初中数学反例的构造与应用
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去 ，不成 立 的情 况 挑 选 出来 ，从 而 得 到 反 例 。
例 １： 于 一 些 初 中 学 生 而 言 ， 要 判 断 命 题 对 “ 如
的 有效 方法 ，更 是 否定 谬 论 的锐 利 武 器 。 理 解 数 学 中
的 反 例 ， 应 把 握 以 下 三 点 ：其 一 ， 它 是 相 对 于 数 学 命 题 而 言 的 其 二 ， 它 是 具 体 的 实 例 ；其 三 ， 它 是 反 驳 与 纠 正 数学 命 题 的一 种 方 法 。在 实 际应 用 中 ，不 管 一 个 假命 题 的 反例 有 多 少 ，我们 在举 反例 时 ，只 选 其 中 一
初 中数学反例 的构 造与应 用
莆 田市岱峰 中学 周淑萍
反例 是 理 解 数 学概 念 的 有 力工 具 ，也 是 纠 正 错 误
而是 在 有 的情 况 下 真 ，有 的 情 况 Ｔｔ Ｅ，经 过全 面 考 虑 所 有 可 能 ， 一 一 严 格 验 证 ， 便 把 成 立 的 情 况 排 除 出
例 ３： 对 角 线 相 等 且 互 相 垂 直 的 四 边 形 是 正 方 “
形 ”命 题 是 错 误 的 。反 例 如 图 １ ，ＡＣ Ｂ ，ＡＣ上 Ｂ ， ＝ Ｄ Ｄ
但 四 边 形 Ａ ＢＣＤ 不 是 正 方 形
时总 是 千 方百 计地 寻 找正 面 的证 明方 法 ，即 使 在 多 次
例 ２： 垂 直 于 弦 的 直 径 平 分 这 条 弦 ” 命 题 是 错 误 “ 的 ， 当这 条 弦是 直 径 时命 题 便 不 成 立 （ 例 ） 反 。
目前 初 中 数 学 教科 书往 往 是 围绕 理 论 体 系 的 建 立
与 证 明 而 展 开 的 ，例 题 也 是 从 正 面 解 释 定 理 ， 或 说 明 定 理 如 何 使 用 ，很 少 出 现反 例 ， 以至 于 学 生做 数 学题
３． 推 法 。 顺
法 、逆 推 法 、顺 推 法 。 １列 举 法 。 ．
通 常 情 况 下 ，一个 命 题 不 是 “ 切 情 况 下均 假 ” 一 ，
口 与 、 Ｃ 重 合 ） ＰＥ ＢＣ 、Ｅ ， Ｌ ｔ
ＰＦＬ ＣＤ 占 ｔ ’Ｆ
，
当 一 个 命 题 作 为 一 个 真 命 题 去 分 析 时 ， 如 果 进
果 ａ是 实 数 ， 那 么 ａ＞ ” 的 真 假 ， 只 要 举 一 反 例 ａ Ｏ， ２０ － 则 ａ＝ 。 这 可 能 是 中 学 生 遇 到 的 第 一 个 反 例 。 但 多 年 ２０ 的 教 学 实践 告 诉 我 们 ： 即 使 到 了 高 三 ， 还 有 相 当 多 的
学 生 仍 在 此犯 错 。
、 － ，芦 一 ＋ ／ ，则 ｏ ＋， ８是 有 理 数 ，所 以① 不 ／ ＿ ＝ ｌ 、 ｑ ｃ ３ ］ 对 ：若 令 ｏ ２ ／ ，卢 ｖ ， 则 ｒ 、 ＝ ＝ ＿ ２
仅 ＋
有 利 于纠 正 错 误 结 论 、 澄 清 模糊 概 念 、开 拓 思 维 新 领
域 、培 养 良好 的思 维 品 质和 学 习 习惯 。 反 例 的 构 造 是 初 中 数学 教 学 中一 种 非 常 重 要 的 手段 ，我 们 要 重 视 这
一
是有理数 ，
所 以 ② 不 对 ； 又 令 ｄ＝
，／＝ ３ 一Ｖ ，则 、 ＋ ／
技 能 的 培 养 和 训『 。 常 见 的 反 例 构 造 方 法 有 列 举 练
， ／ ０是 有 理 数 ，所 以③ 不 对 。 这 里 判 断 命 题 ① 、 ＝
时 ，我们 采 用 了逆 推 法 。
／ ＼ Ｃ
现 和 认 识 数 学 真理 、强 化 数 学 基 础 的理 解 和掌 握 以及
克 服 思 维 定 势 、 培 养 学 生 的 思 维 能 力 和 创 造 能 力 等 方
