图论基本知识
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数学中的图论与网络知识点
数学中的图论与网络知识点图论是数学中一个重要的分支领域，研究图的结构、性质以及与实际问题的应用。
而网络则是现代社会中的重要组成部分，图论在网络上的应用也日益广泛。
本文将介绍数学中的图论基本概念和网络知识点，以及它们在现实中的应用。
一、图论基本概念1. 图的定义与表示图是由节点（顶点）和边组成的一种数学结构。
节点表示对象，边表示节点之间的连接关系。
图可以用邻接矩阵或邻接表等方式进行表示与存储。
2. 图的分类图可以分为有向图和无向图。
有向图中的边有方向，无向图中的边没有方向。
根据边是否具有权重，图又可以分为带权图和无权图。
3. 图的性质图具有很多重要的性质，例如连通性、度、路径等。
连通性表示图中任意两个节点之间存在一条路径，度表示节点的相邻节点个数，路径是连接节点的边的序列。
二、图论中的常见算法1. 最短路径算法最短路径算法用于求解两个节点之间的最短路径，其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法适用于边权重为非负的图，而Floyd-Warshall算法适用于任意带权图。
2. 深度优先搜索与广度优先搜索深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是图的遍历算法。
DFS以深度优先的方式探索图中的节点，BFS以广度优先的方式探索。
这两种算法在解决连通性、拓扑排序等问题中有广泛应用。
3. 最小生成树算法最小生成树算法用于在带权图中找到权重和最小的生成树。
其中Prim算法和Kruskal算法是两种常用的最小生成树算法。
三、网络中的图论应用1. 社交网络与关系分析社交网络是图的一种应用，其中节点表示人，边表示人与人之间的社交关系。
基于图论的算法可以分析社交网络中的社区结构、关键人物等信息。
2. 网络流与最大流问题网络流是指在图中模拟流动的过程，最大流问题是求解从源节点到汇节点的最大流量。
网络流算法可以用于优化问题的求解，如分配问题、进程调度等。
3. 路由算法与网络优化路由算法是网络中常用的算法之一，用于确定数据从源节点到目的节点的传输路径。
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
离散数学图论(图、树)常考考点知识点总结
离散数学图论（图、树）常考考点知识点总结图的定义和表示1.图：一个图是一个序偶＜V , E ＞，记为G =< V ，E >，其中：① V ={V1,V2,V3,…, Vn}是有限非空集合，Vi 称为结点，V 称为节点集② E 是有限集合，称为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之为边③与边对应的结点对既可以是无序的，也可以是有序的表示方法集合表示法，邻接矩阵法2.邻接矩阵：零图的邻接矩阵全零图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点，两个端点相同的边称为环或者自回路3.零图：仅有孤立节点组成的图4.平凡图：仅含一个节点的零图无向图和有向图5.无向图：每条边都是无向边的图有向图：每条边都是有向边的图6.多重图：含有平行边的图(无向图中，两结点之间包括结点自身之间的几条边；有向图中同方向的边)7.线图：非多重图8.重数：平行边的条数9..简单图：无环的线图10.子图，真子图，导出子图，生成子图，补图子图：边和结点都是原图的子集，则称该图为原图的子图真子图（该图为原图的子图，但是不跟原图相等）11.生成子图：顶点集跟原图相等，边集是原图的子集12.导出子图：顶点集是原图的子集，边集是由顶点集在原图中构成的所有边构成的图完全图（任何两个节点之间都有边）13.完全图：完全图的邻接矩阵主对角线的元素全为0，其余元素都是114.补图：完全图简单图15.自补图：G与G的补图同构，则称自补图16.正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图17.结点的度数利用邻接矩阵求度数：18.握手定理：图中结点度数的总和等于边数的两倍推论：度数为奇数的结点个数为偶数有向图中，所有结点的入度=出度=边数19.图的度数序列：出度序列+入度序列20.图的同构：通俗来说就是两个图的顶点和边之间有双射关系，并且每条边对应的重数相同（也就是可任意挪动结点的位置，其他皆不变）21.图的连通性及判定条件可达性：对节点vi 和vj 之间存在通路，则称vi 和vj 之间是可达的22.