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非线性方程组的迭代解法

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4.2 非线性方程组的迭代解法

一、 一般概念

1.非线性方程组的一般形式

0),,,(0),,,(0),,,(21212211xxxfxxxfxxxfnnnn

nxxxx21

令 )()()()(21xfxfxfxFn

则向量形式如下： 0)(xF

2.解非线性方程组的方法

（1）简单迭代法

（2）线性化方法（即Newton法）

（3）求函数极小值的方法（即最速下降法）

二、简单迭代法

RRnnxF:)(

把方程组：F（x）=0

改写成等价形式，即 )19.4)((0)(xGxxF

适当选取初始向量Dx0，利用上述的等价形式，构成迭代公式：

)20.4(,2,1,0),()()1(kxGxkk

其中G（x）为迭代函数

2.收敛性

(1)非局部收敛定理（压缩映象原理）

定理4.13 设G:RRnnD在闭区域DD0上满足条件：

（1）G把D0映入自身，

（2）G在D0上是压缩映射，

则有下列结论：

（1）对任取的Dx0)0(,由迭代公式4.20产生的序列Dxk0)(，且收敛于方程组4.19在D0内的唯一解

（2）成立误差估计式

xxLxxLkk)0()1()(*1

xxLxxkkkkL)1()()(*1

下面给出简单迭代法（4.20）局部收敛定理

定理4.14 设G:RRnnD，)int(*Dx是方程组4.19的解，G在x*处可微。若xG*的谱半径1*xG,则存在开球DxxxD0,*0，使对任意的Dx0)0(，由迭代法4.20产生的序列Dxk0)(且收敛于x*。

注：（1）但是对于线性方程组来说，上述定理成为全局收敛性定理，而不是局部收敛性定理。

（2）对于非线性方程组4.19，条件1*xG只是迭代法4.20收敛于x*的充分条件，而不是必要条件，这正是线性方程组于非线性方程组的本质区别。

三、Newton法

1.基本思想

将非线性方程线性化（利用Taylor展开），构造迭代格式。

))(,),(),((21)(xfxfxfnxFT

由一阶Taylor公式，可得

nixxxxfxfxfnjkjjjkikii,,3,2,1,)()()()(1)()()(

现在用线性方程组

0)()()()()()()(0)()()()()()()(0)()()()()()()()()()(222)()(111)()()()(2)(222)(2)(111)(2)(2)()(1)(222)(1)(111)(1)(1knnnknkknkknknknnnkkkkkkknnnkkkkkkxxxxfxxxxfxxxxfxfxxxxfxxxxfxxxxfxfxxxxfxxxxfxxxxfxf )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(222)()(111)()(2)()(2)(222)(2)(111)(2)(1)()(1)(222)(1)(111)(1knknnnknkknkknkknnkkkkkkknnnkkkkkxfxxxxfxxxxfxxxxfxfxxxxfxxxxfxxxxfxfxxxxfxxxxfxxxxf

即)())(()()()(kkkxFxxxF近似代替非线性方程组4.15，用线性方程组4.26的解作为非线性方程组4.15的第k+1个近似解，由此得到迭代公式

,2,1,0),()()(1)()()1(kxFxFxxkkkk

则，我们称上述迭代公式为求解非线性方程组4.15的Newton法

4.Newton算法

)()()(1)()(kkkxFxFx

)()1()(kkkxxx

)()()()()(kkkxFxxF

)()()1(kkkxxx

5.Newton法的优缺点

优点：收敛快，一般都能达到平方收敛。 缺点：对初值要求苛刻，且要求各个的偏导数存在.

注：为了克服这些缺点，出现了很多变种的Newton法

四、离散Newton法

1.基本思想：用差商代替导数。

Newton法中的)()(kxF，其元素)()()()()()()()(kjkijkjkijkihxfehxfxxf如果用差商代替，则可得到新的迭代公式，令

)()()()()(1)(1)(1)()()(1)()(1)(1)(11)(1)(1)()()()()()()()()()()(),()(knknnknknkknkknknknknkkkkkkkkhxfehxfhxfehxfhxfehxfhxfehxfhxJxF

