北师大版九年级数学上册全章单元测试题目录【单元测试】北师大版九年级数学上册第1章特殊的平行四边行单元达标检测卷含答案【单元测试】北师大版九年级数学上册第2章一元二次方程单元测试【单元测试】北师大版九年级数学上册第3章概率的进一步认识单元测试【单元测试】北师大版九年级数学上册第4章图形的相似单元测试【单元测试】北师大版九年级数学上册第5章投影与视图单元测试【单元测试】北师大版九年级数学上册第6章反比例函数单元测试第一章达标检测卷(120分，90分钟) 总一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，已知菱形ABCD 的边长为3，∠ABC=60°，则对角线AC 的长是( )A ．12B ．9C ．6D ．3(第1题)(第4题) (第6题)2．下列命题为真命题的是( ) A ．四个角相等的四边形是矩形 B ．对角线垂直的四边形是菱形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．四边相等的四边形是正方形 3．若顺次连接四边形ABCD 四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相垂直的四边形4．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的( )A.15B.14C.13D.3105．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的有( )①当AB=BC 时，它是菱形；②当AC ⊥BD 时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；④当AC=BD 时，它是正方形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，已知正方形ABCD 的对角线长为22，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为( )A ．8 2B ．4 2C ．8D ．6 7．如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是正方形的顶点，则∠ABC 的度数为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°8．如图，在菱形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM=CN ，MN 与AC 交于点O ，连接OB.若∠DAC=28°，则∠OBC 的度数为( )A ．28°B ．52°C ．62°D ．72°(第7题) (第8题)(第9题) (第10题)9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是( ) A．AF=AE B．△ABE≌△AGF C．EF=2 5 D．AF=EF10．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(点P不与A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN=BD；③PE2＋PF2=PO2.其中正确的有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题(每题3分，共24分)11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．12．如图，四边形ABC D是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________．(第11题) (第12题) (第13题) 13．如图是根据四边形的不稳定性制作的边长为15 cm的可活动衣架，若墙上钉子间的距离AB=BC=15 cm，则∠1=________.14．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=________.15．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1，3)，则对角线BD的长等于________．(第15题) (第16题)(第17题) (第18题)16．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=________.17．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为________．18．如图，在边长为1的菱形 ABCD中，∠DAB=60°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°.连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE=60°，…，按此规律所作的第n个菱形的边长是________．三、解答题(19，20题每题9分，21题 10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F.求证：四边形AECF是菱形．(第19题)20．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若AB=3，BC=4，求四边形OCED的面积．(第20题)21．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)若∠FDC=30°，求∠BEF的度数．(第21题)22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.(1)求证：△DCE≌△BFE；(2)若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．(第22题)23．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，以点A为顶点的一个60°的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF 的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF.(1)求证：BE=CF.(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．(第23题)24．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.(1)探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．(2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．(3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE________是菱形(填“可能”或“不可能”)．请说明理由．(第24题)答案一、1.D 2.A3．D 点拨：首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．4．B5．A 点拨：①当AB=BC 时，它是菱形，正确；②当AC ⊥BD 时，它是菱形，正确；③当∠ABC=90°时，它是矩形，正确；④当AC=BD 时，它是矩形，因此④是错误的．6．C 7.C 8.C9．D 点拨：如图，由折叠得∠1=∠2.∵AD ∥BC ，∴∠3=∠1.∴∠2=∠3.∴AE=AF.故选项A 正确．由折叠得CD=AG ，∠D=∠G=90°.∵AB=CD ，∴AB=AG.∵AE=AF ，∠B=90°，∴Rt △ABE ≌Rt △AGF(HL)．故选项B 正确．设DF=x ，则GF=x ，AF=8－x.又AG=AB=4，∴在Rt △AGF 中，根据勾股定理得(8－x)2=42＋x 2.解得x=3.∴AF=8－x=5.则AE=AF=5，∴BE=AE 2－AB 2=52－42=3.过点F 作FM ⊥BC 于点M ，则EM=5－3=2.在Rt △EFM 中，根据勾股定理得EF=EM 2＋FM 2=22＋42=20=25，则选项C 正确．∵AF=5，EF=25，∴AF ≠EF.故选项D 错误．(第9题)10．D 点拨：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠PAE=∠MAE=45°.∵PM ⊥AC ，∴∠PEA=∠MEA.又∵AE=AE ，∴根据“ASA ”可得△APE ≌△AME.故①正确．由①得PE=ME ，∴PM=2PE.同理PN=2PF.又易知PF=BF ，四边形PEOF 是矩形，∴PN=2BF ，PM=2FO.∴PM ＋PN=2FO ＋2BF=2BO=BD.故②正确．在Rt △PFO 中，∵FO 2＋PF 2=PO 2，而PE=FO ，∴PE 2＋PF 2=PO 2.故③正确．二、11.90° 点拨：对角线相等的平行四边形是矩形．12．12 点拨：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=12³6³8=24.∵O 是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=12³24=12.13．120°(第14题)14．22.5° 点拨：如图，由四边形ABCD 是正方形，可知∠CAD=12∠BAD=45°. 由FE ⊥AC ，可知∠AEF=90°.在Rt △AEF 与Rt △ADF 中， AE=AD ，AF=AF ，∴Rt △AEF ≌Rt △ADF(HL)．∴∠FAD=∠FAE=12∠CAD=12³45°=22.5°. 15.10 16.2－117．