无向图的连通性：图中每两个顶点之间都是互相可达的23..强连通图：有向图G 的任意两个顶点之间是相互可达的判定条件：G 中存在一条经过所有节点至少一次的回路24.单向连通图：有向图G 中任意两个顶点之间至少有一个节点到另一个节点之间是可达的判定条件：有向图G 中存在一条路经过所有节点25.弱连通图：有向图除去方向后的无向图是连通的判定条件：有向图邻接矩阵与转置矩阵的并是全一的矩阵26.点割：设无向图G=<V,E>为联通图，对任意的顶点w  V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点；27.点割集：设无向图G=<V,E>为连通图，若存在点集 ，当删除 中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的；而删除了V1的任何真子集 及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集设无向图G=<V,E>为连通图，任意边e  E,若删除e后无向图不再联通，则称e 为割边，也成为桥28.边割集：欧拉图，哈密顿图，偶图（二分图），平面图29.欧拉通路（回路）：图G 是连通图，并且存在一条经过所有边一次且仅一次的通路（回路）称为拉通路（回路）30.欧拉图：存在欧拉通路和回路的图31.半欧拉图：有通路但没有欧拉回路32.欧拉通路判定：图G 是连通的，并且有且仅有零个或者两个奇度数的节点欧拉回路判定：图G 是连通的，并且所有节点的度数均为偶数有向欧拉图判定：图G 是连通的，并且所有节点的出度等于入度33.哈顿密图：图G 中存在一条回路，经过所有点一次且仅一次34..偶图：图G 中的顶点集被分成两部分子集V1,V2，其中V1nV2= o ,V1UV2= V ，并且图G 中任意一条边的两个端点都是一个在V1中，一个在V2中35.平面图：如果把无向图G 中的点和边画在平面上，不存在任何两条边有不在端点处的交叉点，则称图G 是平面图，否则是非平面图36.图的分类树无向树和有向树无向树：连通而不含回路的无向图称为无向树生成树：图G 的某个生成子图是树有向树：一个有向图，略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树最小生成树最小生成树：设G -< V . E 是连通赋权图，T 是G 的一个生成树，T 的每个树枝所赋权值之和称为T 的权，记为W ( T . G 中具有最小权的生成树称为G 的最小生成树最优树（哈夫曼树）设有一棵二元树，若对所有的树叶赋以权值w1,w2… wn ，则称之为赋权二元树，若权为wi 的叶的层数为L ( wi )，则称W ( T )= EWixL ( wi ）为该赋权二元树的权，W ）最小的二元树称为最优树。
图论基础知识的名词解释
图论基础知识的名词解释图论是数学的一个分支，研究图的属性和关系。
图是由节点和节点之间的边组成的抽象模型，被广泛应用于计算机科学、网络分析、医学和社会科学等领域。
下面，我们将解释一些图论中常用的基础概念和术语。
1. 图 (Graph)图是图论研究的基本对象，由一组节点和连接这些节点的边组成。
节点也被称为顶点 (Vertex)，边则是节点之间的连接线。
图可以分为有向图 (Directed Graph) 和无向图 (Undirected Graph) 两种类型。
在有向图中，边有方向，从一个节点指向另一个节点；而在无向图中，边没有方向，节点之间的关系是双向的。
2. 顶点度数 (Degree of a Vertex)顶点度数指的是一个顶点与其他顶点相邻的边的数量。
在无向图中，顶点度数即与该顶点相连的边的数量；在有向图中，则分为入度 (In-degree) 和出度 (Out-degree)。
入度表示指向该节点的边的数量，而出度表示从该节点出发的边的数量。
3. 路径 (Path)路径指的是通过边连接的一系列节点，形成的顺序序列。
路径的长度是指路径上边的数量。
最短路径 (Shortest Path) 是指连接两个节点的最短长度的路径。
最短路径算法被广泛应用于计算机网络中的路由选择和地图导航系统中的路径规划。
4. 连通图 (Connected Graph)连通图是指图中的任意两个节点之间都存在路径的图。
如果一个图不是连通图，那么它可以被分割为多个连通分量 (Connected Component)。
连通图在社交网络分析和传感器网络等领域中具有重要的应用。
5. 完全图 (Complete Graph)完全图是指任意两个节点之间都存在边的图。
在完全图中，每对节点之间都有一条边相连。
