2014专题十五不等式选讲(教师版含13年高考试题)

江苏省2014届一轮复习数学试题选编34：不等式选讲一、解答题 1 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）D.[选修4-5:不等式选讲]已知,,a b c 为正数,且满足22cos sin a b c θθ+<,求证:22cos sin a b c θθ+<.【答案】D.由柯西不等式,得 22cos sin a b θθ+11222222[(cos )(sin )](cos sin )a b θθθθ++≤ 1222(cos sin )a b c θθ=+<2 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）选修4—5:不等式选讲已知a ,b 都是正实数,且a +b =2,求证:a 2a ＋1+b 2b ＋1≥1.【答案】选修4—5:不等式选讲证明:方法一:左边-右边=a 2a ＋1+b 2b ＋1-1=a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)=a 2b ＋ab 2＋a 2＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)因边a +b =2,所以左边-右边=1－ab(a ＋1)(b ＋1)因为a ,b 都是正实数,所以ab ≤(a ＋b )24=1所以,左边-右边≥0,即a 2a ＋1+b 2b ＋1≥1方法二:由柯西不等式,得 (a 2a ＋1+b 2b ＋1)[(a ＋1)2+(b ＋1)2]≥(a +b )2因为a +b =2,所以上式即为(a 2a ＋1+b 2b ＋1)×4≥4.即a 2a ＋1+b 2b ＋1≥13 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知|x+1|+|x-l|<4的解集为M,若a,b∈M,证明:2|a+b |<|4+ab|.【答案】4 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—5:不等式选讲)已知a ,b ,c 都是正数,且236a b c ++=,求12131a b c +++++的最大值.【答案】5 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．【答案】【解】因为a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)a b c a b c ++++++≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立． ………………………………………8分即1111323232a b c +++++≥，故111323232a b c +++++的最小值为1．………10分 6 ．（2011年高考（江苏卷））解不等式:|21| 3.x x +-<【答案】【命题立意】本小题主要考查解绝对值不等式的基础知识,考查分类谈论、运算求解能力.【解析】原不等式可化为210(21)3x x x -≥⎧⎨+-<⎩;或210(21)3x x x -<⎧⎨--<⎩,解得1412232x x ≤<<<或-.所以原不等式的解集是4{|2}3x x -<<. 7 ．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）D.选修4—5:不等式选讲已知a ,b 是正数,求证:a 2+4b 2+1—ab≥4.【答案】D.选修4—5:不等式选讲已知a ,b 是正数,求证:a 2+4b 2+1—ab ≥4.证明:因为a ,b 是正数,所以a 2+4b 2≥4ab所以a 2+4b 2+1—ab ≥4ab +1—ab ≥24ab ×1—ab=4.即a 2+4b 2+1—ab≥48 ．（2012年江苏理）已知实数x,y 满足:11|||2|36x y x y +<-<，，求证:5||18y <. 【答案】证明:∵()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-,由题设11|||2|36x y x y +<-<，，∴1153||=366y <+.∴5||18y <. 9 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知0,0,a b >>且21a b +=,求224S a b =--的最大值.【答案】解:0,0,21,a b a b >>+=∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-,且12a b =+≥,≤,18ab ≤,∴224S a b =--(14)ab =--41ab =-≤,当且仅当11,42a b ==时,等号成立10．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲设正数a ,b ,c 满足1a b c ++=,求111323232a b c +++++的最小值.【答案】【解】因为a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=,所以(32)(32)(32)9a b c +++++=.于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9≥,当且仅当13a b c ===时,等号成立即1111323232a b c +++++≥,故111323232a b c +++++的最小值为1 11．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）[选修4—5 :不等式选讲]已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.【答案】由柯西不等式,2222222()(2)(3)()()123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤,因为2x y z =++,所以222242311x y z ++≥, 当且仅当23123x y z ==,即6412,,111111x y z ===时,等号成立, 所以22223x y z ++的最小值为241112．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—5:不等式选讲)已知a ,b ,x ,y 都是正数,且1a b +=,求证:()()ax by bx ay xy ++≥.【答案】13．（2013江苏高考数学）D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-【答案】本题主要考察利用比较法证明不等式,考察推理论证能力.证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a())(22222b a b b a a ---())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a , ∴0)2)()((≥--+b a b a b a ∴0222233≥---b a ab b a ∴b a ab b a 223322-≥-14．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—5:不等式选讲)设函数()12f x x x a =++-+.(1)当5a =-时,求函数()f x 的定义域;(2)若函数()f x 的定义域为R,试求a 的取值范围.【答案】解:(1)由题设知:1250x x ++--≥,如图,在同一坐标系中作出函数12y x x =++-y=5y=x+1+x-2O yx 4321-3-2-15321和5y =的图象(如图所示), 知定义域为(][),23,-∞-+∞(2)由题设知,当x R ∈时,恒有120x x a ++-+≥,即12x x a ++-≥- 由(1)123x x ++-≥,∴ 3,3a a -≤∴≥- [必做题]15．