2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题word版

2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二（时间：120分钟 满分：150）姓名_______________一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分． 1．设22012(1)n n n x x a a x a x ++=+++，则242n a a a +++的值为______________2．若sin sin 1x y +=，则cos cos x y +的取值范围是______________3．设1()f x 2()sin f x x =+，3()f x =，24()sin f x x =，在这些函数中，周期函数的个数是_____________4．已知a 、b 是两个相互垂直的单位向量，而||13c =，3c a ⋅=，4c b ⋅=；则对于任意实数12 t t 、， 12||ct a t b --的最小值是______________5．设有两个集合：2332{|}3223x x M x x x --=+=+--，6556{|}5665x x N x x x --=+=+--， 则MN =______________6．已知数列{}n x ，满足1(1)n n n x x n ++=+，且12x =，则2014x =______________7．设函数32213432()()1x x x f x x f x x -+++=+，则()f x =______________8．设命题P ：2c c <和命题Q ：对任何x R ∈，2410x cx ++>有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是______________9．在x 轴的正方向上，从左向右依次取点列{}, 1, 2, j A j =⋅⋅⋅，以及在第一象限内的抛物线232y x = 上从左向右依次取点列{},1, 2, k B k =⋅⋅⋅，使1 (1, 2)k k k A BA k-∆=⋅都是等边三角形，其中0A 是坐标原点，则第2014个等边三角形的边长是______________10．根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α（02πα≤≤）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定．假定机器人行走速度为每分钟 10米，则行走2分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是______________二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．设双曲线221x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若12PF F ∆的顶点P 在第一象限的双曲线上移动，求12PF F ∆的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边2PF 上的切点轨迹．12．设12, ,, n x x x R +⋅⋅⋅∈，定义：22111()nn i i in S x x n =-=+⋅∑； （1）求n S 的最小值；（2）在222121n x x x ++⋅⋅⋅+=条件下，求n S 的最小值；（3）在121n x x x ++⋅⋅⋅+=条件下，求n S 的最小值，并加以证明．13．设O 、H 分别为锐角ABC ∆的外心和垂心，在AB 上截取AD AH =，在AC 上截取AE AO =；求证：DE 等于ABC ∆外接圆半径．14．在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位．为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5 个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二答案一、填空题：1．设22012(1)n n n x x a a x a x ++=++⋅⋅⋅+，则242n a a a ++⋅⋅⋅+的值为______________ 解：令0x =，得01a =；（1）令1x =-，得 012321n a a a a a -+-++=； （2）令1x =，得 012323n n a a a a a +++++=； （3） （2）＋（3）得 02422()31n n a a a a ++++=+，故0242312n n a a a a +++++=，再由（1）得 242312n n a a a -+++=．2．若sin sin 1x y +=，则cos cos x y +的取值范围是______________解：设 cos cos x y t +=，∴222cos 2cos cos cos x x y y t ++=；又由 sin sin 1x y +=，故 22sin 2sin sin sin 1x x y y ++=； 因此有22(cos cos sin sin )1x y x y t +=+，即22cos()1x y t -=+；由于1cos()1x y -≤-≤，所以有23t ≤，即t ≤≤3．设1()f x 2()sin f x x =+，3()f x =，24()sin f x x =，在这些函数中，周期函数的个数是_____________解：1()f x2()f x 不是周期函数；因为sin x 是以12T π=为周期的周期函数，是以2T =1T 与2T 之比不是有理数，故2()f x 不是周期函数．