n个节点的完全图有n(n-1)/2条边。
完全图经常用于描述需要互相交流的问题，如计算机网络中的通信。
6. 树 (Tree)树是一种无环连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径相连。
图论概念定理知识点梳理
图论基本知识点梳理第一部分(基本概念)1.G连通的充分必要条件是(G) = 1 o或若|V(G) |=2k，且对—v V(G)，有d(v) _ k，则G是连通图。
4•图G为二分图当且仅当G中无奇圈。
5•在仅两个奇次顶点的图中，此二奇次顶点连通。
6•设G为简单图，若、；(G) _ 2，则G中有圈。
7.设G为简单图，若「.(G) 一3，则G中有偶圈。
具体地，(1)单星妖怪中有偶圈。
⑵在k -正则图G中，若k _3，则G中有偶圈。
8•简单图G与其补图G c不能都不连通。
29•在."■：的三角剖分中，正常三角形为奇数个。
10•以下等价(1) G是树(无圈连通图)° (2) G中任两顶点间恰有一条轨。
⑶G 无圈，=■…1。
(4) G是连通图，；-、•-1 ° (5) G是连通图，且对G的任意边e, G -e不连通。
(树每边皆割边)(6) G无圈，且对任一不在E(G)的边e, G e恰含一个圈。
11. 若G连通，则；(G) (G)-1。
G的生成树是G最小的连通生成子图。
12. G是连通图的充分必要条件是G有生成树。
13. > - 2的树T至少有两个叶。
14. 完全图K n的生成树个数・(K n)二n n°。
15. 图G可平面嵌入的充分必要条件是G可以球面嵌入。
(染地球上各国等价于染地图上各国)16. (Euler公式) G是连通平面图，贝X - ；「- 2.17. 证明：若G是、-3的连通平面图，则；乞3 -6。
18. 证明：平面图G的最小顶点次数5。
19 -3平面图G是极大平面图的充要条件是G的平面嵌入的每个面皆三角形。
' -3平面图G是极大平面图的充要条件是；=3二-6。
20 G是平面图当且仅当G中不含与K5和K3,3同胚的子图。
21 M是图G的最大匹配当且仅当G中无M的可增广轨。
22婚配定理：设G是具有二分类(X,Y)的偶图，存在把X中顶点皆许配的匹配的充要条件是-s X,|N(S)|」S|,其中N(S)是S中每个顶点的邻点组成的所谓S的邻集推论：k -正则二分图有完美匹配，k .0。
图论常考知识点总结
图论常考知识点总结1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合构成的。
顶点之间的连接称为边，边可以有方向也可以没有方向。
若图的边没有方向，则称图为无向图；若图的边有方向，则称图为有向图。
图的表示方式：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合存储稠密图，邻接表适合存储稀疏图。
2. 图的连通性连通图：如果图中任意两点之间都存在路径，则称该图是连通图。
强连通图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相同的路径，称为强连通图。
弱连通图：有向图中，去掉每条边的方向之后，所得到的无向图是连通图，称为弱连通图。
3. 图的遍历深度优先搜索（DFS）：从起始顶点出发，沿着一条路往前走，走到不能走为止，然后退回到上一个分支点，再走下一条路，直到走遍图中所有的顶点。
广度优先搜索（BFS）：从起始顶点出发，先访问它的所有邻居顶点，再按这些邻居顶点的顺序依次访问它们的邻居顶点，依次类推。
4. 最短路径狄克斯特拉算法：用于计算图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
弗洛伊德算法：用于计算图中所有顶点之间的最短路径。
5. 最小生成树普里姆算法：用于计算无向图的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法：用于计算无向图的最小生成树。
6. 拓扑排序拓扑排序用于有向无环图中对顶点进行排序，使得对每一条有向边(u,v)，满足排序后的顶点u在顶点v之前。
以上就是图论中一些常考的知识点，希望对大家的学习有所帮助。
当然，图论还有很多其他的知识点，比如欧拉图、哈密顿图、网络流等，这些内容都值得我们深入学习和探讨。
图论在实际应用中有着广泛的应用，掌握好图论知识对于提升计算机科学和工程学的技能水平有着重要的意义。
图论基础知识
图论基本知识对于网络的研究，最早是从数学家开始的，其基本的理论就是图论，它也是目前组合数学领域最活跃的分支。