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）D.选修4—5(不等式选讲)已知实数,,x y z 满足2x y z ++=,求22223x y z ++的最小值;【答案】D.选修4—5(不等式选讲)解:由柯西不等式可知:2222222()(2)(3)()()123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤故222242311x y z ++≥,当且仅当2311123x y z==,即:6412,,111111x y z ===22223x y z ++取得最小值为241116．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）【答案】D.解:∵(x +2y +2z )2(12+22+22)(x 2+y 2+z 2)=9,当且仅当x 1=y 2=z2时取等号,|a -1|3,解得a4,或a-217．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(不等式选讲)已知函数()|3|||f x x x a =++-(0a >).(Ⅰ)当4a =时,已知()7f x =,求x 的取值范围;(Ⅱ)若()6f x ≥的解集为{|4x x ≤-或2}x ≥,求a 的值.【答案】18．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—5:不等式选讲解不等式x |x -4|-3<0.【答案】选修4—5:不等式选讲解 原不等式等价于 ⎩⎨⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎨⎧x ＜4，－x 2＋4x －3＜0．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，2－ 7＜x ＜2＋ 7，或⎩⎨⎧x ＜4，x ＜1或x ＞3． 即4≤x <2+7或3<x <4或x <1.综上,原不等式的解集为{x | x <1或3<x <2+7}19．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知,,x y z ∈R ,且234x y z --=,求222x y z ++的最小值.【答案】由柯西不等式,得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤,即2222(23)14()x y z x y z --++≤, 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥,即222x y z ++的最小值为8720．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-5:不等式选讲)若⎪⎭⎫⎝⎛-∈32,21x ,证明2332321<-++++x x x 【答案】证明:由柯西不等式可得()()()()()2181232311112131231x x x x x x =++++-++≥+⋅++⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦7分 又12,23x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,所以1232332x x x ++++-< 21．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—5:不等式选讲)已知常数a 满足11a -<<,解关于x 的不等式:11ax x ++≤.【答案】22．（2009高考(江苏)）设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +.【答案】[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。

2014年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲一、填空题1若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是_________ 【答案】(],8-∞2已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.【答案】23(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________【答案】[]0,44设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,23x y z ++=则x y z ++=_______.二、解答题 1选修4—5;不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥. 【答案】2选修4-5:不等式选讲已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;(II)已知关于x 的不等式()(){}222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值.【答案】3不等式选讲:设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12A ∉. (1)求a 的值;(2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122a -≥ 解得1322a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为34 D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】D 证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a ())(22222b a b b a a --- ())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a ,∴0)2)()((≥--+b a b a b a∴0222233≥---b a ab b a∴b a ab b a 223322-≥-5 选修4—5:不等式选讲已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.(Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 【答案】当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩, 其图像如图所示从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<.(Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2a -≥2a -,即a ≤43, ∴a 的取值范围为(-1,43].6 在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图6所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(I)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(II)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.【答案】解: .0),,(≥y y x P 且设点(Ⅰ) d L A P 路径”的最短距离的“到点点)20,3(,|20 -y | + |3 -x |=+d 垂直距离，即等于水平距离,其中.,0R x y ∈≥(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h 和v 互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;时显然当]14,10[-∈x ,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24≥,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45.。

