函数的图像是一条双曲线，分布在第一、三象限或第二、四象限，具体分布取决于k的正负。

函数图像关于原点成中心对称。

3. 性质：在每个象限内，从左到右，y随x的增大而减小；反之，y随x 的减小而增大。

图像永远不会与坐标轴相交。

如果点（x1, y1）在反比例函数图像上，那么点(-x1, -y1)、(y1, x1)也在该图像上。

4. 应用：反比例关系广泛存在于现实生活中的各种问题，如物理学中的功率与时间的关系，化学中的反应速率与反应物浓度的关系，经济学中的价格与需求量的关系等。

5. 解题方法：遇到求反比例函数解析式的问题，通常可以通过找出满足函数关系的两个对应值，代入公式求解k值。

对于图像和性质的分析，可以根据上述性质进行判断和解答。

反比例函数在数学中的意义主要体现在它描述了一种特殊的变量关系，这种关系是两个变量之间乘积恒定的规律。

具体来说：1. 定义与形式：如果两个变量x和y之间的关系可以表示为y = k/x（其中k是不为零的常数），那么我们称y是x的反比例函数。

这里的k是比例系数，决定了曲线的形状和位置。

2. 关系特征：反比例函数反映的是两个变量成反向变化的关系，即一个变量增大时，另一个变量会按相同的比例减小，以保持它们乘积的不变性。

3. 几何意义：反比例函数在坐标平面上的图像是一条双曲线，分布在第一、三象限或第二、四象限，取决于系数k的正负。

双曲线具有对称性，并且永远不会与坐标轴相交。

4. 实际应用：反比例函数关系广泛存在于现实生活中的多个领域，如物理学中的力矩和力臂的关系、电流强度与电阻的关系（欧姆定律）、经济学中的价格和需求量的关系等。

反比例函数知识点归纳(重点)一、知识结构反比例函数的概念、图象及性质，函数的三种表示方法，函数模型的建立与实际问题的解决。

二、研究目标1.理解反比例函数的概念，能确定反比例函数的解析式，判断函数是否为反比例函数。

2.能描点画出反比例函数的图象，用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法。

3.能分析反比例函数的数学性质，解决一些简单实际问题。

4.能建立函数模型，解决实际问题，认识函数作为数学模型的重要性。

5.进一步理解常量与变量的关系，认识数形结合的思想方法。

三、重点难点重点是反比例函数的概念及图象的性质的理解和掌握，难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握。

