高中数学2-4_1抛物线及其标准方程习题新人教A版-1

课后课时精练一、选择题．若抛物线＝(>)的焦点与椭圆＋＝的右焦点重合，则的值为( )．－．．－．解析：因为抛物线的焦点坐标为(，)，椭圆的右焦点坐标为()，依题意得＝，得＝，故选.答案：．若抛物线＝上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为( ) ．() ．(，－)．(，±) ．(－，±)解析：设(，)，因为点到焦点的距离等于它到准线＝－的距离，所以＝，＝±，故选.答案：．焦点在直线－－＝上的抛物线的标准方程为( )．＝或＝．＝或＝．＝或＝－．＝或＝－解析：直线－－＝与轴，轴的交点分别是()，(，－)，所以抛物线的焦点为()或(，－)，因此，所求抛物线的标准方程为＝或＝－.答案：．已知是抛物线＝的焦点，是该抛物线上的动点，则线段的中点的轨迹方程是( ) . ＝－ . ＝－. ＝－. ＝－解析：本题主要考查利用相关点法求轨迹方程．抛物线方程可化为：＝，焦点()，设线段的中点的坐标为(，)，(，)，则＝，＝－，代入抛物线方程得：()＝(－)，即＝－，故选.答案：. [·辽宁高考]已知点(－)在抛物线：＝的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为( ). －. －. －. －解析：本题考查抛物线方程、抛物线的简单几何性质、直线的斜率等基础知识，考查考生的运算求解能力．因为点在抛物线的准线上，所以－＝－，所以该抛物线的焦点()，所以＝＝－，选.答案：. [·河北省衡水中学期中考试]已知抛物线＝－上一定点(－)和两个动点，，当⊥时，点的横坐标的取值范围是( ). (－∞，－)∪[，＋∞). [－]. [，＋∞). (－∞，－]∪[，＋∞)解析：设(，－)，(，－)，∵⊥，∴·＝－，即＋(－)－＋＝，∵∈，，是抛物线上两个不同的点，∴必须有Δ＝(－)＋(－)≥，即＋－≥，解得≤－或≥.∴点的横坐标的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)，故选.答案：二、填空题。

2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程1.在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是()A.直线B.抛物线C.圆D.双曲线解析：因为点(1,1)在直线x+2y=3上,所以所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x+2y=3垂直的直线.答案：A2.顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,又过点(-2,3)的抛物线方程是()A.y2=xB.x2=yC.y2=-x或x2=-yD.y2=-x或x2=y解析：因为点(-2,3)在第二象限,所以设抛物线方程为y2=-2px(p>0)或x2=2p'y(p'>0).又点(-2,3)在抛物线上,所以9=4p,p=或4=6p',p'=,从而所求抛物线方程为y2=-x或x2=y.答案：D3.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为()A. B.- C.8 D.-8解析：因为y=ax2,所以x2=y,其准线方程为y=2.又因为a<0,2=,所以a=-.答案：B4.(2019广西河池市高二期末)抛物线y=的焦点为F,点P在抛物线上,点O为坐标原点,若|PF|=5,则|PO|等于()A.6B.5C.5D.4解析：抛物线x2=4y的焦点F(0,1),准线l为y=-1.设抛物线上的点P(m,n),则由抛物线的定义,可得|PF|=d(d为点P到准线的距离),即有n+1=5,解得n=4,∴P(±4,4),∴|PO|=4.故选D.答案：D5.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点M的轨迹方程是()A.x+4=0B.x-4=0C.y2=8xD.y2=16x解析：依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x=-4 的距离,因此其轨迹是抛物线,且p=8,顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,其方程为y2=16x.答案：D6.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是.解析：若动圆在y轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是抛物线;若动圆在y轴左侧,则动圆圆心轨迹是x轴的负半轴.答案：y2=8x(x>0)或y=0(x<0)7.导学号抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.解析：如图所示,不妨设B,F,FD=p,可解得B.在Rt△DFB中,tan 30°=,所以,解得p2=36,故p=6.答案：68.已知抛物线过点(1,-2),求抛物线的标准方程.解因为点(1,-2)在第四象限,所以设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p'y(p'>0).又点(1,-2)在抛物线上,所以4=2p,p=2或1=4p',p'=.故所求抛物线方程为y2=4x或x2=-y.9.导学号已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线=1的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点,求抛物线和双曲线的方程.解设抛物线的方程为y2=2p x(p>0),根据点在抛物线上可得=2p·,解得p=2.故所求抛物线方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1.∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点,∴c=1,即a2+b2=1.故双曲线方程为=1.∵点在双曲线上,∴=1,解得a2=或a2=9(舍去).同时b2=,故所求双曲线的方程为=1.。