学必求其心得，业必贵于专精
典型例题十五
例15 已知0>a ，0>b ，且1=-b a ．求证：1)1
)(1
(1
0<+-<b b a a a ．
分析：记)1
)(1
(1
0b b a a a M +-<=，欲证10<<M ，联想到正、余弦函
数的值域，本题采用三角换元,借助三角函数的变换手段将很方便，由条件1=-b a ，+∈R b a 、可换元，围绕公式1tan sec 22=θ-θ来进行．
证明：令θ=2sec a ，θ=2
tan b ,且2
0π<θ<, 则)tan 1(tan )sec 1(sec sec 1)1
)(1
(1
2θ+θ⋅θ-θθ
=+-b b a a a )sin cos cos sin ()cos cos 1(cos 2θ
θ+θθ⋅θ-θθ= θ=θ
θ⋅θθ⋅θ=sin cos sin 1cos sin cos 22 ∵20π<θ<，∴1sin 0<θ<,即1)1
)(1
(1
0<+-<b b a a a 成立．
说明:换元的思想随处可见，这里用的是三角代换法，这种代换如能将其几何意义挖掘出来，对代换实质的认识将会深刻得多，常用的换元法有：(1)若
1≤x ，可设R x ∈αα=,sin ;（2)若122=+y x ，可设α=cos x ,α=sin y ,R ∈α；(3）若122≤+y x ，可设α=cos r x ，α=sin r y ,且1≤r ．。

2014年全国各地高考数学试题及解答分类大全（不等式）一、选择题：1（2014安徽理）y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或解析：数形结合求解。

考点：1.线性规划求参数的值.2.(2014福建文)要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）.80.120.160.240A B C D 元元元元3.(2014福建文)已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C =Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为（）.5.29.37.49A B C D 4.(2014北京理)若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（）A．2B．2-C．12D．12-【答案】D 【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0<k 时，目标函数线过可行域内A点时z 有最小值，联立⎩⎨⎧=+-=020y kx y ，解之得⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .5、(2014广东文)若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于A.7B.8C .10 D.11答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10.选C.6.(2014广东理)若变量x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为M和m ，则M m -=（）A.8B.7C.6D.5截距最大，此时z 取最大值M ，即()2213M =⨯+-=；()336M m -=--=，故选C.7．(2014湖北文)若变量x ，y＋y ≤4，－y ≤2，≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是()A ．2B ．4C ．7D ．84．C[解析]＋y ≤4，－y ≤2，≥0，y ≥0表示的可行域如下图阴影部分所示．设z ＝2x ＋y ，平移直线2x ＋y ＝0，易知在直线x ＋y ＝4与直线x －y ＝2的交点A (3，1)处，z ＝2x2=-+y x 02=+-y kx A=-x y＋y 取得最大值7.故选C.8．(2014湖北理)由不等式组x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.18B.14C.34D.787．D [解析]作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，S Ω1＝S △AOB ＝12×2×2＝2，S △BCE ＝12×1×12＝14，则S 四边形AOEC ＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D.9.(2014江西理)（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】()|1||||1||1|1||11|123x x y y x x y y -++-++≥--+--+=+=10.(2014全国大纲文)不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（）A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >11.(2014全国新课标Ⅰ文)设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5（B ）3（C ）-5或3（D ）5或-3【答案】：B 【解析】：画出不等式组对应的平面区域，如图所示.在平面区域内，平移直线0x ay +=，可知在点A 11,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭处，z 取得最值，故117,22a a a -++=解之得a = -5或a = 3.但a = -5时，z取得最大值，故舍去，答案为a = 3.选B.12.(2014全国新课标Ⅰ理)不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3P B .1p ，4p C.1p ，2p D .1p ，3P 【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.13.(2014全国新课标Ⅱ文)设x ，y 满足约束条件0103310x y x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥-⎩+，则z =2x +y 的最大值为()A．8B．7C．2D．1【答案解析】A．解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.14.(2014全国新课标Ⅱ理)设x ，y 满足约束条件03103507x y x x y y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥-⎩+，则z =2x -y 的最大值为()A.10B.8C.3D.2【答案解析】B.解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.15.(2014山东理)已知实数,x y 满足xya a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+（C ）sin sin x y >（D ）22x y>15.