20 点拨：点N 是BC 的中点，点E ，F 分别是BM ，CM 的中点，由三角形的中位线定理可证EN ∥MC ，NF∥ME ，EN=12MC ，FN=12MB.又易知MB=MC ，所以四边形ENFM 是菱形．由点M 是AD 的中点，AD=12得AM=6.在Rt △ABM 中，由勾股定理得BM=10.因为点E 是BM 的中点，所以EM=5.所以四边形ENFM 的周长为20.18．(3)n －1三、19.证明：∵EF 垂直平分AC ，∴∠AOE=∠COF=90°，OA=OC.∵AD ∥BC ，∴∠OAE=∠OCF.∴△AOE ≌△COF(ASA)．∴AE=CF.又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．20．(1)证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 为平行四边形．∵四边形ABCD 为矩形，∴OD=OC.∴四边形OCED 为菱形．(2)解：∵四边形ABCD 为矩形，∴BO=DO=12BD. ∴S △OCD =S △OCB =12S △ABC =12³12³3³4=3.∴S 菱形OCED =2S △OCD =6. 21．(1)证明：在△BCE 与△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ，CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF.(2)解：∵△BCE ≌△DCF ，∴∠EBC=∠FDC=30°.∵∠BCD=90°，∴∠BEC=60°.∵EC=FC ，∠ECF=90°，∴∠CEF=45°.∴∠BEF=105°.22．(1)证明：∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=∠C=90°，∴∠ADB =∠DBC.根据折叠的性质得∠ADB=∠BDF ，∠F=∠A=90°，∴∠DBC=∠BDF ，∠C=∠F.∴BE=DE.在△DCE 和△BFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DEC ＝∠BEF ，∠C ＝∠F ，DE ＝BE ，∴△DCE ≌△BFE.(2)解：在Rt △BCD 中，∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，∴BD=4.∴BC=2 3.在Rt △ECD 中，易得∠EDC=30°.∴DE=2EC.∴(2EC)2－EC 2=CD 2.∵CD=2，∴CE=233.∴BE=BC －EC=433.(第23题)23．(1)证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°，∴∠ABE=∠ACF=60°，∠1＋∠2=60°.∵∠3＋∠2=∠EAF=60°，∴∠1=∠3.∵∠ABC=60°，AB=BC ，∴△ABC 为等边三角形．∴AC=AB.∴△ABE ≌△ACF.∴BE=CF.(2)解：四边形AECF 的面积不变．由(1)知△ABE ≌△ACF ，则S △ABE =S △ACF ，故S 四边形AECF =S △AEC ＋S △ACF =S △AEC ＋S △ABE =S △ABC .如图，过A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM=MC=2，∴AM=AB 2－BM 2=42－22=2 3.∴S △ABC =12BC ²AM=12³4³23=4 3.故S 四边形AECF =4 3. 24．解：(1)OE=OF.理由如下：∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠ACE=∠BCE.又∵MN ∥BC ，∴∠NEC=∠BCE.∴∠NEC=∠ACE.∴OE=OC.∵CF 是∠ACD 的平分线，∴∠OCF=∠FCD.又∵MN ∥BC ，∴∠OFC=∠FCD.∴∠OFC=∠OCF.∴OF=OC.∴OE=OF.(2)当点O 运动到AC 的中点，且△ABC 满足∠ACB 为直角时，四边形AECF 是正方形． 理由如下：∵当点O 运动到AC 的中点时，AO=CO ，又∵EO=FO ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵FO=CO ，∴AO=CO=EO=FO.∴AO ＋CO=EO ＋FO ，即AC=EF.∴四边形AECF 是矩形．已知MN ∥BC ，当∠ACB=90°时，∠AOE=90°，∴AC ⊥EF.∴四边形AECF 是正方形．(3)不可能理由如下：连接BF ，∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ECF=12∠ACB ＋12∠ACD=12(∠ACB ＋∠ACD)=90°.若四边形BCFE 是菱形，则BF ⊥EC.但在一个三角形中，不可能存在两个角为90°，故四边形BCFE 不可能为菱形．第二章一元二次方程单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1=0有一根为0，则m的值为( )A、1或－1B、1C、－1D、2、方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得方程为 ( )A、（x+3）2 =14B、（x-3）2 =14C、(x+6)2=D、以上答案都不对3、一元二次方程2x2-3x=4的一次项系数是A、2B、-3C、4D、-44、用公式法解方程6x-8=5x2时，a、b、c的值分别是（）A、5、6、-8B、5、-6、-8C、5、-6、8 D ． 6、5、-85、九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（）A、39B、40C、50D、606、济宁市某经济开发区，今年一月份工业产值达10亿元，第一季度总产值为75亿元，二、三月平均每月增长率是多少，若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（）A、10（1+x）2=75B、10+10（1+x）+10（1+x）2=75C、10（1+x）+10（1+x）2=75D、10+10（1+x）2=757、2016年1月13日长城河报道，河北香河县中报“全国绿化模范县”通过审核，截止到2015年，香河县林地面积达到24.39万亩，森林覆盖率达到35.5%，若某县从2013到2015年经过两年的时间，使森林覆盖率增长21%，则该县这两年平均每年的森林覆盖的增长率为（）A、9%B、10%C、11%D、12%8、根据下列表格中关于x的代数式ax2+bx+c的值与x的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的范围是（）A、5.14＜x＜5.15B、5.13＜x＜5.14C、5.12＜x＜5.13D、5.10＜x＜5.129、设x1， x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x12+x22的值是（）A、19B、25C、31D、3010、下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（）A、y2+x=1B、x（x﹣1）=x2﹣2C、x2﹣1=0D、x2+ =1二、填空题（共8题；共25分）11、一元二次方程的求根公式是________．12、设a、b是方程的两个不等的根，则a2+2a+b的值为________．13、某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是________．14、关于x的方程：（a﹣1）+x+a2﹣1=0，求当a=________时，方程是一元二次方程，当a=________时，方程是一元一次方程．15、已知若x1， x2是方程x2+3x+2=0的两根，则x1+x2=________16、某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得________．17、如果（m﹣1）x2+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的取值范围为________．18、若代数式x2﹣8x+12的值是21，则x的值是________三、解答题（共5题；共35分）19、小林准备进行如下操作实验:把一根长为40cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于52cm2,小林该怎么剪?（2）小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于44cm2．”他的说法对吗?请说明理由．20、解下列方程：用配方法解方程：2x2+5x+3=0；21、若α、β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，求的值．22、某花店将进货价为20元/盒的百合花，在市场参考价28～38元的范围内定价36元/盒销售，这样平均每天可售出40盒，经过市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调1元，则平均每天可多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒百合花在售价上下调多少元？23、已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3=0，若此方程的两根的倒数和为1，求m的值．