抛物线(1)1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( )．A ．(2，0)B ．(－2，0)C ．(4，0)D ．(－4，0)2．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( )．A ．(8，8)B ．(8，－8)C ．(8，±8)D ．(－8，±8)3．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )． A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．5．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝________.6．动点到点(3，0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )．A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线7．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )． A ．2 B ．3 C.115 D.37168．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．9．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________． 10．已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ．12．(创新拓展)设F (1，0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；抛物线(1)答案1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( B )．A ．(2，0)B ．(－2，0)C ．(4，0)D ．(－4，0)2．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( C )．A ．(8，8)B ．(8，－8)C ．(8，±8)D ．(－8，±8)3．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( A )． A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．65．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝________. －16．动点到点(3，0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( D )．A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线7．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( A )． A ．2 B ．3 C.115 D.37168．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．29．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________．4 10．已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ． y 2＝12x .12．(创新拓展)设F (1，0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；解：设N (x ，y )，由得点P 为线段MN 的中点，∴P (0，y 2)， M (－x ，0)， ∴＝(－x ，－y 2)，＝(1，－y 2)． 由＝－x ＋y 24＝0，得y 2＝4x . 即点N 的轨迹方程为y 2＝4x.。

姓名，年级：时间：2.4。

1 抛物线及其标准方程自主预习·探新知情景引入如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB 固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔,上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？新知导学1．抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线上)__距离相等__的点的轨迹叫做抛物线，__定点F__叫做抛物线的焦点，__定直线l__叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程的几种形式同一条抛物线在坐标平面内的位置不同，方程也不同,顶点在原点,以坐标轴为对称轴的抛物线有四种形式．请依据这四种抛物线的图形写出标准方程、焦点坐标及准线方程图形焦点准线方程__F(错误!,0）____x＝－错误!____y2＝2px（p〉0)____F(－错误!,0)____x＝错误!____y2＝－2px（p>0)____F(0，错误!)____y＝－p2____x2＝2py（p>0)____F(0，－p2）____y＝错误!____x2＝－2py(p〉0)__过抛物线焦点的直线与抛物线相交,被抛物线所截得的线段，称为抛物线的__焦点弦__。

4．通径通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于A、B两点，线段AB 称为抛物线的通径，通径｜AB｜的长等于__2p__.预习自测1．抛物线y＝－4x2的准线方程为( D )A．x＝1 B．y＝1C．x＝错误!D．y＝错误![解析］抛物线y＝－4x2的方程可化为x2＝－错误!y，可得p＝错误!，∴准线方程为y＝错误!.故选D．2．(2020·福州市八县（市）协作校期末)y＝2x2的焦点坐标是( D ) A．(1,0）B．(错误!，0)C．(0，错误!）D．(0,错误!)[解析］∵由题意知,p＝错误!，错误!＝错误!，∴焦点坐标是（0，错误!）．故选D．3．已知抛物线y2＝mx的焦点坐标为（2，0)，则m的值为( D )A．12B．2C．4 D．8［解析] ∵抛物线y2＝mx的焦点坐标为（2,0），∴m〉0,且2p＝m.又错误!＝2,∴p＝4,∴m＝8.4．（2019－2020学年内蒙古赤峰市宁城县期末测试)顶点在原点，焦点是（0，2)的抛物线的方程是( B ）A．y2＝8x B．x2＝8yC．x＝8y2D．y＝8x2[解析] 由题意，抛物线的顶点在原点，焦点为F（0,2)，则设抛物线方程为x2＝2py，p＞0，所以，错误!＝2，即p＝4，故抛物线方程为：x2＝8y。