则迭代公式为,2,1,0),()],([)(1)()()()1(kxFhxJxxkkkkk

2.由以上分析可知离散Newton法的迭代公式为：

,2,1,0),()],([)(1)()()()1(kxFhxJxxkkkkk 3.)(kh的选取原则

（1）保证 ： （1）,0)(kjh

（2）njDehxjkjk,,2,1,)()(

)()3(kjh有时也可取与k无关的常数，那么此时的Newton法称为Newton-Steffensen方法。在定理4.15Newton法至少平方收敛的条件下，只要cj选取恰当，Newton-Steffensen方法也收敛而且是平方收敛。

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求解非线性方程的三种新的迭代法

求解非线性方程的三种新的迭代法

求解非线性方程的三种新的迭代法

迭代法是一种通过反复递推计算得到逼近解的方法，对于非线性方程求解而言，迭代法通过不断更新变量的值，使得方程逐渐趋近于真实解。下面将介绍三种新的迭代法：逐次缩小区间法、割线法和弦截法。

第一种迭代法是逐次缩小区间法。逐次缩小区间法是一种通过不断递推缩小变量的取值范围来求解非线性方程的方法。算法步骤如下：

1. 选取一个初始区间[a, b]，使得f(a)和f(b)异号，即f(a)*f(b)<0。

2. 将区间[a, b]均分，得到区间的中点c=(a+b)/2。

3. 比较f(a)*f(c)和f(b)*f(c)，如果f(a)*f(c)<0，则说明解在区间[a, c]内；如果f(b)*f(c)<0，则说明解在区间[c, b]内。

4. 重复步骤2和步骤3，直到得到精度要求的解。

逐次缩小区间法的优点是简单易懂，计算量较小；但缺点是需要事先给出一个初始区间，初始区间的选择对结果有影响，并且对于复杂的方程可能需要很多次均分才能逼近解。

第二种迭代法是割线法。割线法是一种通过利用连续两个点的斜率来逼近解的方法。算法步骤如下：

1. 选取两个初始点x0和x1，计算出对应斜率f(x0)和f(x1)。

2. 利用斜率和已知点构造直线方程，得到直线和x轴的交点x2，并将x1更新为新的x0，x2更新为新的x1。

3. 重复步骤2，直到满足精度要求。

割线法的优点是不需要计算导数，因此适用于不易求导的情况；但缺点是可能出现迭代过程不收敛的情况，需要事先给出两个初始点，并且计算量相对较大。

弦截法与割线法相似，也是通过利用连续两个点的连线来逼近解的方法，但不同之处在于弦截法的直线是通过前两个点的连线来构造的。弦截法的优缺点与割线法类似，不需要计算导数，但迭代过程可能不收敛。

三种新的迭代法均有各自的特点和适用范围，适合于不同类型的非线性方程。在实际应用中，需要根据具体的方程和精度要求选择合适的迭代方法。而且可以借助数值计算软件和计算机进行实际求解，加快求解速度和提高求解精度。

非线性方程组的解法

非线性方程组的解法

一、实验目的与要求

通过实验，熟悉线性方程组的求根的经典解法。掌握二分法、简单迭代法、和牛顿迭代法的算法思想。理解二分法、简单迭代法、牛顿迭代法、弦截法的mathematica程序，能够采用不同的方法求出方程的根，并比较各个不同方法的优劣。

二、实验内容：

1、利用二分法及3种迭代法求方程12-3x+2cos(x)=0的解；

2、求非线性方程组

在(1,0)'的解。

二、实验要求：

1．不得使用内部命令，要编程实现。2. 每人只选一题，也可以自拟实验题，要求同上。

三、实验程序及结果：

1、作图找出根所在的区间

2、二分法

3、简单迭代法

4、牛顿迭代法

5、弦截法

6、求非线性方程组的解

四、实验总结：

非线性方程的解法主要有对分法、迭代法。区间二分法对函数要求低，计算简单；但收敛慢且对有偶数重根的情况不适合；对于牛顿迭代法，如果初始点选择的好，则收敛快，但由于每步都要计算函数值及其导函数值，程序常发生中断，且其迭代的敛散性与初始值的选择有很大关系；弦截法利用数值微分的思想，用均差代替导数，减少了计算量，但其收敛速度稍慢于牛顿法。