基础知识一、反比例函数的概念1.反比例函数可以写成 $y=k/x$ 的形式，其中 $k$ 为常数，$x\neq 0$。

2.反比例函数也可以写成 $xy=k$ 的形式，用它可以求出反比例函数解析式中的 $k$，从而得到反比例函数的解析式。

3.反比例函数的自变量不能为 $0$，函数图象与 $x$ 轴、$y$ 轴无交点。

二、反比例函数的图象1.函数解析式：$y=k/x$。

2.自变量的取值范围：$x\neq 0$。

3.图象：1) 图象的形状：双曲线。

$k$ 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；$k$ 越小，图象的弯曲度越大。

2) 图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。

当 $k>0$ 时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。

当 $k<0$ 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。

当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$y$ 趋近于无穷大或无穷小。

3) 对称性：图象关于原点对称，即若 $(a,b)$ 在双曲线的一支上，则 $(\frac{k}{a},b)$ 在双曲线的另一支上。

三、反比例函数及其图象的性质1.反比例函数的解析式为 $y=k/x$，其中 $k$ 为常数，$x\neq 0$。

反比例函数知识点汇总1.定义与图像特征：反比例函数的定义为y=k/x，在此函数中，x不等于0，k为常数。

反比例函数的图像特点是：经过第一、二象限两点，以y轴和x轴为渐进线，图像在x轴的正半轴和y轴的正半轴上都不会出现，图像呈现出一种双曲线的形状。

2.反比例函数的基本性质：(a)定义域：x≠0，即x不能为0。

(b)值域：排除0，即y不能为0。

当x趋近于0时，y趋近于无穷大；当x趋近于无穷大时，y趋近于0。

(c)对称中心：该函数关于原点(0,0)对称。

(d)渐进线：图像与x轴和y轴都有渐进线，即当x趋近于无穷大时，y趋近于0；当y趋近于无穷大时，x趋近于0。

(e)单调性：反比例函数在定义域内是单调递减的。

(f)异号性：当x与y异号时，k为负数；当x与y同号时，k为正数。

(g)零点：当x与y相等时，即x=y≠0。

3.确定反比例函数的常数k：y1=k/x1和y2=k/x2通过消去k，可以得到：y1*y2=k因此，可以通过已知点的y值的乘积来确定k的值。

4.反比例函数的应用：(a)正比例与反比例的混合问题：当一个问题与正比例和反比例函数有关时，可以通过组合两种函数来解决问题。

例如，当一个物体的质量与加速度成反比例关系，而力与加速度成正比例关系时，可以通过设置两个函数来解决问题。

(b)流速与管道宽度：根据波的传播速度，流速与管道宽度成反比例关系。

当管道宽度较小时，流速较大；当管道宽度较大时，流速较小。

(c)投资与收益率：投资的利润与投资金额成反比例关系。

当投资金额较小时，相对的利润率较大；当投资金额较大时，相对的利润率较小。

(d)电阻与电流：电阻与电流成反比例关系，即当电阻较大时，电流较小；当电阻较小时，电流较大。

总结起来，反比例函数是一种特殊的函数关系，其图像呈现出一种双曲线的形状。

反比例函数具有一些基本性质，如定义域、值域、对称中心和渐进线等。

确定反比例函数的常数k可以通过已知点进行求解。

反比例函数在实际生活中有很多应用，特别是与强度、速度和功率等相关的问题。

反比例函数知识点归纳
一、反比例函数概念
反比例函数（Inverse Proportion Function）又叫做逆比例函数，是一类特殊的比例函数，它的定义域是实数集，值域也是实数集。

反比例函数的定义域和值域具有“反映射”性质，因此又称反映射函数。

反比例函数可以通过比例函数来表示，它是比例函数的反函数，也就是说，
y=k/x的反函数是x=k/y。

同时，反比例函数也是一类特殊的二元函数，它们的定义域和值域都是实数集，y具有反比例关系，即y与x是一种反比例关系，形式为y=k/x，其中 k 是比例系数，也是常数。