3()f x 不是周期函数；因为是以1T =为周期的周期函数，是以2T =122T T =，故3()f x 是周期函数． 24()sin f x x =不是周期函数；因此共有2个周期函数．4．已知a 、b 是两个相互垂直的单位向量，而||13c =，3c a ⋅=，4c b ⋅=；则对于任意实数12 t t 、， 12||ct a t b --的最小值是______________解：2222121212||||68c t a t b c t t t t --=--++2212169(3)(4)25t t =+-+--2212144(3)(4)144t t =+-+-≥；当123, 4t t ==时，212||144c t a t b --=，所以所求的最小值为12．5．设有两个集合：2332{|}3223x x M x x x --=+=+--，6556{|}5665x x N x x x --=+=+--， 则M N =______________解：由已知可以解出13{0, 5, }5M =，61{0, 11, }11N =，故{0}M N =．6．已知数列{}n x ，满足1(1)n n n x x n ++=+，且12x =，则2014x =______________解：由1(1)n n n x x n ++=+，推出1111n n x x n +--=+； 因此有：12111111111(1)(1)(1)(1)(1)2(1)!nn n n x x x x x n n n n n n n n n n --+-----======+++-+-+即有111(1)!n x n +=++；从而可得：20142014!12014!x +=． 7．设函数32213432()(1x x x f x x f x x -+++=+，则()f x =______________解：令1x y =，得3221343()2()1y y y f y y f y y +-++=+；把y 改为x 得：3221343()2(1x x x f x x f x x +-++=+ （1） 32213432()(1x x x f x x f x x -+++=+ （2） 联合（1）（2）消去 1(f x，可得25()361f x x x x =-+-+．8．设命题P ：2c c <和命题Q ：对任何x R ∈，2410x cx ++>有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是______________解：命题P 成立，可得：01c <<； 命题Q 成立，可得：1122c -<<；因此，要使命题P 和命题Q 有且仅有一个成立，实数c 的取值范围是11(, 0][, 1)22-．9．在x 轴的正方向上，从左向右依次取点列{}, 1, 2, j A j =⋅⋅⋅，以及在第一象限内的抛物线232y x = 上从左向右依次取点列{},1, 2, k B k =⋅⋅⋅，使1 (1, 2)k k k A BA k-∆=⋅都是等边三角形，其中0A 是坐标原点，则第2014个等边三角形的边长是______________解：设第n 个等边三角形的边长为n a ；则第n 个等边三角形的在抛物线上的顶点n B 的坐标为：1211213( , () )222n nn n a a a a a a a a --++++++++，再从第n 个等边三角形上，又可得n B 的 纵坐标为：2213n a a a ⎛⎫-=；从而有：33n a = 即有2121122n n n a a a a a -=++++；由此可得：212122n n na a a a a +++=+ （1） 以及：211211122n n n a a a a a ---+++=+ （2）（1）－（2）即得：11111()()()22n n n n n n n a a a a a a a ---=-+-+，变形可得11(1)()0n n n n a a a a ----+=，由于10n n a a -+≠，所以11n n a a --=；在（1）式中取1n =，可得2111122a a =，而10a ≠，故11a =；因此第2014个等边三角形的边长为20142014a =．10．根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α（02πα≤≤）方向行走 一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定．假定机器人行走速度为每分钟 10米，则行走2分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是______________ 解：如图，设机器人行走2分钟时的位置为(, )P x y ； 设机器人改变方向的点为A ，OA a =，AP b =； 则由已知条件有：21020a b +=⨯=，以及cos sin x a y a bαα=⎧⎨=+⎩，O Py x A B GHK所以有：222222sin ()400(sin cos )20x y a ab b a b x y a b a b ααα⎧+=++≤+=⎨+=++≥+=⎩；即所求平面图形为弓形，其面积为100200π-平方米． 二、解答题11．设双曲线221x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若12PF F ∆的顶点P 在第一象限的双曲线上移动，求12PF F ∆的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边2PF 上的切点轨迹． 