吉林省白城市洮南市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试卷（理）第I 卷（选择题）一、选择题1．已知点(2,5),(1,6)A B ，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．34π B ．23π C ．3π D ．4π 2．已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．5B ．10C ．352D ．31023．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②a ∥c ，c ∥α⇒a ∥α； ③a ∥β，a ∥α⇒α∥β；④a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α. 其中正确命题的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．54．圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离5．某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是梯形（如图所示），0145,12ABC AD AB BC ∠====，则该平面图形的面积为（ ）A ．3B ．4C 32D 326.已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）A ．33π B ．3πC ．23π D ．2π7．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．283π B ．223π C ．73π D ．7π8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．2C ．43D ．49．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或C ．14D ．20或10．已知△ABC 93且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ） A 3B ．32C ．1D 3 11．正三棱锥P ABC -中，若6PA =，40APB ∠=︒，点E 、F 分别在侧棱PB 、PC 上运动，则三角形AEF 的周长的最小值为（ ） A ．36sin 20︒B ．62C ．12D ．6312. 已知直线:(2)(1)440l m x m y m ++-+-=上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ：222430x y x y ++-+=的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2m ≤-或2m ≥B ．28m ≤≤C ．210m -≤≤D ．2m ≤-或8m ≥第II 卷（非选择题）二、填空题13．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为_____________.14． 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，,M N 分别为棱1111,A D A B 的中点，过点B 的平面//α平面AMN ，则平面α截该正方体所得截面的面积为______.15．下列四个命题中正确的是 .① 如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行； ② 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行； ③ 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行； ④ 过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行． 16.曲线214yx ，与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，则实数k 的取值范围是_________________． 三、解答题17．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同.（1）求此几何体的体积；（2）求几何体的表面积.18．已知圆C 经过两点()1,1P -、()1,1Q -，且圆心C 在直线20x y +-=上． （1）求圆C 的方程；（2）过点()0,3M 的直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且23AB =求直线l 的方程． 19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，O 为11AC 的中点，且2AB =．（1）证明：//OD 平面1AB C ．（2）若异面直线OD 与1AB 所成角的正切值为13，的体积求四棱锥111ACC A B -20. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 方程为22420x y x y +--=，圆Q 方程为4)2()1(22=-+-y x(1) 求圆C 和圆Q 的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．(2)设P 是圆22:82160D x y x y ++-+=上任意一点,过点P 作圆C 的两条切线,PM PN ,,M N 为切点,试求四边形PMCN 面积S 的最小值.21.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．22．已知圆22:(2)5C x y ++=，直线:120l mx y m -++=，m R ∈.（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点,A B ； （2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3）是否存在实数m ，使得圆C 上有四点到直线l 求出m 的范围；若不存在，说明理由.参考答案1．A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，从而可得直线的倾斜角. 【详解】由题知直线AB 的斜率65112k -==--，故直线AB 的倾斜角为34π． 故答案为：A. 【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，可先求出斜率，再根据两者之间的关系求出倾斜角，本题属于基础题. 2.C 【解析】 【分析】根据直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，由4034m m -=⎧⎨+≠⎩,解得m ，然后利用两平行线间的距离. 【详解】因为直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，所以4034m m -=⎧⎨+≠⎩,解得4m =，因为直线240x y +-=与直线7202++=x y7|4|--=．