二、反比例函数的性质
（1）极限
反比例函数讨论极限时，考虑函数值的极限和它的反函数一起考虑，从而可以解决反比例函数存在的极限不定的问题。

由定义可知，当x→0+时，y→+∞，当x→0-时，y→-∞；当x→+∞时，y→0+，当x→-∞时，y→0-。

另外，由反比例函数的性质可知，当y→0+时，x→+∞，当y→0-时，x→-∞。

（2）导数
（3）图象。

第1章反比例函数1.1反比例函数知识点1反比例函数的定义1.定义：一般地，如果两个变量y与x的关系可表示成y= k（k为常x数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数.2.反比例函数的三种形式:①y=kx②y= kx -1,③xy=k (其中k为常数，k≠0)三种基本形式要牢记,这是识别反比例函数的关键特别提醒：①形如y= 1+1,(x+1)y=3,y=(x+1)-1等的函数都不是y关于x的反x比例函数.②反比例函数的表达式y= k中无论变量x, y怎样变化,k的值始终x等于x与y的乘积.若k=0,则y= k=0恒成立,为常数函数,失去了x反比例函数x, y成反比例的意义,所以k≠0.知识点2 反比例关系与反比例函数的关系1.如果两个量x,y满足xy=k(k为常数，k≠0),那么x,y就成反比例关系，这里的x和y既可以代表单项式，也可以代表多项式；当x,y只代表一次单项式时，x,y这两个量才成反比例函数关系.2.成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量必成反比例关系.示例：y= k(k为不等于0的常数),y与x²成反比例，x2但y不是关于x的反比例函数.3.反比例函数中有自变量和函数的区分，而反比例关系中的两个变量没有这种区分.示例解读( k为常数,k≠0);若y+2与x - 5成反比例,则y+2=kx − 5若y与x2成反比例,则y = k( k为常数, k≠0).x2知识点3求反比例函数表达式1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法，由于在反比例函数y=k(k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x,y的对应值或图×象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其表达式.2 用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤特别解读1.用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对应值，解一元一次方程.2.当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关（k为常数，k≠0).系”时，可直接设函数的表达式为y= kx1.2反比例函数的图象与性质知识点1 反比例函数的图象1.图象的画法(描点法):画实际问题中的反比例函数的图象时,要考虑自变量的取值范围,一般地,实际问题的图象是反比例函数图象，在第一象限内的一支或其中一部分.(1)列表：先取一些自变量的值，在原点的两边取三对或三对以上互为相反数的值，如1和-1,2和-2,3和-3等. 求y值时，只需计算原点一侧的函数值，另一侧的函数值可以随之得出.(2)描点：根据表中提供的数据，即点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点.(3)连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸，注意双曲线的两支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交.2.图象的特点：(1)反比例函数y= k(k为常数，k≠0)的图象是双曲线.x(2)反比例函数图象的两支分别位于第一、三象限或第二、四象限.(3)双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.(4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点),又是轴对称图形(对称轴是直线y=x和直线y=-x).示意图(如图1.2-1).y知识点2 反比例函数的性质反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，如下表所示.特别提醒在描述反比例函数的增减性时,必须指明"在每个象限内"因为当k> 0（k<0)时,整个函数不是y随x的增大而减小(增大)的,而是函数在每个象限内,y随x的增大而减小(增大).知识点3 反比例函数y= kx(k≠0)中k 的几何性质1.矩形的面积如图所示，过双曲线y= kx(k≠0)上任意一点p（x,y）分别作x轴，y轴的垂线PM，PN ,所得得矩形PMON得面积为S=PM ·PN =I y I·I x I,因为y= kx, 所以xy= k ,所以S =y=I k I，即过双曲线y= kx(k≠0)上任意一点作x轴，y轴的垂线，所得得矩形面积为I k I.2.三角形的面积：如图1.2-3, 过双曲线y= kx(k≠0)上的任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F,连接EO,则S▲EOF= I k I2, 即过双曲线y= kx任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为I k I 2.因为y= kx( k≠0)中只有正、负之分,所以在利用函数表达式求矩形或三角形面积时,都要加上绝对值符号.1.3反比例函数的应用知识点1 建立反比例函数模型解实际问题1.在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系,那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题.运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路：(1)通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系，设出相应的函数表达式，再根据题目条件确定函数表达式中待定系数的值；(2)已知反比例函数模型的表达式，运用反比例函数的图象及性质解决问题.2.建立反比例函数表达式常用的两种方法：(1)待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数是反比例函数，则设函数表达式为y=k,( k为常数，k≠0),再求出k的值；x(2)列方程法：若题目所给的信息中两个变量之间的函数关系不明确，通常列出关于两个变量的方程，通过变形得到反比例函数表达式 .3.用反比例函数解决实际问题的一般步骤：(1)审：审清题意，找出题目中的常量、变量；(2)设：根据常量、变量间的关系，设出函数表达式，待定的系数用字母表示；(3)列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；(4)写：用函数的图象和性质去解决实际问题.。

反比例函数最全知识点反比例函数是一种特殊的函数形式，它表示了一种两个变量之间的相互依赖关系。

在反比例函数中，当一个变量增大时，另一个变量会相应地减小，反之亦然。

本文将介绍反比例函数的定义、图像特征、性质、图像变换、实际应用以及解决反比例函数问题的方法等知识点。

一、反比例函数的定义反比例函数可以表示为：y=k/x（k≠0），其中y表示因变量（通常是函数的输出值），x表示自变量（通常是函数的输入值），k表示常数。

该定义中的k称为反比例函数的常数项，它决定了反比例函数的性质，也决定了函数图像的形状。

二、反比例函数的图像特征1.零点：当x=0时，由于分母为0，函数无定义。

因此，反比例函数没有定义在x=0的点，这个点称为函数的零点。

2.渐近线：反比例函数有两条渐近线，分别是x轴和y轴。

当x趋近于无穷大或无穷小时，y趋近于0；当y趋近于无穷大或无穷小时，x趋近于0。

3.反比例函数的图像是一个双曲线，由于分母不能为0，因此函数的图像始终存在。

当x取值较小时，y的取值较大；当x取值较大时，y的取值较小。

图像的形状与常数项k相关，k越大，图像越接近于x轴和y 轴。

三、反比例函数的性质1.定义域：反比例函数的定义域为除去零点以外的实数集合。

2.值域：反比例函数的值域为除去0以外的实数集合。

3.奇偶性：反比例函数是个奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。

4.单调性：反比例函数在定义域上是单调递减的。

5.对称轴：反比例函数的对称轴为y=x，即函数图像关于对称轴对称。

四、反比例函数的图像变换对反比例函数进行图像变换可以通过调整常数项k的值来实现。

具体变换如下：1.平移：当k保持不变时，反比例函数的图像向上平移或向下平移。

若向上平移b个单位，则为y=k/(x+b)；若向下平移b个单位，则为y=k/(x-b)。

2.拉伸：当k保持不变时，反比例函数的图像可以进行纵向拉伸或纵向压缩。

若纵向拉伸为a倍，则为y=(k/a)/x；若纵向压缩为a倍，则为y=(a*k)/x。