第三章 变异程度的统计描述

统计描述的概念
统计描述是通过指标或图表对数据进行总结、概括和分析的过程，旨在从大量数据中提取出有意义的信息。

主要包括以下几个概念：
1. 中心趋势：描述数据的集中程度，常用的指标包括均值、中位数和众数。

2. 变异程度：描述数据的不同程度，常用的指标包括方差、标准差和极差。

3. 偏态和峰度：用来描述数据分布的非对称性和峰态，常用的指标包括偏度和峰度。

4. 相关性：用来描述数据之间的关联性，常用的指标包括相关系数。

5. 分布形态：用来描述数据的整体分布特征，常用的图表包括直方图、箱线图和散点图等。

6. 置信区间：用来描述抽样数据的可靠程度，常用的指标包括置信度和置信区间。

统计描述是数据分析的基础，有助于深入了解数据的特征、发现数据之间的规律和趋势，为后续的数据建模和决策提供依据。

描述变异程度的统计学指标《描述变异程度的统计学指标》概述：描述变异程度的统计学指标是用于衡量数据集内部差异的一组统计量。

这些指标帮助我们了解数据的分散程度，用以描述数据的变异程度及其稳定性。

本文将介绍几种常见的用于描述变异程度的统计学指标。

1. 平均数（Mean）：平均数是最常用的描述变异程度的指标之一。

计算方式是将所有数据值相加，然后除以数据的个数。

平均数能够提供数据集的集中趋势，但在面对异常值时容易受到干扰。

2. 方差（Variance）：方差是衡量数据集内部差异的另一个重要指标。

方差计算时首先求出每个数据值与平均数之差的平方，并将这些差值的平均数作为方差值。

方差值越大，表示数据集内部的差异程度越大。

3. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，它衡量数据集内部差异的一种常用指标。

标准差值越大，表示数据集内部的差异越大。

与方差相比，标准差更易于理解，并且在数据分析中更常用。

4. 极差（Range）：极差是变异程度的一种简单度量，它是数据集中最大值与最小值之间的差异。

极差提供了数据集取值范围的信息，但它忽略了数据值的分布情况。

5. 百分位数（Percentiles）：百分位数是描述变异程度的有用工具，它将数据集分成100个等分。

例如，第50百分位数（中位数）将数据集划分为两个等分，分别包含50%的数据。

分析不同百分位数之间的差异可以提供关于数据分布的更详细信息。

6. 四分位数（Quartiles）：四分位数是将数据集划分为四等分的百分位数，其提供了数据集分布的更多信息。

第一四分位数将数据集划分为四个等分中的第一个，包含25%的数据，第三四分位数划分为四个等分中的第三个，包含75%的数据。

四分位数可以用来检测数据集中的异常值。

结论：描述变异程度的统计学指标提供了深入了解数据集内部差异程度的方法。

通过求取平均数、方差、标准差、极差、百分位数和四分位数等指标，我们可以更好地理解数据的变异程度及其稳定性。

第三章统计分布的数值特征只知道什么是统计分布是不够的，还必须学会对其进行量化描述。

描述统计分布的重要的特征值有两个，一个是说明其集中趋势的平均指标，另一个是说明其离散程度的变异指标。

这一对矛盾的指标分别从不同角度反映了统计分布的分布特点，它们相辅相成，相互补充，缺一不可。

本章着重就这两个指标展开讨论，介绍了它们的理论、方法与应用，充分理解掌握本章的内容，对于以后各章节的学习尤为重要。

本章的目的与要求通过本章学习，要求学生在了解总体分布的两个重要特征值就是平均指标与变异指标的前提下，着重掌握这两个指标的计算方法及其数学性质；明确反映集中趋势的各种平均指标的计算特点与作用、反映离散程度的各种变异指标的计算特点与作用；还要学会利用这两个特征值得各自数学性质，采用简捷法计算算术平均数和标准差，以提高计算效率；此外，算术、调和与几何平均数三者之间的关系，算术平均数与众数、中位数之间的关系等也是学生应充分理解掌握的内容。