解：如图，记双曲线在x 轴上的两顶点为(1,0)A ，(1,0)B -；G 为12PF F ∆的内切圆在边12F F 上的切点，H 为12PF F ∆的内切圆在边2PF 上的切点，K 为12PF F ∆的内切圆在边1PF 上的切点；则有1212GF GF KF HF -=-12()()KF KP HF HP =+-+12PF PF =- 5分由双曲线的定义知，G 必在双曲线上， 于是G 与(1,0)A 重合，是定点．而221F G F A =；根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等，所以12PF F ∆的内切圆在边2PF上的切点的轨迹是以2 0)F1为半径的圆弧．------- 10分因为(, )P x y 是在221x y -=第一象限的曲线上移动，当2PF 沿双曲线趋于无穷时，与x 轴正向的交角θ的正切的极限是lim tan lim1x x θ→+∞==；即：4πθ→；故点H 的轨迹方程为（极坐标形式）1)cos 1)sin x y θθ⎧⎪⎨=⎪⎩，（4πθπ<<） -------------- 15分 也可以用直角坐标形式．由于G 与(1,0)A 重合，是定点，故该内切圆圆心的轨迹是直线段，方程为：1x =（01y <<） ----- 20分 12．设12, ,, n x x x R +⋅⋅⋅∈，定义：22111()nn i i in S x x n =-=+⋅∑； （1）求n S 的最小值；（2）在222121n x x x ++⋅⋅⋅+=条件下，求n S 的最小值；（3）在121n x x x ++⋅⋅⋅+=条件下，求n S 的最小值，并加以证明． 解：（1）22111144nnn i i n n S n n ==--≥==∑∑-------- 5分（当i x =时，取到最小值） （2）2224211(1)12nn i i i n n S x n n x =⎛⎫--=++ ⎪⎝⎭∑24211(1)112n i i n n n n x =--=++∑2221(1)112(1)n n n n n n ---≥++=+；（当12n x x x ====时，取到最小值21(1)n n -+）--------------10分（3）因为22222111111111n n n i i i i i i i n n x x x x n n ===⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⋅+≤⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑所以22111()nn i i i n S x x n =-=+∑221111n i i i n x n x n =⎡⎤⎛⎫-≥+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑22211[1]n n n n n -≥+⋅=；（当121n x x x n====时，取到最小值n ）------20分 每小题指出什么时候取到，5分．13．设O 、H 分别为锐角ABC ∆的外心和垂心，在AB 上截取AD AH =，在AC 上截取AE AO =；求证：DE 等于ABC ∆外接圆半径． 证明：设ABC ∆的外接圆的半径为R ，易知：2cos AH R A =；由余弦定理：2222cos DE AD AE AD AE A =+-⋅222224cos 4cos R A R R A =+-2R =故DE 等于ABC ∆外接圆半径．14．在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位．为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？解：设20个岗位按先后排序为1，2，，… ，20，且设第k 种新式武器设置的序号为：k a (1, 2, 3, 4, 5)k =；令11x a =，221x a a =-，332x a a =-，443x a a =-，554x a a =-，6520x a =-，则有12345620x x x x x x +++++= （*）其中25k x ≤≤(1, 2, 3, 4, 5)k =，614x ≤≤ -------------------------------------- 5分 作代换：1k k y x =-(1, 2, 3, 4, 5)k =，66y x =， 从而有12345615y y y y y y +++++=，（**） 其中14k y ≤≤(1, 2, 3, 4, 5)k =． ----------- 10分以下求解问题（**）:方法一：设I 为12345615y y y y y y +++++=的正整数解的全体，k A 为I 中k y 满足4k y >的解的全体；则666111k k k j k k j kk k A I A I A A A =<===-=-+∑∑；上式成立的原因是i j k A A A =∅，因为没有同时满足4i y >，4j y >，4k y >的6115k k y ==∑的正整数组．所以65525141066162002151290580k k A C C C C ==-+=-+=， -------------- 15分因为5种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，所以配备新式武器的方案数等于5805!69600⨯=． ----------------------------------- 20分方法二 ：问题（**）的解数等于2346()x x x x +++展开式中15x 的系数；而234662366626()(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x +++=+++=++， 故只须求626(1)(1)x x ++展开式中9x 的系数．6262345624681012(1)(1)(161520156) (161520156)x x x x x x x x x x x x x x ++=++++++⨯++++++因此9x 的系数为 6×15＋20×20＋6×15 ＝ 580 ------------------------------------ 15分 因为5种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，所以配备新式武器的方案数等于5805!69600⨯=．----------------------------------- 20分。

