双曲线的简单几何性质 (一) - 浙江省桐乡市高级中学

双曲线的简单几何性质 （一）高二数学 方蕾教学目标：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质. 2．用双曲线的方程去研究其几何性质，进一步反应了解析几何的特点，并用图像帮助理解双曲线的几何性质，解决一些相关问题. 2．通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质，在老师引导下让学生积极讨论、归纳，培养学生的观察、研究能力，增强他们的自信心. 教学重点：双曲线的简单几何性质 教学难点：渐近线的求法及理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、三角板 内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质. 它是教学大纲中要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，这里主要是对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质解决相关数学问题.本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别. 教学流程： (一)复习引入1. 双曲线的定义及其标准方程平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（大于0且小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。

即a MF MF 221=-（0<2a <21F F ）焦点在x 轴上时：()0,012222>>=-b a b y a x 焦点在y 轴上时：()0,012222>>=-b a b x a y(注：双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置)c b a ,,的关系：222b a c +=0>>a c ,c 最大，b a ,可以a =2.椭圆的简单几何性质以()012222>>=+b a bya x为例⑴范围： b y b a x a ≤≤-≤≤- ,⑵对称性：以坐标轴为对称轴，原点为对称中心⑶顶点坐标：()()()(),b ,B ,-b , B a,,A a,A 00002121-长轴：线段21A A 长为2a ，a 短轴：线段21B B 长为2b ，b ⑷离心率：()1,0 ,∈=e ac e探究：类比椭圆几何性质的研究，你认为应研究双曲线的哪些性质？应如何研究这些性质？ （二）新课讲解利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质以焦点坐标在x 轴上的标准方程为例，()0,012222>>=-b a by ax1．范围由标准方程12222=-b y a x 可得112222≥+=b y a x ，即22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值，这说明双曲线在不等式a x -≤与a x ≥所表示的区域内；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线a x a x =-=和之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线2.对称性：类比研究椭圆对称性的研究方法，容易得到，双曲线关于x 轴、y 轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 2．顶点 讲解：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-b y a x 中，令0=y 得a x ±=，故它与x轴有两个交点),0,(1a A()0,2a A -，且x 轴为双曲线12222=-by ax 的对称轴，所以线的顶点(一()0,),0,(21a A a A -为其对称轴的交点，称为双曲般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上12222=-b y a x 位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线的实轴，它的长是2a .在方程12222=-by a x 中令0=x 得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和y 轴没有交点。