故选：C【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．A[由公理4，知①正确；对于②，可能a∥α，也可能a⊂α，故②错误；对于③，α与β可能平行，也可能相交，故③错误；对于④，∵a⊄α，∴a∥α或a与α相交．∵b⊂α，a∥b，故a∥α，故④正确．]4．A【解析】【分析】通过圆的标准方程，可得圆心和半径，通过圆心距与半径的关系，可得两圆的关系为内切. 【详解】22(1)1x y-+=，圆心(1,0)，半径为1；22(1)(+2)9-+=x y，圆心(1,2)-，半径为3两圆圆心距2等于半径之差，所以内切.故选：A【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了运算求解能力和数形结合数学思想，属于基础题目.5 A【解析】【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长度，从而求得平面图形的面积.【详解】由0145,12ABC AD AB BC∠====根据斜二测画法可知：原平面图形为：下底边长为2，上底为1，高为2的直角梯形，所以12232S +=⨯=. 故选：A【点睛】本题考查了斜二测画法中直观图与平面图形中的量的变化，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据其表面积为3π，得到23rl r +=，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到r l 2π=π，联立求得半径和高，利用体积公式求解. 【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ， 因为其表面积为3π， 所以23rl r πππ+=， 即23rl r +=，又因为它的侧面展开图是一个半圆， 所以r l 2π=π， 即2l r =，所以1,2,r l h ====所以此圆锥的体积为211333V r h ππ===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查圆的面积、周长、圆锥的侧面积及体积等知识点，考查运算求解能力，属于基础题型. 7．A 【解析】 【分析】由正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是其外接球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，利用勾股定理，可求出球的半径，即可求出球的表面积.【详解】正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是其外接球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，设底面三角形外接圆的半径r，由正弦定理可得，2432sin60r==︒，∴233r=，所以球的半径22237133R⎛⎫⎪⎪⎝⎭=+=，所以球的表面积728433Sππ=⨯=．故选：A．【点睛】本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，明确球心、球的半径与正三棱柱的关系是本题解决的关键．8．A【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥D ABC-（如图所示），其中AB AC2==，D到平面ABC的距离为1，故所求的三棱锥的体积为112V221323=⨯⨯⨯⨯=.9． B [由α∥β得AB ∥CD .分两种情况：若点P 在α，β的同侧，则PA PC ＝PB PD ，∴PB ＝165，∴BD ＝245；若点P 在α，β之间，则有PA PC ＝PBPD ，∴PB ＝16，∴BD ＝24.]10．C 【解析】 【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r =-.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =. 设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC 93213932a ∴=，解得：3a =，22229933434a r a ∴=-=-=，∴球心O 到平面ABC 的距离22431d R r =-=-=.故选：C. 【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 11．D【分析】画出正三棱锥P ABC -侧面展开图，将问题转化为求平面上两点间的距离最小值问题，不难求得结果． 【详解】将三棱锥由PA 展开，如图，正三棱锥P ABC -中，40APB ∠=︒，则图中1120APA ∠=︒， 当点A 、E 、F 、1A 位于同一条直线上时，AEF ∆的周长最小， 故1AA 为AEF ∆的周长的最小值， 又1PA PA =，1PAA ∴∆为等腰三角形，6PA =，16PA ∴=，22166266cos12063AA ∴=+-⨯⨯⨯︒=，AEF ∴∆的最小周长为：63．故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点之间的距离问题，是解答本题的关键． 12．C 【解析】如图，设切点分别为A ，B ．连接AC ，BC ，MC ，由90AMB MAC MBC ∠=∠=∠=︒及MA MB =知，四边形MACB 为正方形，故||222MC =+=，若直线l 上总存在点M 使得过点M 的两条切线互相垂直，只需圆心(12)-，到直线l 的距离222(2)(1)d m m ++-，即28200m m --≤，∴210m -≤≤，故选C ． 点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小． . 137 【解析】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理， 显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小． 2230122211-+==+2(22)17-=7. 14． 18 【解析】 【分析】如图，取11C D 中点P ，11B C 中点Q ，连接,,,PQ PD BQ BD ，可知等腰梯形PQBD 即为所求截面，求出面积即可. 【详解】如图，取11C D 中点P ，11B C 中点Q ，连接,,,PQ PD BQ BD ，可知在正方体1111ABCD A B C D -中，//PQ BD ，∴,,,P Q B D 确定平面，//PQ MN ，//PQ ∴平面AMN ，//PD AN ，//PD ∴平面AMN ，∴平面//PQBD 平面AMN ，即四边形PQBD 为所得截面，可知四边形PQBD 是一个等腰梯形，如图，可知22,42,32PQ BD h ，1224232182PQBDS .故答案为：18. 【点睛】本题考查空间中平行平面的判断，找平行线是解决问题的关键.15.②③ 【解析】 【分析】①可由空间中直线与平面的位置关系判断； ② ③可由直线与平面平行的性质判断；④可用排查法判断． 【详解】空间中直线与平面的位置关系有相交，平行与直线在平面内 ①错误，直线还可能与平面相交 ②正确③正确 因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线都在与这个平面平行的平面内．