人教A版选修2-1《2.4.1 抛物线及其标准方程》练习卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.抛物线y2=4x的焦点坐标为()A. (0,1)B. (1,0)C. (0,2)D. (2,0)2.抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m,−3)到焦点的距离为5，则抛物线的方程为()A. x2=−8yB. y2=−8xC. x2=16yD. y2=16x3.抛物线x2=4y的准线方程是()A. x=1B. x=−1C. y=1D. y=−14.抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴，又抛物线上的点P(k,−2)与点F的距离为4，则k等于()A. 4B. 4或−4C. −2D. −2或25.设抛物线的焦点为F(−2,0)，则抛物线的标准方程是()A. y2=−8xB. x2=−8yC. y2=−4xD. x2=−4y6.设动点C到点M(0,3)的距离与到直线y=−3的距离相等，则动点C的轨迹是()A. 抛物线B. 双曲线C. 椭圆D. 圆7.抛物线y2=4ax(a≠0)的焦点坐标是()A. (0,|a|)B. (0,a)C. (|a|,0)D. (a,0)8.在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是()A. 直线B. 抛物线C. 圆D. 双曲线9.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点A(3,m)到焦点F的距离为5，则m()A. ±2√6B. ±2√2C. ±3D. 2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）10.若抛物线y2=8x上一点P(m,n)到其焦点的距离为8m，则m=________．11.已知点P为抛物线为y2=9x上一动点，定点A(4,2)，F为抛物线的焦点，则当|PF|+|PA|最小时动点P的坐标为______ ．12.已知抛物线和椭圆都经过点M(1,2)，它们在x轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的焦点坐标为______．13.P为抛物线y2=4x上一动点，则点P到y轴距离和到点A(2,3)距离之和的最小值等于______ ．14.圆心为(−1,2)且与直线2x−y−1=0相切的圆的方程是______ ．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）15.点M到点F(4,0)的距离比它到直线l：x+6=0的距离小于2.求点M的轨迹．16.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点为(−2,0)；(2)准线为y=−1；(3)过点A(2,3)；(4)焦点到准线的距离为5．217.已知抛物线的方程为x2=8y，F是焦点，点A(−2,4).在此抛物线上求一点P，使|PF|+|PA|的值最小．18.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．19.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽______米．20.已知动圆M与⊙O1：x2+(y−1)2=1和⊙O2：x2+(y+1)2=4都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．21.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A(x1,y1)，B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2=−p2，x1x2=p24；(2)1|AF|+1|BF|为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．22.平面上动点P到点F(0,1)的距离比它到直线l：y=−2的距离小1．(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；(Ⅱ)过点F作直线与曲线C交于两点A，B，与直线l交于点M，求|MA|·|MB|的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且p=2∴p2=1∴抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)故选：B．确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的性质，解题的关键是定型定位，属于基础题．2.答案：A解析：本题考查抛物线的标准方程，抛物线的定义及焦半径公式，属于基础题．依题意，可设抛物线方程为x2=−2py(p>0)，根据抛物线的定义可知3+p2=5，p=4，∴抛物线方程为x2=−8y.故选A．3.答案：D解析：本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置，属于基础题．先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴正半轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．解：因为抛物线的标准方程为：x2=4y，所以焦点在y轴正半轴上；且2p=4，即p=2，所以：p2=1，∴准线方程y=−1，故选：D．4.答案：B解析：本题考查抛物线的标准方程，解题关键是掌握抛物线的定义．解：由题意可得x2=−2py(p>0)，焦点F(0,−p2)，准线y=p2，由抛物线的定义得|PF|=|y p|+p2，∴4=|−2|+p2，p=4，则x2=−8y，又(k,−2)在抛物线上，故有k2=−8×(−2)，∴k=±4．故选B．5.答案：A解析：本题主要考查了抛物线的性质、抛物线的方程，解题的关键是由抛物线的焦点确定抛物线的开口方向，属于基础试题，由焦点(−2,0)可设抛物线的方程为y2=−2px(p>0)，由−p2=−2可求p值，从而解决问题．解：由焦点(−2,0)可设抛物线的方程为y2=−2px(p>0)，∵−p2=−2，∴p=4，∴y2=−8x．故选A．6.答案：A解析：解：∵点P到直线y=−3的距离与它到点(0,3)的距离相等，∴点P的轨迹是以F为焦点、直线l：y=−3为准线的抛物线，故选：A．由抛物线的定义，可得点P的轨迹是以F为焦点、直线l：y=−3为准线的抛物线．本题给出动点满足的条件，求该点的轨迹，着重考查了圆锥曲线的定义和轨迹方程的求法等知识，属于基础题．7.答案：D解析：解：抛物线y2=4ax(a≠0)的焦点坐标是(a,0)．故选：D．利用抛物线的标准方程，求解焦点坐标即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8.答案：A解析：解：注意到1+2×1=3，即点(1,1)在直线x+2y=3上，所以所求的点的轨迹是过点(1,1)与直线x+2y=3垂直的直线，故选：A．由题意首先确定点与直线的位置关系，然后确定其轨迹方程即可．本题主要考查点与直线的位置关系，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．9.答案：A解析：解：抛物线的准线为x=−p2，∵点A(3,m)到焦点F的距离为5，∴点A(3,m)到准线的距离为5，即3−(−p2)=5，即p2=2，即p=4，则抛物线方程为y2=8x，点A在抛物线上，则m2=24，即m=±√24=±2√6，故选：A．根据抛物线的定义和性质转化到准的距离，求出p的值，然后将点的坐标代入即可．本题主要考查抛物线的定义和性质的应用，根据定义转化为到准线的距离求出p的值是解决本题的关键．10.答案：27解析：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得m 值．解：∵抛物线y 2=8x 上一点P(m,n)，F 为抛物线的焦点，到其焦点的距离为8m ，∴|PF |=m +p 2=m +2=8m ，所以m =27， 故答案为2711.答案：(49,2)解析：解：由题意得F(94,0)，准线方程为x =−94，设点P 到准线的距离为d =|PM|，则由抛物线的定义得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，故当P 、A 、M 三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值为|AM|=4−(−94)=254．把y =2代入抛物线y 2=9x 得x =49，故点P 的坐标是(49,2)，故答案为：(49,2)．求出焦点坐标和准线方程，设点P 到准线的距离为d =|PM|，把|PA|+|PF|转化为|PA|+|PM|，利用当P 、A 、M 三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值，把y =2代入抛物线y 2=9x ，解得x 值，即得P 的坐标．本题考查抛物线的定义和性质得应用，体现了转化的数学思想． 12.答案：(±1,0)解析：解：抛物线和椭圆都经过点M(1,2)，可得4=2p ，解得p =2，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．抛物线的焦点坐标就是椭圆的焦点坐标(1,0)，故答案为：(±1,0)．求出抛物线方程，求出焦点坐标，即可得到结果．本题考查圆锥曲线的综合应用，抛物线以及椭圆的简单性质的应用，是基础题．13.答案：√10−1解析：解：y2=4x的准线是x=−1.抛物线的焦点坐标为(1,0)由于A在抛物线的外部，所以连接焦点F和点A，AF与抛物线的交点P，即为所求点，∵P到x=−1的距离等于P到焦点F的距离，∴点P到y轴距离和到点A(2,3)距离之和为P到焦点F的距离和到点A(2,3)距离之和减1，∴当且仅当A，P，F三点共线时，点P到y轴距离和到点A(2,3)距离之和最小∴点P到y轴距离和到点A(2,3)距离之和的最小值为|AF|−1=√10−1故答案为：√10−1先求出抛物线的准线方程，焦点坐标，由于A在抛物线的外部，所以连接焦点F和点A，AF与抛物线的交点P，即为所求点，利用抛物线的定义可求点P到y轴距离和到点A(2,3)距离之和的最小值．