【答案】D【解析】y x a a a yx>∴<<<10, 但不能判断22y x >（如1,0-==y x ）∴排除A,B;x y sin = 是周期函数，∴排除C;3x y = 是单调递增函数，∴D 正确.16.(2014山东文)已知实数,x y 满足(01)x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是(A)33x y>(B)sin sin x y >(C)22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++16.【答案】A【解析】由)10(<<<a a a yx得，y x >，但是不可以确定2x 与2y 的大小关系，故C 、D 排除，而x y sin =本身是一个周期函数，故B 也不对，33y x >正确。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编34：不等式选讲一、解答题 1 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）D.[选修4-5:不等式选讲]已知,,a b c 为正数,且满足22cos sin a b c θθ+<,求证22θθ【答案】D.由柯西不等式,得22θθ11222222))](cos sin )θθθθ++≤ 1222(cos sin )a b θθ=+<2 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）选修4—5:不等式选讲已知a ,b 都是正实数,且a +b =2,求证:a 2a ＋1+b 2b ＋1≥1.【答案】选修4—5:不等式选讲证明:方法一:左边-右边=a 2a ＋1+b 2b ＋1-1=a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)=a 2b ＋ab 2＋a 2＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)因边a +b =2,所以左边-右边=1－ab(a ＋1)(b ＋1)因为a ,b 都是正实数,所以ab ≤(a ＋b )24=1所以,左边-右边≥0,即a 2a ＋1+b 2b ＋1≥1方法二:由柯西不等式,得 (a 2a ＋1+b 2b ＋1)[(a ＋1)2+(b ＋1)2]≥(a +b )2因为a +b =2,所以上式即为(a 2a ＋1+b 2b ＋1)×4≥4.即a 2a ＋1+b 2b ＋1≥13 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知|x+1|+|x-l|<4的解集为M,若a,b∈M,证明:2|a+b |<|4+ab|.【答案】4 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—5:不等式选讲)已知a ,b ,c 都是正数,且236a b c ++=,+的最大值.【答案】5 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．【答案】【解】因为a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立． ………………………………………8分即1111323232a b c +++++≥，故111323232a b c +++++的最小值为1．………10分 6 ．（2011年高考（江苏卷））解不等式:|21| 3.x x +-<【答案】【命题立意】本小题主要考查解绝对值不等式的基础知识,考查分类谈论、运算求解能力.【解析】原不等式可化为210(21)3x x x -≥⎧⎨+-<⎩;或210(21)3x x x -<⎧⎨--<⎩,解得1412232x x ≤<<<或-.所以原不等式的解集是4{|2}3x x -<<. 7 ．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）D.选修4—5:不等式选讲已知a ,b 是正数,求证:a 2+4b 2+1—ab≥4.【答案】D.选修4—5:不等式选讲已知a ,b 是正数,求证:a 2+4b 2+1—ab ≥4.证明:因为a ,b 是正数,所以a 2+4b 2≥4ab所以a 2+4b 2+1—ab ≥4ab +1—ab ≥24ab ×1—ab=4.即a 2+4b 2+1—ab≥48 ．（2012年江苏理）已知实数x,y 满足:11|||2|36x y x y +<-<，，求证:5||18y <. 【答案】证明:∵()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-,由题设11|||2|36x y x y +<-<，，∴1153||=366y <+.∴5||18y <. 9 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知0,0,a b >>且21a b +=,求224S a b =--的最大值.【答案】解:0,0,21,a b a b >>+=∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-,且12a b =+≥,≤,18ab ≤,∴224S a b =-(14)ab =--41ab =+-≤,当且仅当11,42a b ==时,等号成立10．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲设正数a ,b ,c 满足1a b c ++=,求111323232a b c +++++的最小值.【答案】【解】因为a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=,所以(32)(32)(32)9a b c +++++=.于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9≥,当且仅当13a b c ===时,等号成立即1111323232a b c +++++≥,故111323232a b c +++++的最小值为1 11．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）[选修4—5 :不等式选讲]已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.【答案】由柯西不等式,2222222()))1x y z z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤,因为2x y z =++,所以222242311x y z ++≥,1z ==,即6412,,111111x y z ===时,等号成立, 所以22223x y z ++的最小值为241112．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—5:不等式选讲)已知a ,b ,x ,y 都是正数,且1a b +=,求证:()()ax by bx ay xy ++≥.【答案】13．（2013江苏高考数学）D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-【答案】本题主要考察利用比较法证明不等式,考察推理论证能力.证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a())(22222b a b b a a ---())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a , ∴0)2)()((≥--+b a b a b a ∴0222233≥---b a ab b a ∴b a ab b a 223322-≥-14．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—5:不等式选讲)设函数()f x =.