3.1两角和与差习题课

3.1.3 两角和与差的正切5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1tan 211.与相等的是（）1tan 21A.tan66°B.tan24°C.tan42°D.tan21°tan 45t an211tan 45tan21解析：由两角差的正切公式，原式=答案:B=tan（45°-21°)=tan24°.112.t an75tan75的值是（）A. 3B.3C.33D.33 11解析：答案:Btantan 7575tan 45t an751tan 45tan75=tan（45°+75°)=tan120°=-tan60°=3.3.(2006河北唐山二模，9)在△ABC中，C=45°，则（1-tanA）（1-tanB）等于（）A.1B.-1C.2D.-2解析：(1-tanA)(1-tanB)=1+tanAtanB-(tanA+tanB)=1+tanAtanB-tan(A+B)(1-tanAtanB)=1+tanAtanB-tan135°(1-tanAtanB)=2.答案:Ctan12tan 33tan53t an 234. =_____________，1tan12tan 331tan53tan 23tan12tan 33解析：tan(1233)tan451,1tan12tan 33=____________.tan53tan 23tan(5323)tan301tan 53tan 2333答案:13310分钟训练(强化类训练，可用于课中)121.已知tanα=,tan（α-β）=，则tan（2α-β）的值是（）25191A. B. C. D.481212解析：∵tanα=,tan（α-β)=,251 821tan(tan)52∴tan（2α-β)=tan[（α-β)+α]=1tan()tan1()2152答案:C112.11tan2.已知231tan，则cot（4-α）等于（）A.23B. 32C.23D.23tan tan1tan4解析：由tan()231tan41tan tan411所以cot（.-α)=23423tan()4答案:A3.锐角△ABC中，tanA·tanB的值是（）,A.不小于1B.小于1C.等于1D.大于1解析：由于△ABC为锐角三角形，∴tanA、tanB、tanC均为正数.∴tanC＞0.∴tan[180°-（A+B)]＞0.tan A tanB∴tan（A+B)＜0，即1tan A tanB而tanA＞0，tanB＞0，∴1-tanAtanB＜0,即tanAtanB＞1.＜0.答案:D14.若tanα=，则tan（α+）=_____________.241解析：∵tanα=,21tan tan 142∴tan（α+)==3.1 41tan tan1142答案:35.函数y=tan（2x- )+tan（2x+ ）的最小正周期是_____________.4 4解析：y=tan（2x- )+tan（2x+ )44tan2x 1tan =12xtan2x1tan12x(tan2x1)2(tan2x1t an22x 1)24tan2x1t an22x =2tan4x.答案：41 6.已知tan（+α）=，求421解:∵tan（+α)=,422cos (sin1tanc os)的值.21tan∴1tan12,得tanα=-3.∴2cos (sin cos)2cos2(tan 1)2cos2(31)1tan 1tan31=4cos2α=4cos42sin cos2tan2214(3)2125.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两根，则tanC等于（）A.2B.-2C.4D.-4解析：由于tanA、tanB是3x2+8x-1=0的两根，得tantan8A tan B,31A tan B,3tan A tanB∴tan（A+B)=1tan A tanB∴tanC=-tan（A+B)=2.答案:A8311()3=-2.2.设tanα=3A.4121，tanβ=，且α、β角为锐角，则α+β的值是（）33B. 或C.D.44454解析：由tanα=12，tanβ=13tan tan,得tan（α+β)=1tantan112311123=1.又α、β均是锐角,∴α+β=答案:C 4.3.若tan110°=a，则tan50°的值为（）a 1 A.33a3B.1a3aa1C.33aa1D.33a3解析：tan110°=tan（60°+50°)=13tan50tan50=a，∴3+tan50°=a- 3atan50°.∴tan50°（1+ 3a)=a- 3.3a1∴tan50°=33a.tan1103另：tan50°=tan（110°-60°)=13tan110a133a.答案:A4.设tanα和tanβ是方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0的两根，则tan（α+β）的最小值是（）154A.B.343C.D.不确定4解析：∵tanα和tanβ是mx2+（2m-3)x+（m-2)=0的两根，2m3tan tan,m∴m2tan tan ,mm 0,(2m 3)24m(m2)0.9∴m≤，且m≠0.42m 3tan tan 2m 3mtan（α+β)=m1tan tan2m21m32.∴当m=答案:C943.4时，tan（α+β)的最小值为5.在△ABC中，若（1+cotA）（1+cotC）=2，则log2sinB=______________.tan A1tan C1解析：由（1+cotA)（1+cotC)=2,得=2，tan Atan C ∴（tanA+1)（tanC+1)=2tanAtanC.∴1+tanA+tanC=tanAtanC.∴tan（A+C)=-1.又A、B、C是△ABC的内角,∴A+C=34.∴B=4.∴sinB=22.1.2∴log2sinB=1答案:2tan 20tan20 6.计算：tantan4040tan120tan120=________________.解析：∵tan60°=tan（20°+40°)4tan 20 t an 40=1 tan 20tan 40,∴tan20°+tan40°=3-3tan20°tan40°. ∴tan tan 20tan 20tan4040tan120 tan120333t an 20tan 40 tan 40 tan 203=1. 答案:17.计算：tan72°-tan12°- 3 tan72°tan12°=______________. 解析：原式=tan(72°-12°)·(1+tan72°tan12°)- 3 tan72°tan12°= 3 . 答案:38.(2005高 考 全 国 卷 Ⅱ,文 17)已 知 α 为 第 二 象 限 角 ， sinα= 5cosβ=，求 tan （2α-β）的值.133 解：∵α 为第二象限角且 sinα= ，54 3∴cosα=，tanα= . 5 45又 β 为第一象限角且 cosβ=，131212 ∴sinβ=,tanβ= .1353 5， β 为 第 一 象 限 角 ， 3 12tan tan4 5∴tan （α-β)=1 tan tan1() 3 12 4 563 16. 3 63tantan() 4 16∴tan （2α-β)=tan ［α+（α-β)］=204 253.1tan tan()1()3634169.设tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的两实根，求sin2(α+β)-3sin（α+β）cos（α+β）-3cos2(α+β)的值.解：由题意,得tanα+tanβ=3，tanαtanβ=-3,tan tan1tan tan ∴tan(α+β)=3 4 .∴sin2(α+β)-3sin（α+β)cos（α+β)-3cos2(α+β)= s in(2)3sin()cos(sin2()c os(2)3cos2())t an(2)3tan()1tan(2)3533()233 443.3()12410.在锐角△AB C中化简：tan A2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2.解:∵A+B+C=π,A B C∴,22BC A∴,222A B B C C A∴tan tan +tan tan +tan tan222222A B C B=tan （tan +tan )+tanvtan2222A B C B CC=tan ·tan（1-tan tan )+tan22222C A B C B=tan cot ·（1-tan tan )+tan tan 22222B C B C=1-tan tan +tan tan =1.2222tanC2C26。