是 无 理 数 ；
③ 若 Ｏ、口是 不 相 等 的 无 理 数 ， ｔ
口＋、 则 是 无 理 数 。 其 中 正 ３／ 确命题的个数是
个就 可 以 了。 学 生 在 数 学学 习 中 的创 造 性 ，往 往 离 不
开直 觉思 维 ，但 由于 直 觉 思维 不严 密 ，所 以仅 靠 直 觉 得 到 的猜 想可 能 伴 有 谬 误 ，这 时 引导 学 生 在 学 习过 程 中发 现 反 例 ，就 可 以修 正 猜 想 可 能 带 来 的 谬 误 。
Ｄ 用反 例 加 以说 明 ： （ ３） 试 选 取 正
方 形 ＡＢ Ｄ 的 两 个 顶 点 ， 分 别 与 四 Ｃ
（ ） 求 证 ：ＢＰ ＤＰ； （ １ ＝ ２） 如
２． 推 法 。 逆
例 ４ （ ９ ９ 午 全 国 初 中 数 学 联 赛 第 ６ 题 ） 有 下 １９ ：
列 三 个 命 题 ：① 若 、 是 不
相 等 的 无 理 数 ， 则 ＋ ａ 是
无 理 数 ；（ 若 ｄ、 口 是 不 相 等 Ａ
的 无 理 数 ， 则
Ｏ ４３ ｔ ４
证 明 未 果 的 情 况 下 ，也 不 能 想 到 题 目 本 身 条 件 是 否 充 分 ，能 否 举 出 反 例 否定 命 题 ，淡 化 了反 例 的 作 用 。若 举 反 例 的 方 法 在 学 习 中应 经 常 为 学 生 所 用 ，它 会使 学
生 对 概 念 、 定 理 、 公 式 的 理 解 更 全 面 、 透 彻 ， 它 在 发
Ａ． ０ Ｂ ． １
＼ ／
， Ｊ
面 的 意 义 和 作 用 是 不 可 低 估 的 。 以 下 ，笔 者 从 反 例 的 构 造 和应 用两 方面 谈 谈 自 己对 反 例教 学 的理 解 。
一
图 ｌ
（
）
Ｃ． ２ Ｄ． ３
、
反例的构造
因 为 ＋ Ｂ ｏ— ）／ ） ， 所 以 只 要 令 ｏ＝ ＋ － ＝（Ｌ １ （ ＋１ ＋ｌ ３ ｔｌ 构造 反例 是 数 学 学 习必 不 可 少 的环 节 ，构 造 反 例
例 １： 于 一 些 初 中 学 生 而 言 ， 要 判 断 命 题 对 “ 如
的 有效 方法 ，更 是 否定 谬 论 的锐 利 武 器 。 理 解 数 学 中
的 反 例 ， 应 把 握 以 下 三 点 ：其 一 ， 它 是 相 对 于 数 学 命 题 而 言 的 其 二 ， 它 是 具 体 的 实 例 ；其 三 ， 它 是 反 驳 与 纠 正 数学 命 题 的一 种 方 法 。在 实 际应 用 中 ，不 管 一 个 假命 题 的 反例 有 多 少 ，我们 在举 反例 时 ，只 选 其 中 一
初 中数学反例 的构 造与应 用
莆 田市岱峰 中学 周淑萍
反例 是 理 解 数 学概 念 的 有 力工 具 ，也 是 纠 正 错 误
而是 在 有 的情 况 下 真 ，有 的 情 况 Ｔｔ Ｅ，经 过全 面 考 虑 所 有 可 能 ， 一 一 严 格 验 证 ， 便 把 成 立 的 情 况 排 除 出
例 ３： 对 角 线 相 等 且 互 相 垂 直 的 四 边 形 是 正 方 “
形 ”命 题 是 错 误 的 。反 例 如 图 １ ，ＡＣ Ｂ ，ＡＣ上 Ｂ ， ＝ Ｄ Ｄ
但 四 边 形 Ａ ＢＣＤ 不 是 正 方 形
时总 是 千 方百 计地 寻 找正 面 的证 明方 法 ，即 使 在 多 次
例 ２： 垂 直 于 弦 的 直 径 平 分 这 条 弦 ” 命 题 是 错 误 “ 的 ， 当这 条 弦是 直 径 时命 题 便 不 成 立 （ 例 ） 反 。
目前 初 中 数 学 教科 书往 往 是 围绕 理 论 体 系 的 建 立
与 证 明 而 展 开 的 ，例 题 也 是 从 正 面 解 释 定 理 ， 或 说 明 定 理 如 何 使 用 ，很 少 出 现反 例 ， 以至 于 学 生做 数 学题
３． 推 法 。 顺
法 、逆 推 法 、顺 推 法 。 １列 举 法 。 ．