本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的定义，考查距离和，解题的关键是利用抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离．14.答案：(x+1)2+(y−2)2=5解析：本题考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，圆的标准方程形式，属于中档题．由题意得：圆心到直线的距离等于圆的半径，求出半径，即可得到圆的标准方程．解析：解：∵点(−1,2)为圆心，且与直线2x−y−1=0相切，=√5，∴r=√5故所求的圆的方程为(x+1)2+(y−2)2=5．故答案为：(x+1)2+(y−2)2=5．15.答案：解：∵点M到点F(4,0)的距离比它到直线l：x+6=0的距离小于2，∴点M到直线x=−4的距离和它到点(4,0)的距离相等．根据抛物线的定义可得点M 的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x =−4为准线的抛物线．解析：由题意得，点M 到直线x =−4的距离和它到点(4,0)的距离相等，故点M 的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x =−4为准线的抛物线．本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用．判断点M 到直线x =−4的距离和它到点(4,0)的距离相等是解题的关键．16.答案：解：(1)由于焦点在x 轴的负半轴上，设抛物线的标准方程为y 2=−2px(p >0)， 则p 2=2，∴p =4，∴抛物线的标准方程为y 2=−8x ．(2)∵焦点在y 轴正半轴上，设抛物线的标准方程为x 2=2py ，且p 2=1，∴p =2，∴抛物线的标准方程为x 2=4y ．(3)由题意，抛物线方程可设为y 2=mx(m ≠0)或x 2=ny(n ≠0)，将点A(2,3)的坐标代入，得32=m ·2或22=n ·3，∴m =92或n =43．∴所求抛物线的标准方程为y 2=92x 或x 2=43y ．(4)由焦点到准线的距离为52，可知p =52．∴所求抛物线的标准方程为y 2=5x 或y 2=−5x 或x 2=5y 或x 2=−5y ．解析：本题考查抛物线的标准方程及抛物线的几何性质，属于基础题．(1)根据焦点为(−2,0)得p 2=2，进而可求得抛物线方程;(2)根据准线为y =−1得p 2=1，进而可求得抛物线方程;(3)由题意，抛物线方程可设为y 2=mx(m ≠0)或x 2=ny(n ≠0)，将点A(2,3)的坐标代入，求出m ，n 即可．(4)由焦点到准线的距离为52，可知p =52.进而可求得抛物线方程． 17.答案：解：∵(−2)2<8×4，∴点A(−2,4)在抛物线x 2=8y 的内部．如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ．由抛物线的定义可知：|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|+|PA|取得最小值，即|AB|．∵A(−2,4)，∴不妨设|PF|+|PA|的值最小时，点P的坐标为(−2,y0)，将P(−2,y0)代入x2=8y，得y0=12，故使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为(−2,12).解析：本题考查抛物线定义的应用，考查抛物线的性质及几何意义，最值思想，考查分析与计算能力，属于中档题．设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，由抛物线的定义可知：|PF|+ |PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|+|PA|取得最小值，即|AB|．18.答案：解：设抛物线方程为y2=2px((p>0))，则焦点F(p2,0)由题设可得{m2=6p√m2+(3−p2)2=5解得{p=4m=2√6或{p=4m=−2√6故所求的抛物线方程为y2=8x，m的值为±2√6．解析：本题考查抛物线定义的应用，属于一般题．由题意可设抛物线方程为y 2=2px(p>0)，再由抛物线的定义及已知可求得p，然后将M的坐标代入抛物线方程求得m．19.答案：2√6解析：本题考查抛物线的应用．考查学生利用抛物线解决实际问题的能力，属于基础题．先建立直角坐标系，将A 点代入抛物线方程求得m ，得到抛物线方程，再把y =−3代入抛物线方程求得x 0进而得到答案．解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2=my ，将A(2,−2)代入x 2=my ，得m =−2∴x 2=−2y ，代入B(x 0,−3)得x 0=√6， 故水面宽为2√6m. 故答案为：2√6．20.答案：解：设动圆的半径为r ，而圆x 2+(y −1)2=1的圆心为O 1(0,1)，半径为1；圆x 2+(y +1)2=4的圆心为O 2(0,−1)，半径为2．依题意得|MO 2|=2+r ，|MO 1|=1+r ，则|MO 2|−|MO 1|=(2+r)−(1+r)=1<|O 1O 2|，所以点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的双曲线的上支，且2a =1，c =1，∴a =12，b =√32， ∴动圆圆心M 的轨迹方程是y 214−x 234=1(y ≥12).解析：本题以两圆的位置关系为载体，考查双曲线的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是双曲线是关键．设动圆的半径为r ，然后根据动圆M 与⊙O 1：x 2+(y −1)2=1和⊙O 2：x 2+(y +1)2=4都外切，得|MO 2|=2+r ，|MO 1|=1+r ，两式相减消去参数r ，则满足双曲线的定义，问题解决． 21.答案：解：(1)由已知得抛物线的焦点坐标为(p 2,0)，由题意可设直线方程为x =my +p 2，代入y 2=2px ，得y 2=2p(my +p 2)，即y 2−2pmy −p 2=0，∵(p2,0)在抛物线内部，∴直线与抛物线必有两个交点，则y1,y2是方程的两个实数根，∴y1y2=−p2∵y12=2px1,y22=2px2，∴y12y22=4p2x1x2，∴x1x2=y12y224p2=p44p2=p24，(2)1AF +1BF=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24．∵x1x2=p4,x1+x2=AB−p代入上式得1AF+1BF=ABp24+p2(AB−p)+p24=2p(定值)(3)设AB的中点为M(x0,y0)，如图所示分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，过M作准线l的垂线，垂足为N，则MN=12(AC+BD)=12(AF+BF)=12AB，∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．解析：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，同时考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及直线和圆相切的条件：d =r ，具有一定的运算量，属于中档题．(1)求出抛物线y 2=2px(p >0)的焦点和准线方程，设直线方程是x =my +p 2，代入抛物线方程，运用韦达定理，结合抛物线方程，即可得证； (2)运用抛物线的定义和韦达定理，计算即可得到定值； (3)设AB 的中点坐标，作图，并过AB 作准线l 垂线，可得知圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d =r ，即可得证． 22.答案：解：(Ⅰ)设动点P 的坐标为(x,y)，由题意知：√x 2+(y −1)2=|y −(−2)|−1=|y +2|−1，且y ≥0，∴√x 2+(y −1)2=y +1⇒x 2+(y −1)2=(y +1)2，化简得：x 2=4y ，即为动点P 轨迹C 的方程；(Ⅱ)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,−2)，由题意直线AB 的斜率k ，由题可知斜率存在且k ≠0，设其方程为y =kx +1，令y =−2，则x 0=−3k ，得M(−3k ,−2)，由{y =kx +1x 2=4y，消去y 得x 2−4kx −4=0， △=16(k 2+1)>0恒成立，且x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4，又y 1y 2=(kx 1+1)(kx 2+1)=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=1，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2=4k 2+2，∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同，故|MA|⋅|MB|=|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+3k ,y 1+2),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+3k ,y 2+2)， MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+3k )(x 2+3k)+(y 1+2)(y 2+2) =x 1x 2+3k (x 1+x 2)+9k2+y 1y 2+2(y 1+y 2)+4 =8k 2+9k 2+17≥2√8k 2×9k 2+17=17+12√2，当且仅当k 4=98⇒k 2=3√24时取等号， 故|MA|·|MB|的最小值为17+12√2．解析：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识、韦达定理的运用，属于中档题．(Ⅰ) 利用平面上动点P 到点F(0,1)的距离比它到直线l ：y =−2的距离小1，建立方程，即可求动点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同，故|MA|⋅|MB|=|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理及基本不等式，即可求|MA|⋅|MB|的最小值．。