四、综合题（共1题；共10分）24、用适当的方法解一元二次方程(1)x2+3x+1=0；(2)（x﹣1）（x+2）=2（x+2）第三章概率的进一步认识单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A、 B、 C、 D、2、一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为（）A、60个B、50个C、40个D、30个3、一个不透明的袋中有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小华在袋中放入10个除颜色外其它完全相同的白球，每次摇匀后随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到白球的频率是，则袋中红球约为（）个．A、4B、25C、14D、354、做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为420次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为（）A、0.22B、0.42C、0.50D、0.585、用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指（）A、连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次B、连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次C、抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上”D、抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.56、一个不透明的袋子里有若干个小球，它们除了颜色外，其它都相同，甲同学从袋子里随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子里，摇匀后再次随机摸出一个球，记下颜色，…，甲同学反复大量实验后，根据白球出现的频率绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（）A、袋子一定有三个白球B、袋子中白球占小球总数的十分之三C、再摸三次球，一定有一次是白球D、再摸1000次，摸出白球的次数会接近330次7、一个盒子有1个红球，1个白球，这两个球除颜色外其余都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率为（）A、1B、C、D、8、经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，若这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆直行，一辆右转的概率是（）A、 B、 C、 D、9、一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和1个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球，一个白球的概率为（）A、 B、 C、 D、10、（2014•海南）一个不透明的袋子中有3个分别标有3，1，﹣2的球，这些球除了所标的数字不同外其他都相同，若从袋子中随机摸出两个球，则这两个球上的两个数字之和为负数的概率是（）A、 B、 C、 D、二、填空题（共8题；共27分）11、在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有 ________个．12、一个口袋中装有2个完全相同的小球，它们分别标有数字1，2，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的数字和为偶数的概率是________ .13、某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃共60个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有________ 个．14、一个口袋中有6个黑球和若干个白球,在不允许将球倒出来数的前提下,小明为估计其中的白球数,采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球,记下颜色,然后把它放回口袋中,摇匀后再随机摸出一球,记下颜色,……,不断重复上述过程．小明共摸了100次 ,其中60次摸到白球．根据上述数据,小明可估计口袋中的白球大约有________ 个.15、“2015扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：A、“半程马拉松”、B、“10公里”、C、“迷你马拉松”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为________．（2）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为________．（精确到0.1）16、一个透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同，摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率是________17、一个不透明的袋子中装有黑球两个，白球三个，这些小球除颜色外无其他区别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是黑球的概率为________．18、某校在甲、乙两名同学中选拔一人参加襄阳广播电台举办“国学风，少年颂”襄阳首届少年儿童经典诵读大赛．在相同的测试条件下，两人3次测试成绩（单位：分）如下：甲：79，86，82；乙：88，79，90．从甲、乙两人3次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，求抽到的两个人的成绩都大于80分的概率是________．三、解答题（共6题；共43分）19、在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球多少个？20、在一个口袋中有5个小球，其中有两个是白球，其余为红球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到小球的条件下，从袋中随机地取出一个小球．求取出的小球是红球的概率；把这5个小球中的两个都标号为1，其余分布标号为2、3、4，随机地取出一个小球后不放回，再随机地取出一个小球.利用树状图或列表的方法，求第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的概率.21、数学课堂上，为了学习构成任意三角形三边需要满足的条件．甲组准备3根木条，长度分别是3cm、8cm、13cm；乙组准备3根木条，长度分别是4cm、6cm、12cm．老师先从甲组再从乙组分别随机抽出一根木条，放在一起组成一组．（1）用画树状图法（或列表法）分析，并列出各组可能．（画树状图或列表以及列出可能时不用写单位）（2）现在老师也有一根木条，长度为5cm，与（1）中各组木条组成三角形的概率是多少？22、某市某幼儿园六一期间举行亲子游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏，主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏，A、B、C分别表示三位家长，他们的孩子分别对应的是a、b、c．（1）若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率是多少（直接写出答案）（2）若主持人先从三位家长中任选两人为一组，再从孩子中任选两人为一组，四人共同参加游戏，恰好是两对家庭成员的概率是多少．（画出树状图或列表）23、在一个不透明的盒子里装有三个分别写有数字6，﹣2，7的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，先从盒子里随机抽取一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字，请你用画树状图或列表的方法求两次取出小球上的数字和大于10的概率．24、在一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球1个，摸出一个球记下颜色后放回，再摸出一个球，请用列表法或画树状图法求两次都摸到红球的概率．第四章图形的相似单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、如图，在△ABC中．∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）A、1对B、2对C、3对D、4对2、如果线段a、b、c、d满足ad=bc，则下列各式中不成立的是（）A、 B、 C、 D、3、如图，身高为1.6米的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2.0米，BC=8.0米，则旗杆的高度是（）A、6.4米B、7.0米C、8.0米D、9.0米4、一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，且最短边长为6，则最长边长为（）A、18B、12C、24D、305、线段4cm、16cm的比例中项为（）.A、20cmB、64cmC、±8cmD、8cm6、如果两个相似三角形的相似比是1：7，则它们的面积比等于（）A、1：B、1：7C、1：3.5D、1：497、比例尺为1：1000的图纸上某区域面积400cm2，则实际面积为（）A、4³B、4³C、1.6³D、2³8、如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若AD=3，则AE的长为（）A、 B、 C、 D、9、（2015•黄陂区校级模拟）如图△ABC与△DEF是位似图形，位似比是1：2，已知DE=4，则AB的长是（）A、2B、4C、8D、110、如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（）A、△PAB∽△PCAB、△PAB∽△PDAC、△ABC∽△DBAD、△ABC∽△DCA二、填空题（共8题；共24分）11、把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为________12、如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE=2，EB=4，FD=1.5，那么AD=________ ．