当前位置：文档之家 › 连续函数的性质

连续函数的性质

  • 格式：doc
  • 大小：594.00 KB
  • 文档页数：9

§2 连续函数的性质(一) 教学目的：掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质． (二) 教学内容：连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性． 基本要求：1）掌握函数局部性质概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点；了解闭区间上连续函数的性质．2) 理解一致连续于逐点连续的本质区别．(三)教学建议：1) 函数连续性概念是本节的重点．要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类，了解连续函数的整体性质．对一致连续性作出几何上的解释． 2）本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特征． 难点：连续函数的保号性；一致连续性————————————————————————————一 连续函数的局部性质根据函数的在0x 点连续性，即)()(lim 00x f x f x x =→可推断出函数)(x f 在0x 点的某邻域)(0x U 内的性态。

定理4.2（局部连续性）若函数)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点的某邻域内有界。

定理4.3（局部保号性）若函数)(x f 在0x 点连续，且0)(0>>αx f ，则对任意αα<'<0存在0x 某邻域 )(,)(00x U x x U ∈ 时，0)(>'>αx f定理4.4（四则运算性质）若函数则)(,)(x g x f 在区间I 上有定义，且都在I x ∈0 连续，则)(/)(,)()(,)()(x g x f x g x f x g x f ±（0)(0≠x g ）在0x 点连续。

例 因x y c y == 和连续，可推出多项式函数n n n n a a xa x a x P ++++=--1)1(10)(和有理函数Q P, ( )()()(x Q x P x R =为多项式）在定义域的每一点连续。

同样由R x x 在和cos sin 上的连续性，可推出x tan 与x cot 在定义域的每一点连续。

定理4.5（复合函数的连续性）若函数)(x f 在0x 点连续，)(u g 在0u 点连续，)(00x f u =，则复合函数))((x f g 在0x 点连续。

证明 由于g 在0u 连续，对任给的0>ε，存在 01>δ，使10δ<-u u 时有 ε<-)()(0u g u g （1） 又由)(00x f u =及)(x f u =在连续，故对上述01>δ，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时，有100)()(δ<-=-x f x f u u .联系（1）得: 对任给的0>ε，存在 0>δ，当δ<-0x x 时有ε<-))(())((0x f g x f g .这就证明了f g 在点0x 连续.注：根据连续性的定义，上述定理的结论可表示为))(())(lim ())((lim 000x f g x f g x f g x x x x ==→→ (2)例1 求)1sin(lim 21x x -→.解 )1sin(2x -可看作函数u u g sin )(=与21x u -=的复合.由(2)式,可得00sin )1(lim sin )1sin(lim 2121==-=-→→x x x x注：若复合函数的f g 内函数f 当0x x →时极限为a ，而)(0x f a ≠或f 在0x 无定义（0x 为f 的可去间断点），又外函数g 在a u =处连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有))(lim ())((lim 0x f g x f g x x x x →→= (3)读者还可证明(3)式对于-∞→∞→x x ,或±→0x x 等类型的极限也是成立的。

例2 求极限：（1）x x x sin 2lim-→；（2）xxx sin 2lim -∞→.解 (1) 112sin lim 2sin 2lim00=-=-=-→→xxx x x x(2) 202sin lim 2sin 2lim =-=-=-∞→∞→xxx x x x二 闭区间上连续函数的基本性质前面我们研究了函数的局部性质，下面通过局部性质研究函数在闭区间上的整体性质。

定义1 设f 为定义在数集D 上的函数，若存在D x ∈0，使得对一切D x ∈0有 ) f(x ))f(x ( )()(00≤≥x f x f ，则称f 在D 上有最大（最小值）值，并称)(0x f 为f 在D 上的最大（最小值）值. 例如 x sin 在],0[π上有最大值1,最小值0.但一般而言f 在定义域D 上不一定有最大值或最小值（即使f 在D 上有界）。

如x x f =)(在)1,0(上既无最大值又无最小值，又如, 1 0, 2, )1,0(, 1)(⎪⎩⎪⎨⎧==∈=x x x x x g 或 (4)在闭区间上也无最大、最小值。

定理4.6 (最大最小值定理) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在闭区间],[b a 上有最大值与最小值。

该定理及以后的定理4.7 和定理4.9将在第七章§2给出证明.推论：（有界性）若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在闭区间],[b a 上有界。

