基本初等函数练习题 -加函数零点习题

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基本初等函数测试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列各式:①错误!＝a ； ②若a ∈R ,则（a 2－a ＋1)0＝1；③44333x y x y +=+; ④ 错误!＝错误!.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．函数y ＝a｜x ｜(a 〉1)的图象是( ）3．下列函数在(0，＋∞）上是增函数的是( ) A ．y ＝3－xB ．y ＝－2xC ．y ＝log 0.1xD ．y ＝x 错误! 4．三个数log 2错误!，20.1，2－1的大小关系是( ）A ．log 2错误!<20.1<2－1B ．log 2错误!<2－1<20.1C ．20.1〈2－1<log 2错误!D ．20.1〈log 2错误!〈2－15．已知集合A ＝｛y |y ＝2x，x <0｝，B ＝｛y |y ＝log 2x ｝，则A ∩B ＝（ ） A ．｛y |y >0｝ B ．{y ｜y >1｝ C ．{y |0〈y <1｝ D ．∅6．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝｛x |x ∈P 且x ∉Q },如果P ＝{x |log 2x ＜1｝,Q ＝｛x ｜1〈x 〈3｝，那么P －Q 等于（ ）A ．｛x |0＜x ＜1}B ．{x ｜0＜x ≤1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x ｜2≤x ＜3}7．已知0〈a <1，x ＝log a 错误!＋log a 错误!，y ＝错误!log a 5,z ＝log a 错误!－log a 错误!,则（ ） A ．x >y >z B ．x >y 〉x C ．y >x >z D ．z 〉x >y 8．函数y ＝2x－x 2的图象大致是( ）9．已知四个函数①y ＝f 1（x )；②y ＝f 2（x )；③y ＝f 3(x ）；④y ＝f 4(x )的图象如下图：则下列不等式中可能成立的是( )A ．f 1(x 1＋x 2)＝f 1（x 1)＋f 1（x 2)B ．f 2(x 1＋x 2)＝f 2(x 1)＋f 2(x 2）C ．f 3（x 1＋x 2）＝f 3(x 1）＋f 3(x 2）D ．f 4（x 1＋x 2）＝f 4（x 1）＋f 4（x 2)10．设函数121()f x x =，f 2(x ）＝x －1，f 3（x ）＝x 2，则f 1（f 2(f 3(2010）））等于（ ） A ．2010 B ．20102 C 。

函数、基本初等函数练习（一）一、选择题1． 已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（ ） Ｄ2．已知函数()213axy -=是定义域上的减函数，则字母a 的取值范围是（ ）Ａ．01a <<Ｂ．1a <<Ｃ．11a -<<Ｄ．10a -<<Ｃ3．已知函数()()2log 03(0]xx x f x x ⎧∈+∞⎪=⎨∈-∞⎪⎩，，，，，，则14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦等于（ ）Ａ．9 Ｂ．19Ｃ．9- Ｄ．19-Ｂ4．已知2312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，322b -=，1312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列关系中正确的是（ ）Ａ．b a c <<Ｂ．c a b << Ｃ．a c b << Ｄ．a b c <<Ａ5．若()f x 是定义在区间[66]-，上的偶函数，且(3)(1)f f >-，则下列各式中一定成立的是（ ） Ａ．(1)(3)f f <- Ｂ．(0)(6)f f <Ｃ．(3)(2)f f >Ｄ．(2)(0)f f >Ａ6．已知A B ，两地相距150千米，某人开汽车以60千米／小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米／小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是（ ） Ａ．60x t =Ｂ．6050x t t =+Ｃ．60(0 2.5)1505( 3.5)t t x t x ⎧=⎨->⎩， ，≤≤Ｄ．600 2.5150(2.5 3.5)15050( 3.5)(3.5 6.5)t t x t t t ()⎧⎪=<⎨⎪--<⎩， ， ，≤≤≤≤Ｄ二、填空题7．已知函数()12g x x =-，[]221()x f g x x-=，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭．15 8．函数e 1e 1xxy -=+的值域为 ．(11)-，9．327log 2log 64= ．1210．若1()2ax f x x +=+在区间(2)-+∞，上是增函数，则a 的取值范围是 ．12a >11．设函数2()4(1)5f x x a x =-++在[1)-+∞，上是增函数，在(1]-∞-，上是减函数，则(1)f -= ．112．函数1log (54)xx y +=-的定义域为．4(10)(0log 5)- ，，三、解答题13．已知01a <<，x y ，满足2log (log )3log 3a a a y x x =-+，如果y有最大值4，求此时a 和x 的值．14a =，18x =14．根据信息产业部、国家计委、财政部《关于电信资费结构性调整的通知》和江苏省邮电管理局、江苏省物价局相关文件通知，盐城市因特网业务资费（以下简称上网资费）自2006年1月21日起执行新标准．用户有两种上网方式可供选用：①使用163拨号上网，每月上网资费用1y （元）表示；②使用宽带接入方式上网，每月上网资费用2y （元）表示，根据新标准，得到上网资费和使用时间x （小时）之间的函数关系图（如下图，每月以30天，即720小时计算）．（1）写出12y y ，的函数表达式；（2）现在已知某用户平均每天上网2小时，该用户用哪种方式上网，每月的上网资费更少？ （3）该用户每月上网总时间满足什么条件时，选用第一种上网方式更划算？ （1）1 2.450(0720)y x x =+≤≤，299(0720)y x =≤≤；（2）该用户使用宽带接入方式上网，每月的上网资费更少； （3）每月上网点时间不多于52012小时时，选用第一种上网方式更划算．15．设函数22()21(01)f x x ax a x =-+++≤≤． （1）求()f x 的最大值()M a ；（2）求[11]a ∈-，时，求函数()M a 的值域． （1）2210()10121a a M a a a a a a ⎧+<⎪=+⎨⎪+>⎩2，2，；≤≤（2）[13]，．函数、基本初等函数练习（二）一、选择题1．下列各式正确的是（ ）Ａ．35a-=32x =Ｃ．111111248824a a a a ⎛⎫⨯⨯--⎪⎝⎭= Ｄ．112333142212xx x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭Ｄ2．设函数2()(0)f x x x a a =++>，若存在实数m ，使()0f m <，则必有（ ） Ａ．(1)0f m -<且(1)0f m +< Ｂ．(1)0f m ->且(1)0f m +> Ｃ．(1)0f m ->且(1)0f m +<Ｄ．(1)0f m -<且(1)0f m +>Ｂ3．设0x >，且1x x a b <<，0a b >，，则a b ，的大小关系是（ ） Ａ．1b a <<Ｂ．1a b <<Ｃ．1b a <<Ｄ．1a b <<Ｂ4．下列函数中，值域为(0)+∞，的函数是（ ）Ａ．12x y =Ｂ．112xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭Ｃ．y =Ｄ．y =Ｂ5．设a b c ，，都是正数，且346a b c==，则以下正确的是（ ） Ａ．221cab=+Ｂ．111cab=+Ｃ．122cab=+Ｄ．212cab=+Ａ6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为21 5.060.15L x x =-和22L x =，其中x 为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ） Ａ．45.606万元 Ｂ．45.56万元 Ｃ．45.6万元 Ｄ．45.51万元Ｃ二、填空题 7．函数y =的单调递减区间是 ．[13]，8．奇函数()f x 在区间[15]，上递减，且在[15]，上的最大值是10，在区间[51]--，上的最大值是1，则(5)2(1)f f --=．199．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(0]-∞，上是减函数，且(2)0f =，则使得()0f x <的x 的取值范围是 ．(22)-，10．二次函数2y ax bx c =++中，若0a c < ，则函数的零点个数是 个．两11．5255log log (2)log log log (4)x x x x y x x =++ ，且2284y x= ，则y =．2112．王老师给出一个函数()y f x =，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质： 甲：对于x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-； 乙：在(0]-∞，上是减函数； 丙：在(0)+∞，上是增函数； 丁：(0)f 不是函数的最小值．现已知其中恰有三个说得正确，则这个函数可能是 （只须写出一个这样的函数即可）．2(1)y x =-三、解答题13．设()f x 在[]a b ，上的图象是连续不断的一条曲线，且()a f x b ≤≤，求证：在[]a b ，中至少有一个常数，使()f c c =． 证明略．14．已知11()212xf x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭． （1）指出()f x 的奇偶性，并予以证明； （2）证明()0f x >．（1）偶函数，证明略； （2）证明略． 15．设函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--（其中1p >）． （1）求()f x 的定义域；（2）()f x 是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由． （1）(1,)p ；（2）13p <≤时，()f x 即无最大值又无最小值；当3p >时，()f x 有最大值22(1)log 4p +，但没有最小值，理由略．DBBBAC [13]， 19 (22)-， 2 21 2(1)y x =-。

基本初等函数测试题一、选择题 (本大题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．有以下各式：① na n ＝ a ； ②若 a ∈ R ，则 (a 2－ a ＋ 1)0＝ 1；③ 3 x 44y ; ④6－ 2 2＝ 3－ 2.y3x3此中正确的个数是 ()A ． 0B ． 1C ．2D ．3|x|的图象是 ()2．函数 y ＝ a (a>1)3．以下函数在 (0，＋∞ )上是增函数的是 ()－xB ． y ＝－ 2x1A ． y ＝ 3C ． y ＝ logxD ． y ＝ x24．三个数 log 21， 20.1,2－1 的大小关系是 ()51－1－－11 －A ． log 25<2<2 1 B ． log 25<2 1<20.1 C ． 2<2 1<log 25 D ． 2<log 25<215．已知会合 A ＝ { y|y ＝ 2x ， x<0} ， B ＝ { y|y ＝log 2x} ，则 A ∩ B ＝ ()A ． { y|y>0}B ． { y|y>1}C ． { y|0<y<1}D ．6．设 P 和 Q 是两个会合，定义会合 P －Q ＝ { x|x ∈ P 且 x?Q} ，假如 P ＝{ x|log x ＜ 1} ，Q2＝ { x|1<x<3} ，那么 P －Q 等于 ( )A ． { x|0＜ x ＜ 1}B ． { x|0＜ x ≤ 1}C ． { x|1≤ x ＜2}D ． { x|2≤ x ＜ 3}17．已知 0<a<1， x ＝ log a 2＋ log a 3， y ＝2log a 5，z ＝log a 21－ log a 3，则 ( )A ． x>y>zB ． x>y>xC ． y>x>zD ． z>x>y8．函数 y ＝ 2x － x 2 的图象大概是 ()9．已知四个函数① y ＝ f 1(x)；② y ＝ f 2 (x)；③ y ＝f 3(x)；④ y ＝ f 4( x)的图象以以下图：- 1 -则以下不等式中可能建立的是 ()A ． f (x ＋ x )＝ f (x )＋ f (x )B ． f (x ＋ x )＝f (x )＋ f(x )112111 22122122C ． f 3(x 1＋ x 2) ＝f 3(x 1)＋ f 3(x 2 )D ． f 4(x 1＋ x 2)＝f 4(x 1)＋ f 4(x 2)f ( x)12－1， f 3 2，则 f 1 2 310．设函数x 2(x)＝ x(2010))) 等于 ()1， f (x)＝ x ( f (fB ． 2010211A ． 2010 C.2010 D. 201211．函数 f(x)＝3x 2 ＋ lg(3 x ＋ 1)的定义域是 ( )1－xA. －∞，－ 1B. － 1， 133 3C. －1， 1D. － 1，＋∞332e x －1， x<2，12． (2010 石·家庄期末测试)设 f(x)＝则 f[ f(2)] 的值为 ()log 3 x 2－ 1 ， x ≥ 2.A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )13． 给出以下四个命题：(1)奇函数的图象必定经过原点；(2)偶函数的图象必定经过原点；1(3)函数 y ＝ lne x 是奇函数； (4)函数 yx 3 的图象对于原点成中心对称.此中正确命题序号为 ________． (将你以为正确的都填上 )14. 函数 y log 1 (x 4) 的定义域是.215．已知函数 y ＝ log a (x ＋b)的图象以以下图所示，则 a ＝ ________， b ＝ ________.16．(2008 上·海高考 )设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 若当 x ∈ (0，＋∞ )时，f(x)＝ lgx ，则知足 f(x)>0 的 x 的取值范围是 ________．- 2 -三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17． (本小题满分 10 分 )已知函数 f( x)＝ log 2(ax ＋ b)，若 f(2)＝ 1， f(3)＝ 2，求 f(5)．118． (本小题满分 12 分 )已知函数 f (x)2 x 2 .(1)求 f(x) 的定义域； (2) 证明 f(x)在定义域内是减函数．2x － 1 19． (本小题满分 12 分 )已知函数f( x)＝2x ＋ 1.(1)判断函数的奇偶性； (2) 证明： f( x)在(－∞，＋∞ )上是增函数．220． (本小题满分 12 分 )已知函数 f x(m 2 m 1)x mm 3是幂函数 , 且 x ∈ (0，＋∞ )时， f(x)是增函数，求 f(x)的分析式．21． (本小题满分 12 分 )已知函数 f( x)＝ lg(a x －b x )， (a>1>b>0) ．(1)求 f(x)的定义域；(2)若 f(x)在 (1，＋∞ )上递加且恒取正当，求a ，b 知足的关系式．1122． (本小题满分 12 分 )已知 f(x)＝ 2x －1＋2 ·x.(1)求函数的定义域；(2)判断函数 f(x)的奇偶性；(3)求证： f(x)>0.- 3 -参照答案答案速查： 1-5 BCDBC6-10 BCACC11-12 CC1.分析： 仅有②正确． 答案： Ba x ， x ≥0 ，2.分析： y ＝ a |x|＝－且 a>1 ，应选 C.答案： Ca x， x<0 ，3.答案： D4.答案： B5.分析：A ＝ { y|y ＝ 2x ，x<0} ＝ { y|0<y<1} ，B ＝ { y|y ＝ log 2x} ＝ { y|y ∈ R} ，∴ A ∩ B ＝{ y|0<y<1} ．答案： C6.分析： P ＝{ x|log 2x<1} ＝ { x|0<x<2} ， Q ＝{ x|1<x<3} ，∴ P － Q ＝ { x|0<x ≤1} ，应选 B.答案： B17.分析： x ＝ log a 2＋ log a 3＝ log a 6＝ 2log a 6， z ＝ loga21－ loga 3＝ loga 7＝ 2log 7.1a∵ 0<a<1 ，∴ 111log a 7.2 log a 5> log a 6> 22 即 y>x>z.答案： C8.分析： 作出函数 y ＝2x 与 y ＝ x 2 的图象知，它们有3 个交点，因此 y ＝2x － x 2 的图象与x 轴有 3 个交点，清除B 、C ，又当 x<－ 1 时， y<0，图象在 x 轴下方，清除 D.应选 A.答案： A9.分析： 联合图象知， A 、 B 、 D 不建立， C 建立． 答案： C10.分析： 依题意可得 f 3(2010) ＝ 20102， f 2(f 3(2010))22 －1－2 ＝ f 2(2010 ) ＝(2010 ) ＝ 2010 ，∴ f 1(f 2(f 3(2010))) ＝ f 1(2010 － 2－2 1－11 .)＝ (2010) ＝2010＝20102答案： C1－x>0x<1－111.分析： 由 ?1? <x<1. 答案： C3x ＋1>0x>－ 3312.分析： f(2) ＝ log 3(22－ 1)＝ log 33＝ 1，∴ f[f(2)] ＝ f(1) ＝ 2e 0＝ 2.答案： C13.分析： (1) 、 (2)不正确，可举出反例，如1， y ＝ x －2，它们的图象都可是原点． (3)y ＝ x中函数 y ＝ lne x＝x ，明显是奇函数．对于(4) ， y ＝x 13是奇函数，而奇函数的图象对于原点对称，因此 (4)正确．答案： (3)(4)- 4 -14.答案： (4,5]15.分析： 由图象过点 (－ 2,0)， (0,2)知， log a (－ 2＋ b)＝ 0， log a b ＝ 2，∴－ 2＋ b ＝1，∴ b＝ 3， a 2＝ 3，由 a>0 知 a ＝ 3.∴ a ＝ 3， b ＝ 3.答案： 3 316.分析： 依据题意画出 f(x)的草图，由图象可知，f(x)>0 的 x 的取值范围是－1<x<0 或x>1.答案： (－ 1,0)∪ (1，＋∞ )17.解：由 f(2) log 2 2a ＋ b ＝12a ＋ b ＝2 ? a ＝ 2， ＝ 1，f(3)＝ 2，得 3a ＋ b ＝ 2? ∴ f(x)＝ log 2(2xlog 2 3a ＋ b ＝4 b ＝－ 2. － 2)，∴ f(5)＝ log 28 ＝3.18.∵ x 2>x 1≥ 0，∴ x 2－ x 1>0， x 2＋ x 1>0，∴ f(x 1) － f(x 2)>0 ，∴ f(x 2)<f( x 1)．于是 f(x)在定义域内是减函数．19.解： (1) 函数定义域为 R.2－x － 11－ 2x2x － 1f(－ x)＝－ x＋ 1 ＝x ＝－x＝－ f(x)，21＋ 22 ＋ 1因此函数为奇函数．1 2< ＋∞ ，(2)证明：不如设－ ∞<x <x∴ 2x 2>2x 1.又由于 f(x 2)－ f(x 1)＝ 2x 2－ 1 － 2x 1－ 1 ＝ 2 2x 2－ 2x 12 1 1 2x 2>0，2x ＋ 1 2x ＋ 1 2x ＋ 1 ＋1∴ f(x 2)> f(x 1)．因此 f(x)在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上是增函数．20.解： ∵ f(x)是幂函数，∴ m 2－ m － 1＝ 1， ∴ m ＝－ 1 或 m ＝ 2，∴ f(x)＝ x －3 或 f(x)＝ x 3，而易知 f(x)＝ x －3 在 (0，＋ ∞ )上为减函数，f(x)＝x 3 在 (0，＋ ∞ )上为增函数． ∴ f(x)＝ x 3.21.解： (1) 由 a x－ b x>0，得 a x>1.ba∵ a>1>b>0，∴ b >1， ∴ x>0.即 f(x)的定义域为 (0，＋ ∞ )．(2)∵ f( x)在 (1，＋ ∞ )上递加且恒为正当，∴ f(x)>f(1) ，只需 f(1)≥ 0，即 lg(a － b)≥ 0，∴ a － b ≥1.∴ a ≥ b ＋ 1 为所求22.解： (1) 由 2x － 1≠ 0 得 x ≠0，∴函数的定义域为 { x|x ≠0， x ∈ R} ． (2)在定义域内任取 x ，则－ x 必定在定义域内． 1 1 f(－ x)＝ 2－x － 1＋ 2 (－ x)＝2xx ＋1 ( －x) ＝－ 1＋2x ·x ＝ 2x ＋1 ·x.1－2 22 1－ 2x 2 2x － 111 2x ＋ 1而f(x)＝2x － 1＋2 x ＝ 2 2x －1 ·x ， ∴ f(－ x)＝ f(x)．∴ f(x)为偶函数．(3)证明：当 x>0 时， 2x >1，11∴2x － 1＋2 ·x>0.又 f(x)为偶函数，∴当 x<0 时， f(x)>0.故当 x ∈ R 且 x ≠ 0 时， f(x)>0.。