但y 轴上的两个特殊点()b B b B -,0),,0(21，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用 把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是b 2，要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆顶点：()0,),0,(21a A a A -实轴：线段21A A 长为2a ，a 叫做半实轴长虚轴：线段21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，这是两者的又一差异 4．渐近线过双曲线12222=-b y a x 的两顶点21,A A ，作y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作x 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ±=（或0=±bya x ）. 从几何画板上观察，当双曲线上的动点M 随着其横坐标x 的增大，点M 到直线x aby =的距离不断变小.又因当双曲线在第一象限时，即0>x 时，双曲线可转化为x ab x a b a x a b a x b y =<-=-=222221，这也意味着双曲线的函数图像永远在x aby =的图像的下方.这两方面说明了直线和双曲线在随着x 的增大而无限靠近，我们把这两条直线称为双曲线的渐近线，这是圆锥曲线中双曲线所特有的几何性质. 5.离心率双曲线的实轴长2a 和焦距2c 的比值ac称为离心率e ，又因a c >，所以1>e探究：类比椭圆的离心率，它的大小反应了椭圆的扁平程度，那么双曲线的离心率又可以客观的反应双曲线的什么几何性质呢？借助几何画板，通过改变a 或b 的大小，观察离心率改变的同时双曲线的开口是如何改变的.直观感到，离心率变大，双曲线的开口变大，反之，变小.下从理论角度给出说明.2222221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+==a b a b a ab a ac eab是双曲线的一条渐近线的斜率，当斜率变大，从图形上看，双曲线的开口在变大，反之，开口在变小，这一方法，结合图像，更容易理解离心率和双曲线开口的关系. 等轴双曲线b a =即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线结合图形说明：b a =时，双曲线方程变成222a y x =-(或)2b ，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为x y ±= 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角,其离心率等与2探究：学完焦点在x 轴上的双曲线的几何性质，你能用这些性质较准确的画出双曲线的草图吗？请画出焦点在y 轴上的双曲线的草图，并写出它的几何性质方程为()0,012222>>=-b a bx a y 1. 范围: a y a y ≥-≤或2. 对称性：以坐标轴为对称轴，原点为对称中心3. 顶点：()a A a A ,0),,0(21-实轴：线段21A A 长为2a ，a 叫做半实轴长虚轴：线段21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长4. 渐进线：方程为x b ay ±=5. 离心率：1>=ace（三）例题讲解例1.写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程（分析：此方程不是双曲线的标准方程，应先将方程转化成标准形式）解：因为双曲线方程为1492522=-x y ，所以74,7,5===c b a实轴长为10，虚轴长为14，顶点坐标为（0，-5），（0，5），离心率574=e ， 渐近线方程为x x b a y 75±=±=（注意渐近线方程的表达,渐近线方程还可有下求法：以双曲线的焦点在x 轴上为例，方程()0,012222>>=-b a by ax ，将方程中的1改成0即可求得，因为02222=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-b y a x b y a x b y a x ，即方程00=-=+b y a x b y a x 或） 总结归纳：共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x ab y ±=)0(>±=k x ka kb，那么此双曲线方程就一定是：x)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成()02222≠=-λλb y a x .当0>λ时，双曲线的焦点在x 轴上，当0<λ时，双曲线的焦点在y 轴上.例2.已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率（分析：双曲线的焦点在哪个轴上未告知，a b=43还是43=ba 不知，应分类讨论） 解：若()03,4>==k kb k a ，则kc 5=，因此离心率为45=e 若()04,3>==k k b k a ，则k c 5=，因此离心率为35=e （或35451222222或=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+==a b a b a ab a ace ）例3.求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程 方法1（分析：双曲线焦点不确定，可分情况讨论） 解：若双曲线的焦点在x 轴上，设方程为()0,012222>>=-b a b y a x ，渐近线方程为x ab y ±=，所以令()02,3>==k k b k a ，则方程为 1492222=-k y k x ，点p （1,2）代入方程，得到32362-=k ，舍去若双曲线的焦点在y 轴上，，设方程为()0,012222>>=-b a b x a y ，渐近线方程为x b a y ±=，所以令()03,2≠==k k b k a ，则方程为 1942222=-kx k y ，点p （1,2）代入方程，得到982=k ，因此双曲线的标准方程为1893222=-x y 方法2：（由共渐近线的双曲线方程可避免讨论）不妨设()09422≠=-λλy x ，点p （1,2）代入方程，32364-=-=λ因此双曲线的标准方程为1893222=-x y (四)小结：1.本堂课的主要内容为双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线方程、离心率是双曲线的几何性质，渐近线是双曲线特有的几何性质；2.会求双曲线的相关几何性质，并用渐近线辅助较准确的画出双曲线的草图；3. 双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的渐近线方程是x a by ±=， 双曲线()0,012222>>=-b a b x a y 的渐近线方程是x bay ±=， 如果已知一双曲线的渐近线方程为x a by ±=，那么此双曲线方程就可以设()02222≠=-λλby a x .当0>λ时，双曲线的焦点在x 轴上，当0<λ时，双曲线的焦点在y 轴上.（五）课后作业：双曲线的简单几何性质1（六）板书设计以焦点坐标在x 轴上的标准方程为例，()0,012222>>=-b a by ax1．范围：a x -≤与a x ≥2. 对称性： 以坐标轴为对称轴，原点为对称中心3.顶点：()0,),0,(21a A a A -实轴：线段21A A 长为2a ，a 叫做半实轴长 虚轴：线段21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长4.渐近线方程：x aby ±=5. 离心率：1>=ace b a =即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率等与2课后反思：本堂课借用了多媒体辅助教学，课堂内容较多，主要用类比的数学思想方法帮助学习双曲线的相关几何知识，知识点不是很难.准备较充分，在讲解过程中，讲解仔细，清楚，能够做到与学生互动，充分调动学生的学习积极性，互动性较好，学生反应也较快。