定理4.7(介值性定理) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且)()(b f a f ≠，若μ为)( )(b f a f 与介于之间的任何实数（)()(b f a f <<μ或)()(a f b f <<μ）,则在开区间),(b a 内至少存在一点0x ，使得 μ=)(0x f .推论（根的存在定理）若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且)(,)(b f a f 异号，则至少存在一点),(0b a x ∈使得0)(0=x f .即)(x f 在),(b a 内至少有一个实根.应用介值性定理，还容易推得连续函数的下述性质：若f 在区间[a,b]上连续且不是常量函数,则值域)(I f 也是一个区间；特别若I 为区间[a,b], f 在[a,b]上的最大值为M ,最小值为m ，则],[]),([M m b a f =；又若f 为[a,b]上的增（减）连续函数且不为常数，则) ])( , )([ ( )](),([]),([a f b f b f a f b a f =例3 证明：若n r ,0>为正整数，则存在唯一正数0x ，使得 0r x n=.证明 先证存在性。

由于当+∞→x 时有+∞→n x ，故存在正数a ，使得r a n>.因n x x f =)(在],0[a 上连续，并有)()0(a f r f <<，故有介值性定理，至少存在一点),0(0a x ∈使得r x x f n==00)(. 再证唯一性。

设正数1x 使得r x n=10))((11120101010=++-=----n n n n n x x x x x x x x由于第二个括号内的数为正所以只能010=-x x ，即10x x =.例4 设f 在[a,b]连续，满足],[]),([b a b a f ⊂ （5） 证明：存在],[0b a x ∈，使得 00)(x x f = （6）证 条件（5）意味着：对任何],[0b a x ∈有b x f a ≤≤)(，特别有 )(a f a ≤ 以及 )(b f b ≤ .若)(a f a =或)(b f b =，则取b a x 0或=，从而（6）式成立。

现设)(a f a <与。

)(b f b <。

令x x f x F -=)()(，则0)()(>-=a a f a F ，0)()(<-=b b f b F . 有根的存在性定理，存在),(0b a x ∈ ，使得0)(0=x F 即00)(x x f =.三 反函数的连续性。

定理4.8（反函数的连续性）若函数)(x f 在闭区间],[b a 严格递增（递减）且 连续，则其反函数)(1y f -在相应的定义域 )](),([b f a f （)](),([a f b f ）上递增（递减）且连续。

证明 （只证明f(x)严格递增情况）由闭区间上连续函数的介值性，反函数存在，而且其定义域为 )](),([b f a f 。

设 ))(),((0b f a f y ∈，且)(010y f x -=则 ),(0b a x ∈，对任给的0>ε可在0x 的两 侧各取异于0x 的两点21,x x （201x x x <<）， 使它们与0x 的距离小于ε（参见右图）.设)(,)(2211x f y x f y ==，由函数的严 格递增性，21,y y 必分别落在0y 的两侧，即 当 201y y y << .令),m in(1002y y y y --=δ，则当);(0δy U y ∈时，对应的)(1y fx -=的值必落在21,x x 之间，从而ε<-||0x x .应用单侧极限的定义，同样可证)(1y f x -=在区间端点也是连续的。

例5 由于x y sin =在区间]2,2[ππ-上严格单调且连续，故反函数x y arcsin =在区间[-1，1]上连续。

同理，由反函数连续性定理可得其他反三角函数arcctgx arctgx x ,,arccos 在其定义域内是连续的。

例6由于nx y = （n 为正整数）在),0[∞+严格上单调且连续，所以它的反函数nx y 1=在),0[∞+上连续。

又若把nxy 1 -=（n 为正整数）看作由 nu y 1= 与xu 1=的复合，。

综上可知，qx y 1=（q 为非零整数）其定义域内是连续的。

例7 证明：有理幂函数αx y =在其定义区间上连续.证明：设有理数qp =α，这里) 0 ( ,≠q p 为整数。

因为q x y 1=与px y =均在其定义区间上连续，所以复合函数 αx x y qp==1)(也是其定义区间上的连续函数。

四 一致连续性前面介绍的函数)(x f 在某区间内的连续性，是指它在区间的每一点都连续。

这只反映函数在区间内每一点附近的局部性质，就是说连续定义中的 0>δ 不仅与0>ε 有关，而且与0x 有关。

下面介绍的一致连续性，则是函数在区间上的整体性质，其定义中的0>δ只与0>ε有关，而与0x 无关。

定义2（一致连续性）设函数)(x f 在区间I 上有定义，若,0>∀ε0)(>=∃εδδ只要I x x ∈21,， δ<-||21x x ，都有 ε<-|)()(|21x f x f ，则称)(x f 在区间I 上一致连续。