高中数学【基本初等函数、函数的应用】专题练习1.已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A.a <b <c B.b <a <c C.b <c <a D.c <a <b答案 A解析 ∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52422－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53<log 85.∵55<84，134<85，∴5log 85<4log 88＝4＝4log 1313<5log 138， ∴log 85<log 138，∴log 53<log 85<log 138， 即a <b <c .故选A.2.若2x －2y <3－x －3－y ，则( ) A.ln(y －x ＋1)>0 B.ln(y －x ＋1)<0 C.ln|x －y |>0 D.ln|x －y |<0 答案 A解析 设函数f (x )＝2x －3－x .因为函数y ＝2x 与y ＝－3－x 在R 上均单调递增， 所以f (x )在R 上单调递增.原已知条件等价于2x －3－x <2y －3－y ，即f (x )<f (y )，所以x <y ，即y －x >0，y －x ＋1>1，所以A 正确，B 不正确. 因为|x －y |与1的大小不能确定，所以C ，D 不正确.3.设a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧cos （2πx －2πa ），x ＜a ，x 2－2（a ＋1）x ＋a 2＋5，x ≥a ，若f (x )在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，114 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，3 答案 A解析 因为x 2－2(a ＋1)x ＋a 2＋5＝0最多有2个根， 所以c os (2πx －2πa )＝0至少有4个根.由2πx －2πa ＝π2＋k π，k ∈Z 可得x ＝k 2＋14＋a ，k ∈Z .由0＜k 2＋14＋a ＜a 可得－2a －12＜k ＜－12.①当x ＜a 时，当－5≤－2a －12＜－4时，f (x )有4个零点，即74＜a ≤94；当－6≤－2a －12＜－5时，f (x )有5个零点， 即94＜a ≤114；当－7≤－2a －12＜－6时，f (x )有6个零点， 即114＜a ≤134；②当x ≥a 时，f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋a 2＋5， Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2＋5)＝8(a －2)， 当a ＜2时，Δ＜0，f (x )无零点；当a ＝2时，Δ＝0，f (x )有1个零点x ＝3；当a ＞2时，令f (a )＝a 2－2a (a ＋1)＋a 2＋5＝－2a ＋5≥0，则2＜a ≤52，此时f (x )有2个零点；所以当a ＞52时，f (x )有1个零点.综上，要使f (x )在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧74＜a ≤94，2＜a ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧94＜a ≤114，a ＝2或a ＞52或⎩⎨⎧114＜a ≤134，a ＜2.则可解得a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，114.4.已知f (x )＝|lg x |－kx －2，给出下列四个结论： (1)若k ＝0，则f (x )有两个零点； (2)∃k <0，使得f (x )有一个零点； (3)∃k <0，使得f (x )有三个零点； (4)∃k >0，使得f (x )有三个零点. 以上正确结论的序号是________. 答案 (1)(2)(4)解析 令f (x )＝|lg x |－kx －2＝0，可转化成两个函数y 1＝|lg x |，y 2＝kx ＋2的图象的交点个数问题. 对于(1)，当k ＝0时，y 2＝2与y 1＝|lg x |的图象有两个交点，(1)正确； 对于(2)，存在k <0，使y 2＝kx ＋2与y 1＝|lg x |的图象相切，(2)正确；对于(3)，若k <0，则y 1＝|lg x |与y 2＝kx ＋2的图象最多有2个交点，(3)错误； 对于(4)，当k >0时，过点(0，2)存在函数g (x )＝lg x (x >1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确.1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a MN ＝log a M －log a N ；(5)log a M n ＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ；(7)log a N ＝log b Nlog ba (注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数. 3.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解. 4.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.热点一 基本初等函数的图象与性质 【例1】 (1)(多选)下列命题中正确的是( ) A.∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13xB.∀x ∈(0，1)，log 12x >log 13xC.∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12D.∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 13x(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ＞0，|x ＋2|，－3≤x ≤0(a ＞0且a ≠1)，若函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( )A.(0，1)B.(1，3)C.(0，1)∪(3，＋∞)D.(0，1)∪(1，3)答案 (1)ABC (2)D解析 (1)对于A ，分别作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，如图(1)，由图可知，当x ∈(0，＋∞)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，故A 正确；对于B ，分别作出y ＝log 12x ，y ＝log 13x 的图象，如图(2)，由图可知，当x ∈(0，1)时，log 12x >log 13x ，故B 正确；对于C ，分别作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝x 12的图象，如图(3)，由图可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12，故C 正确；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，log 13x >log 1313＝1，所以D 错误.故选ABC.(2)y ＝log a x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝log a (－x )，函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，等价于y ＝log a (－x )与y ＝|x ＋2|，－3≤x ≤0的图象有且仅有一个交点.当0＜a ＜1时，显然符合题意(图略).当a ＞1时，只需log a 3＞1，∴1＜a ＜3. 综上所述，a 的取值范围是(0，1)∪(1，3).探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围. 2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化. 【训练1】 (1)函数f (x )＝x 2－1e x 的图象大致为( )(2)(多选)已知函数f (x )＝log 2(1＋4x )－x ，则下列说法正确的是( ) A.函数f (x )是偶函数 B.函数f (x )是奇函数C.函数f (x )在(－∞，0]上单调递增D.函数f (x )的值域为[1，＋∞) 答案 (1)A (2)AD解析 (1)易知f (x )在定义域R 上为非奇非偶函数，B 不合题意. 当x <0且x →－∞时，f (x )>0，且f (x )→＋∞，C 不合题意. 当x >0且x →＋∞时，f (x )→0，知D 不合题意，只有A 满足.(2)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14x －(－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋14x ＋x ＝log 2(4x ＋1)－log 24x ＋x ＝log 2(1＋4x )－2x ＋x ＝log 2(1＋4x )－x ＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数，故A 正确，B 不正确；f ′(x )＝4x ln 4（1＋4x）ln 2－1＝2×4x 4x ＋1－1＝4x －14x ＋1， 则当x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，故C 不正确；由以上分析知，f (x )min ＝f (0)＝1，所以函数f (x )的值域为[1，＋∞)，故D 正确.综上所述，选AD. 热点二 函数的零点与方程 考向1 确定函数零点个数【例2】 (1)设函数f (x )＝2|x |＋x 2－3，则函数y ＝f (x )的零点个数是( ) A.4 B.3 C.2D.1(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ＜0，4x 3－6x 2＋1，x ≥0，其中e 为自然对数的底数，则函数g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6D.3答案 (1)C (2)A解析 (1)易知f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋x 2－3，所以x ≥0时，f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，所以x ＝1是函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上的唯一零点.根据奇偶性，知x ＝－1是y ＝f (x )在(－∞，0)内的零点， 因此y ＝f (x )有两个零点.(2)当x ≥0时，f (x )＝4x 3－6x 2＋1的导数为f ′(x )＝12x 2－12x ， 当0＜x ＜1时，f (x )单调递减，x ＞1时，f (x )单调递增，可得f (x )在x ＝1处取得最小值，最小值为－1，且f (0)＝1， 作出函数f (x )的图象，如图. g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3，可令g (x )＝0，t ＝f (x )，可得3t 2－10t ＋3＝0， 解得t ＝3或13.当t ＝13时，可得f (x )＝13有三个实根，即g (x )有三个零点； 当t ＝3时，可得f (x )＝3有一个实根，即g (x )有一个零点. 综上，g (x )共有四个零点.探究提高 判断函数零点个数的主要方法(1)解方程f (x )＝0，直接求零点；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图象，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数，求其图象交点问题.【训练2】 (1)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0，2π]的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4D.5(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则关于x 的方程为f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2，6)上根的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4答案 (1)B (2)C解析 (1)令f (x )＝0，得2sin x －sin 2x ＝0， 即2sin x －2sin x cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1. 又x ∈[0，2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π. 故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个. (2)对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (6)＝f (－2)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上有3个不同的交点，即f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2，6)上有3个根. 考向2 根据函数的零点求参数的值或范围 【例3】 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A.－12B.13C.12D.1(2)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b恰有3个零点，则( ) A.a <－1，b <0 B.a <－1，b >0 C.a >－1，b <0 D.a >－1，b >0答案 (1)C (2)C解析 (1)f (x )＝(x －1)2＋a (e x －1＋e 1－x )－1， 令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )，且t ∈R ， ∴函数g (t )为偶函数.∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点. 又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.(2)由题意，令y ＝f (x )－ax －b ＝0，得b ＝f (x )－ax ＝⎩⎨⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0. 设y ＝b ，g (x )＝⎩⎨⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0，则以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论.①当a <－1时，1－a >0，可知在x ∈(－∞，0)上，g (x )单调递增，且g (x )<0； 由g ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，a ＋1<0， 可知在x ∈[0，＋∞)上，g (x )单调递增，且g (x )≥0.此时直线y ＝b 与g (x )的图象只有1个交点，不符合题意，故排除A ，B. ②当a >－1，即a ＋1>0时.因为g ′(x )＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，所以当x ≥0时，由g ′(x )<0可得0<x <a ＋1，由g ′(x )>0可得x >a ＋1，所以当x ≥0时，g (x )在(0，a ＋1)上单调递减，g (x )在(a ＋1，＋∞)上单调递增.如图，y ＝b 与y ＝g (x )(x ≥0)的图象至多有2个交点.当1－a >0，即－1<a <1时，由图象可得，若要y ＝g (x )与y ＝b 的图象有3个交点，必有b <0；当1－a ＝0时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去；当1－a <0，即a >1时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个或2个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去. 综上，－1<a <1，b <0.故选C.探究提高 1.求解第(1)题关键是利用函数f (x )有唯一零点找到解题思路.借助换元法，构造函数g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1，利用函数的性质求解. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】 设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a (a <1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43e －0.5 C.(－∞，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43e －0.5 答案 A解析 依题设，f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a 有两个零点，∴函数y ＝e x (2x －1)的图象与直线y ＝a (x －1)有两个交点. 令y ′＝[e x (2x －1)]′＝e x (2x ＋1)＝0，得x ＝－12.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，y ′<0，故y ＝e x(2x －1)为减函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞时，y ′>0，故y ＝e x (2x －1)为增函数，如图.设直线y ＝a (x －1)与y ＝e x (2x －1)相切于点P (x 0，y 0)， ∴y 0＝e x 0(2x 0－1). 则过点P (x 0，y 0)的切线为 y －e x 0(2x 0－1)＝e x 0(2x 0＋1)(x －x 0).将点(1，0)代入上式，得x 0＝0或x 0＝32(舍去). 此时，直线y ＝a (x －1)的斜率为1.故若直线y ＝a (x －1)与函数y ＝e x (2x －1)的图象有两个交点，应有0<a <1. 热点三 函数的实际应用【例4】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO ′为铅垂线(O ′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO ′的距离a (米)之间满足关系式h 1＝140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO ′的距离b (米)之间满足关系式h 2＝－1800b 3＋6b .已知点B 到OO ′的距离为40米.(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价32k(万元)(k＞0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？解(1)如图，设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足.由条件知，当O′B＝40时，BB1＝－1800×403＋6×40＝160，则AA1＝160.由140O′A2＝160，得O′A＝80.所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝120(米).(2)以O为原点，OO′所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).设F(x，y2)，x∈(0，40)，则y2＝－1800x3＋6x，EF＝160－y2＝160＋1800x3－6x.因为CE＝80，所以O′C＝80－x.设D(x－80，y1)，则y1＝140(80－x)2，所以CD ＝160－y 1＝160－140(80－x )2＝－140x 2＋4x . 记桥墩CD 和EF 的总造价为f (x )万元， 则f (x )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫160＋1800x 3－6x ＋32k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－140x 2＋4x＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1800x 3－380x 2＋160(0＜x ＜40). f ′(x )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3800x 2－340x ＝3k 800x (x －20)，令f ′(x )＝0，得x ＝20或x ＝0(舍去). 列表如下：所以当x ＝20时，f (x )取得最小值. 答：(1)桥AB 的长度为120米；(2)当O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.探究提高 1.解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.2.对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【训练4】 “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e ax ＋b (a ，b 为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，且该果蔬所需物流时间为3天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过( ) A.9 ℃ B.12 ℃ C.18 ℃ D.20 ℃答案 B解析 当x ＝6时，e 6a ＋b ＝216；当x ＝24时，e 24a ＋b ＝8， ∴e 6a ＋be 24a ＋b ＝2168＝27，则e 6a ＝13. 若果蔬保鲜3天，则72＝13×216＝e 6a ·e 6a ＋b ＝e 12a ＋b ， 故物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过12 ℃.一、选择题1.设a ＝log 2 0.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b答案 D解析 ∵log 20.3＜log 21＝0，∴a ＜0.∵log 120.4＝－log 20.4＝log 252＞log 22＝1，∴b ＞1.∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c ＜1， ∴a ＜c ＜b .2.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝cos π2x ，则函数y ＝f (x )－|x |的零点个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f (x )，知周期T ＝2. 令f (x )－|x |＝0，得f (x )＝|x |.作出函数y ＝f (x )与g (x )＝|x |的图象如图所示.由图象知，函数y ＝f (x )－|x |有两个零点.3.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数.当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A.60 B.63 C.66 D.69答案 C 解析 ∵I (t )＝K 1＋e －0.23（t －53）， ∴当I (t *)＝0.95K 时，K1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，则11＋e －0.23（t *－53）＝0.95⇒1＋e －0.23(t *－53)＝10.95⇒e －0.23(t *－53)＝10.95－1⇒e0.23(t *－53)＝19. ∴0.23(t *－53)＝ln 19，∴t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.4.已知函数f (x )＝[x ]([x ]表示不超过实数x 的最大整数)，若函数g (x )＝e x －1e x －2的零点为x 0，则g [f (x 0)]等于( ) A.1e －e －2B.－2C.e －1e －2 D.e 2－1e 2－2答案 B解析 因为g (x )＝e x －1e x －2， 所以g ′(x )＝e x ＋1e x >0在R 上恒成立， 即函数g (x )＝e x －1e x －2在R 上单调递增.又g(0)＝e0－1e0－2＝－2<0，g(1)＝e1－1e1－2>0，所以g(x)在(0，1)上必然存在零点，即x0∈(0，1)，因此f(x0)＝[x0]＝0，所以g[f(x0)]＝g(0)＝－2.5.(多选)若0<c<1，a>b>1，则()A.log a c>log b cB.ab c>ba cC.a log b c>b log a cD.a(b－c)>b(a－c) 答案AB解析对于A，因为0<c<1，a>b>1，所以log c a<log c b<0，所以log a alog a c<log b blog b c<0，即1 log a c<1log b c<0，所以0>log a c>log b c，故A正确；对于B，因为0<c<1，所以－1<c－1<0，所以当x>1时，函数y＝x c－1单调递减，所以b c－1>a c－1，又ab>0，所以由不等式的基本性质得ab c>ba c，故B正确；对于C，由A知log b c<log a c<0，又a>b>1，所以a log b c<b log b c，b log b c<b log a c，所以a log b c<b log a c，故C不正确；对于D，因为0<c<1，a>b>1，所以ac>bc，所以－ac<－bc，所以ab－ac<ab－bc，即a(b－c)<b(a－c)，故D不正确.综上所述，选AB.6.(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则关于函数g(x)＝|f(x)|＋f(|x|)，下列说法正确的是()A.g(x)为偶函数B.g (x )在(1，2)上单调递增C.g (x )在[2 016，2 020]上恰有三个零点D.g (x )的最大值为2 答案 AD解析 易知函数g (x )的定义域为R ，且g (－x )＝|f (－x )|＋f (|－x |)＝|－f (x )|＋f (|x |)＝|f (x )|＋f (|x |)＝g (x )， 所以g (x )为偶函数，故A 正确；因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )是奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，所以f (x )是周期为4的函数，其部分图象如图所示，所以当x ≥0时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2f （x ），x ∈[4k ，2＋4k ]，0，x ∈（2＋4k ，4＋4k ]，k ∈N ，当x ∈(1，2)时，g (x )＝2f (x )，g (x )单调递减，故B 错误；g (x )在[2 016，2 020]上零点的个数等价于g (x )在[0，4]上零点的个数，而g (x )在[0，4]上有无数个零点，故C 错误；当x ≥0时，易知g (x )的最大值为2，由偶函数图象的对称性可知，当x <0时，g (x )的最大值也为2，所以g (x )在整个定义域上的最大值为2，故D 正确. 综上可知，选AD. 二、填空题7.已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________. 答案 (1，3]∪(4，＋∞)解析 令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4.当x <λ时，x 2－4x ＋3＝0，则x ＝1或x ＝3.若函数f (x )恰有2个零点，结合图1与图2知，1<λ≤3或λ>4.8.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25 mg/m 3时，顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y (单位：mg/m 3)与经过的时间t (单位：min)之间的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1t ，0≤t <10，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10－a，t ≥10(a 为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是________.答案 9：30解析 由题图可得函数图象过点(10，1)， 代入函数的解析式，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝1，解得a ＝1，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1t ，0≤t <10，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10－1，t ≥10. 设从喷洒药物开始经过t min 顾客方可进入商场，易知t >10， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10－1≤0.25，解得t ≥30，所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：30.9.已知a ，b ，c 为正实数，且ln a ＝a －1，b ln b ＝1，c e c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系是________. 答案 c ＜a ＜b解析 ln a ＝a －1，ln b ＝1b ，e c ＝1c .依次作出y ＝e x ，y ＝ln x ，y ＝x －1，y ＝1x 这四个函数的图象，如下图所示.由图象可知0＜c ＜1，a ＝1，b ＞1，∴c ＜a ＜b . 三、解答题10.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0).(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求实数m 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的图象如图所示.(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ， 且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b ＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根. 故实数m 的取值范围为(0，1).11.随着中国经济的快速发展，节能减耗刻不容缓.某市环保部门为了提高对所辖水域生态环境的巡查效率，引进了一种新型生态环保探测器，该探测器消耗能量由公式E n ＝M v n T 给出，其中M 是质量(常数)，v 是设定速度(单位：km/h)，T 是行进时间(单位：h)，n 为参数.某次巡查为逆水行进，水流速度为4 km/h ，行进路程为100 km.(逆水行进中，实际速度＝设定速度－水流速度，顺水行进中，实际速度＝设定速度＋水流速度)(1)求T 关于v 的函数关系式，并指出v 的取值范围；(2)①当参数n ＝2时，求探测器最低消耗能量；②当参数n ＝3时，试确定使该探测器消耗的能量最低的设定速度.解 (1)由题意得，探测器实际速度为100T ＝v －4，则T ＝100v －4(v >4). (2)①当参数n ＝2时，E 2＝100·M ·v 2v －4＝100M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤v －4＋16v －4＋8 ≥100M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（v －4）·16v －4＋8 ＝1 600M ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当v －4＝16v －4，即v ＝8时取等号. 因此，当参数n ＝2时，该探测器最低消耗能量为1 600M .②当参数n ＝3时，E 3＝100·M ·v 3v －4(v >4). 令f (v )＝v 3v －4(v >4)，则f ′(v )＝2v 2（v －6）（v －4）2， 当4<v <6时，f ′(v )<0，f (v )单调递减，当v >6时，f ′(v )>0，f (v )单调递增.故当设定速度为6 km/h 时，该探测器消耗的能量最低.12.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案 B解析 由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6，得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I (t 2)＝2I (t 1)，即e0.38t 2＝2e0.38t 1，所以e0.38(t 2－t 1)＝2，即0.38(t 2－t 1)＝ln 2，∴t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8. 13.(多选)方程e x ＋x －2＝0的根为x 1，ln x ＋x －2＝0的根为x 2，则( ) A.x 1x 2>12 B.x 1ln x 2＋x 2ln x 1<0 C.e x 1＋e x 2<2eD.x 1x 2<e 2 答案 BD解析 令f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2，作出函数y ＝－x ＋2，y ＝e x ，y ＝ln x 的图象，其中y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，如图，则A (x 1，e x 1)，B (x 2，ln x 2).设直线y ＝x 与y ＝－x ＋2的交点为C ，则C (1，1)，且A ，B 关于点C 对称，∴e x 1＝x 2，x 1＋x 2＝2.∵f (0)＝－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －32>0，g (1)＝－1<0，g (2)＝ln 2>0， ∴0<x 1<12<1<x 2<2，∴x 1x 2<12，故A 错误； ∵x 1ln x 2＋x 2ln x 1<0等价于ln x 1x 1＋ln x 2x 2<0，易知h (x )＝ln x x 在(0，e)上单调递增， ∴h (x 1)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2ln 2，h (x 2)<h (2)＝12ln 2， ∴h (x 1)＋h (x 2)<－32ln 2<0，即ln x 1x 1＋ln x 2x 2<0，故B 正确； ∵x 1＋x 2＝2且x 1≠x 2，∴e x 1＋e x 2>2e x 1＋x 2＝2e ，故C 错误；∵e x 1＝x 2，∴x 1x 2＝x 1e x 1.易知φ(x )＝x e x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增， ∴φ(x 1)<φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即x 1e x 1<e 2，即x 1x 2<e 2，故D 正确. 故选BD.14.记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数.若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”.(1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”；(2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值.(1)证明 函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2.由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎨⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解， 因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”.(2)解 函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ，则f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝1x .设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”， 由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎨⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1， (*) 得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e －122＝e 2. 当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)，即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”.因此，a 的值为e 2.。