本章主要内容（计划学时7 ）一、分布的集中趋势（1）——数值平均数1、算术平均数2、调和平均数3、几何平均数二、分布的集中趋势（2）——位置平均数1、众数2、中位数3、其他分位数三、分布的离中趋势——变异指标1、变异全距2、平均差3、标准差4、变异系数学习重点一、重点掌握各种平均数的特点、应用条件、应用范围和计算方法，及其相互之间的关系；二、了解变异指标的意义和作用，熟练掌握各种变异指标的计算方法，尤其应重点掌握标准差的计算与应用；三、理解掌握算术平均数与标准差的数学性质，并且能利用其数学性质进行简捷计算；四、明确平均指标与变异指标的相互关系及其运用原则。

学习难点一、各种平均指标的应用条件、运用范围，尤其是加权算术权数的选择；二、根据所掌握的资料，应选择算术平均或调和平均方法;三、标准差的理论依据及其计算方法，尤其是成数标准差的计算更是初学者不易掌握的问题。

第一节 分布的集中趋势（1）——数值平均数一、统计平均数1、反映总体分布的集中趋势2、反映统计数列所达到的一般水平（静态、动态）3、与强度相对数的区别 二、算术平均数（用A x 表示） （一）算术平均数的基本内容： 算术平均数＝总体单位总量总体标志总量（二）简单算术平均数nxnx x x x ni inA ∑==+++=121可简写为：nx x A∑=式中： x i 为变量值 n 是总体单位数 Σ为总和符号例3－1.1 从某味精厂的生产线上随机抽取了10包味精，测得每包净重分别为（单位：克）499 497 501 499 502 503 500 499 498 500 将此十个数据相加除以十就是算术平均数（结果为499.8克）。

第三章平均数、标准差与变异系数第三章平均数、标准差与变异系数第⼀节平均数平均数是统计学中最常⽤的统计量，⽤来表明资料中各观测值相对集中较多的中⼼位置。

并且可以作为代表与同类资料⽐较，平均数主要包括有：算术平均数（arithmetic mean ）中位数（median ）众数（mode ）⼏何平均数（geometric mean ）调和平均数（harmonic mean ）⼀、算术平均数资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数。

根据样本⼤⼩及分组情况⽽采⽤直接法或加权法计算。

(⼀)直接法样本含量n ≤30以下、未经分组资料平均数的计算。

设某⼀资料包含n 个观测值： x 1、x2、…、xn ，（3-1）【例3.1】某种公⽜站测得10头成年公⽜的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg ），求其平均数。

由于Σx =500+520+535+560+58+600+480+510+505+49=5285，n =10得：（⼆）加权法对于样本含量 n ≥30 以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采⽤加权法计算平均数：（3-2）式中： x i —第i 组的组中值；f i —第i 组的次数；k —分组数第i 组的次数f i 是权衡第i 组组中值x i 在资料中所占⽐重⼤⼩的数量，因此将f i 称为是x i 的“权”，加权法也由此⽽得名。

n x n x x x x n i i n ∑==+++=121 .5(kg)528105285∑===n x x ∑∑∑∑==++++++===f fx f x f f f f x f x f x f x k i i ki i i k k k 11212211【例3.2】将100头长⽩母猪的仔猪⼀⽉窝重（单位：kg ）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。

表3—1 100头长⽩母猪仔猪⼀⽉窝重次数分布表利⽤（3—2）式得：计算若⼲个来⾃同⼀总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采⽤加权法计算。