2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题六（时间：120分钟 满分：150）姓名_______________一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．若点(, )P x y 在直线33x y +=上移动，则函数(, )39x y f x y =+的最小值等于____________ 2．设集合{2, 0, 1}M =-，{1, 2, 3, 4, 5}N =，映射:f M N →使对任意的x M ∈，都有：()()x f x xf x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是____________3．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”；那么所有的三位数中，奇和数有________个． 4．设16a =，15[*)4n n a a n N +=∈，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则20141i i a =∑的个位 数字为______________5．已知三个正整数x ，y ，z 的最小公倍数是300，并且222320230x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，则方程组的解： (, , )x y z =______________6．已知关于x 的实系数方程2220x x -+=和2210x mx ++=的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是______________7．设平面上的向量, , , a b x y 满足关系a x y =-，2b x y =+，又设a 与b 的模为1，且互相垂直，则x 与y 的夹角为______________8．设函数01021()||, ()|()1|, ()|()2|f x x f x f x f x f x ==-=-，则函数2()f x 的图像与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是______________9．已知单位正方体ABCD EFGH -棱AD 与直线BC 上分别有动点Q 、P ；若PQG ∆与BDE ∆相截得到的线段MN 的长度为y ，现设 (01)AQ x x =≤≤，则y 的最小值写成关于x 的函数关系式 是______________10．设1a ，2a ，…，2014a 均为正实数，且12201411112222a a a ++⋅⋅⋅+=+++，则122014a a a ⋅⋅⋅的最小值 是______________二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．已知焦点在x 轴上的椭圆22221x y a b+=过定点 (1, 0)A ，且与曲线||y x =的交点为B 、C ；现有以A 为焦点，过点B 、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标为(, 0)M m ；当椭圆的离心率e满足2213e <<时，求实数m 的取值范围．12．已知ABC ∆的三边长分别为a 、b 、c ，且满足2(1)(1)(1)abc a b c =---；（1）是否存在边长均为整数的ABC ∆？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由． （2）若1a >，1b >，1c >，求出ABC ∆周长的最小值．13．已知⊙O1与⊙O2相交于两点A、B，点P、E在⊙O1上，点Q、F在⊙O2上，且满足EF 为两圆的公切线，PQ EF∥，PE与QF相交于点R；求证：PBR QBR∠=∠．14．从数1，2，3，…，2014中删去一些数，使得剩下的数中任何一个数都不等于其余两个不同的数的积，问至少要删去多少个数才能做到这一点？2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题六答案一、填空题：1．若点(, )P x y 在直线33x y +=上移动，则函数(, )39x y f x y =+的最小值等于____________解：322(1)2333()39393333xx x xyxxxf x ---=+=+=+=+222111333113333322x x x x x ---=⋅+⋅+++5≥152755()4==⋅，等号当且仅当2131332x x -⋅=， 即33(1log 2)5x =+时成立，∴(, )f x y 的最小值是15275()4⋅．2．设集合{2, 0, 1}M =-，{1, 2, 3, 4, 5}N =，映射:f M N →使对任意的x M ∈，都有：()()x f x xf x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是____________解：当2x =-时，()()2(2)x f x xf x f ++=---为奇数，则(2)f -可取1，3，5，三种；当0x =时，()()(0)x f x xf x f ++=为奇数，则(0)f 可取1，3，5，三种；当1x =时，()()12(1)x f x xf x f ++=+为奇数，则(1)f 可取1，2，3，4，5，五种； 由乘法原理知，共有33545⨯⨯=个映射．