基本初等函数练习题1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(2)的值。

解析：代入x=2，得出：f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1= 2(4) - 6 + 1= 8 - 6 + 1= 3所以，f(2)的值为3。

2. 求函数g(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x的导函数。

解析：对于函数g(x)，使用幂函数的求导法则，得到：g'(x) = 3(3x^2) + 2(2x) - 5= 9x^2 + 4x - 5所以，函数g(x)的导函数为g'(x) = 9x^2 + 4x - 5。

3. 函数h(x) = log₃(x - 2)，求h(10)的值。

解析：代入x=10，得出：h(10) = log₃(10 - 2)= log₃(8)因为log₃(8)表示3的几次方等于8，即3^? = 8。

而3^2 = 9，3^3 = 27，所以8位于3^2和3^3之间。

因此，log₃(8) = 2.xxx，其中xxx是一个小于1的数。

所以，h(10)的值约等于2.xxx。

4. 求函数j(x) = e^x 的反函数。

解析：对于函数j(x) = e^x，令y = e^x，则可以表示为x = ln(y)。

为了求得函数j(x)的反函数，交换x和y的位置并解出y即可。

解得，y = ln(x)。

所以，函数j(x)的反函数为j^(-1)(x) = ln(x)。

5. 函数k(x) = |x - 3|，求k(-2)的值。

解析：代入x=-2，得出：k(-2) = |-2 - 3|= |-5|= 5所以，k(-2)的值为5。

6. 求函数m(x) = 2x + 1 的零点。

解析：对于函数m(x)，令y = 2x + 1，令y = 0，求得x的值。

解得，2x + 1 = 0=> 2x = -1=> x = -1/2所以，函数m(x)的零点为x = -1/2。

通过以上的练习题，不仅可以使我们更加熟悉和掌握基本初等函数的运算和性质，也对函数的图像、导函数、反函数以及零点有了更深入的理解。

必修1根本初等函数复习题求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：⑴偶次方根的被开方数不小于零；(2)对数式的真数必须大于零；⑶分式的分母不等于零；［4〕指数、对数式的底必须大于零且不等于1.4、函数单调区间与单调性的判定方法（八）定义法：①任取xι,X 2∈D,且XKX2；Q)作差千(xι)—fa)；(3)变形〔通常是因式分解和配方］；④定号［即判断差千(x∣)-f(x2)的正负〕；@下结论［指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性］.(B)图象法(从图象上看升降)⑹复合函数的单调性：复合函数Hg"］的单调性与构成它的函数u=g(x),y 二人。

的单调性密切相关，其规律："同增异减〃 1、以下函数中，在区间(0,÷oo)不是增函数的是()1、暴的运算性质 〔1〕a r ∙a s = a r+s (r,5 ∈ R)； 〔3〕a r ∙b r = (ab)r (r ∈ R) 2对数的运算性质 如果 α>0,且 awl, M >0, ① Iog“(M ・N)= Iogq M +log” N ； ③ IOg“M" =〃Iog"M,(Y ∈R). 换底公式：log” b = l°g 。

■ 〔 a IogC α(1)log b n= —log rt ⅛ ; [2 〃7 〔2〕S)' =α" ; (r,StR)(4)a" =yja n, (a>0,m,n E N ∖n> 1) a' = N Q IOga N = x N>0,那么：② log 噂=log” M Tog” N ；④ IOgQl= O, bg" = lO,且 awl ； c>0,且 CW1； b>0〕 log” b =; ---- ∙log/y = a x a>1 0<a<1 y = Iog tj X a>1 II0<a<1定义域R 值域y>0 在R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定点［0, 1〕 3、定义域： 定义域R 值域y>0 在R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点〔〕 定义域x>0 值域为R在R 上递增 非奇非偶函数 函数图象都过定点定义域x>0值域为R 在R 上递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点［1, 能使函数式有意义的实数X 的集合称为函数的定义域。