我们在复杂网络的研究中将要遇到的各种类型的网络，无向的、有向的、加权的……这些都可以用图论的语言和符号精确简洁地描述。
图论不仅为物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。
图论，尤其是随机图论已经与统计物理并驾齐驱地成为研究复杂网络的两大解析方法之一。
考虑到物理学家对于图论这一领域比较陌生，我在此专辟一章介绍图论的基本知识，同时将在后面的章节中不加说明地使用本章定义过的符号。
进一步研究所需要的更深入的图论知识，请参考相关文献[1-5]。
本章只给出非平凡的定理的证明，过于简单直观的定理的证明将留给读者。
个别定理涉及到非常深入的数学知识和繁复的证明，我们将列出相关参考文献并略去证明过程。
对于图论知识比较熟悉的读者可以直接跳过此章，不影响整体阅读。
图的基本概念图G 是指两个集合(V ，E)，其中集合E 是集合V×V 的一个子集。
集合V 称为图的顶点集，往往被用来代表实际系统中的个体，集合E 被称为图的边集，多用于表示实际系统中个体之间的关系或相互作用。
若{,}x y E ，就称图G 中有一条从x 到y 的弧（有向边），记为x→y ，其中顶点x 叫做弧的起点，顶点y 叫做弧的终点。
根据定义，从任意顶点x 到y 至多只有一条弧，这是因为如果两个顶点有多种需要区分的关系或相互作用，我们总是乐意在多个图中分别表示，从而不至于因为这种复杂的关系而给解析分析带来困难。
如果再假设图G 中不含自己到自己的弧，我们就称图G 为简单图，或者更精确地叫做有向简单图。
以后如果没有特殊的说明，所有出现的图都是简单图。
记G 中顶点数为()||G V ν=，边数为()||G E ε=，分别叫做图G 的阶和规模，显然有()()(()1)G G G ενν≤-。
图2.1a 给出了一个计算机分级网络的示意图，及其表示为顶点集和边集的形式。
图论基础知识
常州市第一中学 林厚从
图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 对下面两个图分别进行深度优先遍历，写出遍历结果。 注意：分别从a和V1出发。
左图从顶点a出发，进行深度优先遍历的结果为：a，b，c，d，e，g，f 右图从V1出发进行深度优先遍历的结果为：V1，V2，V4，V8，V5，V3，V6，V7
邻接矩阵
边集数组
邻接表
优点O（1）
存储稀疏图时，空 间效率比较好，也 比较直观
便于查找任一顶点的关联边及 关联点,查找运算的时间复杂 性平均为O(e/n)
存储稀疏图，会造 成很大的空间浪费
不适合对顶点的运 算和对任意一条边 的运算
要查找一个顶点的前驱顶点和以此顶点 为终点的边、以及该顶点的入度就不方 便了，需要扫描整个表，时间复杂度为O （n+e）。可以用十字邻接表改进
被访问一次，这种运算操作被称为图的遍历。为了避免重复访问某个 顶点，可以设一个标志数组visited[i]，未访问时值为false，访问一次 后就改为true。
图的遍历分为深度优先遍历和广度（宽度）优先遍历两种方法。 图的深度优先遍历：类似于树的先序遍历。从图中某个顶点Vi出发， 访问此顶点并作已访问标记，然后从Vi的一个未被访问过的邻接点Vj出 发再进行深度优先遍历，当Vi的所有邻接点都被访问过时，则退回到上 一个顶点Vk，再从Vk的另一个未被访问过的邻接点出发进行深度优先遍 历，直至图中所有顶点都被访问到为止。
常州市第一中学 林厚从
图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 对于一个连通图，深度优先遍历的递归过程如下：
Procedure dfs(i:integer)； {图用邻接矩阵存储} Begin
访问顶点i； Visited[i]:=True； For j:=1 to n do {按深度优先搜索的顺序遍历与i相关联的所有顶点}
图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 对下面两个图分别进行深度优先遍历，写出遍历结果。 注意：分别从a和V1出发。
左图从顶点a出发，进行深度优先遍历的结果为：a，b，c，d，e，g，f 右图从V1出发进行深度优先遍历的结果为：V1，V2，V4，V8，V5，V3，V6，V7
邻接矩阵
边集数组
邻接表
优点O（1）
存储稀疏图时，空 间效率比较好，也 比较直观
便于查找任一顶点的关联边及 关联点,查找运算的时间复杂 性平均为O(e/n)
存储稀疏图，会造 成很大的空间浪费
不适合对顶点的运 算和对任意一条边 的运算