描述统计-变异程度世界是运动的，运动是永恒不变的，唯⼀不变的就是变化。

有很多⽅法可以度量变化，⽐如时间，时间就是度量事物变化的⼀个量度。

时间不能表⽰⾃⼰，只能通过事物的变化来度量。

距离，我们通过脚步或者尺码来度量，⾃⼰⾏⾛的路程。

⼀个点的⽔平运动，形成了⼀条线⼀条线的⽔平运动，创造了⼀个⾯如果要把⼀个⾯拎起来，各个点的运动就形成了⼀个三维⽴体。

描述或分析⼀个事物，⼀个现象，除了需要掌握它的⼀般表征，数据中⼼的位置，同时还要了解事物和现象的变异程度也就是离散程度，变动⼤⼩更好的描述⼀个事物。

初步表征他变化的规律。

数据分析就是扎根历史，展望未来，通过历史的数据去推断未来的可能性。

统计学通过长久的发展，有⼏个经典的度量变异值的⽅法。

1.极差=最⼤值-最⼩值。

最⼤值和最⼩值的差往往能够反映，⼀个物体运动的宽度。

⽐⽅说⼀个⼈做⼀道菜，刚开始不太会，做的慢，⼤约需要30分钟，天天做，天天做，现在已经⼗分熟练，那么他的极差，也就是最⼤的差距是25分钟。

或者从北京到青岛，有各种的⽅法，⽕车，长途车，⾃驾，飞机等等，他⽤飞机的时间最短，2⼩时，长途车的时间最长8个⼩时，极差也就是6个⼩时。

极差反映的是⼀个事物的变化，完成这个变化本⾝造成其他度量的最⼤变化幅度。

他设定了⼀个⾯，所有的变化都在这个⾯⾥。

极差是⼀个⾯，很少单独表⽰事物的变化。

我们需要看到更多的⾯。

SQL: MAX(x)-MIN(x)EXCEL:MAX(x)-MIN(x)R语⾔：x<-c(1,2,3,4)range(x)的返回值为c(1,4)diff(range(x)) 返回值为32.四分位数间距。

IQR=Q3-Q1.他表⽰的是中间50%的数的极差。

3.⽅差。

⼤学中学好像都学过，是⼀种规定的表⽰离散程度的⽅法.总体⽅差的分母为n,样本⽅差的分母为n-1 达到⽆偏的效果。

其实绝对值和四次⽅都能表⽰离散程度，只是绝对值会产⽣尖点，不容易做导数。

⼈们⼀般都会重点关注异常的部分，平⽅可以让异常适当加权，但⼜没有加权的很剧烈的位置。

医学统计学备考资料皖南医学院08药剂医学统计中的基本概念医学统计工作的内容：（填空）① 设计 实验设计（对照、随机、均衡、重复）调查设计②收集资料 资料来源 ③整理资料 频数表（步骤） 描述数据的分布特征 集中趋势：x ，G ，M 1） 确定组数 离散趋势：R ，Q ，S ，C.V 2） 确定组距 3) 确定组段4) 划记列表 描述数据的分布类型 正态分布（μ，σ）（特点）u 分布（转换）（μ=0，σ=1） 标准正态分布 应用判定医学参考值范围（考定义）（x ±1.96S ）相对数（种类：率，构成比，相对比） 偏态分布（）④分析资料 统计描述点估计 精密度 影响可信区间的因素参数估计 准确度区间估计：x ±t 0.05,v S x （σ未知，n 较小时） 概念：按预先给定的概率，计算出一个区间，使它能够包含未知的总体均数均数的抽样误差：S x =ns （样本均数标准误的估计值）统计推断 标准差与标准误的区别与联系：（P 12）标准差：个体观察值之间变异的标准差标准误：反映样本均数之间变异的标准差数值资料t ，u 检验的应用条件（计算）（P 4） F 检验应用条件、基本思想（不掌握） 分类资料χ2检验基本思想、应用条件 5个条件（n 与T 大小）假设检验（P7）计算1对，配对假设检验注意事项两独立样本秩和检验：非参数检验的适用范围及优缺点（P8）配对符号的秩和检验（P8）资料的类型：资料分类：①计量资料：特定的方法测定观察单位的某项特征所得的资料。

②计数资料：将观察单位按某种属性或类别分组，分别清点每组观察单位数所得的资料。

③等级分组资料：根据观察单位的不同属性的程度分组，分别清点每组观察单位数所得的资料。

总体和样本：总体：由研究目的确定的同质个体的集合分为有限总体和无限总体样本：从总体中随机抽取部分个体的集合抽样误差：由抽样引起的样本与总体或样本与样本之间的差异抽样：（一）代表性（二）随机性（三）可靠性（四）可比性参数和统计量：参数：描述总体特征的指标统计量：描述样本特征的指标误差：准确度↓1．精确度↑2．随机测量误差：未知3．抽样误差：原因抽样：消除不抽个体变异：减小增加样本含量概率：描述某现象或事件发生可能之大小。

