求数列通项公式常用的七种方法
一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式
()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解.
例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式.
二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a .
三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3
1
1=+，其中11=a ，求n a .
注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与1
-n s 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项.
四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就
可以用这种方法.
例4：()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a
五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1
n n a
f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规
律”的数时，就可以用这种方法.
例5：111,1
n n n
a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a
六、构造法：
㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是
关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:
一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+ ∴()1b k m =- 即1b m k =
- 故111n n b b a k a k k -⎛
⎫+=+ ⎪--⎝
⎭ ∴数列11n b a k -⎧
⎫
+⎨⎬-⎩⎭
是以k 为公比的等比数列，借助它去求n a 例6：
已知111,21n n a a a -==+ ()
2,n n N *≥∈ 求通项n a
㈡、取倒数法：这种方法适用于11
n n n ka a ma p
--=
+()2,n n N *
≥∈（,,k m p 均为常数0m ≠）
， 两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n n a ka b -=+的式子. 例7：已知11122,2
n n n a a a a --==+ ()
2,n n N *
≥∈ 求通项n a
㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数） 例8：已知()2
113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a
七、“m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*
,N n m ∈）”型的数列求通项n a .
例9：设数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知*
11,3,N n s a a a n n n ∈+==+，求通项n a .
注：求m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*
,N n m ∈）”型的数列求通项公式的方法是等式的
两边同除以1
+n c
，得到一个“1n n a ka b -=+”型的数列，再用上面第六种方法里面的“一次函数法”
便可求出
n
n c
a 的通式，从而求出n a .另外本题还可以由n n n s a 31+=+得到n
n n n s s s 31+=-+即 n n n s s 321+=+,按照上面求n a 的方法同理可求出n s ,再求n a .
除了以上七种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这七种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于记忆和掌握.