(1)当5a =-时,求函数()f x 的定义域;(2)若函数()f x 的定义域为R,试求a 的取值范围.【答案】解:(1)由题设知:1250x x ++--≥,如图,在同一坐标系中作出函数12y x x =++-和5y =的图象(如图所示), 知定义域为(][),23,-∞-+∞(2)由题设知,当x R ∈时,恒有120x x a ++-+≥,即12x x a ++-≥- 由(1)123x x ++-≥,∴ 3,3a a -≤∴≥- [必做题]15．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）D.选修4—5(不等式选讲)已知实数,,x yz 满足2x y z ++=,求22223x y z ++的最小值;【答案】D.选修4—5(不等式选讲)解:由柯西不等式可知:2222222()))1x y z z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤故222242311x y z ++≥,1z==,即:6412,,111111x y z ===22223x y z ++取得最小值为241116．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）【答案】D.解:∵(x +2y +2z )2≤(12+22+22)(x 2+y 2+z 2)=9,当且仅当x 1=y 2=z2时取等号,∴|a -1|≥3,解得a ≥4,或a ≤-217．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(不等式选讲)已知函数()|3|||f x x x a =++-(0a >).(Ⅰ)当4a =时,已知()7f x =,求x 的取值范围;(Ⅱ)若()6f x ≥的解集为{|4x x ≤-或2}x ≥,求a 的值.【答案】18．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—5:不等式选讲解不等式x |x -4|-3<0.【答案】选修4—5:不等式选讲解 原不等式等价于 ⎩⎨⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎨⎧x ＜4，－x 2＋4x －3＜0．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，2－ 7＜x ＜2＋ 7，或⎩⎨⎧x ＜4，x ＜1或x ＞3． 即4≤x <2+7或3<x <4或x <1.综上,原不等式的解集为{x | x <1或3<x <2+7}19．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知,,x y z ∈R ,且234x y z --=,求222x y z ++的最小值.【答案】由柯西不等式,得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤,即2222(23)14()x y z x y z --++≤, 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥,即222x y z ++的最小值为8720．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-5:不等式选讲)若⎪⎭⎫⎝⎛-∈32,21x ,证明2332321<-++++x x x 【答案】证明:由柯西不等式可得()()()())21812323111111x x x =++++-++≥++⎡⎤⎣⎦7分又12,23x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭, 21．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—5:不等式选讲)已知常数a 满足11a -<<,解关于x 的不等式:11ax x ++≤.【答案】22．（2009高考(江苏)）设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +.【答案】[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。

专题17 不等式选讲1. 【2014高考安徽卷文第9题】若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（ ）A.5或8B.1-或5C. 1-或4-D.4-或82. 【2014高考江西卷文第15题】R y x ∈，，若211≤-+-++y x y x ，则y x +的取值范围为__________.【答案】[0,2]【解析】 试题分析：因为1|(1)|1,1|(1)|1x x x x y y y y +-≥--=+-≥--=，当且仅当01,01x y ≤≤≤≤取等号，所以112x y x y ++-+-≥，又211≤-+-++y x y x ，所以01,01x y ≤≤≤≤，因此y x +的取值范围为[0,2].考点：含绝对值不等式的性质3. 【2014高考陕西卷文第15A 题】设R n m b a ∈,,,，且5,522=+=+nb ma b a ，则22n m +的最小值为______.4. 【2014高考辽宁文第24题】设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.【2014高考全国1第24题】若0,0a b >>，且11ab a b +=. （Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.13. 【2014高考全国2第24题】设函数()f x =1(0)x x a a a++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.【答案】（Ⅱ）1552122a ++<<。

选修4－5 不等式选讲考点梳理1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解法(2)|①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．绝对值的三角不等式(1)定理1：若a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． (2)定理2：设a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 推论1：||a |－|b ||≤|a ＋b |. 推论2：||a |－|b ||≤|a －b |.考点自测1．不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为________．解析令：f (x )＝|x －8|－|x －4|＝⎩⎨⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4＜x ≤8，－4，x ＞8，当x ≤4时，f (x )＝4＞2；当4＜x ≤8时，f (x )＝－2x ＋12＞2，得x ＜5， ∴4＜x ＜5；当x ＞8时，f (x )＝－4＞2不成立． 故原不等式的解集为：{x |x ＜5}． 答案 {x |x ＜5}2．(2012·湖南)不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0的解集为________．解析 可根据绝对值不等式的性质进行变换，化绝对值不等式为一元一次不等式求解．原不等式即|2x ＋1|>2|x －1|，两端平方后解得12x >3，即x >14.答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >143．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是________． 