第一章医学统计中的基本概念1、 医学统计学是研究医学数据的收集、整理、分析、解释和呈现其结果的一门学科。

2、 个体：研究的基本观察单位。

3、 变量：用于观察研究对象的指标。

4、 观察值：个体变量的数值。

5、 资料：又称为数据，由变量的观察值构成。

变异：个体观察值之间具有的差异。

变异和同质是对统计学数据的要求！变异是统计学研究的真正对象！ 统计学是研究变异规律的科学！ 同质：个体观察值之间的变异在允许范围内。

异质：个体观察值之间的变异超出允许范围。

一、总体、抽样、样本、参数、统计量 总体：同质的个体所构成的全体研究对象。

总体同时具有同质和变异两个特点。

有限总体：总体中的个体数量是有限的。

无限总体：总体中的个体数量是无限的。

样本：从总体中随机抽取的部分个体。

样本量：样本所包含的个体数目。

参数：刻画总体特征的指标。

统计量：刻画样本特征的指标。

抽样：从总体中随机抽取部分个体的过程。

抽样具有代表性、随机性、可靠性、可比性；原则：代表性：样本能充分反映总体特征。

随机性：保证总体中每个个体都有相同的几率被抽样。

随机性是代表性的保证；生活中随机性的例子（思考题）；计数资料计量资料(分类资料)资料等级资料(有序多分类资料)二分类资料无序多分类资料计量资料：由连续变量的观察值构成的资料。

对每个观察对象的观察指标用定量方法测定其数值大小所得的资料，一般有度量衡单位，例如年龄、身高、血糖。

计数资料：由离散变量的观察值构成的资料。

先将观察对象的观测指标按性质或类别进行分组，然后计数各组的数目所得的资料，例如性别、患病、血型。

等级分组资料：由等级变量的观测值构成的资料。

具有计数资料的特征，同时又具有半定量性质的资料，例如细菌培养阳性结果。

二、3种设计类型：完全随机设计；配对设计；配伍组设计。

三、 抽样误差、概率和小概率事件抽样误差：由抽样引起的样本统计量与总体参数之间的差异。

抽样误差的原因；抽样误差是不可避免的。

概率P ：表示某事件发生的可能性大小的度量。

第三章 数据的特征量及统计分析第一节集中量⏹ 集中量是代表一组数据典型水平或集中趋势（central tendency ）的量。

⏹ 它能反映频数分布中大量数据向某一点集中的情况。

⏹ 常用的集中量有算术平均数 、中位数Md 、众数M0等。

一、平均数或算术平均数（ mean or arithmetic average ）的概念⏹ 算术平均数是所有观察值的总和除以总频数之商，简称平均数或均数、均值。

若以X 1，X 2，…，X N 表示X 变量各个观察值，N 表示观察值的个数，则算术平均数可表示为：二、算术平均数的性质1.观察值总和等于算术平均数的N 倍。

2.在一组观察值中，每个观察值与该组均值之差（离均差）之和等于零。

3.在一组数据中，每个数都加上或减去一个常数，所得的平均数为原来的平均数加上或减去此常数。

4.在一组数据中，每个数都乘以或除以一个常数，所得的平均数为原来的平均数乘以或除以这个常数。

5.如果某一组观察值是由多个部分组成，这组观察值的平均数可由组成部分的平均数求得。

三、算术平均数的计算方法1.原始数据计算法2.频数分布表计算法可以用频数分布表计算一组数据算术平均数的近似值。

公式为：N X X X X N +++= (21X)N X =∑()0=-∑X X b a bb a a N N X N X N X ++=∑∑∑==+⋯+++⋯++=fX N f fX f f f X f X f X f X K K K 1212211频数分布表计算法3.用假定平均数计算平均数的方法设假定平均数为A ，则，用假定平均数计算算术平均数的公式为：()N A X A X ∑-+=四、加权平均数、几何平均数、调和平均数1.加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数，一般用 表示。

其计算公式为：第一种形式：第二种形式：２．几何平均数几何平均数（geometric mean ）是n 个数值连乘积的n 次方根，用 或表示。