【指数与指数函数】一、指数（一）整数指数幂 1．整数指数幂概念：n aa =个)(*∈N n ；n a -= ),0(*∈≠N n a ．规定：0a= )0(≠a ．2．整数指数幂的运算性质：（1）mn aa ⋅= ，（2）mn a a ÷= ),(Z n m ∈；（3）()nma = ),(Z n m ∈；（4）()nab = )(Z n ∈．（二）根式1．根式的概念（a 的n 次方根的概念）：一般地，如果一个数的n 次方等于a()1,n n N *>∈，那么这个数叫做a 的n 次方根．即： 若 ，则x 叫做a 的n 次方根．()1,n n N *>∈例如：27的3次方根 ，27-的3次方根 ，32的5次方根 ，32-的5次方根 ．说明：（1）若n 是奇数，则a 的n0a >，若0a <；（2）若n 是偶数，且0a>，则a 的正的n，a 的负的n次方根，记作：-例如：8的平方根 ；16的4次方根 ． （3）若n 是偶数，且0a <则na 没意义，即负数没有偶次方根；（4）()001,n n n N *=>∈，0∴=；（5n 叫 ，a 叫 ．2．a 的n 次方根的性质（1）一般地，若n= ；若n= ．（2）n= （注意a 必须使n a 有意义）．（二）分数指数幂 1．分数指数幂：规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是mna= ()0,,1a m n N n *>∈>、；（2）正数的负分数指数幂的意义是m na-= ()0,,1a m n N n *>∈>、；（3）0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用()()10,,r s a a a r s Q =>∈；()()()20,,sr a a r s Q =>∈；()()()30,0,rab a b r Q =>>∈．说明：当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；()0a ==>()0a ==>【练习巩固】1．求下列各式的值： （1 （2 （3 （4)a b >2．已知0a b <<，1,n n N *>∈，3 45． 用分数指数幂的形式表示下列各式()0a >：（1）2a ；（2）3a ；（3．6．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭；7．计算下列各式：（1）÷；（2()20a >．二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，函数定义域是 ． 2．指数函数x y a =在底数1a >及01a <<的图象特征及函数性质：图象特征函数性质图象的伸展： 图象的对称性： 图象的位置： 图象过定点：自左向右看，图象逐渐 自左向右看，图象逐渐在第一象限内的图象纵坐标都在第一象限内的图象纵坐标都在第二象限内的图象纵坐标都在第二象限内的图象纵坐标都图象上升趋势是越来越 图象下降趋势是越来越函数值开始增长 ，到了某一值后增长速度函数值开始减小 ，到了某一值后减小速度总结：指数函数y a =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图象和性质：1a > 01a <<图象性质（1）定义域： ． （2）值 域： ． （3）过点 ，即0x =时，=y ．（4）在R 上是 函数， 当0>x 时，；当0<x 时， ． （4）在R 上是 函数， 当0>x 时，；当0<x 时， ． 当1>a时，a x a y =的图象向上越接近y 轴，向下越接近x 轴． 当10<<a 时，a x a y =的图象向上越接近y 轴，向下越接近x 轴．【练习巩固】一、指数函数的定义问题例：若21(5)2x f x -=-，则(125)f =______________．练1．已知指数函数图像经过点(1,3)P -，则(3)f =______________．练2．设函数xax f -=)(（0>a且1≠a ），4)2(=f ，则（ ） A ．)2()1(->-f f B ．)2()1(f f > C ．)2()2(-<f f D ．)2()3(->-f f 练3．已知)(x f 是指数函数，且255)23(=-f ，则(3)f = ． 二、指数函数的图像问题 例1：若函数(1)(0,1)x y a b a a =-+>≠的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）A ．10a b >>且B ．010a b <<<且C ．010a b <<>且D ．11a b >>且 例2：画函数(1)xy aa =>的图像．练1．方程22=+x x的实根的个数为_______．练2．直线a y 3=与函数)10(1≠>-=a a a y x 且的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________ ．练3．若01<<-x ，则下列不等式中成立的是（ ）1.552xxx A -⎛⎫<< ⎪⎝⎭1.552x x x B -⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 1.552xx xC -⎛⎫<< ⎪⎝⎭1.552xx xD -⎛⎫<< ⎪⎝⎭练4．函数)10(33≠>+=-a a a y x 且的图象恒过定点____________．练5．函数21(01)x y a a a -=+>≠且的图像必经过点____________．练6．设,,,ab c d 都是不等于1的正数，,,,x x x xy a y b y c y d====在同一坐标系中的图像如图所示，则d c b a ,,,的大小顺序是（ ）A ．d c b a<<< B ．c d b a <<<C ．c da b <<< D ．d c a b <<<三、求解有关指数不等式、方程 例：已知2321(25)(25)xx a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．练1．设01a <<，解关于x 的不等式22232223xx xx aa -++->． 练2．解方程803322=--+x x ．练3．若方程0)21()41(=++a x x 有正数解，则实数a 的取值范围是 ．练4．设01a <<，使不等式222135x x x x a a-+-+>成立的x 的集合是 ．四、定义域与值域问题例：求下列函数的定义域、值域．（1）1218x y -=； （2）y = （3）3xy -=； （4）1(0,1)1x xa y a a a -=>≠+．练1．当[]1,1-∈x 时，23)(-=x x f 的值域为________．练2．已知函数)(x f y =的定义域为()2,1，则函数)2(x f y =的定义域为________．练3．设集合2{|3,},{|1,}x Sy y x R T y y x x R ==∈==-∈，则ST 是（ ）A 、∅B 、TC 、SD 、有限集练4．求下列函数的定义域与值域（1） 132x y -=；（2）1421x x y +=++；（3）222)31(-=x y ．练5．已知3412-⎪⎭⎫ ⎝⎛≤x x，求函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的值域．五、最值问题 例：函数221(01)xx y aa a a =+->≠且在区间[]11-，上有最大值14，则a 的值是_______． 练1．已知[]3,2x ∈-，求11()142x xf x =-+的最小值与最大值．练2．已知21≤≤-x ，求函数x x x f 9323)(1-⋅+=+的最大值和最小值．练3．设20≤≤x ，求函数523421+⋅-=-x x y 的最大值和最小值．六、比较大小问题例：设1313131<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab ，则（ ）A ．a b ab a a<< B ．b a a a b a << C ．a a b b a a << D ．a a b a b a <<练1．若aa 23122121-+⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()∞+,1 B ．⎪⎭⎫⎝⎛∞+,21 C ．()1,∞- D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,练2．下列三个实数的大小关系正确的是（ ）A ．1201112201112<<⎪⎭⎫ ⎝⎛ B ．2011121201112<<⎪⎭⎫⎝⎛ C ．2011122011112<⎪⎭⎫ ⎝⎛< D ．2201112011121⎪⎭⎫⎝⎛<<练3．比较下列各组数的大小：（1）若1>>>c b a ，比较ba ⎪⎭⎫⎝⎛1与ca ⎪⎭⎫ ⎝⎛1； （2）若0>>b a ，0>c，比较c a 与c b ；（3）若0>>b a ，0<c ，比较c a 与c b ； （4）若()∞+∈,1,b a ，0>>y x ，且y x b a =，比较a 与b ；（5）若()1,0,∈b a ，0<<y x ，且y x b a =，比较a 与b ．七、单调性问题例：讨论函数xx x f 2231)(-⎪⎭⎫⎝⎛=的单调性．练1．函数xx y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=的单调增区间为___________．练2．函数x x y -=22的单调递增区间为．练3．函数1)1(222)(+--=x a xx f 在区间),5[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)∞+,6 B ．()∞+,6 C ．(]6,∞- D ．()6,∞-练4．函数xy -⎪⎭⎫⎝⎛=121的单调增区间为（ ）A ．()∞+∞-, B ．()∞+,0 C ．()∞+,1 D ．()1,0练5．函数121)(+=xx f 在()∞+∞-,上（ ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值练6．求函数2222++-=x xy 的定义域，值域和单调区间． 练7．求函数23231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的单调区间．八、函数的奇偶性问题例：当1a >时，证明函数11x x a y a +=- 是奇函数．练1．如果函数()f x 在区间]24,2[a a --上是偶函数，则=a _________．练2．若函数1()41x f x a =+-是奇函数，则=a _________．练3．若函数2()()x u f x e --=的最大值为m ，且)(x f 是偶函数，则=+u m ________．练4．设a 是实数，2()()21xf x a x R =-∈+，（1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；（2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数及此时()f x 的值域．练5．已知x x f x)21121()(+-=．（1）求函数的定义域；（2）判断函数)(x f 的奇偶性；（3）求证：0)(>x f ．【对数与对数函数】一、对数1．对数的概念：一般地，如果xaN =(0,1)a a >≠，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：log a x N=（其中：a 是 ，N 是 ，log aN 是 ）两个重要对数： （1）常用对数：以10为底的对数lg N ；常用对数：10lglog N N =（2）自然对数：以无理数 2.71828e =为底的对数的对数ln N ．自然对数：ln log e NN=（其中 2.71828e =）；对数式与指数式的互化： log x a a NN x =−−−→=转化2．对数的性质：（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：log 1a =_______； （3）底数的对数是1：log a a =_______；（4）对数恒等式：log a Na =_______； （5）log n a a =_______．3．对数的运算法则：()log a MN =()M N R +∈，； logaM N =()M N R +∈，；()log n a N =()N R +∈；loga=()N R +∈4．对数换底公式：log b N =______________；5．由换底公式推出一些常用的结论：（1）log log a b b a =·，log ab =； （2）lognm ab =；（3）log nn ab =； （4）lognm aa =．二、对数函数1．对数函数的概念：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞2．对数函数log a y x =在底数1a >及01a <<的图象特征及函数性质：总结：指数函数log a y x =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图象和性质：1a >01a <<图象性质（1）定义域： ． （2）值 域： ．（3）过点 ，即1x =时，=y ．（4）在R 上是 函数，当1x >时， ；当01x <<时， ．（4）在R 上是 函数，当1x >时， ；当01x <<时， ．注：对数函数a 与1log a（且）的图像关于轴对称．例：如图中曲线分别表示log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ）A ．01a b d c <<<<<B ．01b a c d <<<<<C ．01dc a b <<<<< D ．01cd a b <<<<<三、反函数 1．定义：设式子()y f x =表示y 是x 的函数，定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得到式子()x y ϕ=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=就表示x 是y 的函数（y 是自变量），这样的函数，叫做()y f x =的反函数 ，记作1()x f y -=，即()1()x y f y ϕ-==，一般习惯上对调1()x f y -=中的字母,x y ，把它改写成1()y f x -=．（1）反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；即函数()y f x =要有反函数由它必须为单调函数．（2）原函数()y f x =的定义域、值域分别是反函数1()y f x -=的 、 ．（3）()y f x =与1()y f x -=的图象关于 对称．（4）若(),P a b 在原函数()y f x =的图像上，则'P 在其反函数1()y f x -=的图像上．即：1()()f a b f-=⇔=2．求反函数的一般步骤（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域； （2）由()y f x =的解析式求出()x y ϕ=；（3）将,x y 对换，得反函数的一般表达式1()y f x -=，标上反函数的定义域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成． 4．掌握下列一些结论（1）单调函数⇒一一对应⇔有反函数（2）周期函数不存在反函数．（3）若一个奇函数有反函数，则反函数也必为奇函数 （4）证明()y f x =的图象关于直线y x =对称，只需证()y f x =的反函数和()y f x =相同．【练习巩固】 一、对数运算 1．已知14log 7a =，14log 5b =，求35log 28(用,a b 表示)．2．6log =3．计算：（1； （2）222lg 5lg 8lg 5120(lg 2)3g +++；（3）21lg 5lg 8000(lg lg lg 0.066⋅+++； （4）483912(log 3log 3)(log 2log 2)log ++-二、大小比较1．比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论；2．比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较，对数函数在同一坐标系中的图像与底数的关系有如下规律：即无论在x 轴上面还是下面，底数按顺时针由小变大．3．比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较． 1．三个数0.76，60.7，0.7log 6的大小顺序是（ ）2．比较下列三数的大小：（1）0.3log 0.7，0.4log 0.3；（2）0.6log 0.8， 3.4log 0.7，()1213-；（3）0.3log 0.1，0.2log 0.1．三、对数函数的定义域、值域． 1．函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是 ．2．函数()f x 的定义域是[]1,2-，则函数2(log )f x 的定义域是 ．3．函数23()log ()f x x ax a =+-的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 ．4．求下列函数的定义域、值域：(1)y =； (2)22log (25)y x x =++； (3)213log (45)y x x =-++； (4)y =四、对数函数的性质 1．12()log f x x =，当2,x a a ⎡⎤∈⎣⎦时，函数的最大值比最小值大3，则实数a = ．2．函数()2lg11y x =-+的图像关于（ ）A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y x =对称3．函数()114422log log5y xx =-+在24x ≤≤时的值域为 ．4．设()f x 为奇函数，且当0x >时，12()log f x x =．(1)求当0x <时，()f x 的解析式；(2)解不等式()2f x ≤．5．根据函数单调性的定义，证明函数2()log 1x f x x=-在()0,1上是增函数．6．函数22log (2)1y x =++恒过定点_________________．五、反函数1．求下列函数的反函数：（1）351()212x y x x -=≠-+；（2）223y x x =-+，(,0]x ∈-∞；（3）21(0)1y x x =≤+； （4）(10),(01)x y x -≤≤=-<≤⎪⎩．2．求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．（1）1y =；（2）232(0)y x x =--≤．3．已知函数10110xxy =+，求其的反函数，以及反函数的定义域和值域．4．已知函数311()(,)3x f x x a x x a +=≠-≠+，（1）求它的反函数；（2）求使1()()f x f x -=的实数a 的值．5．设点()1,2M 既在函数2()(0)f x ax b x =+≥的图像上，又在它的反函数图像上，（1）求1()f x -；（2）证明：1()fx -在其定义域内是减函数．【幂函数】1．幂函数的定义： ． 2．幂函数的图象3．幂函数的性质（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)； 是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．（2）过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．（3）单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．（4）奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qp y x =是奇函数；若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x =是偶函数；若p 为偶数q 为奇数时，则q py x=是非奇非偶函数．（5）图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方； 当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．【练习巩固】 一、幂函数定义： 1．在函数22031,3,,y y x y x x y x x ===-=中，幂函数的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A ．3y x =- B ．3y x -= C ．32y x = D ．31y x =-二、幂函数的图像性质：1．幂函数的图象都经过点（ ） A ．()1,1 B ．()0,1 C ．()0,0 D ．()1,02．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则（ ） A ．0a > B ．0a < C ．0a = D ．不能确定3．幂函数52y x-=的定义域为（ ） A ．()0,+∞ B ．[)0,+∞ C ．R D ．()(),00,-∞+∞4．下列函数中既是偶函数又是(),0-∞上是增函数的是（ ） A ．43y x= B ．32y x= C ．2y x-= D ．14y x-=5．函数2y x -=在区间1[,2]2上的最大值是（ ） A ．14 B ．1- C ．4 D ．4-6．函数43y x=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列命题中正确的是（ ）A ．当0α=时函数y x α=的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过()0,0和()1,1点C ．若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限8．若11221.1,0.9ab -==，那么下列不等式成立的是（ ）A ．1a b <<B ．1a b <<C ．1b a <<D ．1b a <<9．若幂函数1()m f x x -=在()0,+∞上是减函数，则（ ） A ．1m > B ．1m < C ．1m = D ．不能确定10．若点(),A a b 在幂函数()n y x n Q =∈的图象上，那么下列结论中不能成立的是（ ） A ．00a b >⎧⎨>⎩ B ．00a b >⎧⎨<⎩ Ｃ．00a b <⎧⎨<⎩ D ．0a b <⎧⎨>⎩11．使23x x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．1x <且0x ≠ B ．01x << C ．1x > D ．1x <12．当()1,x ∈+∞时，函数a y x =的图象恒在直线y x =的下方，则a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．01a <<C ．0a >D ．0a <13．若四个幂函数a y x =，b y x =，c y x =，d y x =在同一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A ．d c b a >>>B ．a b c d >>>C ．d c a b >>>D ．a b d c >>>14．函数()1,2ny xn N n =∈>的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13题15．函数3y x=和13y x=图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称16．函数||,y x x x R =∈，满足（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数 17．函数2224y x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．(],6-∞- B ．[)6,-+∞ C ．(],1-∞- D ．[)1,-+∞18．如图1—9所示，幂函数y x α=在第一象限的图象，比较12340,,,,,1αααα的大小（ ）A ．134201αααα<<<<<B ．123401αααα<<<<<C ．243101αααα<<<<<D ．324101αααα<<<<<19．对于幂函数45()f x x=，若120x x <<，则12()2x x f +，12()()2f x f x + 大小关系是（ ） A ．1212()()()22x x f x f x f ++> B ．1212()()()22x x f x f x f ++<C ．1212()()()22x x f x f x f ++= D ．无法确定 20．函数32y x-=的定义域为__________________．21．幂函数()f x 的图象过点()43,27，则()f x 的解析式是____________，1()fx -的解析式是______________．22．249aa y x --=是偶函数，且在()0,+∞是减函数，则整数a 的值是 ．23．若1122(1)(32)a a --+<-，则a 的取值范围是________________．24．设()1()2m f x m x +=-，如果()f x 是正比例函数，则m =__________，如果()f x 是反比例函数，则m =_________，如果()f x 是幂函数，则m =_____________．25．若幂函数2221(1)mm y m m x --=--在()0,+∞上是增函数，m =___________．26．函数2()3x f x x +=+的对称中心是______________，在区间上是_______函数（填“增”或“减”）．27．比较下列各组中两个值大小．（1）6110.6与6110.7；（2）53(0.88)-与53(0.89)-1α3α 4α2α28．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系．（1）32y x=；（2）13y x=；（3）23y x=；（4）2y x-=；（5）3y x-=；（6）12y x-=．（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）29．已知函数221()(2)mm f x m m x +-=+，求m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数．30．已知幂函数13222()p p f x x-++=（p Z∈）在()0,+∞上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数()f x ．31．已知幂函数223()()mm f x x m Z --=∈的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，试确()f x 的解析式．32．求证：函数3y x =在R 上为奇函数且为增函数．33．利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）．（1）222221x x y x x ++=++；（2）53(2)1y x -=--．【综合练习一】 1．已知集合{}4Mx N x N =∈-∈，则集合M 中元素个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．如图所示，I 是全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P SB ．()M P SC ．()()I MP C S D ．()()I M P C S3．函数2y x bx c =++((,1))x ∈-∞是单调函数时，b 的取值范围（ ）A ．2b ≥-B ．2b ≤-C ．2b >-D ． 2b <-4．如果偶函数在[,]ab 具有最大值，那么该函数在[,]b a --有（ ）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ． 没有最小值 5．函数()f x 在区间[2,3]-是增函数，则(5)y f x =+的递增区间是（ ）A ．[3,8]B ． [7,2]--C ．[0,5]D ．[2,3]-6．函数(21)y k x b =++在实数集上是增函数，则（ ）A ．12k >-B ．12k <- C ．0b > D ．0b > 7．定义在R 上的偶函数()f x ，满足(1)()f x f x +=-，且在区间[2,0]-上为递增，则（ ）A．(3)(2)f f f << B．(2)(3)f f f << C．(3)(2)f f f << D．(2)(3)f f f <<8．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ）A ．60.70.70.7log 66<< B ．60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D ．60.70.7log 60.76<<9．函数y = ）A ．()3,+∞ B ．[)3,+∞ C ．()4,+∞ D ．[)4,+∞10．与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（ ） A．ln(1y =+ B．ln(1y = C．ln(1y =-+D．ln(1y =--11．已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞ B ．(),3-∞ C ．3,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3 12．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+≠>的图象过点()2,1，其反函数的图像过点()2,8，则a b +=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 13．函数1218x y -=的定义域是_________________；值域是____________________．14．已知全集{}6|5M a N a Z a=∈∈-且，则M =___________________．15．函数()f x 在R上为奇函数，且()1(0)f x x =>，则当0x <，()f x = ．16．函数()lg(32)2f x x =-+恒过定点 ．17．若log 2,log 3a a m n ==，则32m n a-= ．18．已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则 1()9f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为 ． 19．若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是_____________．20．函数2()23f x x mx =-+，当[)2,x ∈-+∞时是增函数，当(],2x ∈-∞-时是减函数，则(1)f =_________．21．（1）求函数21()log x f x -=（2）求函数[)241(),0,53x xy x -=∈的值域． 22．已知[]()9234,1,2x x f x x =-⨯+∈-，（1）设[]3,1,2x t x =∈-，求t 的最大值与最小值；（2）求()f x 的最大值与最小值；23．已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递减，求满足22(23)(45)f x x f x x ++>---的x 的集合．【综合练习二】 1．设集合{}04x x P≤≤=，{}02y y Q ≤≤=，由以下列对应f中不能．．构成A 到B 的映射的是（ ） A ．12y x =B ．13y x =C ．23y x =D ．18y x = 2．下列四个函数:（1）1y x =+；（2）1y x =-；（3）21y x =-；（4）1y x=，其中定义域与值域相同的是（ ） A ．（1）（2） B ．（1）（2）（3） C ．（2）（3） D ．（2）（3）（4） 3．已知函数7()2cf x ax bx x=++-，若(2006)10f =，则(2006)f -的值为（ ） A ．10 B ．— 10 C ．— 14 D ．无法确定 4．设函数1(0)()1(0)x f x x ->=<⎧⎨⎩，则()()()()2a b a b f a b a b ++-⋅-≠的值为（ ）A ．aB ．bC ．a 、b 中较小的数D ．a 、b 中较大的数 5．已知矩形的周长为1，它的面积S 与矩形的长x 之间的函数关系中，定义域为（ ）A ．{}104x x <<B ．{}102x x <<C ．{}1142xx << D ．{}114xx <<6．已知函数y=x 2-2x+3在[0，a](a>0)上最大值是3，最小值是2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0<a<1 B ．0<a ≤2 C ．≤a ≤2 D ． 0≤a ≤27．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤2 B ．a ≤-2或a ≥2 C ．a ≥-2 D ．-2≤a ≤28．已知奇函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，且对任意正实数1212,()x x x x ≠，恒有1212()()0f x f x x x ->-，则一定有（ ）A ．(3)(5)f f >-B ．(3)(5)f f -<-C ．(5)(3)f f ->D ．(3)(5)f f ->- 9．已知函数1()1x f x x+=-的定义域为A ，函数y=f(f(x))的定义域为B ，则（ ）A ．AB B ⋃= B ． A B A ⋃=C ．A B ⋂=ΦD ．A B A ⋂= 10．已知函数y=f(x)在R 上为奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2-2x ，则f(x)在0x ≤时的解析式是（ ） A ． f(x)=x 2-2x B ． f(x)=x 2+2x C ． f(x)= -x 2+2x D ． f(x)= -x 2-2x11．已知二次函数y=f(x)的图象对称轴是0x x =，它在[a ，b]上的值域是 [f(b)，f(a)]，则 （ ）A ． 0x b ≥ B ．0x a ≤ C ．0[,]x a b ∈ D ．0[,]x a b ∉12．如果奇函数y=f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，则在区间[-7，-3]上（ ）A ．增函数且有最小值-5B ． 增函数且有最大值-5C ．减函数且有最小值-5D ．减函数且有最大值-5 13．已知函数22()1xf x x=+，则11(1)(2)(3)()()23f f f f f ++++= ．14． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ． 15．定义域为2[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数，则a= ． 16．设32()3,()2f x x x g x x =-=-，则(())g f x = ．17．作出函数223y x x =-++的图象，并利用图象回答下列问题： (1)函数在R 上的单调区间； (2)函数在[0，4]上的值域．18．定义在R 上的函数f (x )满足：如果对任意x 1，x 2∈R ，都有f (122x x +)≤12［f (x 1)+f (x 2)］，则称函数f (x )是R 上的凹函数．已知函数f (x )＝ax 2+x (a ∈R 且a ≠0)，求证：当a ＞0时，函数f (x )是凹函数；19．定义在(－1，1)上的函数f (x )满足：对任意x 、y ∈(－1，1)都有f (x )+f (y )=f (1x y xy++)．(1)求证：函数f (x )是奇函数；(2)如果当x ∈(－1，0)时，有f (x )＞0，求证：f (x )在(－1，1)上是单调递减函数；20．记函数f (x )的定义域为D ，若存在x 0∈D ，使f (x 0)=x 0成立，则称以(x 0，y 0)为坐标的点是函数f (x )的图象上的“稳定点”． (1)若函数f (x )=31x x a-+的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a 的取值范围；(2)已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )存在有限个“稳定点”，求证：f (x )必有奇数个“稳定点”．。

