抽象函数单调性问题的特点是： (1)给出定义域； (2)给出满足函数意义的表达式(本 题是f(xy)＝f(x)＋f(y))； (3)讨论函数的单调性和不等式求 解等问题．
处理方法： (1)在定义域内任意取值，找出某些具体的函 数值，如f(1)等； (2)抓住关系式，如f(xy)＝f(x)＋f(y)，进行适 当的赋值和配凑，如本题中找出f(x)＝－f(1/x)； (3)从函数值的大小关系中，根据单调性，脱 掉函数符号，转化为自变量间的大小关系，但要 注意自变量的取值必须在定义域内，最后通过解 不等式(组)来完成．
于是转化为判断“ x－ a ”的符号，自然 过渡到x＝ a是函数单调区间的分界点．第 二种方法是导数法．导数是研究函数图象 上某点的切线斜率的变化大小的，当某点 的导数为0时，斜率为0，所以导数为0是函 数单调区间的分界点，用导数法可以克服 推理运算中的难点．掌握导数法在函数单 调性研究中的运用，能收到事半功倍的效 果．
【变式练习3】 是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2 －x)在区间[2,4]上是单调增函数？证 明你的结论．
【解析】设u＝ax －x 0.
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假设符合条件的a存在． 当a 1时，由复合函数的单调性，知只 需u＝ax 2－x在 2, 4 上是单调增函数， 1 2 x 所以a满足 ， 2a u 2 4a 2 0 1 解得a ，于是a 1； 2
1.若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4] 上是单调减函数，则实数a的取值范围是 ________________ (－∞，－3] 【解析】依题意得对称轴方程为x＝1－a， 则1－a≥4，得a≤－3.
1 x 2.y＝(log2a) 在 R 上为减函数，则 a 的取值范围是 1 (2，1) .
研究函数的单调性一般有两种方法， 即定义法和导数法．定义法是基础，掌握 定义法的关键是作差(f(x2)－f(x1))，运算的 结果可以判断正、负．本题判断正、负的 依据是代数式“x1x2 －a”，处理这个代数 式的符号是一个难点，要有一定的数学功 底作基础．把x1 、x2 看成自变量，则转化 为判断“x2－a”的符号，
【解析】1 证明：设0 x1 x2 . x2 则f x2 －f x1 ＝f ( x1 －f x1 x1 x2 x2 ＝f ( )＋f x1 －f x1 ＝f ( )． x1 x1 x2 x2 因为 1，所以f ( ) 0， x1 x1 所以f x2 －f x1 0. 故f x 在定义域上是单调增函数．
当0 a 1时，由复合函数的单调性， 只需u＝ax －x在 2, 4 上是单调减函数，
2
1 4 x 所以a满足 ，得a . 2a u 4 16a 4 0 综上，当a (1，＋)时，函数f x ＝ log a (ax －x)在区间 2, 4 上是单调增函数．
1 2 当x＝y＝1时，f 1＝0.令y＝ ， x 1 1 得f 1＝f x ＋f ( )，所以f ( )＝－f x ． x x 1 故由f ( ))＝－1，得f 3＝1. 3 1 于是f x －f ( )＝f x ＋f ( x－2)＝f ( x 2－2x) 2， x2 而2＝f 3＋f 3＝f 9 ， x 2－2x 9 所以x满足 x 0 ，解得x 1＋ 10. x 2 0 故实数x的取值范围是[1＋ 10，＋)．
利用函数单调性讨论参数的取值范围是高 考试题考查能力的知识结合点，一般要弄清三 个环节： (1)考虑函数的定义域，保证研究过程有意 义．本题中，不能忽视u＝x2－ax＋3a>0 (2)保证常见函数的单调区间与题目给出的 单调区间的同一性．本题中，[a/2，＋∞)是单 调增区间，与[2，＋∞)一致； (3)注意防止扩大参数的取值范围，本题中， u(2)>0.
2
3 在(－1， ]上是单调减函数， 2 3 在[ ， 上是单调增函数． 4) 2
复合函数的单调区间的求解可分为四步： ①求函数的定义域； ②把复合函数分解成两个常见函数．本题中， 1 u x ＝4＋3x－x 是二次函数，y＝log u是对数函数； 2 ③分别求各函数的单调区间．本题中，u x
(2)证明：设x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1) ＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1) ＝[f(x2－x1)－1]f(x1)． 因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)>1，且f(x1)>0， 所以f(x2)－f(x1)>0，故函数f(x)在R上是单调增 函数． (3)由f(x)· 2＋x)＝f(x2＋2x)<1＝f(0)， f(x 得x2＋2x<0，解得－2<x<0. 所以x的取值范围是(－2,0)．
函数单调性的应用
【例3】 若函数y＝log2(x2 －ax＋3a)在[2，＋∞)上 是单调增函数，求实数a的取值范围．
【解析】设u＝x 2－ax＋3a 0， a 则函数u在[ ，＋)上是单调增函数． 2 又y＝log 2u是单调增函数， 根据复合函数的单调性，要使函数y＝log 2 ( x 2－ax＋3a )在[2，＋)上是单调增函数， a [2，＋) [ ，＋) 只需 2 u＝x 2－ax＋3a 0( x [2，＋)) a a 4 2 即 2 ，即 ，解得－4 a 4. 4 2a 3a 0 u 2 0 所以实数a的取值范围是(－4, 4]．
求函数的单调区间
【例2】 求函数f x ＝log 1 (4＋3x－x 2 )的单调区间．
2
【解析】由4＋3x－x 2 0，得－1 x 4. 3 2 25 令u x ＝4＋3x－x ＝－( x－ ) ＋ ， 2 4 则原函数化为y＝log 1 u.