合集下载

4-02-连续函数的性质

4-02-连续函数的性质

3 2
∴ 方程x − 4 x + 1 = 0在(0,1)内至少有一根ξ .
3 2
至于方程的根的计算,以后有“闭区间套定理” 至于方程的根的计算,以后有“闭区间套定理” 予以解释,并可用所谓的“二分法” 予以解释,并可用所谓的“二分法”进行近似计 算得到. 算得到.
数学家的笑话----解是存在的 数学家的笑话----解是存在的 ---工程师、 工程师、化学家和数学家住在一家老客栈的三 个相邻房间里。当晚先是工程师的咖啡机着了火, 个相邻房间里。当晚先是工程师的咖啡机着了火 他嗅到烟味醒来,拔出咖啡机的电插头 拔出咖啡机的电插头,将之扔出窗 他嗅到烟味醒来 拔出咖啡机的电插头 将之扔出窗 然后接着睡觉。 外,然后接着睡觉。过一会儿化学家也嗅到烟味醒 然后接着睡觉 他发现原来是烟头燃着了垃圾桶。 来,他发现原来是烟头燃着了垃圾桶。他自言自语 他发现原来是烟头燃着了垃圾桶 怎样灭火呢?应该把燃料温度降低到燃点以下 道:“怎样灭火呢 应该把燃料温度降低到燃点以下 怎样灭火呢 应该把燃料温度降低到燃点以下, 把燃烧物与氧气隔离.浇水可以同时做到这两点 浇水可以同时做到这两点。 把燃烧物与氧气隔离 浇水可以同时做到这两点。” 于是他把垃圾桶拖进浴室,打开水龙头浇灭了火 打开水龙头浇灭了火,就 于是他把垃圾桶拖进浴室 打开水龙头浇灭了火 就 回去接着睡觉。 回去接着睡觉。
ϕ( x0 ) = u0 , 而函数 y = f ( u) 在点 u = u0 连续 , 则复合函数 y = f [ϕ( x )]在点 x = x0也连续 .
证 Q f ( u ) 在 点 u = u0 连 续 ,
∴ ∀ ε > 0, ∃ η > 0, 使 当 u − u0 < η 时 , 恒 有 f ( u ) − f ( u0 ) < ε 成 立 . 又 Q lim ϕ ( x ) = ϕ ( x 0 ) = u0 ,
第十一章第三节连续函数的性质

第十一章第三节连续函数的性质


４、连通集的定义
设Ｓ为Ｒn中点集，如果连续函数r:[0,1] →Rn的值域全部 落在Ｓ中，称r为Ｓ中的一条道路，r(0)和r(1)称为道路的起 点和终点。
如果Ｓ中任意两点x,y都存在Ｓ中满足r(0)=x,r(1)=y的道路， 称S是道路连通的或者称为连通集。
连通的开集称为开区域，开区域和它的边界一起构成闭区 域。
n
若函数f 在紧集
合 K R 上 连 续 ， 则 f 在 K上 一 致 连 续. 即 （ 对 任 何 0， 总 存 在 只 依 赖 于 的 正 数 ， 使 得 对 一 切 点 P、 Q， 只 要 P， Q） ， 就 有 （ |f(P )-f(Q )| .)
证明：
５、连通集上的连续函数的性质
定理4 设 K为 连 通 的 紧 集 ,函 数 f 在 K R 上 连
n
续 ， 那 么 f(K)是 连 通 集 .
推论：连续函数将连通的紧集映成闭区间。
定 理 5(中 间 值 定 理 ）
n
设 K为 连 通 的 紧 集 ,
函 数 f 在 K R 上 连 续 ， 那 么 f(x)可 取 到 它 在 K 上 的 最 小 值 与 最 大 值 之 间 的 一 切 值 ,换 言 之 f(x)的 值 域 是 [m,M].
第十一章: Euclid空间的极限和连续
第三节：连续函数的性质
１、连续函数概念推广：
定义：
设 K R , f : K R 为 定 义 在 点 集 K上 的 向 量
m n
值 函 数 ,x 0 K , 对 于 任 给 的 正 数 ， 总 存 在 相 应 的 正 数 ， 只 要 x U x 0； ） K ， 就 有 （ | f ( x ) f ( x 0 ) | 则 称 f 点 x 0 连 续 .若 f 在 K上 任 何 点 都 连 续 ， 则 称 f 为 K上 的 连 续 函 数 .如 K是 紧 集 ,称 f是 紧 集 上的连续函数.
连续函数的定义和性质

连续函数的定义和性质

连续函数的定义和性质连续函数是数学中一个重要的概念，它在实际问题的建模和解决中起着关键的作用。

本文将讨论连续函数的定义和性质，以帮助读者更加深入地理解和应用连续函数。

一、连续函数的定义连续函数的定义是基于极限的概念的。

设函数$f(x)$在点$x=a$的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的数$\varepsilon>0$，都存在一个正数$\delta>0$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-f(a)|<\varepsilon$成立，那么称函数$f(x)$在点$x=a$连续。