高中数学基本初等函数课后练习题（含答案）人教必修一第二章基本初等函数课后练习题（含答案）2．1 指数函数2．1.1 根式与分数指数幂1．27的平方根与立方根分别是()A．3 3，3 B．3 3，3C．3 3，3 D．3 3，32. 的运算结果是()A．2 B．－2C．2 D．不确定3．若a2－2a＋1＝a－1，则实数a的取值范围是() A．[1，＋) B．(－，1)C．(1，＋) D．(－，1]4．下列式子中，正确的是()A. ＝2B. ＝－4C. ＝－3D．＝25．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是()A．－x＝ (x0)B. ＝ (y0)C．＝ (x0)D．＝－ (x0)6．设a，bR，下列各式总能成立的是()A．( － )3＝a－bB. ＝a2＋b2C. －＝a－bD. ＝a＋b7．计算：＋ (a0，n1，nN*)．8．化简：6＋4 2＋6－4 2＝__________.9．化简：＋＋＝()A．1 B．－1 C．3 D．－310．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0，求a－ba＋b的值．2.1.2 指数幂的运算1．化简的结果是()A.35B.53C．3 D．52．计算[(－2)2] 的值为()A.2 B．－2C.22 D．－223．若(1－2x) 有意义，则x的取值范围是()A．xR B．xR，且x12C．x D．x124．设a0，计算( )2( )2的结果是()A．a8 B．a4C．a2 D．a5．的值为()A.103 B．3C．－13 D．66．计算：(－1.8)0＋(1.5)－2 ＋＝________.7．化简： .8．化简：ab3 ba3 a2b＝__________.9．若x0，则(2x ＋3 )(2x －3 )－4x (x－x )＝__________. 10．已知f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x(e＝2.718…)．(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；(2)设f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求gx＋ygx－y的值．2.1.3 指数函数及其图象1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是()A．y＝(－4)x B．y＝x(1)C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a0，且a1)2．y＝2x＋2－x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是偶函数又是奇函数D．既不是奇函数也不是偶函数3．函数f(x)＝1－2x的定义域是()A．(－，0] B．[0，＋)C．(－，0) D．(－，＋)4．已知0＜a＜1，b＜－1，则函数f(x)＝ax＋b的图象不经过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．如图K21所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分所表示的集合．若x，yR，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x(x0)}，则A#B为()图K21A．{x|02}B．{x|12}C．{x|01或x2}D．{x|01或x2}6．函数y＝a|x|(a1)的图象是()A B C D7．求函数y＝16－4x的值域．8．已知f(x)是偶函数，且当x0时，f(x)＝10x，则当x0时，f(x)＝()A．10x B．10－xC．－10x D．－10－x9．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1x2)，有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；③fx1－fx2x1－x20；④fx1－1x10)；⑤f(－x1)＝1fx1.当f(x)＝12x时，上述结论中，正确结论的序号是____________．10．(1)当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，求实数a的取值范围；(2)对于任意实数a，函数y＝ax－3＋3的图象恒过哪一点？2.1.4 指数函数的性质及其应用1.13 ，34，13－2的大小关系是()A.13 13－2B.13 －132C.13－234D.13－2132．若122a＋1123－2a，则实数a的取值范围为() A．(1，＋) B.12，＋C．(－，1) D.－，123．下列选项中，函数y＝|2x－2|的图象是()4．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则函数y＝3ax－1在[0,1]上的最大值为()A．6 B．1 C．3 D.325．(2019年四川泸州二模)已知在同一直角坐标系中，指数函数y＝ax和y＝bx的图象如图K22，则下列关系中正确的是()图K22A．a＜b＜1 B．b＜a＜1C．a＞b＞1 D．b＞a＞16．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋)上单调递增的函数是()A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|7．已知函数f(x)＝12xx4，fx＋1 x＜4，求f(3)的值．8．设函数f(x)＝2－x， x－，1，x2，x[1，＋.若f(x)4，则x的取值范围是________________．9．函数f(x)＝的值域为__________．10．已知f(x)＝10x－10－x10x＋10－x.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)证明f(x)是定义域内的增函数；(3)求f(x)的值域．2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算1．下列各组指数式与对数式互化，不正确的是()A．23＝8与log28＝3B．＝13与log2713＝－13C．(－2)5＝－32与log－2(－32)＝5D．100＝1与lg1＝02．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(a)＝1，则a＝() A．0 B．1C．2 D．33．以下四个命题：①若logx3＝3，则x＝9；②若log4x＝12，则x＝2；③若＝0，则x＝3；④若＝－3，则x＝125.其中是真命题的个数是()A．1个 B．2个C．3个 D．4个4．方程＝14的解是()A．x＝19 B．x＝33C．x＝3 D．x＝95．若f(ex)＝x，则f(e)＝()A．1 B．eeC．2e D．06．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若PQ＝{0}，则PQ ＝()A．{3,0} B．{3,0,1}C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}7．求下列各式中x的取值范围：(1)log(x－1)(x＋2)；(2)log(x＋3)(x＋3)．8．设f(x)＝lgx，x0，10x，x0，则f[f(－2)]＝__________. 9．已知＝49(a0) ，则＝__________.10．(1)若f(log2x)＝x，求f12的值；(2)若log2[log3(log4x)]＝0，log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值．2.2.2 对数的性质及其应用1．计算log23log32的结果为()A．1 B．－1C．2 D．－22.(2019年陕西)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logablogcb＝logcaB．logablogca＝logcbC．logabc＝logablogacD．loga(b＋c)＝logab＋logac3．(2019年四川泸州一模)2lg2－lg125的值为()A．1 B．2C．3 D．44．lg12.5－lg58＋lg0.5＝()A．－1 B．1C．2 D．－25．若log513log36log6x＝2，则x＝()A．9 B.19C．25 D.1256．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝()A.10 B．10C．20 D．1007．计算：lg2lg52＋lg0.2lg40.8．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示log1245＝______________.9．已知log83＝p，log35＝q，以含p，q的式子表示lg2. 10．已知lga和lgb是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，而关于x的方程x2－(lga)x－(1＋lga)＝0有两个相等的实根．求实数a，b和m的值．2.2.3 对数函数及其性质(1)1．若log2a＜0，12b＞1，则()A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0C．0＜a＜1, b＞0 D．0＜a＜1, b＜02．(2019年广东揭阳一模)已知集合A＝{x|y＝lg(x＋3)}，B＝{x|x2}，则下列结论正确的是()A．－3A B．3BC．AB＝B D．AB＝B3．函数y＝log2x与y＝log x的图象关于()A．x轴对称 B．y轴对称B．原点对称 D．直线y＝x对称4．函数y＝1log0.54x－3的定义域为()A.34，1B.34，＋C．(1，＋)D.34，1(1，＋)5．若函数f(x)＝loga(x＋1)(a0，a1)的定义域和值域都是[0,1]，则a＝()A.13B.2C.22 D．26．已知a0，且a1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是图中的()7．若函数y＝loga(x＋b)(a0，a1)的图象过点(－1,0)和(0,1)，求a，b的值．8．已知A＝{x|2}，定义在A上的函数y＝logax(a＞0，且a1)的最大值比最小值大1，则底数a的值为()A.2B.2C．－2 D.2或29．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()A．ab B．baC．ac D．bc10．已知函数f(x)＝lnkx－1x－1(k0)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在区间[10，＋)上是增函数，求实数k的取值范围．2.2.4 对数函数及其性质(2)1．已知函数y＝ax与y＝logax(a＞0，且a1)，下列说法不正确的是()A．两者的图象都关于直线y＝x对称B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C．两函数在各自的定义域内的增减性相同D．y＝ax的图象经过平移可得到y＝logax的图象2．若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点()A．(1,1) B．(1,5)C．(5,1) D．(5,5)3．点(4,16)在函数y＝logax的反函数的图象上，则a＝() A．2 B．4C．8 D．164．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则() A．ac B．abC．bc D．cb5．若0y1，则()A．3y B．logx3logy3C．log4xlog4y D.14x14y6．设loga23＜1，则实数a的取值范围是()A．0＜a＜23 B.23＜a＜1C．0＜a＜23或a＞1 D．a＞237．在下面函数中，与函数f(x)＝lg1＋x1－x有相同奇偶性的是()A．y＝x3＋1B．y＝e0－1e0＋1C．y＝|2x＋1|＋|2x－1|D．y＝x＋1x8．函数y＝ln(4＋3x－x2)的单调递增区间是___________．9．对于函数f(x)定义域中的任意x1，x2(x1x2)，有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)② f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；③fx1－fx2x1－x20；④fx1＋x22fx1＋fx22.当f(x)＝lgx时，上述结论中，正确结论的序号是____________．10．设f(x)＝log 1－axx－1为奇函数，a为常数，(1)求a的值；(2)证明f(x)在(1，＋)上单调递增；(3)若对于[3,4]上的每一个x值，不等式f(x)＞12x＋m恒成立，求实数m的取值范围．2.2.5 对数函数及其性质(3)1．设a＝log 2，b＝log 3，c＝120.3，则()A．ac B．abC．ba D．bc2．将函数y＝3x－2的图象向左平移2个单位，再将所得图象关于直线y＝x对称后，所得图象的函数解析式为() A．y＝4＋log3x B．y＝log3(x－4)C．y＝log3x D．y＝2＋log3x3．方程log2x＝x2－2的实根有()A．3个 B．2个C．1个 D．0个4．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a0，a1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b＝()A．3 B．4C．5 D．65．如图K21，给出函数y＝ax，y＝logax，y＝log(a＋1)x，y＝(a－1)x2的图象，则与函数y＝ax，y＝logax，y＝log(a ＋1)x，y＝(a－1)x2依次对应的图象是()图K21A．①②③④ B．①③②④C．②③①④ D．①④③②6．函数y＝e|lnx|－|x－1|的图象大致是()7．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a0，a1)的图象如图K22，则a，b满足的关系是()图K22A．0a－11B．0a－11C．0b－11D．0a－1b－118．下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数y＝log2x的图象重合的函数是()A．y＝2x B．y＝log xC．y＝4x2 D．y＝log21x＋19．若函数f(x)＝loga(x＋x2＋2a2)是奇函数，求a的值．10．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(01)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)求方程f(x)＝0的解；(3)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．2.3 幂函数1．所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是()A．(0,0) B．(0,1)C．(1,1) D．(－1，－1)2．下列说法正确的是()A．y＝x4是幂函数，也是偶函数B．y＝－x3是幂函数，也是减函数C．y＝x是增函数，也是偶函数D．y＝x0不是偶函数3．已知幂函数f(x)的图象经过点2，22，则f(4)的值为() A．16 B.116C.12 D．24．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋)上单调递减的函数为()A．y＝x－2 B．y＝x－1C．y＝x2 D．y＝x5．当x(1，＋)时，下列函数的图象全在直线y＝x下方的偶函数是()A．y＝x B．y＝x－2C．y＝x2 D．y＝x－16．设a＝0.7 ，b＝0.8 ，c＝log30.7，则()A．ca B．cbC．ac D．bc7．若幂函数y＝(m2－3m＋3)x 的图象不经过坐标原点，求实数m的取值范围．8．给出函数的一组解析式如下：①y＝；②y＝；③y＝；④y＝；⑤y＝；⑥y＝；⑦y＝；⑧y＝x3；⑨y＝x－3；⑩y＝ .回答下列问题：(1)图象关于y轴对称的函数有__________；(2)图象关于原点对称的函数有__________．9．请把相应的幂函数图象代号填入表格．①y＝；②y＝x－2；③y＝；④y＝x－1；⑤y＝；⑥y＝；⑦y＝；⑧y＝ .函数代号① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧图象代号10．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，当m为何值时，f(x)是：(1)幂函数；(2)幂函数，且是(0，＋)上的增函数；(3)正比例函数；(4)反比例函数；(5)二次函数．第二章基本初等函数(Ⅰ)2．1 指数函数2．1.1 根式与分数指数幂1．B 2.A 3.A4．B 解析：A错，＝2；C错，＝|－3|＝3；D错，( )5＝－2.5．C 解析：A错，－x＝－x (x0)；B错，＝(－y) (y0)；D错，x ＝ (x0)．6．B7．解：当n为奇数时，原式＝a－b＋a＋b＝2a；当n为偶数时，原式＝b－a－a－b＝－2a.8．4 解析：原式＝22＋222＋22＋22－222＋22＝2＋22＋2－22＝2＋2＋2－2＝4.9．B 解析：∵3.1410，＝－3.143.14－＝－1，＝10－－10＝－1，而＝1.故原式＝－1＋1－1＝－1.10．解：∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，a＋b＝6，ab＝4.∵a＞b＞0，a－ba＋b2＝a＋b2－4aba＋b＋2ab＝2019＝2.a－ba＋b＝2.2．1.2 指数幂的运算1．B2．C 解析：[(－2)2] ＝(2) ＝(2)－1＝22.3．D4．C 解析：原式＝＝a2.5．A 解析：原式＝310 ＝103.6．29 解析：原式＝1＋23232 ＋＝1＋1＋27＝29. 7．解：原式＝＝＝ .8. 解析：原式＝ab3 ba3 a2b＝a b ba3 a2b ＝a b b a a2b＝a b a b ＝a b＝a0b ＝ .9．－23 解析：(2x ＋3 )(2x －3 )－4x (x－x )＝4x －33－4x ＋4＝－23.10．解：(1)[f(x)]2－[g(x)]2＝[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＝2ex(－2e－x)＝－4e0＝－4.(2)f(x)f(y)＝(ex－e－x)(ey－e－y)＝ex＋y＋e－(x＋y)－ex－y－e－(x－y)＝g(x＋y)－g(x－y)＝4，①同法可得g(x)g(y)＝g(x＋y)＋g(x－y)＝8. ②由①②解方程组gx＋y－gx－y＝4，gx＋y＋gx－y＝8.解得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2，gx＋ygx－y＝62＝3.2．1.3 指数函数及其图象1．B 2.B 3.A4．A 解析：g(x)＝ax的图象经过一、二象限，f(x)＝ax＋b是将g(x)＝ax的图象向下平移|b|(b＜－1)个单位而得，因而图象不经过第一象限．5．D 解析：A＝{x|y＝2x－x2}＝{x|2x－x20}＝{x|02}，B ＝{y|y＝3x(x0)}＝{y|y1}，则AB＝{x|x0}，AB＝{x|12}，根据新运算，得A#B＝AB(AB)＝{x|01或x2}．故选D. 6．B 解析：函数关于y轴对称．7．解：∵4x0，016－4x16，016－4x4.8．B 解析：设x0，则－x0，f(－x)＝10－x，∵f(x)为偶函数．f(x)＝f(－x)＝10－x.9．①③④⑤解析：因为f(x)＝12x，f(x1＋x2)＝＝＝f(x1)f(x2)，所以①成立，②不成立；显然函数f(x)＝12x单调递减，即fx1－fx2x1－x20，故③成立；当x10时，f(x1)1，fx1－1x10，当x10时，0f(x1)1，fx1－1x10，故④成立；f(－x1)＝12 ＝＝1fx1，故⑤成立．10．解：(1)∵当x＞0时，f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，a2－1＞1.a2＞2.a＞2或a＜－2.(2)∵函数y＝ax－3的图象恒过定点(3,1)，函数y＝ax－3＋3的图象恒过定点(3,4)．2．1.4 指数函数的性质及其应用1．A 2.B3．B 解析：由y＝|2x－2|＝2x－2， x1，－2x＋2， x1，分两部分：一部分为y1＝2x－2(x1)，只须将y＝2x的图象沿y轴的负半轴平移2个单位即可，另一部分为y2＝－2x＋2(x1)，只须将y＝2x的图象对称于x轴的图象y＝－2x，然后再沿y轴的正半轴平移2个单位，即可得到y＝－2x＋2的图象．故选B.4．C 解析：由于函数y＝ax在[0,1]上是单调的，因此最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝3ax－1在[0,1]上是单调递增函数，最大值当x ＝1时取到，即为3.5．C 解析：很显然a，b均大于1；且y＝bx函数图象比y ＝ax变化趋势小，故b＜a，综上所述，a＞b＞1.6．B7．解：f(3)＝f(3＋1)＝f(4)＝124＝116.8．(－，－2)(2，＋)9．(0,3] 解析：设y＝13u，u＝x2－2x，∵函数y＝13u是单调减函数，函数y＝f(x)与u＝x2－2x增减性相反．∵u有最小值－1，无最大值，y有最大值13－1＝3，无最小值．又由指数函数值域y0知所求函数的值域为(0,3]．10．(1)解：∵f(x)的定义域是R，且f(－x)＝10－x－10x10－x＋10x＝－f(x)，f(x)是奇函数．(2)证法一：f(x)＝10x－10－x10x＋10－x＝102x－1102x＋1＝1－2102x＋1.令x2＞x1，则f(x2)－f(x1)＝－∵y＝10x为增函数，当x2＞x1时，－＞0.又∵ ＋1＞0, ＋1＞0，故当x2＞x1时，f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)．f(x)是增函数．证法二：考虑复合函数的增减性．由f(x)＝10x－10－x10x＋10－x＝1－2102x＋1.∵y＝10x为增函数，y＝102x＋1为增函数，y＝2102x＋1为减函数，y＝－2102x＋1为增函数，y＝1－2102x＋1为增函数．f(x)＝10x－10－x10x＋10－x在定义域内是增函数．(3)解：令y＝f(x)．由y＝102x－1102x＋1，解得102x＝1＋y1－y.∵102x＞0，1＋y1－y＞0，解得－1＜y＜1.即f(x)的值域为(－1,1)．2．2 对数函数2．2.1 对数与对数运算1．C 2.B 3.B 4.A5．A 解析：令ex＝t，则x＝lnt，f(t)＝lnt.f(e)＝lne ＝1.6．B 解析：log2a＝0，a＝1.从而b＝0，PQ＝{3,0,1}．7．解：(1)由题意知x＋20，x－10，x－11，解得x1，且x2. 故x的取值范围为(1,2)(2，＋)．(2)由题意知x＋30，x＋31，解得x－3，且x－2.故x的取值范围为(－3，－2)(－2，＋)．8．－2 解析：∵x＝－20，f(－2)＝10－2＝11000，f(10－2)＝lg10－2＝－2，即f[f(－2)]＝－2.9．3 解析：(a ) ＝232 a＝233log a＝log 233＝3. 10．解：(1)令log2x＝t，则2t＝x.因为f(log2x)＝x，所以f(t)＝2t.所以f12＝2 ＝2.(2)因为log2[log3(log4x)]＝0，所以log3(log4x)＝1.所以log4x＝3，所以x＝43＝64.又因为log3[log4(log2y)]＝0.所以log4(log2y)＝1.所以log2y＝4.所以y＝24＝16.所以x＋y＝64＋16＝80.2．2.2 对数的性质及其应用1．A 2.B 3.B4．B 解析：方法一：原式＝lg10023－lg1024＋lg12＝lg100－lg23－lg10＋lg24＋lg1－lg2＝lg102－3lg2－1＋4lg2－lg2＝2－1＝1.方法二：原式＝lg12.51258＝lg10＝1.5．D6．A 解析：∵1a＋1b＝logm2＋logm5＝logm10＝2，m2＝10.又∵m0，m＝10.7．解：原式＝lg2lg1022＋lg210lg(2210)＝lg2(1－2lg2)＋(lg2－1)(2lg2＋1)＝lg2－2(lg2)2＋2(lg2)2－2lg2＋lg2－1＝－1.8.2b＋1－a2a＋b 解析：log1245＝lg45lg12＝2lg3＋lg52lg2＋lg3＝2b＋1－a2a＋b.9．解：由log83＝p，得lg3lg8＝p，即lg3＝3lg2p.①由log35＝q，得lg5lg3＝q，即1－lg2＝lg3q.②①代入②中，得1－lg2＝3lg2pq.(3pq＋1)lg2＝1.∵3pq＋10，lg2＝13pq＋1.10．解：∵lga和lgb是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，lga＋lgb＝1，①lgalgb＝m. ②∵关于x的方程x2－(lga)x－(1＋lga)＝0有两个相等的实根，＝(lga)2＋4(1＋lga)＝0.lga＝－2，即a＝1100.将lga＝－2代入①，得lgb＝3.b＝1000.再将lga＝－2，lgb＝3代入②，得m＝－6.综上所述，a＝1100，b＝1000，m＝－6.2．2.3 对数函数及其性质(1)1．D 解析：由log2a0，得01.由12b1，得b0.故选D. 2．D3．A 解析：y＝log x＝－log2x.4．A 解析：由log0.54x－30，4x－30，解得341.5．D6．B 解析：y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称．7．a＝2，b＝28．D9．D 解析：∵log45log54log531，(log53)2log54log45.bc.故选D.10．解：(1)由kx－1x－10，得(kx－1)(x－1)0.又∵k0，x－1k(x－1)0.当k＝1时，函数f(x)的定义域为{x|x1}；由01时，函数f(x)的定义域为xx1或x1k，当k1时，函数f(x)的定义域为xx1k或x1.(2)f(x)＝lnkx－1＋k－1x－1＝lnk＋k－1x－1，∵函数f(x)在区间[10，＋)上是增函数，k－10，即k1.又由10k－110－10，得k110.综上所述，实数k的取值范围为1101.2．2.4 对数函数及其性质(2)1．D 2.C 3.A4．B 解析：∵a＝log23.6log22＝1.又∵y＝log4x，x(0，＋)为单调递增函数，log43.2log43.6log44＝1，ba.5．C6．C 解析：由loga23＜1＝logaa，得(1)当0＜a＜1时，由y＝logax是减函数，得0＜a＜23；(2)当a＞1时，由y＝logax是增函数，得a＞23，a＞1.综合(1)(2)，得0＜a＜23或a＞1.7．D 解析：f(x)的定义域为(－1,1)，且对定义域内任意x，f(－x)＝lg1－x1＋x＝lg1＋x1－x－1＝－lg1＋x1－x＝－f(x)；又可以验证f－12f12，因此，f(x)是奇函数但不是偶函数．用同样的方法可有：y＝x3＋1既不是奇函数又不是偶函数；y＝e0－1e0＋1＝0(xR)既是奇函数又是偶函数；y＝|2x＋1|＋|2x－1|是偶函数而不是奇函数，只有y＝12x－1＋12是奇函数但不是偶函数．故选D.8.－1，32 解析：令u(x)＝4＋3x－x2，又∵4＋3x－x2＞0x2－3x－4＜0，解得－1＜x＜4.又u(x)＝－x2＋3x＋4＝－x－322＋254，对称轴为x＝32，开口向下的抛物线；u(x)在－1， 32上是增函数，在32，4上是减函数，又y＝lnu(x)是定义域上的增函数，根据复合函数的单调性，y＝ln(4＋3x－x2)在－1， 32上是增函数．9．②③10．(1)解：∵f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x)．log 1＋ax－x－1＝－log 1－axx－11＋ax－x－1＝x－11－ax＞01－a2x2＝1－x2a＝1.检验a＝1(舍)，a＝－1.(2)证明：任取x1＞x2＞1，x1－1＞x2－1＞0.0＜2x1－1＜2x2－10＜1＋2x1－1＜1＋2x2－10＜x1＋1x1－1＜x2＋1x2－1log x1＋1x1－1＞log x2＋1x2－1，即f(x1)＞f(x2)．f(x)在(1，＋)内单调递增．(3)解：f(x)－12x＞m恒成立．令g(x)＝f(x)－12x.只需g(x)min＞m，用定义可以证g(x)在[3,4]上是增函数，g(x)min＝g(3)＝－98.当m＜－98时原式恒成立．2．2.5 对数函数及其性质(3)1．D 解析：c＝120.30，a＝log 20，b＝log 30，并且log 2log 3，所以cb.2．C 解析：y＝3x－2的图象向左平移2个单位得到y＝3x 的图象，其反函数为y＝log3x.3．B 4.B 5.B 6.D 7.A8．C 解析：将A项函数沿着直线y＝x对折即可得到函数y ＝log2x.将B沿着x轴对折，将D向下平移1个单位再沿x 轴对折即可．9.22 提示：利用奇函数的定义或f(0)＝0.10．解：(1)要使函数有意义，则有1－x0，x＋30，解得－31.所以函数f(x)的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)，由f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，即x2＋2x－2＝0，x＝－13.∵－13(－3,1)，方程f(x)＝0的解为－13.(3)函数可化为f(x)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，∵－31，0－(x＋1)2＋44.∵01，loga[－(x＋1)2＋4]loga4，即f(x)min＝loga4.由loga4＝－4，得a－4＝4.a＝4－14＝22.2．3 幂函数1．C 2.A3．C 解析：设f(x)＝x，则有2＝22，解得＝－12，即f(x)＝x ，所以f(4)＝4 ＝12.4．A 5.B 6.B7．解：m2－3m＋3＝1，m2－m－20，解得m＝1或m＝2. 8．(1)②④(2)①⑤⑧⑨9．依次是E，C，A，G，B，D，H，F10．解：(1)若f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.(2)若f(x)是幂函数且又是(0，＋)上的增函数，则m2－m－1＝1，－5m－30.所以m＝－1.(3)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－45.此时m2－m－10，故m＝－45.(4)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，则m＝－25，此时m2－m－10，故m＝－25.(5)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－10，故m＝－1.综上所述，当m＝2或m＝－1时，f(x)是幂函数；当m＝－1时，f(x)既是幂函数，又是(0，＋)上的增函数；当m＝－45时，f(x)是正比例函数；当m＝－25时，f(x)是反比例函数；当m＝－1时，f(x)是二次函数．。