姓名，年级：时间：第二章2。

4 2。

4.1请同学们认真完成练案[17］A级基础巩固一、选择题1．在平面直角坐标系内,到点（1，1）和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是( A )A．直线B．抛物线C．圆D．双曲线[解析］∵点（1,1）在直线x＋2y＝3上，故所求点的轨迹是过点(1，1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线．2．抛物线y2＝4x的焦点到其准线的距离是( C )A．4 B．3C．2 D．1[解析］∵抛物线的方程为y2＝4x，∴2p＝4,p＝2.由p的几何意义可知，焦点到其准线的距离是p＝2.故选C．3．抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0的对称曲线的焦点坐标为（ B ）A．（1,0) B．(－1,0)C．错误!D．错误![解析］由题意可得：抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线方程为：（－y)2＝4（－x），即y2＝－4x，其中p＝2，所以抛物线的焦点坐标为（－1，0）．故选B．4．过点A（3,0）且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( D )A．圆B．椭圆C．直线D．抛物线[解析］如图,设点P为满足条件的一点,不难得出结论:点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线,因此选D．5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6,则点P到该抛物线焦点的距离为（ B )A．12 B．8C．6 D．4[解析］∵点P到y轴的距离为6，∴点P到抛物线y2＝8x的准线x＝－2的距离d＝6＋2＝8，根据抛物线的定义知点P到抛物线焦点的距离为8。