13、若，则的值等于________14、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB=8，BD=3，BF=4，则FC的长为________．15、如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于________16、如图，直线a∥b∥c，度量线段AB≈1.89，BC≈3.80，DE≈2.02，则线段EF的长约为________．17、如图，在△ABC中，EF∥BC，= ，EF=3，则BC的值为________．18、在比例尺为1：2000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为4.5厘米，则其实际距离为________米．三、解答题（共5题；共36分）19、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．20、已知a、b、c是△ABC的三边长，且==≠0，求：（1）的值．（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．21、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．22、如图，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=117°，△ABC∽△DAC．（1）求∠ACB的度数；（2）求CD的长．23、已知a：b：c=3：2：5，求的值．四、综合题（共1题；共10分）24、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F．(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)若∠ABD=45°，AC=3时，求BF的长．第五章投影与视图单元测试一、单选题（共10题；共30分）1、给出下列结论正确的有（）①物体在阳光照射下，影子的方向是相同的②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关④物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关.A、1个B、2个C、3个D、4个2、“皮影戏”作为我国一种民间艺术，对它的叙述错误的是（）A、它是用兽皮或纸板做成的人物剪影，来表演故事的戏曲B、表演时，要用灯光把剪影照在银幕上C、灯光下，做不同的手势可以形成不同的手影D、表演时，也可用阳光把剪影照在银幕上3、如图所示，晚上小亮在路灯下散步，在从A处走向B处的过程中，他在地上的影子（）A、逐渐变短B、先变短后再变长C、逐渐变长D、先变长后再变短4、如果阳光斜射在地面上，一张矩形纸片在地面上的影子不可能是（）A、矩形B、线段C、平行四边形D、一个点5、由几个相同的小正方形搭成的一个几何体如图所示，这个几何体的主视图是（）A、 B、 C、 D、6、下面四个图是同一天四个不同时刻树的影子，其时间由早到晚的顺序为（）A、1234B、4312C、3421D、42317、下列为某两个物体的投影，其中是在太阳光下形成投影的是（）A、 B、 C、 D、8、如图，是五个相同的小正方体搭成的几何体，其主视图是（）A、 B、 C、 D、9、如图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（）A、 B、 C、 D、10、图中的两个圆柱体底面半径相同而高度不同，关于这两个圆柱体的视图说法正确的是（）A、主视图相同B、俯视图相同二、填空题（共8题；共33分）11、（2013秋•邢台期末）小亮的身高为1.8米，他在路灯下的影子长为2米；小亮距路灯杆底部为3米，则路灯灯泡距离地面的高度为________ 米．12、直角坐标平面内，一点光源位于A（0，5）处，线段CD⊥x轴，D为垂足，C（3，1），则CD在x轴上的影长为________ ，点C的影子的坐标为________ ．13、如图是两棵小树在同一时刻的影子，请问它们的影子是在________ 光线下形成的（填“灯光”或“太阳”）．14、太阳光线下形成的投影是________ 投影．（平行或中心）15、如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长________ 米．16、请你写出一种几何体，使得它的主视图、左视图和俯视图都一样，它是________17、如图，小明从路灯下A处，向前走了5米到达D处，行走过程中，他的影子将会（只填序号）________ ①越来越长，②越来越短，③长度不变．在D处发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高为1.7米，那么路灯离地面的高度AB是________ 米．18、离物体越近，视角越________ ，离物体越远，视角越________ ．三、解答题（共6题；共37分）19、同一时刻，两根木棒的影子如图，请画出图中另一根木棒的影子．20、如图，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点O）20米的点A沿AO方向行走14米到点C处，小明在A处，头顶B在路灯投影下形成的影子在M处．（1）已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小明在C处，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置．（2）若路灯（点P）距地面8米，小明从A到C时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？21、如图，是一个由长方体和圆柱组合而成的几何体．已知长方体的底面是正方形，其边长与圆柱底面圆的直径相等，圆柱的高与长方体的高也相等．（1）画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图；（2）若圆柱底面圆的直径记为a，高记为b．现将该几何体露在外面的部分喷上油漆，求需要喷漆部分的面积．22、如图是七个棱长为1的立方块组成的一个几何体，画出其三视图并计算其表面积．。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．一元二次方程2x2+x﹣3＝0中一次项系数、常数项分别是（）A．2，﹣3B．0，﹣3C．1，﹣3D．1，02．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0有一个根为1，则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．23．一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．下列配方正确的是（）A．x2+2x+5＝（x+1）2+6B．x2+3x＝（x+）2﹣C．3x2+6x+1＝3（x+1）2﹣2D．x2﹣5．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（）x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x2﹣x0.110.240.390.560.750.96 1.19 1.44 1.71 A．1.5＜x＜1.6B．1.6＜x＜1.7C．1.7＜x＜1.8D．1.8＜x＜1.9 6．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（）A．4B．﹣4C．﹣1D．4或﹣17．若国家对某种药品分两次降价，该药品的原价是25元，降价后的价格是16元，平均每次降价的百分率均为x，则可列方程为（）A．25（1﹣x）2＝16B．25（1+x）2＝16C．16（1﹣x）2＝25D．16（1+x）2＝258．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600二．填空题（共7小题，满分35分）9．已知关于x的方程（m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为．10．已知m是方程x2﹣3x﹣2020＝0的根，则代数式1+3m﹣m2的值为．11．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*3＝0的解为．12．已知一菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两根，则菱形的面积是．13．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x23﹣4x12+17的值为．14．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝．15．