基本初等函数练习题一、选择题1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)2. 函数f(x) = 2x^3 - 5x + 1在x=1处的导数值是：A. 6B. 3C. 4D. 53. 函数y = ln(x)的值域是：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)4. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在区间[-4, 0]上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减5. 函数g(x) = √x的最小值出现在x等于：A. 0B. 1C. 2D. 没有最小值二、填空题6. 若f(x) = 3x - 2，则f(1) = _______。

7. 函数y = 2^x的反函数是 _______。

8. 函数y = x^3在x=-1处的切线斜率是 _______。

9. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x) = _______。

10. 函数y = e^x的微分dy等于 _______。

三、简答题11. 给定函数f(x) = 4x^3 - 2x^2 - 5x + 7，请计算其在x=0和x=2时的值。

12. 描述函数y = ln(x)在x=1处的切线方程。

13. 证明函数f(x) = x^2在(-∞, +∞)上是凸函数。

14. 求函数g(x) = √x在[1, 4]上的单调性，并说明理由。

15. 给定函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，请找出其极值点。

四、计算题16. 计算定积分∫[0,1] (3x^2 - 2x + 1) dx。

17. 利用换元积分法计算定积分∫[1, e] (2/x) dx。

18. 求不定积分∫(2x + 1)^5 dx。

19. 利用分部积分法计算不定积分∫x * e^x dx。

20. 求函数f(x) = x^2 * sin(x)在区间[0, π]上的定积分。

基本初等函数1.若函数y ＝f (x )的定义域是[0, 2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________． 解析：要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1,2 017]，所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017x －1≠0，解得－1≤x <1或1<x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 2解析：∵ƒ(x )＝log 2(x 2＋a )且ƒ(3)＝1，∴1＝log 2(9＋a )，∴9＋a ＝2，∴a ＝－7. 答案：－73.若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x (m－2)(m ＋1)的图象不经过原点，则实数m 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，(m －2)(m ＋1)≤0，解得m ＝1或2，经检验m ＝1或2都适合．答案：1或24.下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是________． A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝x 3＋1C ．f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )D ．f (x )＝1－2x1＋2x解析：依题意，对于选项A ，注意到f (0)＝f (π)，因此函数f (x )＝sin x 在其定义域上不是增函数；对于选项B ，注意到f (x )的定义域为R ，但f (0)＝1≠0，因此函数f (x )＝x 3＋1不是奇函数；对于选项C ，注意到f (x )的定义域是R ，且f (－x )＝log 2(x 2＋1－x )＝log 21x 2＋1＋x＝－log 2(x 2＋1＋x )＝－f (x )，因此f (x )是奇函数，且f (x )在R 上是增函数；对于选项D ，注意到f (x )＝1－2x 1＋2x ＝－1＋21＋2x 在R 上是减函数．故选C. 5.函数f (x )＝|log 2 x |＋x －2的零点个数为_______．解析：函数f (x )＝|log 2 x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2 x |＋x －2＝0的根的个数．令h (x )＝|log 2 x |，g (x )＝2－x ，画出两函数的图象，如图．由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2 x |＋x －2＝0的解的个数为2.6.已知a ＝log 372，b ＝⎝⎛⎭⎫1413，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为 .A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：∵ c ＝log 1315＝log 35，a ＝log 372，又y ＝log3x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴ log35>log372>log33＝1，∴ c >a >1.∵ y ＝14x 在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ 1413<140＝1，即b <1.∴ c >a >b . 故选D.7.已知定义在R 上的偶函数f (x )满足对任意的0<x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0均成立，若a ＝f (334)，b＝f (943-)，c ＝f (－543)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．b <c <a解析：因为偶函数f (x )满足对任意的0<x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0均成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．因为幂函数y ＝x 43在(0，＋∞)上是增函数，指数函数y ＝3x 在(0，＋∞)上是增函数，所以343<543，943-＝383-<334<343，故c ＝f (－543)＝f (543)>a ＝f (334)>b ＝f (943-)，故b <a <c ，故选A.8.已知f (x )是R 上的奇函数,且f (x )=则f = .[解析] f=-f =-f =-f =-log 2=-log 22-1=1.9.若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是________． 解析：∵|1－x |≥0，∴0<⎝⎛⎭⎫12|1－x |≤1，由题意得0<－m ≤1，即－1≤m <0. 答案：[－1,0)10.已知函数f (x )在定义域(0,+∞)上是单调函数,若对于任意x ∈(0,+∞),都有f =2,则f的值是 . 因为函数f (x )在定义域(0,+∞)上是单调函数,且f=2恒成立,所以f (x )-为一个大于0的常数,令这个常数为n (n>0),则有f (x )-=n ,且f (n )=2,所以f (n )=+n=2,解得n=1,所以f (x )=1+,11.设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x ＋10存在整数零点，则符合条件的m 的个数为 .解析：由f (x )＝0得m ＝2x ＋1010－x .又m ∈N ，因此有⎩⎪⎨⎪⎧10－x >0，2x ＋10≥0，解得－5≤x <10，x ∈Z ，∴x＝－5，－4，－3，…，1,2,3，…，8,9，将它们分别代入m ＝2x ＋1010－x，一一验证得，符合条件的m 的取值为0,4,11,28，共4个.12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋2|，－3≤x <0，log a x ，x >0，其中a >0且a ≠1，若函数f (x )的图象上有且仅有一对点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围是 . 解析：∵函数f (x )的图象上有且仅有一对点关于y 轴对称，∴f (x )＝|x ＋2|(－3≤x <0)的图象关于y 轴对称的图象与f (x )＝log a x (x >0)的图象有且只有一个交点．记f (x )＝|x ＋2|(－3≤x <0)的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )＝|x －2|(0<x ≤3)，作出函数f (x )与g (x )的大致图象．当0<a <1时，如图(1)，显然g (x )的图象与f (x )(x >0)的图象有且只有一个交点，符合题意；当a >1时，如图(2)，要使g (x )的图象与f (x )(x >0)的图象有且只有一个交点，则需log a 3>1，∴ 1<a <3.综上a ∈(0,1)∪(1,3).13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0<x <3，13x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，其中d >c >b >a >0，则abcd 的取值范围是 .解析：画出f (x )的图象，如图．由图象知0<a <1,1<b <3，则f (a )＝|log 3a |＝－log 3a ，f (b )＝|log 3b |＝log 3b ，∵f (a )＝f (b )，∴－log 3a ＝log 3b ，∴ab ＝1.又由图象知，3<c <4，d >6，点(c ，f (c ))和点(d ，f (d ))均在二次函数y ＝13x 2－103x ＋8的图象上，故有c ＋d 2＝5，∴d ＝10－c ，∴abcd ＝c (10－c )＝－c 2＋10c ＝－(c －5)2＋25，∵3<c <4，∴21<－(c －5)2＋25<24，即21<abcd <24.14．已知f (x )＝2|x |＋x 2＋a 有唯一的零点，则实数a 的值为________．解析：设函数g (x )＝2|x |＋x 2，因为g (－x )＝g (x )，所以函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝2x ＋x 2，为增函数；当x <0时，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋x 2，为减函数，所以g (x )≥g (0)＝1.因为f (x )＝2|x |＋x 2＋a 有唯一的零点，所以y ＝g (x )与y ＝－a 有唯一的交点，即a ＝－1. 答案：－115.已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，∴－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理：若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4，不满足题意．综上，可得nm＝9.答案：916.函数f (x )的定义域为D ,若满足f (x )在D 内是单调函数,且存在[a ,b ]⊆D ,使得f (x )在[a ,b ]上的值域为,则称函数f (x )为“成功函数”.若函数f (x )=log m (m x +2t )(其中m>0且m ≠1)是“成功函数”,则实数t 的取值范围为 .[解析] 无论m>1还是0<m<1,f(x)=log m(m x+2t)都是R上的增函数,故应有则问题可转化为已知f(x)=,即log m(m x+2t)=,即m x+2t=在R上有两个不相等的实数根,求实数t的取值范围.令λ=(λ>0),则m x+2t=可化为2t=λ-λ2=-+,结合图像(图略)可得t∈.。

数学1〔必修〕第二章根本初等函数〔1〕[根底训练A组]一、选择题1．以下函数与y x有相同图象的一个函数是〔〕A．y x2B．y x2x．loga x且D．y log a x a(a0a1)aCy2．以下函数中是奇函数的有几个〔〕x2x①y a1②y lg(1x)③y④y log a1xxa x1x331x A．1B．2C．3D．43．函数y3x与y 3x的图象关于以下那种图形对称()A．x轴B．y轴C．直线y xD．原点中心对称x1334．x3，那么x2x2值为〔〕A.33B.25C.45D.455．函数y log1(3x 2)的定义域是〔〕2A．[1,)B．(2,)C．[2,1]D．(2,1]3336．三个数6，6，log6的大小关系为〔〕A.6log66B.66log6 C．log666 D.log6667．假设f(lnx)3x4，那么f(x)的表达式为〔〕A．3lnx B．3lnx4C．3e x D．3e x4二、填空题1．2,32,54,88,916从小到大的排列顺序是。

2．化简81041084的值等于__________。

4113．计(log25)24log254log21=。

算：54．x2y24x2y50，那么log x(y x)的值是_____________。

13x3的解是_____________。

5．方程3x116．函数y82x1的定义域是______；值域是______.7．判断函数y x2lg(x x21)的奇偶性。

三、解答题1．a x65(a0),求a3xaa x a3x的值。

2．计算1lg214lg34lg6lg的值。

33．函数f(x)1log21x,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性。

x1x 4．〔1〕求函数f(x)log2x13x2的定义域。

〔2〕求函数y(1)x24x,x[0,5)的值域。

3数学1〔必修〕第二章根本初等函数〔1〕[综合训练B组]一、选择题1．假设函数f(x)log a x(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，那么a的值为()2 B ．2 1D ．1A ．C ． 42422．假设函数y log a (xb)(a0,a 1)的图象过两点(1,0)和(0,1)，那么( )A ．a2,b2B ．a 2,b2C ．a2,b1D ．a2,b23．f(x 6)log 2x ，那么f(8)等于〔〕4 B ．8C ．18D ．1A ．234．函数y lgx ()A ．是偶函数，在区间B ．是偶函数，在区间C ．是奇函数，在区间( ,0) 上单调递增 (,0)上单调递减(0, )上单调递增D ．是奇函数，在区间 (0, )上单调递减5．函数f(x)lg 1 x .假设f(a) b.那么f(a)〔〕1 xA ．bB ．b1 D ．1C ．bb6．函数f(x)log a x 1 在(0,1) 上递减，那么 f(x)在(1,)上〔〕A ．递增且无最大值B ．递减且无最小值C ．递增且有最大值D ．递减且有最小值二、填空题1f(x) 2x2 xlga是奇函数，那么实数a =_________。

1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次实数方根．也就是，若x n＝a，则x叫做______________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做____________，a叫做____________．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号______表示，负的n次实数方根用符号________表示．正负两个n次实数方根可以合写成________(a>0)．③(na)n＝____.④当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，na n＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．②正数的负分数指数幂是mna-＝____________＝____________(a>0，m，n∈N*，n>1)．③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t＝________(a>0，s，t∈Q)．②(a s)t＝_______(a>0，s，t∈Q)．③(ab)t＝_______(a>0，b>0，t∈Q)．3．指数函数的图象与性质a >10<a<1图象定义域值域性质(1)过定点________(2)当x>0时，______；当x<0时，________(2)当x>0时，________；当x<0时，______(3)在(－∞，＋∞)上是______(3)在(－∞，＋∞)上是______自我检测1．下列结论中正确的有________(填序号)．①当a<0时，322()a＝a3；②na n＝|a|；③函数y＝12(2)x －(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.2．函数y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则a＝________.3．如图所示的曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图象，则a，b，c，d的大小关系为____________．4．若a>1，b>0，且a b＋a－b＝22，则a b－a－b的值为________．5．函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是________(填序号)．①a>1，b<0；②a>1，b>0；③0<a<1，b>0；④0<a<1，b<0.探究点一 有理指数幂的化简与求值例1 已知a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a <b ，求：(1)a －1＋b －1(ab )－1； 733338152a a a a --.变式迁移1 3322114443()a b ab ba b a(a 、b >0)的结果为____________．探究点二 指数函数的图象及其应用例2 已知函数y ＝(13)|x +1|.(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为________．探究点三 指数函数的性质及应用例3 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．变式迁移3 已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)证明：f (－x )＝f (x )； (3)证明：f (x )>0.分类讨论思想例 已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．一、填空题1．已知a ＝133()4-，b ＝143()4-，c ＝343()2-，则a 、b 、c 的大小关系为______________．2．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围为________．3．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x ∈Z |12<2x ＋1<4}，则M ∩N ＝________.4．定义运算a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b )，则函数f (x )＝12x 的值域为________．5．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围为________．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围为________．7．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R 是偶函数，则实数a ＝________. 8．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为________．二、解答题9．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．10．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值．(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．11．函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．。