6．O为坐标原点,F为抛物线C：y2＝4错误!x的焦点，P为C上一点，若｜PF｜＝4错误!，则△POF的面积为( C )A．2 B．2错误!C．2错误!D．4[解析］抛物线C的准线方程为x＝－错误!,焦点F（错误!，0），由｜PF｜＝4错误!及抛物线的定义知，P点的横坐标x P＝3错误!,从而y P＝±2错误!,∴S△POF＝12｜OF|·|y P｜＝错误!×错误!×2错误!＝2错误!.二、填空题7．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2,则a的值为__－错误!__.[解析] 抛物线方程化为标准形式为x2＝错误!y，由题意得a〈0，∴2p＝－错误!,∴p＝－错误!，∴准线方程为y＝错误!＝－错误!＝2，∴a＝－错误!.8．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A （2,0）,则抛物线的准线方程为__x＝－2__（提示：抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行）．[解析] 由直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2。

绝密★启用前2.4.1抛物线及其标准方程一、选择题1．【题文】抛物线()20y ax a =>的焦点坐标为（ ） A ．(),0a B ．1,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,8a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．【题文】抛物线214y x =的准线方程是（） A ．1y = B ．1y =- C ．1x =- D ．1x = 3．【题文】抛物线24y x =的焦点坐标为（）A.()0,1B.()1,0C.10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭4．【题文】顶点在原点，经过圆22:2220C x y x y +-+=的圆心，且准线与x 轴垂直的抛物线方程为（）A.22y x =-B.22y x =C.22y x =D.22y x =-5．【题文】已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则PF =（）A ．2B ．3C ．4D ．56．【题文】抛物线()220y px p =>上一点()0,8M x 到焦点的距离是10，则0x =（） A ．2或8 B ．1或9 C ．1或8 D ．2或9 7．【题文】以x 轴为对称轴，以原点为顶点且过圆222690x y x y +-++=的圆心的抛物线的方程是（）A ．23y x =或23y x =-B ．23y x =C ．29y x =-或23y x =D ．29y x =8．【题文】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹是（）A. 直线B.圆C.双曲线D.抛物线 二、填空题9．【题文】抛物线2116y x =的焦点与双曲线2213x y m -=-的上焦点重合，则m =________.10．【题文】抛物线()20y nx n =>的准线方程为________．11．【题文】抛物线2x my =的准线与直线2y =的距离为3，则此抛物线的方程为__________. 三、解答题12．【题文】已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线22142x y -=上，求抛物线的方程.13.【题文】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点在直线3150x y ++=上；(2)开口向下的抛物线上一点(),3Q m -到焦点的距离等于5.14．【题文】某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，问此车能否通过此隧道？说明理由．2.4.1抛物线及其标准方程 参考答案及解析1. 【答案】C【解析】()20y ax a =>变形为2111,2,24p x y p a a a =∴=∴=，焦点为10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.考点：由抛物线的方程求焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】一般2. 【答案】B【解析】将抛物线方程214y x =变成标准方程为24x y =，所以其准线方程是1y =-， 故选B.考点：由抛物线方程求准线方程. 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】C【解析】抛物线方程变形为2111,2,44216p x y p =∴=∴=，焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭. 考点：根据抛物线方程求焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】B【解析】圆C 的圆心坐标为()1,2-，依题意抛物线方程可设为2y mx =，把坐标()1,2-代入得222m y x =⇒=.考点：求抛物线方程. 【题型】选择题 【难度】一般 5. 【答案】B【解析】由抛物线方程可知()1,0F ，由点P 的横坐标是2得22y =±，即点()2,22P ±，3PF ∴=，故选B.考点：抛物线上的点及抛物线的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】A【解析】抛物线的焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22080102p x ⎛⎫∴-+-= ⎪⎝⎭，又0642px =，所以02x =或8，故选A.考点：已知方程求抛物线上点的坐标. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】D【解析】圆的圆心坐标为()1,3-，则可设抛物线方程为22y px =，将圆心坐标代入抛物线方程解得92p =，所以抛物线的方程为29y x =. 考点：求抛物线的方程. 【题型】选择题 【难度】一般 8. 【答案】D【解析】如图所示，连接1PC ，过P 作PH BC ⊥于H ，∵11C D ⊥平面11BB C C ，1PC ⊂面11BB C C ，∴111PC C D ⊥，∴1PC PH =，故点P 的轨迹是以1C 为焦点，BC所在直线为准线的抛物线，故选D.考点：抛物线的定义. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】13 【解析】抛物线2116y x =的焦点为()0,4，所以23413.m m +=⇒= 考点：抛物线的焦点. 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】()104y n n=-> 【解析】由()20y nx n =>得21x y n =，所以112,,2p p n n ==124p n=，准线方程为()104y n n =->，所以应填()104y n n=->． 考点：根据抛物线方程求准线方程． 【题型】填空题 【难度】一般11. 【答案】220x y =-或24x y = 【解析】准线方程为4m y =-，∴234m--=，∴20m =-或4m =，∴220x y =-或24x y =．考点：抛物线的定义与标准方程. 【题型】填空题 【难度】一般12. 【答案】28y x =或28y x =-【解析】由题意知抛物线的焦点为双曲线22142x y -=的顶点，即为()2,0-或()2,0，因为抛物线关于x 轴对称，所以可设抛物线的标准方程为()220y px p =±>，则2,42pp ==，所以抛物线的标准方程为28y x =或28y x =-. 考点：求抛物线的标准方程． 【题型】解答题 【难度】较易13. 【答案】(1)260y x =-或220x y =-(2)28x y =-【解析】(1)∵直线3150x y ++=与x 轴的交点为()15,0-，与y 轴的交点为()0,5-， ∴抛物线方程为260y x =-或220x y =-.(2)∵(),3Q m -到焦点的距离等于5，∴Q 到准线的距离也等于5. ∴准线方程为2y =，即2p＝2，∴4p =，抛物线标准方程为28x y =-. 考点：根据条件求抛物线的标准方程． 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】此车不能通过隧道【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则()3,3B --，()3,3A -．设抛物线方程为()220x py p =->，将B 点的坐标代入得32p =，∴抛物线方程为()2330x y y =--≤≤． ∵车与箱共高4.5 m ，∴集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m .则可设抛物线上点D 的坐标为()0,0.5x -，则()2030.5x =-⨯-，解得03622x =±=±.∴'0263DD x ==<，故此时车不能通过隧道． 考点：抛物线方程的应用. 【题型】解答题 【难度】一般。