线性方程组的迭代解法

线性方程组的迭代解法

第７卷第１４期２００７年７月　科学技术与工程　１６７１．１８１９（２００７）１４—３３５７－０８　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　ＥＩｌｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｖｏ１．７　Ｎｏ．１４　Ｊｕｌｙ　２００７　＠２００７　Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｎｇ．　

线性方程组的迭代解法　

李爱芹　

（山东交通学院数理系，济南２５００２３）　

摘要线性方程组的数值求解常见于许多科学与工程计算领域，介绍了求解大型线性方程组的主要迭代算法。首先，对一　

些经典迭代法（Ｊａｃｏｂｉ方法、Ｇａｕｓｓ—Ｓｅｉｄｅｌ方法、ＳＯＲ方法、ＳＳＯＲ方法和ＣＧ方法等）进行了详细的讨论，并从理论上对收敛性　进行分析。其次，讨论了最新的Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ／Ｓｋｅｗ—Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ　ｓｐｌｉｔｔｉｎｇ（ＨＳＳ）迭代理论，给出了迭代公式和收敛性定理。最后，通　

过数值实验对所有迭代法的有效性进行了验证。　关键词迭代法　线性方程组　共轭梯度法ＨＳＳ迭代方法　

中图法分类号Ｏ２４１．６；　文献标识码Ａ　

在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多　

的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进　

行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如Ａ　

ｂ的大型线性方程组。２０世纪５０年代至７０年　

代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在　

计算机上用迭代法求线性方程组Ａ　＝ｂ的近似解，　

用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多　

非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储　

单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中　

始终不变等优点。例如Ｊａｃｏｂｉ方法、Ｇａｕｓｓ—Ｓｅｉｄｅｌ　

方法、ＳＯＲ方法、ＳＳＯＲ方法，这几种迭代方法是最　

常用的一阶线性定常迭代法。　

大量偏微分方程的离散形式是大规模线性代数　

方程组，其数值计算是科学工程计算的核心，占有绝　

大部分的总体运算时间，解大规模稀疏线性方程组　

的Ｋｒｙｌｏｖ子空间方法显示出与众不同的有效性。　

当矩阵是对称正定时，常用的方法是具有短递推的　

第三组：非线性方程迭代解法

第三组：非线性方程迭代解法

一：非线性方程的基本迭代方法

简单迭代法

非线性方程的一般形式f(x)=0 其中f(x)是一元非线性函数。若存在常数s使f(s)=0，则称s是方程的根。

把方程转化为其等价的方程)(xx，因而有)(ss。选定s的初始近似值0x，用迭代公式)(1kkxx，得到}{kx收敛于s，就求出了方程的解。

收敛性：)(ss,)(x在包含s的某个开区间内连续。如果|)(x|<1则存在>0，0x[s-,s+]时，由该迭代函数产生的迭代法收敛。

收敛速度：（}{kx收敛于s，ke为s与kx的差值绝对值，则ceerkkk1lim，c是常数，则该迭代是r阶收敛）

Newton法

为了使迭代的收敛速度更快，应尽可能使)(x在s处有更多阶的导数等于零。令)(x=)()(xfxhx,)(xh为待定函数，已知)(s=0，推出)(xh=)(1xf。这就得出了牛顿法的迭代形式 )()(1kkkkxfxfxx，（k=0、1、···）

牛顿法是二阶收敛的迭代方法，但是牛顿法的是局部收敛的，因此要求初值要靠近根。

求解中，对于每一个k都要计算)(kxf，而导数的计算比较麻烦，否则会产生很大误差。

割线法

在牛顿法基础上，用11)()(kkkkxxxfxf来代替)(kxf，其中1x、0x预先给定。得到了割线法的迭代形式 )()())((111kkkkkkkxfxfxxxfxx，（k=0、1、···）

割线法的收敛速度至少为1.618

这样就避免了牛顿法求导数的繁琐程序

单点割线法 单点割线法就是在割线法的基础上，用))(,(00xfx代替))(,(11kkxfx，得到的迭代形式

)()()(001kkkkkxfxfxfxxxx，（k=1、2、···）

单点割线法是一阶收敛的方法，它比割线法初值要少取一个点更加容易选取初值

二：非线性方程的迭代解法的拓展