对数与对数函数（讲义）知识点睛一、对数与对数的运算1.对数（1）如果x a N =(a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．常用对数：10log lg N N =；自然对数：e log ln N N =．（2）当a >0，且a ≠1时，x a N =⇔log a x N =．（3）负数和零没有对数；log 10a =，log 1a a =．2.对数的运算性质（1）如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么①log ()log log a a a M N M N ⋅=+；②log log log aa a MM N N=-；③log log ()n a a M n M n =∈R ．（2）换底公式：log log log c a c bb a=(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．（3）log (010)a b a b a a b =>≠>，；．二、对数函数及其性质1.定义：一般地，函数log (0,1)a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)．2.对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图象和性质：0<a <1a >1图象定义域(0，+∞)值域R性质①过定点(1，0)，即x =1时，y =0②在(0，+∞)上是减函数②在(0，+∞)上是增函数3.对数函数底数变化与图象分布规律1log a y x =；②log b y x =；③log c y x =；④log d y x =，则有0<b <a <1<d <c ，即：x ∈(1，+∞)时，log log log log a b c d x x x x <<<；x ∈(0，1)时，log log log log a b c d x x x x >>>．4.反函数对数函数与指数函数互为反函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称．精讲精练1.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）32=8_______________；（2）415625-=_______________；（3）13127=3-_______________；（4）lg 0.0013=-_____________；（5）0.3log 2=a _____________；（6）ln x =_____________．2.求下列各式的值．（1）43log (927)⨯（2）1lg lg 4lg 52++（3）661log 12log 2-（4）22333399(log 2)(log )log log 422++⋅（5）2345log 3log 4log 5log 2⋅⋅⋅（6）48525(log 5log 5)(log 2log 2)++3.已知234log [log (log )]0x =，则x 的值为_________．4.已知3485log 4log 8log log 25m ⋅⋅=，那么m 的值为（）A ．9B ．18C ．12D ．275.已知4823log 3x y ==，，则x +2y 的值为（）A ．3B ．8C ．4D ．log 486.已知log 3a m =，log 2a n =，那么a 2m +3n =（）A ．17B ．72C ．108D ．317.已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则xy的值为_________．8.设lg a ，lg b 是方程2x 2-4x +1=0的两个实根，则2(lg )ab的值等于（）A ．2B ．12C ．4D ．149.已知函数()lg f x x =．若()1f ab =，则22()()f a f b +=_____．10.下列函数表达式中是对数函数的是（）A ．0.01log (0)y x x =>B ．22log y x =C ．2log (2)(2)y x x =+>-D ．2ln(1)y x =+11.若点(a ，b )在lg y x =图象上，且a ≠1，则下列点也在此图象上的是（）A ．1()b a ，B ．(10a ，1-b )C ．10(1)b a+，D ．(a 2，2b )12.若函数log ()a y x b =+(a >0，a ≠1)的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则（）A ．a =2，b =2B ．2a b ==C ．a =2，b =1D ．a b ==13.直接写出下列函数的定义域：311log (2)_______________2345log (3)_______________16_______________ln(1)x y x y y y y x y x -=-====-=+=+（）；（）；（）；（）；（）；（）．14.已知()f x 的定义域为[0，1]，则函数12[log (3)]y f x =-的定义域是_____________．15.函数212log (613)y x x =++的值域为（）A ．RB ．[8，+∞)C ．(-∞，-2]D ．[-3，+∞)16.函数log a y x =在区间[2，π]上最大值比最小值大1，则a =__________．17.下列判断不正确的是（）A ．22log 3.4log 4.3<B ．0.20.3log 0.4log 0.4<C ．67log 7log 6>D ．30.3log log 4π<18.为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度19.函数21log (01)1a x y a a x +=>≠-，的图象过定点P ，则点P 的坐标为（）A ．(1，0)B ．(-2，0)C ．(2，0)D ．(-1，0)20.已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-(a >0，且a ≠1)．（1）求函数()()f x g x +的定义域；（2）判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由．21.设a ，b ∈R 且a ≠2，定义在区间(-b ，b )上的函数1()lg12axf x x+=+满足：()()0f x f x +-=．（1）求实数a 的值；（2）求b 的取值范围．22.已知关于x 的方程212log 210x a x ⋅--=有实数根，求a 的取值范围．23.已知函数2log [(21)]a y x a x a =--+的定义域为R ，求实数a 的取值范围．回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1．（1）2log 83=；（2）51log 4625=-；（3）2711log 33=-；（4）3100.001-=；（5）0.32a =；（6）e x =2．（1）11；（2）1；（3）12；（4）4；（5）1；（6）543．644．A 5．A 6．B 7．48．A 9．210．A 11．D 12．A13．（1）(2)+∞，；（2）(0)+∞，；（3）2(1]3，；（4）(0；（5）(12)(23)⋃，，；（6）(10)(02]-⋃，，14．5[22，15．C16．2π或2π17．D18．C 19．B20．（1）(-1，1)；（2）偶函数，证明()()()()f x g x f x g x -+-=+21．（1）2a =-；（2）102b ≤<22．02a ≤<23．33(11)(1122，-⋃+对数与对数函数（随堂测试）1.函数22()log (2)f x x x a =-+的值域为[0，+∞)，则正实数a 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．42.求函数2log (4)(01)a y x x a a =->≠，且的单调递减区间．【参考答案】1.B2.当01a <<时，f (x )的单调递减区间为(0，2]；当1a >时，f (x )的单调递减区间为[2，4)对数与对数函数（作业）1.求下列各式的值．（1）lg +（2）553log 10log 0.125+（3）22(lg 2)(lg 5)lg 4lg 5++⋅（4）22lg 5lg83+（5）20321log log ()52-+-（6）231lg 25lg 2lg log 9log 22+-⨯2.下列对数运算中，一定正确的是（）A ．lg()lg lg M N M N +=⋅B ．ln ln n M n M =C ．lg()lg lg M N M N⋅=+D ．lg log lg a b b a=3.已知3log 2a =，那么33log 22log 6-用a 表示是（）A ．5a -2B ．-a -2C ．3a -(1+a )2D ．3-a 2-14.设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A ．log log log a c c b b a ⋅=B ．log log log a c c b a b ⋅=C ．log ()log log a a a bc b c =⋅D ．log ()log log a a a b c b c+=+5.已知x ，y 为正实数，则下列式子中正确的是（）A ．lg lg lg lg 222x y x y +=+B ．lg()lg lg 222x y x y +=⋅C ．lg lg lg lg 222x y x y⋅=+D ．lg()lg lg 222x y x y⋅=⋅6.设方程22(lg )lg 30x x --=的两实根是a ，b ，则log log a b b a +等于（）A ．1B ．-2C ．-4D ．103-7.在(2)log (5)a y a -=-中，实数a 的取值范围是（）A ．5a >或2a <B ．23a <<或35a <<C ．25a <<D ．34a <<8.函数()ln1xf x x =+-的定义域为（）A ．(0，+∞)B ．(1，+∞)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，+∞)9.已知函数12()2log f x x =的值域为[-1，1]，则函数()f x 的定义域为（）A ．22B ．[11]-，C ．1[2]2，D ．2(])2-∞⋃∞，+10.已知3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c>>11.已知2log 3.45a =，4log 3.65b =，3log 0.31()5c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b>>12.函数12log 2y x =+的单调增区间为（）A ．()-∞∞，+B ．(2)-∞-，C ．(2)-∞+，D ．(2)(2)-∞-⋃∞，，+13.若函数log (01)a y x a =<<在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为（）A ．22B ．24C ．12D ．1414.函数log (2)5a y x =-+过定点（）A ．(1，0)B ．(3，1)C ．(3，5)D ．(1，5)15.当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．16.设函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠，在()-∞+∞，上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图象是（）A ．B ．C ．D ．17.已知函数e 1(1)()ln (1)x x f x x x ⎧-=⎨>⎩≤，则(ln 2)f 的值为_________．18.函数12log (1)()2(1)x x x f x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥的值域是_________________．19.已知13log 2a =，0.62b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为_____________．20.给出下列命题：12log 2log a a x x =；2函数2log (1)y x =+是对数函数；3函数1ln1xy x+=-与ln(1)ln(1)y x x =+--的定义域相同；4若log log a a m n <，则m n <．其中正确的命题是_________．21.已知函数()f x 在[0)+∞，上是增函数，()(||)g x f x =-，若(lg )(1)g x g >，求x 的取值范围．22.设函数212log (0)()log ()(0)xx f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，求实数a 的取值范围．23.已知函数3()2log f x x =+(1≤x ≤9)，求函数22[()]()y f x f x =+的最大值．【参考答案】24．（1）1；（2）3；（3）1；（4）2；（5）4；（6）12-25．D26．B27．B28．D29．D30．B31．B32．A33．D34．C35．B36．B37．C38．A39．C40．141．(2)-∞，42．a <c <b43．③44．11010x <<45．1a >或10a -<<46．22阅读材料反函数趣谈在指数函数2x y =中，x 为自变量，y 为因变量．如果把y 当成自变量，x 当成因变量，同学们思考一下，x 是不是y 的函数？在指数函数2x y =中，过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2x y =的图象有且只有一个交点．另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式2x y =可得到对数式2log x y =．这样，对于任意一个(0)y ∈+∞，，通过式子2log x y =，在R 中都有唯一确定的x 和它对应．此时，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这时我们就说2log x y =((0))y ∈+∞，是函数2x y =()x ∈R 的反函数．注意到，在函数2log x y =中，y 是自变量，x 是函数，但是习惯上，我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们对调函数2log x y =中的字母，把它写成2log y x =，这样，对数函数2log y x =((0))x ∈+∞，是指数函数2x y =()x ∈R 的反函数．由前面的讨论可知，指数函数2x y =()x ∈R 与对数函数2log y x =((0))x ∈+∞，是互为反函数的．类似地，我们可以得到对数函数log (01)a y x a a =>≠，且和指数函数x y a =(01)a a >≠，且互为反函数．在上面的讨论过程中我们发现，过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2x y =的图象有且只有一个交点，这就保证了对于任意一个(0)y ∈+∞，，都有唯一确定的2log x y =和它对应，进而才能得到反函数．这就启发我们，不是任意的函数都存在反函数的，只有一一对应的函数才存在反函数．一一对应的函数是指值域中的每一个元素y 只有定义域中的唯一的一个元素x 和它相对应，即定义域中的元素x 和值域中的元素y ，通过对应法则y=f (x )存在着一一对应关系．清楚了反函数存在的条件后，我们接下来讨论反函数的性质．通过画出指数函数2x y =与对数函数2log y x =的图象后，我们发现它们是关于直线y=x 对称的，也就是互为反函数的两个函数的图象是关于直线y=x 对称的．这与我们前面的分析也是一致的，原函数与反函数是定义域、值域互换，对应法则互逆．研究反函数的性质离不开函数的单调性和奇偶性，下面的结论同学们可以自己尝试证明．一个函数与它的反函数在相应区间上单调性是一致的，也就是说如果原函数在某个区间上是单调递增（减）的，那么它的反函数在相应区间上也是单调递增（减）的．关于奇偶性，如果一个奇函数存在反函数，那么它的反函数也是奇函数；一般情况下偶函数是不存在反函数的，例外情况是f (x )=C （C 为常数）．学习了反函数这种重要的工具，它可以帮助我们解决很多问题．当原函数的性质不容易研究时，我们可以考虑研究它的反函数．比如当直接求原函数的值域比较困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，来看一道具体的例题．【例】已知函数10110x xy =+，求它的值域．解析：先计算它的反函数，由10110x x y =+得到(110)10x x y +=，解得101x y y =-，反函数即为lg 1y x y =-，反函数的定义域为原函数的值域，也就是01y y >-，原函数的值域即为(01)，．练习题1.下列函数中，有反函数的是（）A ．22y x x=+B ．||y x =C ．2lg y x =D ．11y x =-2.函数21x y =-的反函数为_____________．3.已知函数1212x x y -=+，求它的值域．【参考答案】1.D2.2log (1)y x =+3.(-1，1)。