二、连续函数的性质1. 连续函数的四则运算性质如果函数$y=f(x)$和$y=g(x)$在点$x=a$连续，则它们的和、差、积、商函数也在点$x=a$连续。

2. 连续函数的复合性质设函数$y=f(x)$在点$x=a$连续，函数$y=g(u)$在点$u=f(a)$连续，则复合函数$y=g[f(x)]$在点$x=a$连续。

3. 连续函数的介值性质设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$和$f(b)$异号，则方程$f(x)=0$在区间$(a,b)$内至少有一个根。

4. 连续函数的最大值和最小值定理设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，那么$f(x)$在该闭区间上必有最大值和最小值。

5. 连续函数在有界闭区间上的均匀连续性质设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则对于任意给定的正数$\varepsilon>0$，都存在一个正数$\delta>0$，当$|x-y|<\delta$时，有$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$成立。

三、连续函数与间断点函数可分为连续函数和间断函数两类。

连续函数在定义域内无间断点，而间断函数则存在间断点。

1. 第一类间断点函数$f(x)$在$x=a$处有第一类间断点，当且仅当存在左右极限$\lim_{x \to a^-} f(x)$和$\lim_{x \to a^+} f(x)$，且两者不相等。

连续函数的性质

连续函数的性质

99定理 1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即∃M >0,∈∀x [a,b],有|)(x f |≤M .()f x 在区间能取到最小值m 与最大值M ，即：[]12,,x x a b ∃∈使：()1f x m =与()2f x M =[](),x a b m f x M ∀∈⇒≤≤证明：根据定理3，数集()[]{}|,f x x a b ∈有界。

设：sup ()[]{}|,f x x a b M ∈=用反证法：假使[],x a b ∀∈有()f x <M,显然，()0M f x -> ([],x a b ∀∈)，且()M f x -在[],a b 连续，于是函数()1M f x -在[],a b 连续，根据定理3，函数()1M f x -在[],a b 有界，即：0c ∃>，[],x a b ∀∈⇒()1c M f x <-，或，()1f x M c<-由上确界的定义知：M 不是数集()[]{}|,f x x a b ∈的上确界，矛盾，于是[]2,x a b ∃∈，使()2f x M =。

定理3.(零点定理) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 连续，且)()(b f a f <0(即)(a f 与)(b f 异号)，则在开区间（a,b ）内至少存在一点c ,使)(c f =0证明：不妨设)(a f <0，)(b f >0.用反证法，假设∈∀x [a,b]，有)(x f ≠0，将闭区间],[b a 二等分，分点为2b a +.已知)2(b a f +≠0，如果)2(ba f +>0,则函数)(x f 在闭区间]2,[b a a +的两个端点的函数值的符号相反；如果)2(ba f +<0,则函数)(x f 在闭区间[2ba +,b] 的两个端点的函数值的符号相反.于是两个闭区间]2,[b a a +与[2ba +,b]必有一个使函数)(x f 在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为[11,b a ]，有)()(11b f a f <0，再将[11,b a ]二等分，必有一个闭区间，函数)(x f 在其两个端点的函数值的100符号相反.将此闭区间表为[22,b a ]，有)()(22b f a f <0，用二分法无限进行下去，得到闭区间{[n n b a ,]}（b b a a ==00,），且1）[a,b]⊃ [11,b a ]⊃…⊃[n n b a ,]⊃……; 2))(lim n n n a b -∞→= nn ab 2lim-∞→=0对每个闭区间[n n b a ,]，有)()(n n b f a f <0，根据闭区间套定理（4.1定理1），存在唯一数c 属于所有的闭区间，且n n a ∞→lim =n n b ∞→lim =c （1）而c ∈[a,b]，且)(c f ≠0，设)(c f >0.一方面，已知函数)(x f 在c 连续，根据连续函数的保号性，δ∃>0,x ∀:|c x -|<δ,即x ∀),(δδ+-∈c c ，有)(x f >0;另一方面，由（1）式，当n 充分大时，有[n n b a ,]⊂),(δδ+-c c ，已知)()(n n b f a f <0，即函数)(x f 在),(δδ+-c c 中某点的函数值小于0，矛盾.于是，)(c f ≯0.同法可证)(c f ≮0.所以闭区间[n n b a ,]内至少存在一点c ,使)(c f =0.二、 一致连续性 已知：()f x =1x在()0,1连续，即：∀0x ∈()0,1，∀ε>0,(限定00||||2x x x -<⇒0||||2x x > 011||x x -=00||||||x x x x -≤0202||||x x x -<ε 0||x x -<20||*2x ε，取200||||min *,22x x δε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭于是：∀0x ∈()0,1，∀ε>0,∃0x δ=20||*2x ε。