3．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”；那么所有的三位数中，奇和数有________个． 解：设三位数是123a a a ，则123321132213100()10()()a a a a a a a a a a a a +=+++++；若13a a +不进位，则和数的十位数必为偶数，不符合题意，∴13a a +=11，13，15，17；∵1192837465=+=+=+=+，∴13a a 、取值有224A 种可能； ∵13948576=+=+=+，∴13a a 、取值有223A 种可能； ∵159687=+=+，∴13a a 、取值有222A 种可能；∵1798=+，∴13a a 、取值有22A 种可能；由于22a a +不能进位，∴2a 只能取0，1，2，3，4； ∴满足条件的数共有：222222225(432)100A A A A +++=（个）．4．设16a =，15[*)4n n a a n N +=∈，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则20141i i a =∑的个位数字为______________解：由1121126521, 11521, a a --==⨯+==⨯+⋅⋅⋅，猜想：1521n n a -=⨯+；由已知递推关系式，易用数学归纳法给予证明（略）； ∴当1n >时， 1 (mod10)n a ≡；∴122014620139 (mod10)a a a ++⋅⋅⋅+=+≡．5．已知三个正整数x ，y ，z 的最小公倍数是300，并且222320230x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，则方程组的解： (, , )x y z =______________ 解：记方程组中的两个方程为（1），（2），消去x 得：225830y yz z -+=，即(53)()0y z y z --=；所以530y z -=；（3） 或0y z -=；（4）由（1）、（3）得3, 5y x z x ==，即::1:3:5x y z =；于是，由已知条件，必有20, 60, 100x y z ===；即(, , )(20, 60, 100)x y z =． 由（1）（4），得x y z =-=-，与已知条件“三个正整数”矛盾．6．已知关于x 的实系数方程2220x x -+=和2210x mx ++=的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是______________解：易知方程2220x x -+=的两根为121, 1x i x i =+=-；当2440m ∆=-<即11m -<<时，2210x mx ++=有共轭虚根34x x 、，且34x x 、的实部为1m -≠， 这时1234 x x x x 、、、在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形，它们共圆． 当2440m ∆=->即1m <-或0m >时，方程2210x mx ++=有两个不等的实根34x x 、， 则12 x x 、对应的点在以34x x 、对应的点为直径端点的圆上， 该圆的方程为：234()()0x x x x y --+=即223434()0x y x x x x x +-++=，将34342, 1x x m x x +=-=及12 x x 、对应点的坐标(1, 1)±代入方程，即得32m =-； 故m 的取值范围是{|11m m -<<或3}2m =-．7．设平面上的向量, , , a b x y 满足关系a x y =-，2b x y =+，又设a 与b 的模为1，且互相垂直，则x 与y 的夹角为______________解：由已知得2, 33a b b a x y +-==，则cos ||||x y x y θ→→→→⋅==⋅θπ=-． 8．设函数01021()||, ()|()1|, ()|()2|f x x f x f x f x f x ==-=-，则函数2()f x 的图像与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是______________解：函数2()y f x =所求的封闭部分的面积为： CDE ABCD S S ∆-梯形11(26)221722=+⨯-⨯⨯=9．已知单位正方体ABCD EFGH -棱AD 若PQG ∆与BDE ∆相截得到的线段MN 关于x 的函数关系式是______________解：当A Q x =时，设GQ 与平面BDE 交于点N ，作N M B D ⊥于点M ，连结QM 交直线BC 于点'P ， 取点'P 为点P ，知此时||y MN =最小．建立如图所示的空间直角坐标系，则(0, , 1)Q x 且BDE ∆所在平面上的点(, , )x y z满足x y z +=，故可令0000 (, , )N x y x y +；由点N 在QG 上，知在（0，1）内存在λ使QN QG λ=； 代入消去λ，得：000021, (1)x y x x y x +=-=；从而0011, 33x x x y x x-+==--； 于是，112(, , 333x x N x x x-+=---；而点M 在BD 上， 故可令11(, 1, 1)M x x -； 由0MN BD ⋅=，知131()23xx x-=-，于是，1||)3x y MN x -===- 10．