已知等腰△ABC的三条边长都是方程x2﹣9x+18＝0的根，则△ABC的周长为．三．解答题（共6小题，满分45分）16．解方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）．17．关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．19．小明遇到下面的问题：求代数式x2﹣2x﹣3的最小值并写出取到最小值时的x值．经过观察式子结构特征，小明联想到可以用解一元二次方程中的配方法来解决问题，具体分析过程如下：x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣3﹣1＝（x﹣1）2﹣4所以，当x＝1时，代数式有最小值是﹣4．（1）请你用上面小明思考问题的方法解决下面问题．①x2﹣2x的最小值是②x2﹣4x+y2+2y+5的最小值是．（2）小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下：问题：当x为实数时，求x4+2x2+7的最小值．解：∵x4+2x2+7＝x4+2x2+1+6＝（x2+1）2+6∴原式有最小值是6请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由．20．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长34m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．（1）若要围成养鸡场的面积为160m2，则养鸡场的长和宽各为多少m？（2）围成养鸡场的面积能否达到180m2？请说明理由．21．全球疫情暴发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：（1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天．①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：2x2+x﹣3＝0中，一次项系数为1，常数项为﹣3，故选：C．2．解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0，解得m＝2．故选：D．3．解：∵x2﹣3x+6＝0，Δ＝（﹣3）2﹣4×1×6＝﹣6＜0，∴方程没有实数根，即一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为没有实数根，故选：D．4．解：A选项，（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4；故A不符合题意；B选项，（x2+2×x+（）2）﹣（）2＝（x+）2﹣（）2，故B不符合题意；C选项，3x2+6x+1＝3（x2+2x+1）﹣2＝3（x+1）2﹣2，故C符合题意；D选项，x2﹣x+＝[x2﹣2×x+（）2]﹣（）2+＝（x﹣）2+，故D不符合题意；故选：C．5．解：x2﹣x＝1.1，x2﹣x﹣1.1＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1.1）＝5.4，x＝，x1＝，x2＝，∵2.2＜＜2.4，∴3.2＜1+＜3.4，∴1.6＜＜1.7，即一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是1.6＜x＜1.7．故选：B．6．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．即a2+b2的值为4．故选：A．7．解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得25（1﹣x）2＝16．故选：A．8．解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．二．填空题（共7小题，满分35分）9．解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．10．解：∵m是方程x2﹣3x﹣2020＝0的根，∴m2﹣3m﹣2020＝0，∴m2﹣3m＝2020，∴1+3m﹣m2＝1﹣（m2﹣3m）＝1﹣2020＝﹣2019．故答案为：﹣2019．11．解：∵（x+1）*3＝0，∴（x+1）2﹣32＝0，∴（x+1）2＝9，x+1＝±3，所以x1＝2，x2＝﹣4．故答案为x1＝2，x2＝﹣4．12．解：解方程x2﹣9x+20＝0得：x＝4或5，即菱形的两条对角线的长为4和，所以菱形的面积为＝10，故答案为：10．13．解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴x12+x1﹣3＝0，x22+x2﹣3＝0．∴x12＝3﹣x1，x22＝3﹣x2．由一元二次方程的根与系数的关系得到：x1+x2＝﹣1．∴x23﹣4x12+17＝x2•x22﹣4x12+17＝x2•（3﹣x2）﹣4（3﹣x1）+17＝3x2﹣x22﹣12+4x1+17＝3x2﹣（3﹣x2）﹣12+4x1+17＝4x2+4x1+2＝4（x1+x2）+2＝﹣4+2＝﹣2．故答案是：﹣2．14．解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，∴α+β＝2021，αβ＝2020，∴（α﹣2021）（β﹣2021）＝αβ﹣2021（α+β）+20212＝2020﹣2021×2021+20212＝2020．故答案为：2020．15．解：∵x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，∴x1＝3，x2＝6，∵等腰△ABC的两边长都是方程x2﹣9x+18＝0的根，∴等腰△ABC的三边为3、3、3或6、6、6或6、6、3或3、3、6（不符合），∴△ABC的周长为9或18或15．故答案为：9或18或15．三．解答题（共6小题，满分45分）16．解：（1）∵x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x+4＝4+3，∴（x﹣2）2＝7，∴x﹣2＝±；∴，；（2）∵（x﹣3）2＝2（3﹣x），∴（x﹣3）2﹣2（3﹣x）＝0，∴（x﹣3）（x﹣3+2）＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝3．17．解：（1）因为一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4﹣8m＞0，解得：m＜．故m的取值范围为m＜．（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣4m＝8，所以m＝﹣1验证当m＝﹣1时Δ＞0．故m的值为m＝﹣1．18．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．19．解：（1）①x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，∴当x＝1时，代数式x2﹣2x有最小值是﹣1；②x2﹣4x+y2+2y+5＝x2﹣4x+4+y2+2y+1＝（x﹣2）2+（y+1）2，∴当x＝2，y＝﹣1时，代数式x2﹣4x+y2+2y+5有最小值是0，故答案为：①﹣1，②0；（2）小明的结论错误，理由：∵x2+1＝0时，x无解，∴（x2+1）2+6最小值不是6，∵x2≥0，∴当x2＝0时，（x2+1）2+6最小值是7．20．解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米．根据题意，得：（34+2﹣2x）x＝160，整理得：x2﹣18x+80＝0，解得：x1＝8，x2＝10，当x1＝8时，34+2﹣2x＝36﹣2×8＝20＞19，不符合题意，舍去，当x2＝10时，34+2﹣2x＝36﹣2×10＝16＜19，符合题意，答：养鸡场的长为16米，宽为10米．（2）围成养鸡场的面积不能达到180m2．理由如下：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米．根据题意，得：（34+2﹣2x）x＝180，整理得：x2﹣18x+90＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣18）2﹣4×1×90＜0．∴方程无实数根．答：围成养鸡场的面积不能达到180m2．21．解：（1）设每天增长的百分率为x，依题意，得：500（1+x）2＝720，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率为20%；（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万个/天，依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，解得：m1＝4，m2＝25，又∵在增加产能同时又要节省投入，∴m＝4．答：应该增加4条生产线；②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50a）万个/天，依题意，得：（1+a）（1500﹣50a）＝15000，化简得：a2﹣29a+270＝0，∵△＝（﹣29）2﹣4×1×270＝﹣239＜0，方程无解．∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个．。