课时作业16 抛物线及其标准方程时刻：45分钟 分值：100分一、选择题(每题6分，共36分)1．对抛物线y ＝4x 2，以下描述正确的选项是( )A ．开口向上，核心为(0,1)B ．开口向上，核心为(0，116) C ．开口向右，核心为(1,0) D ．开口向右，核心为(0，116) 解析：由y ＝4x 2得x 2＝14y ， ∴开口向上，核心坐标为(0，116)．答案：B2．核心在直线x ＝1上的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝2xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：由核心在x ＝1上，故核心坐标为(1,0)，∴抛物线开口向右且p2＝1，∴p＝2，∴方程为y 2＝2px ＝4x.答案：D3．假设抛物线y 2＝ax 的核心与椭圆x 26＋y 22＝1的左核心重合，那么a 的值为( )A ．－4B ．2C ．－8D ．4解析：由椭圆可知左核心坐标为(－2,0)，∴抛物线开口向左且p2＝2，∴p＝4，故方程为y 2＝－8x ，∴a＝－8. 答案：C4．抛物线y 2＝x 上一点P 到核心的距离是2，那么点P 坐标为( ) A ．(32，±62) B ．(74，±72)C ．(94，±32)D ．(52，±102)解析：设P(x ，y)，那么点P 到核心距离为2，∴点P 到准线x ＝－14的距离也是2，即x ＋14＝2，∴x＝74，∴y＝±72.应选B .答案：B5．假设A 是定直线l 外的必然点，那么过点A 且与l 相切的圆的圆心的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线图1解析：如图1，以直线l 为y 轴，以过点A 且与l 垂直的直线为x 轴成立直角坐标系，设动圆的圆心为P ，那么|PA|＝|PB|.即动点P 到定点A 和到定直线l 的距离相等，依概念可知，动圆圆心的轨迹为抛物线． 答案：D6．已知F 是抛物线y ＝14x 2的核心，P 是该抛物线上的动点，那么线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝2y －1B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝y －12D ．x 2＝2y －2解析：由y ＝14x 2得x 2＝4y ，∴F(0,1)．设PF 中点M(x ，y)，P(x 0，y 0)那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋02y ＝y 0＋12即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x y 0＝2y －1.又(x 0，y 0)在x 2＝4y 上，故4x 2＝4(2y －1)得x 2＝2y －1.答案：A二、填空题(每题8分，共24分)7．过(2,4)点，极点在原点，核心在y 轴上的抛物线的标准方程为________．解析：由已知可设抛物线方程为x 2＝my 代入点(2,4)得4＝4m ，∴m ＝1故方程为x 2＝y. 答案：x 2＝y8．已知抛物线y ＝14x 2，过核心且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A 、B 两点，那么坐标原点与A 、B 两点组成的三角形的面积为________．解析：由抛物线的方程可得：x 2＝4y ，∴核心坐标F(0,1)，将y ＝1代入方程可得：x ＝±2.∴|AB|＝4， ∴S △OAB ＝12·|OF|·|AB|＝12×1×4＝2.答案：29．设F 为抛物线y 2＝4x 的核心，A ，B ，C 为该抛物线上三点，假设FA →＋FB →＋FC →＝0，那么|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析：由y 2＝4x 得F(1,0)，准线方程为x ＝－1，又FA →＋FB →＋FC →＝0，可知F 是△ABC 的重心， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)， ∴x 1＋x 2＋x 33＝1，即x 1＋x 2＋x 3＝3.又∵抛物线概念可得|FA →|＝x 1＋1，|FB →|＝x 2＋1，|FC →|＝x 3＋1 ∴|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋3＝3＋3＝6. 答案：6三、解答题(共40分)10．(10分)抛物线极点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个核心，而且这条准线垂直于x 轴，又抛物线与双曲线交于点P(32，6)，求抛物线和双曲线的方程．图2解：∵交点在第一象限，抛物线的极点在原点，其准线垂直于x 轴，∴可设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)． ∵点P(32，6)在抛物线上，∴(6)2＝2p×32，p ＝2，∴y 2＝4x.∵y 2＝4x 的准线为x ＝－1，且过双曲线的核心， ∴－c ＝－1，c ＝1，即有a 2＋b 2＝1， ① 又∵点P(32，6)在双曲线上，∴94a 2－6b2＝1. ②联立①②，解得a 2＝14，b 2＝34，双曲线方程为4x 2－43y 2＝1.故所求的抛物线与双曲线方程别离为y 2＝4x和4x 2－43y 2＝1. 11．(15分)抛物线y 2＝2px(p>0)有一内接直角三角形，直角的极点在原点，一直角边的方程是y ＝2x ，斜边长是53，求此抛物线方程．解：设△AOB 为抛物线的内接直角三角形，直角极点为O ，AO 边的方程是y ＝2x ，那么OB 边的方程是y ＝－12x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 坐标为(p 2，p)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 坐标为(8p ，－4p)．∵|AB|＝53，∴p ＋4p2＋p2－8p 2＝5 3.∵p>0，解得p ＝23913， ∴所求的抛物线方程为y 2＝43913x.12．(15分)已知动点P(x，y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设圆M过点A(0,2)，且圆心M(a，b)在曲线C上，假设圆M与x轴的交点别离为E(x1,0)、G(x2,0)，求线段EG的长度．图3解：(1)依题意知，曲线C是以F(0,1)为核心，y＝－1为准线的抛物线．∵核心到准线的距离p＝2，∴曲线C方程是x2＝4y.(2)∵圆M的半径为a2＋b－22∴其方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2令y＝0得：x2－2ax＋4b－4＝0.那么x1＋x2＝2a，x1·x2＝4b－4.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝(2a)2－4(4b－4)＝4a2－16b＋16.又∵点M(a，b)在抛物线x2＝4y上，∴a2＝4b，∴(x1－x2)2＝16，即|x1－x2|＝4.∴线段EG的长度是4.。