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两角和与差的余弦1.sin 75°cｏs 4５°+sin 15°sｉｎ 45°的值为( ）A ．B ．12 D.-１2．若sin （π+θ)＝35-，θ是第二象限角,πsin 25ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,φ是第三象限角，则cos（θ-φ）的值是( )A ．5-B ．5C.25D ．3．若s ｉn α-si ｎ β=１－2,cos α-cos β=12-,则cos （α-β)=( )Ａ.12 B.2 C.4 Ｄ．14.下列四个命题中的假命题是( )Ａ．存在这样的α和β的值,使得c ｏｓ（α＋β)=ｃos αｃｏｓ β＋ｓｉn αsi ｎ βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β）=ｃos αco ｓ β＋sin αsi ｎ β Ｃ.对任意的α和β,有cos （α＋β)＝co ｓ αｃo ｓ β－s ｉn αsi ｎ βＤ.不存在这样的α和β的值,使得ｃo ｓ（α＋β)≠coｓ α ｃos β-sin αsin β ５.向量a =(２c ｏs α,２sin α)，b =（3cos β，3s ｉn β），a 与b 的夹角为60°,则直线x co ｓ α－y s ｉｎ α＝12与（x -co ｓ β)2+(y ＋ｓin β)2＝12的位置关系是( )A.相切 B ．相交Ｃ.相离 D.随α，β的值而定６．在△ＡBC 中，若sin A ｓｉn B ＜cos Ａｃos Ｂ，则△AB Ｃ为_____＿__角三角形.7.已知α，β均为锐角，且sin α=β则α-β的值为__＿_____.8.已知ｃo ｓ(α＋β）＝45,cos （α-β）＝45-,3π2<α＋β＜2π,π2＜α-β<π，求c ｏs 2α。

两角和差公式习题课
一、公式记忆
=±)c o s (βα ；
（同名积，号相反） =±)sin(βα ；
（异名积，号相同） =±)tan(βα
；
=+ααcos sin b a （a >0）
【公式作用:1、变角-----和角变单角，单角变和角; 2、减少函数个数（辅助角公式）】
二、典型问题：1、化简、求值、证明
（借助特殊角，消除角间差异）
例1、（1）求
20
cos 20sin 10cos 2-的值； （2）求︒︒+︒︒+︒︒10tan 60tan 60tan 20tan 20tan 10tan 的值
2、求角问题：
（先求出某一三角函数值，再求角。