④不一定正确 ,当点在其中一条直线上时，不存在平面与两条异面直线都平行. 故填②③ 【点睛】本题考查空间中的直线与平面的位置关系，属于简单题． 16. ．53(,]124【解析】 【分析】 【详解】试题分析：曲线214,[2,2]y x x =+-∈-表示以（0，1）为圆心，以2为半径的圆的上半个圆，而直线(2)4y k x =-+过点（2，4），画出图象，可知该直线与该半圆要有两个公共点，需要53124k <≤.考点：本小题主要考查曲线方程和直线与圆的位置关系.点评：解决本小题的关键是分析出所给曲线是半圆，所给直线过定点，进而利用数形结合思想解决问题.17．（1）16823π+；（2）1612+π 【解析】 【分析】首先根据题意得到由题知该几何体是一个正四棱柱（上面）和半个球（下面）构成的几何体.再计算其体积，表面积即可. 【详解】（1）由题知该几何体是一个正四棱柱（上面）和半个球（下面）构成的几何体.正四棱柱的底面对角线为4，所以底面边长为222，半球的半径为2.所以311416=4422=822233半球四棱柱ππ=+⨯⨯⨯⨯V V V . （2）221+=422242216122圆半球四棱柱侧πππ=+⨯⨯⨯+⨯=+S S S S .【点睛】本题主要考查根据三视图求几何体的体积和表面积，属于中档题.18．（1）()()22114x y -+-=；（2）0x =或334y x =-+．【解析】 【分析】（1）求出线段PQ 的中垂线方程，与直线方程20x y +-=联立，可求得圆心的坐标，并求出圆C 的半径，由此可得出圆C 的方程；（2）求得圆心到直线l 的距离为1d =，对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，由圆心到直线l 的距离为1d =，结合点到直线的距离公式可求得直线l 的方程. 【详解】（1）因为()1,1P -，()1,1Q -．所以PQ 中点坐标为()0,0，直线PQ 的斜率为()11111PQ k --==---，所以PQ 的中垂线方程为y x =，联立20x y y x+-=⎧⎨=⎩，得()1,1C ，设圆C 的半径为r ，则2r CP ===，故所求圆C 的方程为()()22114x y -+-=；（2）当直线l 斜率不存在时，l 的方程为0x =，圆心C 到直线l 的距离1d =，此时AB == 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+， 则圆心C 到直线l 的距离d=224+=， 解得34k =-，所以直线l 的方程为334y x =-+．综上，直线l 的方程为0x =或334y x =-+．【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了利用直线截圆所得的弦长求直线的方程，解题时要注意对直线的斜率是否存在进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.19．（1）证明见解析；(2)316【解析】 【分析】（1）连接1OB ，连接BD 交AC 于G ，连接1B G ，通过证明四边形1OB GD 为平行四边形得1//OD B G ，进而证明//OD 平面1AB C .【详解】（1）证明：连接1OB ，连接BD 交AC 于G ，连接1B G ． 易证1//OB DG ，且1OB DG =， 所以四边形1OB GD 为平行四边形， 所以1//OD B G ．因为1B G ⊂平面1,AB C OD ⊄平面1AB C ， 所以//OD 平面1AB C ． 由（1）知，1//OD B G ，所以异面直线OD 与1AB 所成角即直线1B G 与1AB 所成角 所以11tan 3AB G ∠=． 因为底面ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥， 又侧棱垂直底面，所以1BB AC ⊥．因为1BB BD B ⋂=，所以AC ⊥平面11BB D D ， 所以1AC B G ⊥．因为11tan 3AG AB G =∠=，所以1B G =，所以14BB ==．316388=-=V20.解 （1）262)2(0122)1(=+-y x ，(2)由(1)知,圆的方程为22(2)(1)5x y -+-=依题意,2255PMC S S PM MC PC ∆==⨯=-⨯ ,∴当PC 最小时,S 最小.∵圆22:82160D x y x y ++-+=,∴(4,1)D - ,半径为1 . ∵(2,1)C ,∴两个圆的圆心距6DC = .∵点P 在圆D 上,且圆D 的半径为1 ,∴min 615PC =-= , ∴2min 55510S ∴=-⨯= . 【点睛】本题考查了圆的一般方程，四边形面积的最小值，将面积用PC 表示再转化为圆心距减半径是解题的关键.21.解 如图，取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC . 【点睛】本题主要考查空间直线与平面的平行的判定与性质和空间平面与平面的平行的判定与性质.22.（1）见解析；（2）M 的轨迹方程是2211(2)()24x y ++-=，它是一个以1(2,)2-为圆心，以12为半径的圆；（3）2m >或2m <-. 【解析】 【分析】（1）依据题设可以运用圆心与直线的距离或考虑动直线过定点分析判断；（2）借助题设条件运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；（3）依据题设借助图形的直观，运用圆心距与直线的位置和数量关系建立不等式： 【详解】（1）圆()22:25C x y ++=的圆心为()2,0C -C 到直线:120l mx y m -++=<．所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点；或：直线:120l mx y m -++=的方程可化为()()210m x y ++-=，无论m 怎么变化，直线l 过定点()2,1-，由于()2222115-++=<，所以点()2,1-是圆C 内一点，故直线l 与圆C总有两个不同的交点．（2）设中点为(),M x y ，因为直线:120l mx y m -++=恒过定点()2,1-， 当直线l 的斜率存在时，12AB y k x -=+，又2MC yk x =+，1AB MC k k ⋅=-，所以1122y y x x -⋅=-++，化简得()()22112224x y x ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭． 当直线l 的斜率不存在时，中点()2,0M -也满足上述方程．所以M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，以12为半径的圆．(3) 假设存在直线l ，使得圆上有四点到直线l ，由于圆心()2,0C -，半径为()2,0C -到直线l <化简得24m >，解得2m >或2m <-． 【点睛】解答本题的关键要搞清楚动直线过定点的特征，然后再运用直线与圆的位置关系分析求解．求解第一问时，充分借助圆心与直线的距离进行分析求解从而使得问题获解；解答第二问时，依据题设条件充分运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；求解第三问时依据题的数量关系建立不等式，通过解不等式使得问题获解．。