解析 ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k ＜1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k ＜1. 答案 (－∞，1)4．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．解析 由|3x －b |＜4，得b －43＜x ＜b ＋43， 即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43＜1，3＜b ＋43≤4，解得5＜b ＜7.答案 (5,7)5．(2012·陕西)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案 [－2,4]对应学生213考向一 含绝对值不等式的解法【例1】►设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解 (1)f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜－12，3x －3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ＜4，x ＋5 (x ≥4).当x ＜－12时，由f (x )＝－x －5＞2得，x ＜－7.∴x ＜－7；当－12≤x ＜4时，由f (x )＝3x －3＞2，得x ＞53， ∴53＜x ＜4；当x ≥4时，由f (x )＝x ＋5＞2，得x ＞－3，∴x ≥4.故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53. (2)画出f (x )的图象如图：∴f (x )min ＝－92.(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．【训练1】 (2012·新课标全国)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围是[－3,0]．考向二 绝对值不等式的证明【例2】►已知函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，且|a |≤1，求证：|f (x )|≤54. 证明 ∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1. 又∵|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x | ≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x | ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54. 证明绝对值不等式主要有三种方法：(1)利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通不等式再证明；(2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明；(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．【训练2】 设函数f (x )＝x 2－2x ，实数a 满足|x －a |<1. 求证：|f (x )－f (a )|<2|a |＋3.证明 |f (x )－f (a )|＝|x 2－a 2＋2(a －x )| ＝|(x －a )(x ＋a )＋2(a －x )| ＝|x －a ||x ＋a －2|<|x ＋a －2|＝|x －a ＋2a －2|<|x －a |＋2|a |＋2<2|a |＋3.考向三 含绝对值的恒成立问题【例3】►已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解 法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}， 所以⎩⎨⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎨⎧－2x －1，x <－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5； 当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围是(－∞，5]． 法二 (1)同法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围是(－∞，5]．(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法． (2)f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .【训练3】 (2012·辽宁)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解 (1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意． 当a >0时，－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1. 故k 的取值范围是[1，＋∞)．(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分) 1．不等式|2x －1|＜3的解集为________．解析 ①当2x －1≥0，即x ≥12时，不等式变为2x －1＜3，得x ＜2，∴12≤x ＜2.②当2x －1＜0即x ＜12时，不等式变为－(2x －1)＜3即x ＞－1，∴－1＜x ＜12，综上不等式解集为{x |－1＜x ＜2}． 答案 (－1,2)2．已知x ＞0，则函数y ＝x (1－x 2)的最大值为________．解析 ∵y ＝x (1－x 2)，∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12.∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2，∴y 2≤12⎝⎛⎭⎪⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427. 当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝33时取等号． ∴y ≤239.∴y 的最大值为239. 答案2393．(2011·江西)对于x ∈R ，不等式|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为________． 解析 法一 (零点分段法)由题意可知，⎩⎨⎧ x ≤－10，－x －10＋x －2≥8或⎩⎨⎧ －10＜x ＜2，x ＋10＋x －2≥8或⎩⎨⎧x ≥2，x ＋10－x ＋2≥8， 解得x ≥0，故原不等式的解集为{x |x ≥0}．法二 (几何意义法)如图，在数轴上令点A 、B 的坐标分别为－10，2，在x 轴上任取一点P ，其坐标设为x ，则|P A |＝|x ＋10|，|PB |＝|x －2|，观察数轴可知，要使|P A |－|PB |≥8，则只需x ≥0.故原不等式的解集为{x |x ≥0}．答案 {x |x ≥0}4．(2011·陕西)若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析 由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3.所以只需a ≤3即可． 答案 (－∞，3]5．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a 对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 当a ＜0时，显然成立；当a ＞0时，∵|x ＋1|＋|x －3|的最小值为4， ∴a ＋4a ≤4.