【指数与指数函数】一、指数（一）整数指数幂 1．整数指数幂概念：n aa =个)(*∈N n ；n a -= ),0(*∈≠N n a ．规定：0a= )0(≠a ．2．整数指数幂的运算性质：（1）mn aa ⋅= ，（2）mn a a ÷= ),(Z n m ∈；（3）()nma = ),(Z n m ∈；（4）()nab = )(Z n ∈．（二）根式1．根式的概念（a 的n 次方根的概念）：一般地，如果一个数的n 次方等于a()1,n n N *>∈，那么这个数叫做a 的n 次方根．即： 若 ，则x 叫做a 的n 次方根．()1,n n N *>∈例如：27的3次方根 ，27-的3次方根 ，32的5次方根 ，32-的5次方根 ．说明：（1）若n 是奇数，则a 的n0a >，若0a <；（2）若n 是偶数，且0a>，则a 的正的n，a 的负的n次方根，记作：-例如：8的平方根 ；16的4次方根 ． （3）若n 是偶数，且0a <则na 没意义，即负数没有偶次方根；（4）()001,n n n N *=>∈，0∴=；（5n 叫 ，a 叫 ．2．a 的n 次方根的性质（1）一般地，若n= ；若n= ．（2）n= （注意a 必须使n a 有意义）．（二）分数指数幂 1．分数指数幂：规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是mna= ()0,,1a m n N n *>∈>、；（2）正数的负分数指数幂的意义是m na-= ()0,,1a m n N n *>∈>、；（3）0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用()()10,,r s a a a r s Q =>∈；()()()20,,sr a a r s Q =>∈；()()()30,0,rab a b r Q =>>∈．说明：当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；()0a ==>()0a ==>【练习巩固】1．求下列各式的值： （1 （2 （3 （4)a b >2．已知0a b <<，1,n n N *>∈，3 45． 用分数指数幂的形式表示下列各式()0a >：（1）2a ；（2）3a ；（3．6．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭；7．计算下列各式：（1）÷；（2()20a >．二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，函数定义域是 ． 2．指数函数x y a =在底数1a >及01a <<的图象特征及函数性质：图象特征函数性质图象的伸展： 图象的对称性： 图象的位置： 图象过定点：自左向右看，图象逐渐 自左向右看，图象逐渐在第一象限内的图象纵坐标都在第一象限内的图象纵坐标都在第二象限内的图象纵坐标都在第二象限内的图象纵坐标都图象上升趋势是越来越 图象下降趋势是越来越函数值开始增长 ，到了某一值后增长速度函数值开始减小 ，到了某一值后减小速度总结：指数函数x y a =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图象和性质：1a > 01a <<图象性质（1）定义域： ． （2）值 域： ． （3）过点 ，即0x =时，=y ．（4）在R 上是 函数， 当0>x 时，；当0<x 时， ． （4）在R 上是 函数， 当0>x 时，；当0<x 时， ． 当1>a时，a x a y =的图象向上越接近y 轴，向下越接近x 轴． 当10<<a 时，a x a y =的图象向上越接近y 轴，向下越接近x 轴．【练习巩固】一、指数函数的定义问题例：若21(5)2x f x -=-，则(125)f =______________．练1．已知指数函数图像经过点(1,3)P -，则(3)f =______________．练2．设函数xax f -=)(（0>a且1≠a ），4)2(=f ，则（ ） A ．)2()1(->-f f B ．)2()1(f f > C ．)2()2(-<f f D ．)2()3(->-f f 练3．已知)(x f 是指数函数，且255)23(=-f ，则(3)f = ． 二、指数函数的图像问题 例1：若函数(1)(0,1)x y a b a a =-+>≠的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）A ．10a b >>且B ．010a b <<<且C ．010a b <<>且D ．11a b >>且 例2：画函数(1)xy aa =>的图像．练1．方程22=+x x的实根的个数为_______．练2．直线a y 3=与函数)10(1≠>-=a a a y x 且的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________ ．练3．若01<<-x ，则下列不等式中成立的是（ ）1.552xxx A -⎛⎫<< ⎪⎝⎭1.552x x x B -⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 1.552xx xC -⎛⎫<< ⎪⎝⎭1.552xx xD -⎛⎫<< ⎪⎝⎭练4．函数)10(33≠>+=-a a a y x 且的图象恒过定点____________．练5．函数21(01)x y a a a -=+>≠且的图像必经过点____________．练6．设,,,ab c d 都是不等于1的正数，,,,x x x xy a y b y c y d====在同一坐标系中的图像如图所示，则d c b a ,,,的大小顺序是（ ）A ．d c b a<<< B ．c d b a <<<C ．c da b <<< D ．d c a b <<<三、求解有关指数不等式、方程 例：已知2321(25)(25)xx a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．练1．设01a <<，解关于x 的不等式22232223xx xx aa -++->． 练2．解方程803322=--+x x ．练3．若方程0)21()41(=++a x x 有正数解，则实数a 的取值范围是 ．练4．设01a <<，使不等式222135x x x x a a-+-+>成立的x 的集合是 ．四、定义域与值域问题例：求下列函数的定义域、值域．（1）1218x y -=； （2）y = （3）3xy -=； （4）1(0,1)1x xa y a a a -=>≠+．练1．当[]1,1-∈x 时，23)(-=x x f 的值域为________．练2．已知函数)(x f y =的定义域为()2,1，则函数)2(x f y =的定义域为________．练3．设集合2{|3,},{|1,}x Sy y x R T y y x x R ==∈==-∈，则ST 是（ ）A 、∅B 、TC 、SD 、有限集练4．求下列函数的定义域与值域（1） 132x y -=；（2）1421x x y +=++；（3）222)31(-=x y ．练5．已知3412-⎪⎭⎫ ⎝⎛≤x x，求函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的值域．五、最值问题 例：函数221(01)xx y aa a a =+->≠且在区间[]11-，上有最大值14，则a 的值是_______． 练1．已知[]3,2x ∈-，求11()142x xf x =-+的最小值与最大值．练2．已知21≤≤-x ，求函数x x x f 9323)(1-⋅+=+的最大值和最小值．练3．设20≤≤x ，求函数523421+⋅-=-x x y 的最大值和最小值．六、比较大小问题例：设1313131<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab ，则（ ）A ．a b ab a a<< B ．b a a a b a << C ．a a b b a a << D ．a a b a b a <<练1．若aa 23122121-+⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()∞+,1 B ．⎪⎭⎫⎝⎛∞+,21 C ．()1,∞- D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,练2．下列三个实数的大小关系正确的是（ ）A ．1201112201112<<⎪⎭⎫ ⎝⎛ B ．2011121201112<<⎪⎭⎫⎝⎛ C ．2011122011112<⎪⎭⎫ ⎝⎛< D ．2201112011121⎪⎭⎫⎝⎛<<练3．比较下列各组数的大小：（1）若1>>>c b a ，比较ba ⎪⎭⎫⎝⎛1与ca ⎪⎭⎫ ⎝⎛1； （2）若0>>b a ，0>c，比较c a 与c b ；（3）若0>>b a ，0<c ，比较c a 与c b ； （4）若()∞+∈,1,b a ，0>>y x ，且y x b a =，比较a 与b ；（5）若()1,0,∈b a ，0<<y x ，且y x b a =，比较a 与b ．七、单调性问题例：讨论函数xx x f 2231)(-⎪⎭⎫⎝⎛=的单调性．练1．函数xx y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=的单调增区间为___________．练2．函数x x y -=22的单调递增区间为．练3．函数1)1(222)(+--=x a xx f 在区间),5[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)∞+,6 B ．()∞+,6 C ．(]6,∞- D ．()6,∞-练4．函数xy -⎪⎭⎫⎝⎛=121的单调增区间为（ ）A ．()∞+∞-, B ．()∞+,0 C ．()∞+,1 D ．()1,0练5．函数121)(+=xx f 在()∞+∞-,上（ ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值练6．求函数2222++-=x xy 的定义域，值域和单调区间． 练7．求函数23231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的单调区间．八、函数的奇偶性问题例：当1a >时，证明函数11x x a y a +=- 是奇函数．练1．如果函数()f x 在区间]24,2[a a --上是偶函数，则=a _________．练2．若函数1()41x f x a =+-是奇函数，则=a _________．练3．若函数2()()x u f x e --=的最大值为m ，且)(x f 是偶函数，则=+u m ________．练4．设a 是实数，2()()21xf x a x R =-∈+，（1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；（2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数及此时()f x 的值域．练5．已知x x f x)21121()(+-=．（1）求函数的定义域；（2）判断函数)(x f 的奇偶性；（3）求证：0)(>x f ．【对数与对数函数】一、对数1．对数的概念：一般地，如果xaN =(0,1)a a >≠，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：log a x N=（其中：a 是 ，N 是 ，log aN 是 ）两个重要对数： （1）常用对数：以10为底的对数lg N ；常用对数：10lglog N N =（2）自然对数：以无理数 2.71828e =为底的对数的对数ln N ．自然对数：ln log e NN=（其中 2.71828e =）；对数式与指数式的互化： log x a a NN x =−−−→=转化2．对数的性质：（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：log 1a =_______； （3）底数的对数是1：log a a =_______；（4）对数恒等式：log a Na =_______； （5）log n a a =_______．3．对数的运算法则：()log a MN =()M N R +∈，； logaM N =()M N R +∈，；()log n a N =()N R +∈；loga=()N R +∈4．对数换底公式：log b N =______________；5．由换底公式推出一些常用的结论：（1）log log a b b a =·，log ab =； （2）lognm ab =；（3）log nn ab =； （4）lognm aa =．二、对数函数1．对数函数的概念：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞2．对数函数log a y x =在底数1a >及01a <<的图象特征及函数性质：总结：指数函数log a y x =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图象和性质：1a >01a <<图象性质（1）定义域： ． （2）值 域： ．（3）过点 ，即1x =时，=y ．（4）在R 上是 函数，当1x >时， ；当01x <<时， ．（4）在R 上是 函数，当1x >时， ；当01x <<时， ．注：对数函数log a y x =与1log ay x =（0a >且1a ≠）的图像关于x 轴对称．例：如图中曲线分别表示log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ）A ．01a b d c <<<<<B ．01b a c d <<<<<C ．01dc a b <<<<< D ．01cd a b <<<<<三、反函数 1．定义：设式子()y f x =表示y 是x 的函数，定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得到式子()x y ϕ=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=就表示x 是y 的函数（y 是自变量），这样的函数，叫做()y f x =的反函数 ，记作1()x f y -=，即()1()x y f y ϕ-==，一般习惯上对调1()x f y -=中的字母,x y ，把它改写成1()y f x -=．（1）反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；即函数()y f x =要有反函数由它必须为单调函数．（2）原函数()y f x =的定义域、值域分别是反函数1()y f x -=的 、 ．（3）()y f x =与1()y f x -=的图象关于 对称．（4）若(),P a b 在原函数()y f x =的图像上，则'P 在其反函数1()y f x -=的图像上．即：1()()f a b f-=⇔=2．求反函数的一般步骤（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域； （2）由()y f x =的解析式求出()x y ϕ=；（3）将,x y 对换，得反函数的一般表达式1()y f x -=，标上反函数的定义域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成． 4．掌握下列一些结论（1）单调函数⇒一一对应⇔有反函数（2）周期函数不存在反函数．（3）若一个奇函数有反函数，则反函数也必为奇函数 （4）证明()y f x =的图象关于直线y x =对称，只需证()y f x =的反函数和()y f x =相同．【练习巩固】 一、对数运算 1．已知14log 7a =，14log 5b =，求35log 28(用,a b 表示)．2．6log =3．计算：（1； （2）222lg 5lg 8lg 5120(lg 2)3g +++；（3）21lg 5lg 8000(lg lg lg 0.066⋅+++； （4）483912(log 3log 3)(log 2log 2)log ++-二、大小比较1．比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论；2．比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较，对数函数在同一坐标系中的图像与底数的关系有如下规律：即无论在x 轴上面还是下面，底数按顺时针由小变大．3．比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较． 1．三个数0.76，60.7，0.7log 6的大小顺序是（ ）2．比较下列三数的大小：（1）0.3log 0.7，0.4log 0.3；（2）0.6log 0.8， 3.4log 0.7，()1213-；（3）0.3log 0.1，0.2log 0.1．三、对数函数的定义域、值域． 1．函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是 ．2．函数()f x 的定义域是[]1,2-，则函数2(log )f x 的定义域是 ．3．函数23()log ()f x x ax a =+-的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 ．4．求下列函数的定义域、值域：(1)y =； (2)22log (25)y x x =++； (3)213log (45)y x x =-++； (4)y =四、对数函数的性质 1．12()log f x x =，当2,x a a ⎡⎤∈⎣⎦时，函数的最大值比最小值大3，则实数a = ．2．函数()2lg11y x =-+的图像关于（ ）A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y x =对称3．函数()114422log log5y xx =-+在24x ≤≤时的值域为 ．4．设()f x 为奇函数，且当0x >时，12()log f x x =．(1)求当0x <时，()f x 的解析式；(2)解不等式()2f x ≤．5．根据函数单调性的定义，证明函数2()log 1x f x x=-在()0,1上是增函数．6．函数22log (2)1y x =++恒过定点_________________．五、反函数1．求下列函数的反函数：（1）351()212x y x x -=≠-+；（2）223y x x =-+，(,0]x ∈-∞；（3）21(0)1y x x =≤+； （4）,(10),(01)x y x -≤≤=-<≤⎪⎩．2．求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．（1）1y =；（2）232(0)y x x =--≤．3．已知函数10110xxy =+，求其的反函数，以及反函数的定义域和值域．4．已知函数311()(,)3x f x x a x x a +=≠-≠+，（1）求它的反函数；（2）求使1()()f x f x -=的实数a 的值．5．设点()1,2M 既在函数2()(0)f x ax b x =+≥的图像上，又在它的反函数图像上，（1）求1()f x -；（2）证明：1()fx -在其定义域内是减函数．【幂函数】1．幂函数的定义： ． 2．幂函数的图象3．幂函数的性质（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)； 是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．（2）过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．（3）单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．（4）奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qp y x =是奇函数；若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x=是偶函数；若p 为偶数q 为奇数时，则q py x=是非奇非偶函数．（5）图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方；当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．【练习巩固】 一、幂函数定义： 1．在函数22031,3,,y y x y x x y x x===-=中，幂函数的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A ．3y x =- B ．3y x -= C ．32y x = D ．31y x =-二、幂函数的图像性质：1．幂函数的图象都经过点（ ） A ．()1,1 B ．()0,1 C ．()0,0 D ．()1,02．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则（ ） A ．0a > B ．0a < C ．0a = D ．不能确定3．幂函数52y x-=的定义域为（ ） A ．()0,+∞ B ．[)0,+∞ C ．R D ．()(),00,-∞+∞4．下列函数中既是偶函数又是(),0-∞上是增函数的是（ ） A ．43y x= B ．32y x= C ．2y x-= D ．14y x-=5．函数2y x -=在区间1[,2]2上的最大值是（ ） A ．14B ．1-C ．4D ．4-6．函数43y x=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列命题中正确的是（ ）A ．当0α=时函数y x α=的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过()0,0和()1,1点C ．若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限8．若11221.1,0.9ab -==，那么下列不等式成立的是（ ）A ．1a b <<B ．1a b <<C ．1b a <<D ．1b a <<9．若幂函数1()m f x x -=在()0,+∞上是减函数，则（ ） A ．1m > B ．1m < C ．1m = D ．不能确定10．若点(),A a b 在幂函数()n y x n Q =∈的图象上，那么下列结论中不能成立的是（ ） A ．00a b >⎧⎨>⎩ B ．00a b >⎧⎨<⎩ Ｃ．00a b <⎧⎨<⎩ D ．0a b <⎧⎨>⎩11．使23x x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．1x <且0x ≠ B ．01x << C ．1x > D ．1x <12．当()1,x ∈+∞时，函数a y x =的图象恒在直线y x =的下方，则a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．01a <<C ．0a >D ．0a <13．若四个幂函数a y x =，b y x =，c y x =，d y x =在同一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A ．d c b a >>>B ．a b c d >>>C ．d c a b >>>D ．a b d c >>>14．函数()1,2ny xn N n =∈>的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13题15．函数3y x=和13y x=图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称16．函数||,y x x x R =∈，满足（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数 17．函数2224y x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．(],6-∞- B ．[)6,-+∞ C ．(],1-∞- D ．[)1,-+∞18．如图1—9所示，幂函数y x α=在第一象限的图象，比较12340,,,,,1αααα的大小（ ）A ．134201αααα<<<<<B ．123401αααα<<<<<C ．243101αααα<<<<<D ．324101αααα<<<<<19．对于幂函数45()f x x=，若120x x <<，则12()2x x f +，12()()2f x f x + 大小关系是（ ） A ．1212()()()22x x f x f x f ++> B ．1212()()()22x x f x f x f ++<C ．1212()()()22x x f x f x f ++= D ．无法确定 20．函数32y x-=的定义域为__________________．21．幂函数()f x 的图象过点()43,27，则()f x 的解析式是____________，1()fx -的解析式是______________．22．249aa y x --=是偶函数，且在()0,+∞是减函数，则整数a 的值是 ．23．若1122(1)(32)a a --+<-，则a 的取值范围是________________．24．设()1()2m f x m x +=-，如果()f x 是正比例函数，则m =__________，如果()f x 是反比例函数，则m =_________，如果()f x 是幂函数，则m =_____________．25．若幂函数2221(1)mm y m m x --=--在()0,+∞上是增函数，m =___________．26．函数2()3x f x x +=+的对称中心是______________，在区间上是_______函数（填“增”或“减”）．27．比较下列各组中两个值大小．（1）6110.6与6110.7；（2）53(0.88)-与53(0.89)-1α3α 4α2α28．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系．（1）32y x=；（2）13y x=；（3）23y x=；（4）2y x-=；（5）3y x-=；（6）12y x-=．（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）29．已知函数221()(2)mm f x m m x +-=+，求m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数．30．已知幂函数13222()p p f x x-++=（p Z∈）在()0,+∞上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数()f x ．31．已知幂函数223()()mm f x x m Z --=∈的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，试确()f x 的解析式．32．求证：函数3y x =在R 上为奇函数且为增函数．33．利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）．（1）222221x x y x x ++=++；（2）53(2)1y x -=--．【综合练习一】 1．已知集合{}4Mx N x N =∈-∈，则集合M 中元素个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．如图所示，I 是全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P SB ．()M P SC ．()()I MP C S D ．()()I M P C S3．函数2y x bx c =++((,1))x ∈-∞是单调函数时，b 的取值范围（ ）A ．2b ≥-B ．2b ≤-C ．2b >-D ． 2b <-4．如果偶函数在[,]a b 具有最大值，那么该函数在[,]b a --有（ ）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ． 没有最小值 5．函数()f x 在区间[2,3]-是增函数，则(5)y f x =+的递增区间是（ ）A ．[3,8]B ． [7,2]--C ．[0,5]D ．[2,3]-6．函数(21)y k x b =++在实数集上是增函数，则（ ）A ．12k >-B ．12k <- C ．0b > D ．0b > 7．定义在R 上的偶函数()f x ，满足(1)()f x f x +=-，且在区间[2,0]-上为递增，则（ ）A．(3)(2)f f f << B．(2)(3)f f f << C．(3)(2)f f f << D．(2)(3)f f f <<8．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ）A ．60.70.70.7log 66<< B ．60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D ．60.70.7log 60.76<<9．函数y =的定义域是（ ）A ．()3,+∞ B ．[)3,+∞ C ．()4,+∞ D ．[)4,+∞10．与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（ ）A．ln(1y =+ B．ln(1y =- C．ln(1y =-+D．ln(1y =--11．已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞ B ．(),3-∞ C ．3,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3 12．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+≠>的图象过点()2,1，其反函数的图像过点()2,8，则a b +=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 13．函数1218x y -=的定义域是_________________；值域是____________________．14．已知全集{}6|5M a N a Z a=∈∈-且，则M =___________________．15．函数()f x 在R上为奇函数，且()1(0)f x x =>，则当0x <，()f x = ．16．函数()lg(32)2f x x =-+恒过定点 ．17．若log 2,log 3a a m n ==，则32m n a-= ．18．已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则 1()9f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为 ． 19．若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是_____________．20．函数2()23f x x mx =-+，当[)2,x ∈-+∞时是增函数，当(],2x ∈-∞-时是减函数，则(1)f =_________．21．（1）求函数21()log x f x -=（2）求函数[)241(),0,53x xy x -=∈的值域． 22．已知[]()9234,1,2x x f x x =-⨯+∈-，（1）设[]3,1,2x t x =∈-，求t 的最大值与最小值；（2）求()f x 的最大值与最小值；23．已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递减，求满足22(23)(45)f x x f x x ++>---的x 的集合．【综合练习二】 1．设集合{}04x x P≤≤=，{}02y y Q ≤≤=，由以下列对应f中不能．．构成A 到B 的映射的是（ ） A ．12y x =B ．13y x =C ．23y x =D ．18y x = 2．下列四个函数:（1）1y x =+；（2）1y x =-；（3）21y x =-；（4）1y x=，其中定义域与值域相同的是（ ） A ．（1）（2） B ．（1）（2）（3） C ．（2）（3） D ．（2）（3）（4） 3．已知函数7()2cf x ax bx x=++-，若(2006)10f =，则(2006)f -的值为（ ） A ．10 B ．— 10 C ．— 14 D ．无法确定 4．设函数1(0)()1(0)x f x x ->=<⎧⎨⎩，则()()()()2a b a b f a b a b ++-⋅-≠的值为（ ）A ．aB ．bC ．a 、b 中较小的数D ．a 、b 中较大的数 5．已知矩形的周长为1，它的面积S 与矩形的长x 之间的函数关系中，定义域为（ ）A ．{}104x x <<B ．{}102x x <<C ．{}1142xx << D ．{}114xx <<6．已知函数y=x 2-2x+3在[0，a](a>0)上最大值是3，最小值是2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0<a<1 B ．0<a ≤2 C ．≤a ≤2 D ． 0≤a ≤27．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤2 B ．a ≤-2或a ≥2 C ．a ≥-2 D ．-2≤a ≤28．已知奇函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，且对任意正实数1212,()x x x x ≠，恒有1212()()0f x f x x x ->-，则一定有（ ）A ．(3)(5)f f >-B ．(3)(5)f f -<-C ．(5)(3)f f ->D ．(3)(5)f f ->- 9．已知函数1()1x f x x+=-的定义域为A ，函数y=f(f(x))的定义域为B ，则（ ）A ．AB B ⋃= B ． A B A ⋃=C ．A B ⋂=ΦD ．A B A ⋂= 10．已知函数y=f(x)在R 上为奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2-2x ，则f(x)在0x ≤时的解析式是（ ） A ． f(x)=x 2-2x B ． f(x)=x 2+2x C ． f(x)= -x 2+2x D ． f(x)= -x 2-2x11．已知二次函数y=f(x)的图象对称轴是0x x =，它在[a ，b]上的值域是 [f(b)，f(a)]，则 （ ）A ． 0x b ≥ B ．0x a ≤ C ．0[,]x a b ∈ D ．0[,]x a b ∉12．如果奇函数y=f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，则在区间[-7，-3]上（ ）A ．增函数且有最小值-5B ． 增函数且有最大值-5C ．减函数且有最小值-5D ．减函数且有最大值-5 13．已知函数22()1xf x x=+，则11(1)(2)(3)()()23f f f f f ++++= ．14． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ． 15．定义域为2[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数，则a= ． 16．设32()3,()2f x x x g x x =-=-，则(())g f x = ．17．作出函数223y x x =-++的图象，并利用图象回答下列问题： (1)函数在R 上的单调区间； (2)函数在[0，4]上的值域．18．定义在R 上的函数f (x )满足：如果对任意x 1，x 2∈R ，都有f (122x x +)≤12［f (x 1)+f (x 2)］，则称函数f (x )是R 上的凹函数．已知函数f (x )＝ax 2+x (a ∈R 且a ≠0)，求证：当a ＞0时，函数f (x )是凹函数；19．定义在(－1，1)上的函数f (x )满足：对任意x 、y ∈(－1，1)都有f (x )+f (y )=f (1x y xy++)．(1)求证：函数f (x )是奇函数；(2)如果当x ∈(－1，0)时，有f (x )＞0，求证：f (x )在(－1，1)上是单调递减函数；20．记函数f (x )的定义域为D ，若存在x 0∈D ，使f (x 0)=x 0成立，则称以(x 0，y 0)为坐标的点是函数f (x )的图象上的“稳定点”． (1)若函数f (x )=31x x a-+的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a 的取值范围；(2)已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )存在有限个“稳定点”，求证：f (x )必有奇数个“稳定点”．。

完整版)基本初等函数经典复习题+答案1、幂的运算性质1) $a^r\cdot a^s=a^{r+s}$，其中$r,s\in R$；2) $(a^r)^s=a^{rs}$，其中$r,s\in R$；3) $a^r\cdot b^r=(ab)^r$，其中$r\in R$；4) $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$，其中$a>0,n\in N^*,n>1$。

2、对数的运算性质若$a>0$且$a\neq 1$，$M>0,N>0$，则有：1) $a^x=N\iff \log_a N=x$；2) $\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$；3) $\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$；4) $\log_a M^n=n\log_a M$，其中$n\in R$；5) $\log_a 1=0$；6) 换底公式：$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$，其中$a>0,a\neq 1,c>0,c\neq 1,b>0$。

3、函数的定义域能使函数式有意义的实数$x$的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时，需要注意以下几点：1) 偶次方根的被开方数不小于零；2) 对数式的真数必须大于零；3) 分式的分母不等于零；4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1.4、函数单调区间与单调性的判定方法A) 定义法：1.任取$x_1,x_2\in D$，且$x_1<x_2$；2.作差$f(x_1)-f(x_2)$；3.变形（通常是因式分解和配方）；4.定号（即判断差$f(x_1)-f(x_2)$的正负）；5.下结论（指出函数$f(x)$在给定的区间$D$上的单调性）。

B) 图象法（从图象上看升降）。

C) 复合函数的单调性：复合函数$f[g(x)]$的单调性与构成它的函数$u=g(x),y=f(u)$的单调性密切相关，其规律为“同增异减”。

原题目：函数极限的基本初等函数基础练习题函数极限的基本初等函数基础练题以下是一些基本初等函数的练题，涉及函数极限的计算。

每题都有一个问题和要求你计算的函数极限。

1. 问题：计算 $\lim_{x\to0} \frac{\sin{x}}{x}$解答：根据极限定义，我们知道$\lim_{x\to0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$2. 问题：计算 $\lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{x}$解答：应用洛必达法则，我们有$\lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{1} = \infty$3. 问题：计算 $\lim_{x\to2} \frac{x^3-8}{x-2}$解答：可以进行因式分解，得到 $\lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} = \lim_{x\to2} (x^2+2x+4) = 12$4. 问题：计算 $\lim_{x\to\infty} \sqrt{x^2+x} - \sqrt{x^2-x}$解答：通过有理化，我们得到 $\lim_{x\to\infty} \sqrt{x^2+x} - \sqrt{x^2-x} = \lim_{x\to\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2-x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{2x}{2\sqrt{x^2}} = 1$5. 问题：计算 $\lim_{x\to0} \frac{\cos{x}-1}{x}$解答：可以使用洛必达法则，得到 $\lim_{x\to0} \frac{\cos{x}-1}{x} = \lim_{x\to0} \frac{-\sin{x}}{1} = 0$6. 问题：计算 $\lim_{x\to\pi/4} \frac{\cos(2x)-\cos^2{x}}{x-\pi/4}$解答：通过化简，我们有 $\lim_{x\to\pi/4} \frac{\cos(2x)-\cos^2{x}}{x-\pi/4} = \lim_{x\to\pi/4} \frac{2\cos^2{x}-\cos^2{x}}{x-\pi/4} = \lim_{x\to\pi/4} \frac{\cos^2{x}}{x-\pi/4} = \infty$以上是一些基本初等函数的练习题，希望能帮助你加深对函数极限的理解。

高三数学基本初等函数Ⅰ试题1.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】当时，函数图象与x轴有一个交点，即有一个零点，所以当时，要使函数图象与x轴还要有一个交点，而过点（0，1），所以要向下平移，所以.【考点】本小题主要考查分段函数的图象和函数零点个数问题.点评：函数的零点个数一般都转化为函数图象与x轴的交点个数解决，考查学生的数形结合能力.2.如果函数没有零点，则的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为没有零点，所以无交点，画出两个函数的图像，由图像可知：的取值范围为。

【考点】函数的零点；函数的综合应用。

点评：此题主要利用了数形结合的数学思想，考查了学生画图、识图、用图的能力。

题目较难，对学生的能力要求较高。

3.若的反函数为，且，则的最小值是( ).A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由y=2x解得：x=log2y∴函数f（x）=2x的反函数为f-1（x）=log2x，x＞0由f-1（a）+f-1（b）=4得：log2a+log2b=4即：log2ab=4∴ab=16∴≥2 = 即的最小值是．答案：B4.函数f (x)＝e x＋3x的零点个数是A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】，f(x)在R上单调递增，f(0)=1>0,f(-1)=<0,则f(x) 有一个零点在区间（-1,0）内5.若函数且，则下列结论中，必成立的是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】作函数的图像则故选D6.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0), f′(x)为f(x)的导函数. 设A={x|f(x)<0}, B={x|f′(x)<0}. 若A∩B=P{x|2<x<3},则(b+c)/a = ________【答案】2【解析】略7.对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：l1表示产品各年年产量的变化规律；l2表示产品各年的销售情况。