设1a ，2a ，…，2014a 均为正实数，且12201411112222a a a ++⋅⋅⋅+=+++，则122014a a a ⋅⋅⋅的最小值是______________解：设22i i x a =+，则有12i i i x a x -=⋅，且201411i i x ==∑，∴122014a a a ⋅⋅⋅201423201413201412201312201412()()()x x x x x x x x x x x x =⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅20141220142201320132013x x x ≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅20144026= 二、解答题：11．已知焦点在x 轴上的椭圆22221x y a b+=过定点 (1, 0)A ，且与曲线||y x =的交点为B 、C ；现有以A 为焦点，过点B 、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标为(, 0)M m ；当椭圆的离心率e满足2213e <<时，求实数m 的取值范围． 解：椭圆过定点 (1, 0)A ，则1a =，c e =；∵2213e <<，∴0b <<； 由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线 (0)y x x =≥的交点， 就必过椭圆与射线 (0)y x x =-≥的交点；解方程组222 (0)1y x x y x b =≥⎧⎪⎨+=⎪⎩，得x y ==；∵(0,b ∈，∴102x <<； 设抛物线方程为：22(), 0, 1y p x m p m =-->>；又∵12pm =-，∴24(1)(), 1y m x m m =-->； 由1, (0, )2y x x =∈，得24(1)4(1)0x m x m m +---=；令21()4(1)4(1), (1, 0)2f x x m x m m m x =+---><<；∵()f x 在1(0, )2内有根且单调递增；∴(0)4(1)011()2(1)4(1)024f m m f m m m =--<⎧⎪⎨=+--->⎪⎩；∴10m m m ><⎧<<或；故1m << 12．已知ABC ∆的三边长分别为a 、b 、c ，且满足2(1)(1)(1)abc a b c =---；（1）是否存在边长均为整数的ABC ∆？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由． （2）若1a >，1b >，1c >，求出ABC ∆周长的最小值． 解：（1）不妨设整数a b c ≥≥，显然2c ≥；若5c ≥，则11115a b c ≤≤≤；由2(1)(1)(1)abc a b c =---，可得311114(1)(1)(1)()25a b c =---≥；矛盾．故c 只可能取2，3，4．当2c =时，则(1)(1)ab a b =--，有1a b +=，又2a b ≥≥，故无解．当3c =时，则34(1)(1ab a b =--），即(4)(4)12a b --=，又3a b ≥≥，R故41241a b -=⎧⎨-=⎩或4642a b -=⎧⎨-=⎩或4443a b -=⎧⎨-=⎩；解得165a b =⎧⎨=⎩或106a b =⎧⎨=⎩或87a b =⎧⎨=⎩；能构成三角形的只有：8a =，7b =，3c =．当4c =时，同理可得：9a =，4b =或6a =，5b =； 能构成三角形的只有6a =，5b =，4c =；故存在三边长均为整数的ABC ∆，其三边长分别为4，5，6或3，7，8． （2）由2(1)(1)(1)abc a b c =---，可得：3111(1)(1)(1)1111(1)(1)(1)[]23a b c a b c -+-+-=---≤所以，1113a b c ++≤，又111)()9a b c a b c ++++≥（，则有9911123a b c a b c ++≥≥=++ 故ABC ∆的周长最小值为，当且仅当a b c ===时，取得最小值． 13．已知⊙O 1与⊙O 2相交于两点A 、B ，点P 、E 在⊙O 1上，点Q 、F 在⊙O 2上，且满足EF为两圆的公切线，PQ EF ∥，PE 与QF 相交于点R ；求证：PBR QBR ∠=∠．证明：如图设⊙O 1的半径为1r ，作EH PQ ∥，, , BR PQ Z BG EP X BH FQ Y ===，1122, PQ EO N PQ FO N ==， 1122, BGEO M BHFO M ==；设1212, EM FM a EN FN b ====； 易知EG EP=aEX EP b==EX EG= 由EGX BPX ∆∆~，知EX BXEG BP== 同理，BYBQ= 故BX BY BP BQ =，即BP BXBQ BY=； 由PQ XY ∥，可知PZ BX BPZQ BY BQ==，∴PBR QBR ∠=∠． 14．从数1，2，3，…，2014中删去一些数，使得剩下的数中任何一个数都不等于其余两个不同的数的积，问至少要删去多少个数才能做到这一点？解：因为一个数不等于另外两个数的积，所以考虑一个数是另外两个数的积的三数组．从数1，2，3，…，2014中选出下列三数组：{44，45，44×45}，{43，46，43×46}，{42，47，42×47}，…，{2，87，2×87}；一共43组； 若删去的数少于43，则必有同一组中的3个数没有删去，它们中一数等于另两数之积， 所以至少删去43个数；另一方面，若删去2，3，4，…，44这43个数，则剩下的数中任意两个数之积要么不小于： 45×46＝2070，要么两个数为1，a （a =45，46，…，2014），它们的积1×a ＝a ，不可能等于1，2，3，…，2014中第3个数；所以只要删去2，3，4，…，44这43个数即可满足要求．。