2 2
3 易知，当x (－1， ]时，u x 是单调增函数； 2 3 当x [ ， 时，u x 是单调减函数． 4) 2
【变式练习1】 求证：函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．
【证明】任取实数x1，x2，且x1 x2，
3 则f x1 －f x2 ＝x13＋x1－( x2＋x2 ) 3 2 ＝x13－x2＋x1－x2＝( x1－x2 )( x12＋x2＋x1 x2＋1)
1 2 3 2 ＝( x1－x2 )[( x1＋ x2 ) ＋ x2＋1] 2 4 1 2 3 2 因为x1－x2 0， 1＋ x2 ) ＋ x2＋1>0, (x 2 4 所以f x1 －f x2 0，即f x1 f x2 ， 所以函数f x ＝x 3＋x在R上是增函数．
2 当x 0时，设x1 x2 0.则f x2 －f x1
a a x2 x1 ＝x2＋ －x1－ ＝ ( x1 x2－a )． x2 x1 x1 x2 于是当－ a x1 x2 0时，x1 x2 a，则f x2 f x1 ． 所以f x 在[－ a， 上是单调减函数； 0) 当x1 x2 － a时，x1 x2 a，则f x2 f x1 ． 所以f x 在(－，－ a ]上是单调增函数． 综上，函数f x 在[－ a，，，a ]上是单调减函数， 0) (0 在(－，－ a ],[ a，＋)上是单调增函数． (由于函数是奇函数，其实只需讨论x 0的情况即可． )
a 方法2：导数法：当x 0时，f x ＝1－ 2 . x 令f x 0，得a x 2，则x a . 于是f x 在[[ a，＋)上是单调增函数； 同理可得f x 在(0，a ]上是单调减函数． 在(－，－ a ]上是单调增函数， 在[－ a， 上是单调减函数． 0) 综上，函数f x 在[－ a，，，a ]上是单调减函数， 0) (0 在(－，－ a ],[ a，＋)上是单调增函数．
2
3 3 的单调减区间为[ ， ，单调增区间为(－1， ]， 4) 2 2 y＝log 1 u是(0，＋)上的单调减函数；
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④根据复合函数单调性的判断法则写出单调区间．
【变式练习2】 求函数f(x)＝loga(3－2x－x2)(0<a<1)的单调区间． 【解析】设u＝3－2x－x2>0，则x∈(－3,1)． 由于函数u的图象的对称轴为直线x＝－1， 所以函数u在[－1,1)上是单调减函数，在(－3，－ 1]上是单调增函数． 又因为函数y＝logau(0<a<1)是单调减函数， 所以函数f(x)＝loga(3－2x－x2)(0<a<1)的单调减区 间为(－3，－1]，单调增区间是[－1,1)．
1 x 【解析】因为 y＝(log2a) 在 R 上为减函数，所以 1 1 0<log2a<1，所以2<a<1.
3 7 3.若函数 f(x)＝x －(2a－1)x＋a＋1 是区间[2，2]上
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的单调函数，则实数 a 的取值范围是
a≤2 或 a≥4
.
2a－1 2a－1 3 2a－1 7 【解析】对称轴 x＝ 2 ， 2 ≤2或 2 ≥2，解得 a≤2 或 a≥4.
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抽象函数的单调性
【例4】 已知函数f x 的定义域为(0，＋)，当x 1时， f x 0，且对于任意的正数x，y都有f xy ＝ f x ＋f y ．
1 证明：函数f x 在定义域上是单调增函数；
1 1 ) 2， 2 如果f ( )＝－1且f x －f ( 3 x2 求x的取值范围．
3 故当－1 x1 x2 时，因为u x 是单调增函数， 2 所以0 u x1 u x2 ，所以y1 y2； 3 当 x1 x2 4时，因为u x 是单调减函数， 2 所以u x1 u x2 0，所以y1 y2 . 故函数f x ＝log 1 (4＋3x－x 2 )
