可做因子分析的原始数据

因子分析的基本思想：是通过变量（或样品）的相关系数矩阵（对样品是相似系数矩阵）内部结构的研究，找出能控制所有变量（或样品）的少数几个随机变量去描述多个变量（或样品）之间的相关（相似）关系，但在这里，这少数几个随机变量是不可观测的，通常称为因子。
?
因子分析分为两类，即R型因子分析（对变量作因子分析），Q型因子分析（对样品作因子分析）。
（3）公共因子 的方差贡献的统计意义
因子载荷矩阵中列的平方和。
称 为公共因子 对 的贡献，是衡量公共因子相对重要性的指标。
?
第三节第三节因子载荷的估计方法
这是常用的主成分法，设随机向量 的协方差为 ， 的特征值为 其相应的特征向量为 （标准正交基）则：
当公共因子 有P个时，特殊因子为0，所以， A为因子载荷阵。
二、二、因子分析方法的计算步骤：
第一步：将原始数据标准化。
第二步：建立变量的相关系数R。
第三步：求R的特征根极其相应的单位特征向量。
第四步：对因子载荷阵施行最大正交旋转。
第五步：计算因子得分。
以下是我国各省市综合发展情况做因子分析。数据表中选取了六个指标分别是：人均GDP（元）X1，新增固定资产（亿元）X2，城镇居民人均年可支配收入（元）X3，农村居民机家庭纯收入（元）X4，高等学校数量（所）X5，卫生机构数量（所）X6。
因子旋转有方差最大正交旋转和斜交旋转，此处只介绍方差最大正交旋转。
先考虑两个因子的平面正交旋转，设因子载荷矩阵为：
，
为正交矩阵。
记
（*）
这样做目的是希望所得结果能使载荷矩阵的每一列元素按其平方值说或者尽可能大或者尽可能小，即向1和0两极分化，或者说因子的贡献越分散越好。这实际上是希望将变量 分成两部分，一部分主要与第一因子有关，另一部分主要与第二因子有关，这也就是要求 这两组数据的方差要尽可能地大，考虑各列的相对方差

确定公因子变量个数--主成分分析
确定m个主成份
1. 特征值：取特征值大于1的主成分； 2. 根据累计贡献率：贡献率在80%~85%，但现实中这个标准 很难达到，所以一般累计贡献率应在70%以上； 3. 通过直观观察碎石图的方式确定主成分的个数。
4. 综合判断，往往根据累计贡献率确定较少，根据特征值λ 确定又较多，应两者结合
3.巴特利特球度检验
4.KMO检验
Bartlett球体检验的目的是检验相关矩阵是否是单位矩 阵，如果是单位矩阵，则认为因子模型不合适。Bartlett球 体检验的虚无假设为相关矩阵是单位阵，如果不能拒绝该 假设的话，就表明数据不适合用于因子分析。一般说来， 显著水平值越小（<0.05）表明原始变量之间越可能存在 有意义的关系，如果显著性水平很大（如0.10以上）可能 表明数据不适宜于因子分析。 KMO测度的值越高（接近1.0时），表明变量间的共 同因子越多，研究数据适合用因子分析。 通常按以下标准解释该指标值的大小：KMO值达到 0.9以上为非常好，0.8～0.9为好，0.7～0.8为一般，0.6 ～0.7为差，0.5～0.6为很差。如果KMO测度的值低于0.5 时，表明样本偏小，需要扩大样本。
原有变量是否适合作因子分析
SPSS提供了四个统计量可帮助判断观测数据是否适合作 因子分析： 1.计算原有变量的相关系数矩阵 如果相关矩阵中的大部分相关系数小于0.3，则不适 合作因子分析； 2.计算反映象相关矩阵 以变量的偏相关系数矩阵为出发点，将偏相关系数矩 阵的每个元素取反，得到反映象相关阵。 如果反映象相关矩阵中的很多元素的绝对值比较大， 则说明这些变量可能不适合作因子分析 注：当原始变量个数较多时，所输出的相关系数矩阵特别 大，观察起来不是很方便，所以一般不会采用这两种方法

靠近1， 2非常小，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共因
i
所有的公共因子和特殊因子对变量 X i
子空间的转化性质好。
14
3、公共因子F j 方差贡献的统计意义 因子载荷矩阵中各列元素的平方和
2 S j aij i 1 p
称为所有的 F ( j 1,, m) 对 X i 的方差贡献和。衡量 F j j 的相对重要性。
2
例如，在企业形象或品牌形象的研究中，消
费者可以通过一个有24个指标构成的评价体 系，评价百货商场的24个方面的优劣。 消费者主要关心的是三个方面，即商店的环 境、商店的服务和商品的价格。 因子分析方法可以通过24个变量，找出反映 商店环境、商店服务水平和商品价格的三个 潜在的因子，对商店进行综合评价。
即 F1 , F2 ,, Fm 互不相关，方差为1。
7
12 2 2 D( ) 2 p
即互不相关，方差不一定相等， i ~ N (0, i2 ) 。
8
二、因子分析模型的性质
1、原始变量X的协 方差矩阵的分解（例8.2.1）
X - μ = AF + ε Var ( X - μ) = AVar (F) A + Var (ε)
Fij
把某个个案的得分
看着最小二乘法需要求的系数 。
24
xi1 1 a11 f1 a12 f 2 a1m f m 1 x a f a f a f i2 2 21 1 22 2 2m m 2 xip p a p1 f1 a p 2 f 2 a pm f m m
p
p
q

i 1l 1

或 X μ AF ε
称模型X μ AF ε 为正交因子模型，称 F1 , F2 ,, Fm 为公 共因子 ，它们是不可观测的变量，它们的系数矩阵 A 称为 因子载荷矩阵；aij（i=1,2,…,p,j=1,2,…,m)称为第i个变量在 第j个因子上的载荷（简称为因子载荷）， 1 , 2 ,, p 称为 特殊因子 ，它们是不能被前 m 个公共因子包含的部分；并 且满足：
实例1
(1) 为了解学生的学习能力，观测了n个学生p个科目的成绩, 用X1, X2, …, Xp 表示科目（例如代数、几何、语文、英语，……） 可以认为各科目有两部分组成： X i ai F i i 1,......, p 其中F是对所有的Xi都起作用的公共因子，它表示智能高低的 因子；系数ai称为因子载荷，表示第i各科目在智能高低上的体 i 是科目变量特有的特殊因子，描述原始变量。这就是一 现； 个最简单的因子模型。 (2) 推广到m个因子，如数学因子、记忆因子、计算因子 等，分别记为F1,…,Fm。
实例2 调查青年对婚姻家庭的态度，抽取n个青年回答了 p=50个问题的答卷，这些问题可归纳为如下的几个方面： 如对相貌的重视，对孩子的观点、对老人的态度等。 实例3 考察人体的五项生理指标：收缩压（X1)、舒张压 （X2)、心跳间隔（X3)、呼吸间隔（X4)和舌下温度（X5)。 从生理学知识，这五项指标是受植物神经支配的，植物神 经又分为交感神经和副交感神经，因此这五项指标也可以 用因子分析模型去处理。
主成分分析的成功需满足如下两点： （1）前（少数）几个主成分具有较高的累计贡献 率；（通常较易得到满足） （2）对主成分给出符合实际背景和意义的解释 。 （往往正是主成分分析的困难之处） 因子分析的用途与主成分分析类似，它也是一种降 维方法。由于因子往往比主成分更易得到解释，故 因子分析比主成分分析更容易成功，从而有更广泛 的应用。