一试一、填空题1. 若正数b a ,满足()b a b a +=+=+632log log 3log 2，则b a 11+的值为________.2. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤+213b a b a 中的最大元素与最小元素分别为m M ,，则m M -的值为__________.3. 若函数()12-+=x a x x f 在[)+∞,0上单调递增，则实数a 的取值范围是__________.4. 数列{}n a 满足21=a ，()()*+∈++=N n a n n a n n 1221，则=+++2013212014a a a a Λ . 5. 正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是__________.6. 设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,.若212F F PF =，且1143QF PF =,则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________.7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I .若点P 满足1=PI ，则APB ∆与APC ∆的面积之比的最大值为__________.8. 设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以21的概率在每对边之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为__________.二、解答题9. 平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线x y 42=的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直.设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为R Q ,.（1）证明R 是一个定点； （2）求QR PQ 的最小值. 10. 数列{}n a 满足61π=a ，()n n a a sec arctan 1=+()*∈N n .求正整数m ，使得1001sin sin sin 21=⋅⋅⋅m a a a Λ. 11. 确定所有的复数α，使得对任意复数21,z z ()2121,1,z z z z ≠<，均有 ()()222121z z z z αααα++≠++.二试一、设实数c b a ,,满足1=++c b a ，0>abc .求证：412+<++abc ca bc ab .二、如图，在锐角ABC ∆中，︒≠∠60BAC ，过点B 、C 分别作ABC ∆的外接圆⊙O 的切线BD 、EC ，且满足BC CE BD ==.直线DE 与AB 、AC 的延长线分别交于点F 、G .设CF 与BD 交于点M ，CE 与BG 交于点N .求证：AN AM =.三、设{}100,,3,2,1Λ=S .求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.四、设整数201421,,,x x x Λ模2014互不同余，整数201421,,,y y y Λ模2014也互不同余. 证明：可将201421,,,y y y Λ重新排列为201421,,,z z z Λ，使得201420142211,,,z x z x z x +++Λ模4028互不同余.。

取正整数 k1 满足 1－ 1k1＞cos nt，由（1）可知存在正整数 n，使得 cos n＞1－ 1k1＞22001145． 这与使 cosn＞22001145成立的正整数 n 的个数是 t 矛盾．
所以存在无穷多个正整数 n，使得 cosn＞22001145．
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2014 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试4 卷（加试）参考答案 第 4 页 共 4 页
从而 n＜36，又因为 n 为偶数，所以 n≤34．
……………… 40 分
（3）证明 n=34 能取到．
不妨设凸 34 边形内角中只有两个值 x 和 x－20°，它们相间出现，各为一半，
有 17(2x－20°)＝32×180°，x＝301570°＜180°．x－20°＞0，
知存在满足条件的凸 34 边形．
({x}＝x－［x］，［x］表示不大于 x 的最大整数)． 将区间［0，1)分成 M 个小区间：［0，M1 )，［M1 ，M2 )，…，［MM－1，1)， 由抽屉原理可知，一定存在 1≤i＜j≤M+1，使得{iα}，{jα}在同一个小区间，
因此，|{jα}－{iα}|＜M1 ，从而|nα－(［jα］－［iα］)|＜M1 ，
而当 n 为偶数时，且 x1，x2，…，xn 中一半取 2，一半取 8 时，等号成立． 故当且仅当 n 为偶数，且 x1，x2，…，xn 中一半取 2，一半取 8 时等号成立．
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2014 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试2 卷（加试）参考答案 第 2 页 共 4 页
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⎩⎨⎧ 由①②知，必须有