单元测试卷：第二章《一元二次方程》时间：100分钟满分：100分班级：_______ 姓名：________得分:_______一．选择题（每题3分，共30分）1．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，692．若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是（）A．k≥5 B．k≥5且k≠1 C．k≤5且k≠1 D．k≤53．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．+x＝3 B．x2+2x﹣3＝0C．4x+3＝x D．x2+x+1＝x2﹣2x4．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣5．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．5000（1+2x）＝7500B．5000×2（1+x）＝7500C．5000（1+x）2＝7500D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝75006．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（）A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣20197．小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根8．若x 1x 2＝2，+＝，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2+3x ﹣2＝0B ．x 2﹣3x +2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝0 9．若关于x 的一元二次方程x 2+2x +c ＝0有实数根，则c 的取值可能为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．设a 、b 是方程x 2+x ﹣2020＝0的两个实数根，则（a ﹣1）（b ﹣1）的值为（ ）A ．﹣2018B ．2018C ．2020D ．2022二．填空题（每题4分，共20分）11．已知一元二次方程x 2+2x +m ＝0的一个根是﹣1，则m 的值为 ．12．若关于x 的一元二次方程mx 2﹣2x ﹣1＝0无实数根，则一次函数y ＝mx +m 的图象不经过第 象限．13．已知x 为实数，且满足（2x 2+3）2+2（2x 2+3）﹣15＝0，则2x 2+3的值为 ． 14．2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜 场．15．已知一元二次方程x 2+2x ﹣8＝0的两根为x 1、x 2，则+2x 1x 2+＝ ．三．解答题（每题10分，共50分）16．解下列方程．（1）x 2+2x ﹣35＝0（2）4x （2x ﹣1）＝1﹣2x17．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？18．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，请直接回答：这一想法能实现吗？19．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？20．某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．（1）求该商品平均每月的价格增长率；（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．参考答案一．选择题1．解：∵x2﹣8x﹣5＝0，∴x2﹣8x＝5，则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，∴a＝﹣4，b＝21，故选：A．2．解：①当该方程是关于x的一元一次方程时，k﹣1＝0即k＝1，此时x＝﹣，符合题意；②当该方程是关于x的一元二次方程时，k﹣1≠0即k≠1，此时△＝16﹣4（k﹣1）≥0．解得k≤5；综上所述，k的取值范围是k≤5．故选：D．3．解：A、因为方程是分式方程，不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、是一元二次方程，故本选项符合题意；C、因为方程是一元一次方程，所以方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、因为方程是一元一次方程，所以方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B．4．解：根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，所以＝．故选：B．5．解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：5000（1+x）2＝7500，故选：C．6．解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a 2﹣1＝a ，﹣a 2+a ＝﹣1，∴﹣a 3+2a +2020＝﹣a （a 2﹣1）+a +2020＝﹣a 2+a +2020＝2019．故选：C ．7．解：∵小刚在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）时，只抄对了a ＝1，b ＝3，解出其中一个根是x ＝﹣1，∴（﹣1）2﹣3+c ＝0，解得：c ＝2，故原方程中c ＝4，则b 2﹣4ac ＝9﹣4×1×4＝﹣7＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A ．8．解：∵+＝，∴x 1+x 2＝x 1x 2，∵x 1x 2＝2，∴x 1+x 2＝3，∴以x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2﹣3x +2＝0．故选：B ．9．解：根据题意得△＝22﹣4c ≥0，解得c ≤1．故选：D ．10．解：∵a 、b 是方程x 2+x ﹣2020＝0的两个实数根，∴a +b ＝﹣1，ab ＝﹣2020，则原式＝ab ﹣a ﹣b +1＝ab ﹣（a +b ）+1＝﹣2020+1+1＝﹣2018．故选：A ．二．填空题（共5小题）11．解：把x ＝﹣1代入方程得1﹣2+m ＝0，解得m ＝1，故答案为1．12．解：∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣2x ﹣1＝0无实数根，∴m ≠0且△＝（﹣2）2﹣4m （﹣1）＜0，∴一次函数y＝mx+m的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故答案为一．13．解：设2x2+3＝t，且t≥3，∴原方程化为：t2+2t﹣15＝0，∴t＝3或t＝﹣5（舍去），∴2x2+3＝3，故答案为：314．解：设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，依题意，得：x（x+1）＝66，整理，得：x2+x﹣132＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．故答案为：11．15．解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣8，∴+2x1x 2 +＝2x1x 2 +＝2×（﹣8）+＝﹣16+＝﹣，故答案为：﹣．三．解答题（共5小题）16．解：（1）x2+2x﹣35＝0，（x+7）（x﹣5）＝0，x+7＝0或x﹣5＝0，12（2）4x（2x﹣1）＝1﹣2x，4x（2x﹣1）+（2x﹣1）＝0，（2x﹣1）（4x+1）＝0，（2x﹣1）＝0或（4x+1）＝0，，17．解：（1）（60﹣40）×[100﹣（60﹣50）×2]＝1600（元）．答：每天的销售利润为1600元．（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100﹣2（x﹣50）]件，依题意，得：（x﹣40）[100﹣2（x﹣50）]＝1350，整理，得：x2﹣140x+4675＝0，解得：x1＝55，x2＝85（不合题意，舍去）．答：每件工艺品售价应为55元．18．解：（1）设BC＝xm，则AB＝（33﹣3x）m，依题意，得：x（33﹣3x）＝90，解得：x1＝6，x2＝5．当x＝6时，33﹣3x＝15，符合题意，当x＝5时，33﹣3x＝18，18＞18，不合题意，舍去．答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．（2）不能，理由如下：设BC＝ym，则AB＝（33﹣3y）m，依题意，得：y（33﹣3y）＝100，整理，得：3y2﹣33y+100＝0．∵△＝（﹣33）2﹣4×3×100＝﹣111＜0，∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．19．（1）证明：∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）x＝∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝或2．20．解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，依题意，得：50（1+m）2＝72，解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商品平均每月的价格增长率为20%．（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，整理，得：x2﹣300x+14400＝0，解得：x1＝60，x2＝240．∵商家需尽快将这批商品售出，∴x＝60．答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．。