注意角范围，选取合适函数，如有必要，还要依据已知三角函数值进一步压缩角范围）
例2、如果βαtan ,tan 是方程04332=++x x 两根,且)2
,2(,ππβα-∈,求αβ+
βO y x
αB A 练：如图,在平面直角坐标系中,以Ox 为始边作两个锐角βα,,它们与单位圆交于B A ,两点,已知B A ,的横坐标分别为
552,102.求:(1))tan(βα+的值; (2)求βα2+的值.
3、性质问题： （涉及函数性质时，可能要先用辅助角公式将函数化简到最简形式：即角、名、次均达到最低，且结构形式要统一）
例3：已知f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．
练习：已知()2cos 6cos()2f x x x π
=-+，1）求函数的最大值，2）求函数的单调递减区间，3）求函数图象的对称轴方程。

三角恒等变换课标要求：1、掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式2、运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式进行简单的三角恒等变换3、发展学生的推理能力和运算能力§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课标要求：1、经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用2、能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系学习目标：1、掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式2、学会利用公式进行简单的三角恒等变换教学重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式教学难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式的灵活应用课时安排：6课时教具：直尺、圆规、背投、电脑第一课时师：这节课我们开始学习第三章第一节：两角差的余弦公式（板书）。

请看本节课的学习目标。

展示学习目标。

学习目标：1、记忆两角差的余弦公式2、利用两角差的余弦公式求值师：目标明确的同学请举手。

（老师根据情况进行下一步）。

请看自学指导。

（展示自学指导） 请认真阅读P124—P126的内容（其中公式的推导不看），完成下列问题，10分钟后检测大家自学效果。

1、βαβαcos cos )cos(-=-成立吗？若成立，说明理由；若不成立，则举例说明。

2、两角差的余弦公式是什么？当已知哪些量时，就可以使用公式计算两角差的余弦了？师：看完并理解掌握的同学请举手。

（根据情况判断是否理解，若有没举手的，老师要问其原因，并解决）师：请 同学解决第一个问题。

（老师根据学生的解答板书，并请其他同学进行纠正）师：请 同学解决第二个问题。

老师根据学生的解答板书，同时强调：1、若已知ββααcos sin cos sin 、之一和、之一及βα、所在的象限，就可以求)cos(βα- 2、若不知角所在的象限，则)cos(βα-的结果可能有多个课堂检测：1、利用差角余弦公式求 105cos 。

3.1.1 两角和与差的余弦基础巩固 新人教A 版必修4一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0B ．12C ．32D ．－122．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2xD ．－cos2y4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( ) A ．0B ．12C ．32D ．15．sin π12－3cos π12的值是( )A ．0B ．－ 2C ． 2D ．26．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365 C ．－6365D ．6365二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.8．已知cos x －cos y ＝14，sin x －sin y ＝13，则cos(x －y )＝________.三、解答题9．已知sin α＋sin β＝sin γ，cos α＋cos β＝cos γ.求证：cos(α－γ)＝12.一、选择题1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是( ) A ．π B ．π2C ．π4D ．2π2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( ) A ．x ≤y B ．x >y C ．x <yD ．x ≥y4．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] 二、填空题5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sinπ6sin π3 cos π6的值是________． 6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．9．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．。

3.1复习课(练习)【分层训练】1．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取到的值是 （ ）A ．43B ．34C ．53D ．122．已知x x x f cos sin )(+=，则)12(πf 的值是（ ）A ．26 B ．21C ．23D ．22 3．在（0，2π）内，使0＜sin x ＋cos x ＜1成立的x 的取值范围是 （ ） A ．（0，π2 ）B ．（π4 ,3π4）C ．（π2 ,3π4 ）∪（7π4 ,2π）D ．（3π4 ,π）∪（3π2 ,7π4 ）4．已知2tan()7,tan tan ,3αβαβ+=⋅=则 cos()αβ-的值 （ ）A ．21 B ．22 C ．22- D ．22±5．βα,都是锐角,且1010cos ,552sin ==βα 则______=+βα．6．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B= .7．已知tan x = － 2 ,π<x <2π,则cos （π3 －x ）＋sin （π6＋x ） 。

8．已知πα<<0，πβ<<0，αtan ，βtan 是方程0652=++x x 的两个根，则βα+= 【拓展延伸】9．135450<<<<αβ，53)45cos(=-α 135)135sin(=+β ， 求：（1）)sin(βα+的值． （2）)cos(βα-的值．10．已知锐角三角形ABC 中，1sin().5A B -=3sin(),5A B +=（Ⅰ）求证B A tan 2tan =；（Ⅱ）设AB=3，求AB 边上的高．【本节学习疑点】3.1复习课(练习)参考答案1-4 、 Ａ Ａ Ｃ Ｄ 5、43π。

6、3π。

7、3233-。

8、（1）45π；（2）1027。

9、（1）6556；（2）6516。