3讲堂成效落实1. [2014 河·南省郑州一中月考 ]抛物线 x2＝8y 的焦点坐标是 ()A. (0,2)B. (0，－ 2)C. (4,0)D. (－4,0)分析：此题主要考察抛物线的标准方程与性质．由抛物线的方程2为x＝8y知，抛物线的焦点在y 轴上，因此p2p＝8，2＝2，因此焦点坐标为 (0,2)，应选 A.答案： A2. [2014 ·人大附中月考x2y2]以双曲线 16－ 9＝1的右极点为焦点的抛物线的标准方程为()A. y2＝16xB. y2＝－ 16xC. y2＝8xD. y2＝－ 8x分析：此题主要考察双曲线、抛物线的标准方程及其几何性质．因为双曲线 x2－y2＝1 的右极点为 (4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，169因此抛物线的标准方程为y2＝16x，应选 A.答案： A3．过抛物线2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1，2，y)B(xy2)两点，假如 x1＋x2＝6，那么 |AB|等于 ()A ．10B．8C．6D．4分析：依据抛物线的定义知 |AB|＝x1＋x2＋p.答案： B4.[2014 四·川省绵阳南山中学月考 ]抛物线 y2＝2x 上的两点 A、B 到焦点的距离之和是5，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离是 ________．分析： 此题主要考察抛物线的定义和基天性质的应用．抛物线y2＝2x 的焦点为 F(12，0)，准线方程为x ＝－12，设 A(x 1，y 1)、B(x 2，11y 2)，则 |AF|＋|BF|＝x 1＋2＋x 2＋2＝5，解得 x 1＋x 2＝4，故线段 AB 的中点横坐标为 2.故线段 AB 的中点到 y 轴的距离是 2.答案： 25．抛物线的焦点 F 在 x 轴上，点 A(m ，－3)在抛物线上，且 |AF|＝5，求抛物线的标准方程．解：设抛物线方程为 y 2＝2px 或 y 2＝－ 2px(p>0)，∴ (－3)2＝2pm 或(－3)2＝－ 2pm.9∴ m ＝± .①p又 |AF|＝2＋|m|＝5，②把①代入②可得 p 2＋2p 9＝5，即 p 2－10p ＋9＝0.∴ p ＝1 或 p ＝ 9.∴所求抛物线的标准方程为 y 2＝±2x 或 y 2＝±18x.。

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抛物线及其标准方程(时间：25分，满分55分）班级姓名得分一、选择题1．在平面直角坐标系内,到点（1,1）和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是( ）A．直线B．抛物线C．圆D．双曲线[答案］A［解析］∵点(1,1）在直线x＋2y＝3上，故所求点的轨迹是过点（1,1）且与直线x＋2y＝3垂直的直线．2．过点F（0，3）且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为（）A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝12y D．x2＝－12y［答案］C［解析］由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线．3．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为( )A．2 B．3C．4 D．5[答案] D4．抛物线y2＝mx的焦点为F，点P（2,2错误!)在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线准线的距离为( )A．1 B．错误!C．2 D．错误!［答案] D[解析] ∵点P（2，2错误!）在抛物线上，∴（2错误!）2＝2m，∴m＝4,P到抛物线准线的距离为2－（－1)＝3，F到准线距离为2，∴M到抛物线准线的距离为d＝错误!＝错误!。