单元测试(一) 特殊平行四边形(满分：150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分)1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是( )A．6 B．5 C．4 D．32．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝( )A．20° B．40° C．80° D．100°3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是( )A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( )A．4 B．3 C．2 D．15．如果要证明ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BDC．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分6．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )A．10 B．8 C．6 D．57．在正方形ABCD中，AB＝12，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是( )A．12＋12 2 B．2＋6 2C．12＋ 2 D．24＋6 28．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为( ) A．16a B．12aC．8a D．4a9．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是( )A．8 B．4 2C．8 2 D．1610．下列命题中，错误的是( )A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等11．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60° D．∠ACB＝60°12．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝( )A．40° B．35°C．20° D．15°13．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )A．75° B．60° C．55° D．45°14．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝( )A. 2 B．2 C. 6 D．2 215．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A．AB＝BE B．DE⊥DCC．∠ADB＝90° D．CE⊥DE二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)16．如图，菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2，那么O点到另一边的距离为________．17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为________度．18．如图所示，已知ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明ABCD是矩形的有________(填写序号)．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是________________．20．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________度．三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21．(8分)如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm，对角线长是13 cm，那么矩形的周长是多少？22．(8分)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＋∠ADC＝180°，AC与BD相交于点O，△AOB是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形．23．(10分)如图，已知正方形ABCD，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为92，求正方形的边长．24.(12分)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．25．(12分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G.(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．26．(14分)以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，求线段AB的最小值．27．(16分)已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD∶AB＝________时，四边形MENF是正方形．参考答案1.C2.C3.B4.A5.B6.D7.A8.C9.A 10.C 11.B 12.C 13.B 14.A 15.B 16.2 17.60 18.①④ 19.AC ＝BD 或AB ⊥BC 20.22.521.∵△AOB 、△BOC 、△COD 和△AOD 四个小三角形的周长和为86 cm ，且AC ＝BD ＝13 cm ， ∴AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝86－2(AC ＋BD)＝86－4×13＝34(cm)， 即矩形ABCD 的周长是34 cm.22.证明：∵∠BAD ＋∠ADC ＝180°， ∴AB ∥CD.又∵AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵△AOB 是等边三角形， ∴AO ＝BO.∴2AO ＝2BO ，即AC ＝BD. ∴四边形ABCD 是矩形． 2 23.设正方形的边长为x ，∵AC 为正方形ABCD 的对角线，∴AC ＝2x.∴S 菱形AEFC ＝AE ·CB ＝2x ·x ＝2x 2.∴2x 2＝9 2. ∴x 2＝9.∴x ＝±3.舍去x ＝－3. ∴正方形边长为3.24.(1)在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，∠A ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． ∴∠ABD ＝60°.(2)由(1)可知BD ＝AB ＝4， 又∵O 为BD 的中点， ∴OB ＝2.又∵OE ⊥AB ，∠ABD ＝60°， ∴∠BOE ＝30°. ∴BE ＝12OB ＝1.25.(1)由图可知，∠DAG ，∠AFB ，∠CDE 与∠AED 相等． (2)选择∠AFB ＝∠AED ，证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB ＝∠B ＝90°，AB ＝AD.在Rt △BAF 和Rt △ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝AD ，AF ＝DE ，∴Rt △BAF ≌Rt △ADE(HL)．∴∠AFB ＝∠AED.26.∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCD ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ， ∴∠AOB ＝90°.∴∠AOC ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠BOD ＝90°. ∴∠AOC ＝∠BOD.∵在△COA 和△DOB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ，∴△COA ≌△DOB.∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形．由勾股定理得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ， 要使AB 最小，只要OA 取最小值即可， 根据垂线段最短，OA ⊥CD 时，OA 最小， ∵四边形CDEF 是正方形， ∴FC ⊥CD ，OD ＝OF ＝OC. ∴CA ＝DA. ∴OA ＝12CF ＝1.∴AB ＝ 2.∴AB 的最小值为 2.27.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠A ＝∠D ＝90°. 又∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM.在△ABM 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠A ＝∠D ，AM ＝DM ，∴△ABM ≌△DCM(SAS)．（2）四边形MENF 是菱形．证明：∵E ，F ，N 分别是BM ，CM ，CB 的中点， ∴NE ∥MF ，NE ＝MF.∴四边形MENF 是平行四边形． 由(1)，得BM ＝CM ， ∴ME ＝MF.