通 常 情 况 下 ，一个 命 题 不 是 “ 切 情 况 下均 假 ” 一 ，
口 与 、 Ｃ 重 合 ） ＰＥ ＢＣ 、Ｅ ， Ｌ ｔ
ＰＦＬ ＣＤ 占 ｔ ’Ｆ
，
当 一 个 命 题 作 为 一 个 真 命 题 去 分 析 时 ， 如 果 进
果 ａ是 实 数 ， 那 么 ａ＞ ” 的 真 假 ， 只 要 举 一 反 例 ａ Ｏ， ２０ － 则 ａ＝ 。 这 可 能 是 中 学 生 遇 到 的 第 一 个 反 例 。 但 多 年 ２０ 的 教 学 实践 告 诉 我 们 ： 即 使 到 了 高 三 ， 还 有 相 当 多 的
学 生 仍 在 此犯 错 。
、 － ，芦 一 ＋ ／ ，则 ｏ ＋， ８是 有 理 数 ，所 以① 不 ／ ＿ ＝ ｌ 、 ｑ ｃ ３ ］ 对 ：若 令 ｏ ２ ／ ，卢 ｖ ， 则 ｒ 、 ＝ ＝ ＿ ２
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有 利 于纠 正 错 误 结 论 、 澄 清 模糊 概 念 、开 拓 思 维 新 领
域 、培 养 良好 的思 维 品 质和 学 习 习惯 。 反 例 的 构 造 是 初 中 数学 教 学 中一 种 非 常 重 要 的 手段 ，我 们 要 重 视 这
一
是有理数 ，
所 以 ② 不 对 ； 又 令 ｄ＝
，／＝ ３ 一Ｖ ，则 、 ＋ ／
技 能 的 培 养 和 训『 。 常 见 的 反 例 构 造 方 法 有 列 举 练
， ／ ０是 有 理 数 ，所 以③ 不 对 。 这 里 判 断 命 题 ① 、 ＝
时 ，我们 采 用 了逆 推 法 。
／ ＼ Ｃ
现 和 认 识 数 学 真理 、强 化 数 学 基 础 的理 解 和掌 握 以及
克 服 思 维 定 势 、 培 养 学 生 的 思 维 能 力 和 创 造 能 力 等 方
是 无 理 数 ；
③ 若 Ｏ、口是 不 相 等 的 无 理 数 ， ｔ
口＋、 则 是 无 理 数 。 其 中 正 ３／ 确命题的个数是
个就 可 以 了。 学 生 在 数 学学 习 中 的创 造 性 ，往 往 离 不
开直 觉思 维 ，但 由于 直 觉 思维 不严 密 ，所 以仅 靠 直 觉 得 到 的猜 想可 能 伴 有 谬 误 ，这 时 引导 学 生 在 学 习过 程 中发 现 反 例 ，就 可 以修 正 猜 想 可 能 带 来 的 谬 误 。
Ｄ 用反 例 加 以说 明 ： （ ３） 试 选 取 正
方 形 ＡＢ Ｄ 的 两 个 顶 点 ， 分 别 与 四 Ｃ
（ ） 求 证 ：ＢＰ ＤＰ； （ １ ＝ ２） 如
２． 推 法 。 逆
例 ４ （ ９ ９ 午 全 国 初 中 数 学 联 赛 第 ６ 题 ） 有 下 １９ ：
列 三 个 命 题 ：① 若 、 是 不
相 等 的 无 理 数 ， 则 ＋ ａ 是
无 理 数 ；（ 若 ｄ、 口 是 不 相 等 Ａ
的 无 理 数 ， 则
Ｏ ４３ ｔ ４
证 明 未 果 的 情 况 下 ，也 不 能 想 到 题 目 本 身 条 件 是 否 充 分 ，能 否 举 出 反 例 否定 命 题 ，淡 化 了反 例 的 作 用 。若 举 反 例 的 方 法 在 学 习 中应 经 常 为 学 生 所 用 ，它 会使 学
生 对 概 念 、 定 理 、 公 式 的 理 解 更 全 面 、 透 彻 ， 它 在 发
Ａ． ０ Ｂ ． １
＼ ／
， Ｊ
面 的 意 义 和 作 用 是 不 可 低 估 的 。 以 下 ，笔 者 从 反 例 的 构 造 和应 用两 方面 谈 谈 自 己对 反 例教 学 的理 解 。
一
图 ｌ
（
）
Ｃ． ２ Ｄ． ３
、
反例的构造
因 为 ＋ Ｂ ｏ— ）／ ） ， 所 以 只 要 令 ｏ＝ ＋ － ＝（Ｌ １ （ ＋１ ＋ｌ ３ ｔｌ 构造 反例 是 数 学 学 习必 不 可 少 的环 节 ，构 造 反 例