∴a ＝2.综上可知a 的取值范围是(－∞，0)∪{2}．答案 (－∞，0)∪{2}6．设x ，y ，z ∈R ，若x 2＋y 2＋z 2＝4，则x －2y ＋2z 的最小值为________时，(x ，y ，z )＝________.解析 ∵(x －2y ＋2z )2≤(x 2＋y 2＋z 2)[12＋(－2)2＋22]＝4×9＝36，∴x －2y ＋2z 最小值为－6，此时x 1＝y －2＝z2.又∵x 2＋y 2＋z 2＝4，∴x ＝－23，y ＝43，z ＝－43. 答案 －6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，43，－437．若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析 ∵a ≥xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3对任意x ＞0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3， ∴只需a ≥1u 恒成立即可．∵x ＞0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)． 由u ≥5，知0＜1u ≤15，∴a ≥15.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞8．已知h ＞0，a ，b ∈R ，命题甲：|a －b |＜2h ：命题乙：|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，则甲是乙的________条件．解析 |a －b |＝|a －1＋1－b |≤|a －1|＋|b －1|＜2h ，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件． 答案 必要不充分 二、解答题(共20分)9．(10分)对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －2b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，试求实数x 的取值范围． 解 原不等式等价于|a ＋b |＋|a －2b ||a |≥|x －1|＋|x －2|，设ba ＝t ，则原不等式变为|t ＋1|＋|2t －1|≥|x －1|＋|x －2|对任意t 恒成立．因为|t ＋1|＋|2t －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ≥12，－t ＋2，－1＜t ＜12，－3t ，t ≤－1，在t ＝12时取到最小值为32.所以有32≥|x －1|＋|x －2|＝⎩⎨⎧2x －3，x ≥2，1，1＜x ＜2，3－2x ，x ≤1，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，94.10．(10分)(2012·福建)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 解 (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ， 学.科.网Z.X.X.K] 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得 a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。

2013年高考试题选（不等式选讲）1.（2013·全国卷Ⅰ）已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+. （Ⅰ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（Ⅱ）设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围. 2.（2013·全国卷Ⅱ）设,,abc 均为正数，且1a b c ++=，证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++≤ （Ⅱ）2221a b c b c a++≥ 3.（2013·山东卷理科）在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得121x x +--≥成立的概率为____.4.（2013·福建卷理科）设不等式2()x a a N +-<∈的解集为A 且A A ∉∈21,23（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()2f x x a x =-+-的最小值.5.（2013·辽宁卷）已知函数()f x x a =-，其中1a >.（Ⅰ）当=2a 时，求不等式()44f x x ≥--的解集；（Ⅱ）已知关于x 的不等式(2)2()2f x a f x +-≤的解集为{}12x x ≤≤，求a 的值.6.（2013·陕西卷理科）已知,,,a b m n 均为正数, 且1a b +=,2mn =, 则 ()()am bn bm an ++的最小值为 .7.（2013·湖南卷理科）已知,,,236a b c R a b c ∈++=，则22249a b c ++的最小值为 .8.（2013·陕西卷文科）设,a b R ∈,2a b ->, 则关于实数x 的不等式2x a x b -+->的解集是 .9.（2013·重庆卷理科）若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解，则实数a 的取值范围是 ．10. （2013·湖北卷理科）设,,x y z R ∈，且满足2221x y z ++=,23x y z ++=则x y z ++= .。

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点55 不等式选讲（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一．考纲目标含绝对值不等式的解法；有关不等式的证明；利用不等式的性质求最值．二．考点逐个突破1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|＞a(a ＞0)⇔f(x)＞a 或f(x)＜－a ；(2)|f(x)|＜a(a ＞0)⇔－a ＜f(x)＜a ；(3)对形如|x －a|＋|x －b|≤c，|x －a|＋|x －b|≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab.当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．5．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．三．考点逐个突破1.含绝对值不等式的解法例1(1) 不等式 3|1||1|≥++-x x 的解集是 . 【答案】33(,][,)22-∞-+∞或⎭⎬⎫≥-≤2323|{x x x 或 【解析】2,1|1||1|2,112,1x x x x x x x -≤-⎧⎪-++=-<<⎨⎪≥⎩，当1x ≤-时，由3|1||1|≥++-x x 得23x -≥，得32x ≤-；当1x ≥时，由3|1||1|≥++-x x 得23x ≥，解得32x ≥，所以不等式的解集为33(,][,)22-∞-+∞. (2) 不等式|21||1|2x x ++-<的解集为 【答案】2(,0)3- 【解析】当12x ≤-时，原不等式等价为(21)(1)2x x -+--<，即232,3x x -<>-，此时2132x -<≤-。