∴四边形MENF 是菱形．（3）当AD ∶AB ＝2∶1时，四边形MENF 是正方形．理由： ∵M 为AD 中点， ∴AD ＝2AM.∵AD ∶AB ＝2∶1， ∴AM ＝AB. ∵∠A ＝90°，∴∠ABM ＝∠AMB ＝45°. 同理：∠DMC ＝45°.∴∠EMF ＝180°－45°－45°＝90°. ∵四边形MENF 是菱形， ∴四边形MENF 是正方形． 故答案为2∶1.单元测试(二) 一元二次方程(满分：150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分) 1.下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )A ．x 2＋2y ＝1 B.1x 2＋1x－2＝0C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋2x ＝12．用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3＝0时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是( )A ．a ＝3，b ＝2，c ＝3B ．a ＝－3，b ＝2，c ＝3C ．a ＝3，b ＝2，c ＝－3D ．a ＝3，b ＝－2，c ＝33．若关于x 的方程2x m －1＋x －m ＝0是一元二次方程，则m 为( )A ．1B ．2C ．3D ．04．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根5．一元二次方程x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2的值是( )A ．4B ．－4C ．3D ．－3 6．方程x(x ＋2)＝0的根是( )A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝－2D ．x 1＝0，x 2＝27．用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( )A ．(x ＋1)2＝6B ．(x －1)2＝6C ．(x ＋2)2＝9D ．(x －2)2＝9 8．根据下面表格中的对应值：判断方程ax 2＋bx ＋c ＝A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24 C ．3.24＜x ＜3.25 D ．3.25＜x ＜3.26 9．解方程(x ＋1)(x ＋3)＝5较为合适的方法是( )A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法或配方法D ．分解因式法10．已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．411．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则三角形的周长为( )A ．11B ．13C ．15D ．11或13 12．下列说法不正确的是( )A ．方程x 2＝x 有一根为0B ．方程x 2－1＝0的两根互为相反数C ．方程(x －1)2－1＝0的两根互为相反数D ．方程x 2－x ＋2＝0无实数根13．对二次三项式x 2－10x ＋36，小聪同学认为：无论x 取什么实数，它的值都不可能等于11；小颖同学认为：可以取两个不同的值，使它的值等于11.你认为( )A．小聪对，小颖错 B．小聪错，小颖对C．他们两人都对 D．他们两人都错14．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为( )A．100×80－100x－80x＝7 644B．(100－x)(80－x)＋x2＝7 644C．(100－x)(80－x)＝7 644D．100x＋80x＝35615．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)16．将方程3x(x－1)＝5化为ax2＋bx＋c＝0的形式为____________．17．若x＝1是一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根，则m的值为________．18．若(m＋n)(m＋n＋5)＝6，则m＋n的值是________．19．一件工艺品进价100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得的利润为3 596，每件工艺品需降价________元．20．已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2<ab；③x21＋x22<a2＋b2.则正确结论的序号是________．(填上你认为正确的所有序号)三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21．(8分)选择适当的方法解下列方程：(1)(x－3)2＝4；(2)x2－5x＋1＝0.22．(8分)已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若mn＋m＋n＝2，求a的值．23．(10分)随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．咸宁市2013年销售烟花爆竹20万箱，到2015年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率．24.(12分)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．25．(12分)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程的根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．26.(14分)观察下列一元二次方程，并回答问题：第1个方程：x2＋x＝0；第2个方程：x2－1＝0；第3个方程：x2－x－2＝0；第4个方程：x2－2x－3＝0；…(1)第2 016个方程是____________________；(2)直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；(3)说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．27．(16分)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．参考答案1．D 2.D 3.C 4.B 5.D 6.C 7.B 8.C 9.C 10.B 11.B 12.C 13.D 14.C 15.B 16.3x 2－3x －5＝0 17.－3 18.－6或1 19.6 20.①② 21.(1)x 1＝1，x 2＝5. (2)x 1＝5＋212，x 2＝5－212.22.∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个解，∴m ＋n ＝3，mn ＝a. ∵mn ＋m ＋n ＝2，∴a ＋3＝2.解得a ＝－1.23.设年销售量的平均下降率为x ，依题意，得20(1－x)2＝9.8. 解这个方程，得x 1＝0.3，x 2＝1.7. ∵x 2＝1.7不符合题意， ∴x ＝0.3＝30%.答：咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%.24.(1)设其中一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长为(10－x)cm.由题意，得x 2＋(10－x)2＝58.解得x 1＝3，x 2＝7.4×3＝12，4×7＝28.答：小林把绳子剪成12 cm 和28 cm 的两段．(2)假设能围成．由(1)得x 2＋(10－x)2＝48.化简得x 2－10x ＋26＝0. ∵b 2－4ac ＝(－10)2－4×1×26＝－4<0， ∴此方程没有实数根． ∴小峰的说法是对的．25.(1)∵b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入原方程，得9＋6m ＋m 2－1＝0.解得m 1＝－2，m 2＝－4.26.(1)x 2－2 014x －2 015＝0(2)第n 个方程是x 2－(n －2)x －(n －1)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝n －1.(3)这列一元二次方程的解的一个共同特点：有一根是－1. 27.(1)△ABC 是等腰三角形．理由： ∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c)×(－1)2－2b ＋(a －c)＝0. ∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0. ∴a －b ＝0. ∴a ＝b.∴△ABC 是等腰三角形．(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0.∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0. ∴a 2＝b 2＋c 2.∴△ABC 是直角三角形． (3)∵△ABC 是等边三角形，∴(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0可整理为2ax 2＋2ax ＝0. ∴x 2＋x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－1.。