要查找一个顶点的前驱顶点和以此顶点 为终点的边、以及该顶点的入度就不方 便了，需要扫描整个表，时间复杂度为O （n+e）。可以用十字邻接表改进
被访问一次，这种运算操作被称为图的遍历。为了避免重复访问某个 顶点，可以设一个标志数组visited[i]，未访问时值为false，访问一次 后就改为true。
图的遍历分为深度优先遍历和广度（宽度）优先遍历两种方法。 图的深度优先遍历：类似于树的先序遍历。从图中某个顶点Vi出发， 访问此顶点并作已访问标记，然后从Vi的一个未被访问过的邻接点Vj出 发再进行深度优先遍历，当Vi的所有邻接点都被访问过时，则退回到上 一个顶点Vk，再从Vk的另一个未被访问过的邻接点出发进行深度优先遍 历，直至图中所有顶点都被访问到为止。
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图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 对于一个连通图，深度优先遍历的递归过程如下：
Procedure dfs(i:integer)； {图用邻接矩阵存储} Begin
访问顶点i； Visited[i]:=True； For j:=1 to n do {按深度优先搜索的顺序遍历与i相关联的所有顶点}
图论基础知识汇总
图论基础知识汇总(总32页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
图论基本知识
图的若干概念
• 权 (weight) ：在某些图的应用中，边（弧）上具 有与它相关的系数，称之为权。这些权可以表示 从一个顶点到另一个顶点的距离、花费的代价、 所需的时间、次数等。这种带权图也被称为网络 (network)。
• 顶点的度(degree)：在无向图中，一个顶点v的度 是依附于顶点v的边的条数，记作TD(v)。在有向 图中，以顶点v为始点的有向边的条数称为顶点v 的出度，记作OD(v)；以顶点v为终点的有向边的 条数称为顶点v的入度，记作ID(v)。有向图中顶 点v的度等于该顶点的入度与出度之和：TD(v)＝ ID(v)十OD(v)。
无向图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有向图
在图中如果顶点对(v、w)是无序的，则称此图为无 向图(undirected graph)，顶点对(v、w)称为与顶点v和 顶点w相关联的一条边。由于这条边没有方向，所以(v、 w)与(w、v)是同一条边； 在图中如果顶点对＜v、w＞是有序的，则称此图 为有向图(directed graph)，顶点对＜v、w＞称为从顶 点v到顶点w的一条有向边（又称为弧），其中v称为有 向边＜v、w＞的始点（弧尾）；w称为有向边＜v、w ＞的终点（弧头）。显然＜v、w＞与＜w、v＞是两条 不同的弧。
图的存储结构
• 邻接矩阵 • 邻接表
拓扑排序
拓扑排序算法可以描述如下： （1）建立入度为零的顶点栈； （2）当入度为零的顶点栈为空时算法转步骤 （6），否则继续步骤（3）； （3）入度为零的顶点栈中栈顶元素v出栈,并输出 之顶点v； （4）从AOV网络中删去顶点v和所有从顶点v发出 的弧<v、j>，并将顶点j的入度减一； （5）如果顶点j入度减至0，则将该顶点进入入度 为零的顶点栈；转步骤（2）； （6）如果输出顶点个数少于AOV网络的顶点个数， 则输出网络中存在有向环的信息；算法结束。
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vV
d (u3 ) 1
d (u3 ) 2
推论 任何图中奇点 的个数为偶数．
d (v1 ) 4
d (u3 ) 3
5) 路和连通 定义1) 无向图G的一条途径（或通道或链）是指 一个有限非空序列 W v0e1v1e2 ek vk ，它的项交替 地为顶点和边，使得对 1 i k，ei的端点是 vi 1和 vi , 称W是从v0 到 vk 的一条途径，或一条 (v0 , vk ) 途径. 整 数k称为W的长. 顶点 v0 和 vk 分别称为的起点和终点 , 而 v1, v2 ,, vk 1 称为W的内部顶点. 2) 若途径W的边互不相同但顶点可重复，则称W 为迹或简单链. 3) 若途径W的顶点和边均互不相同，则称W为路 或路径. 一条起点为 v0 ,终点为 vk 的路称为 (v0 , vk ) 路 记为P(v0 , vk ).
2) 对有向图 G (V , E ) ,其邻接矩阵 A (aij ) ,其中：
1, 若(vi , v j ) E , aij 0, 若(vi , v j ) E.
u1 u2 0 0 A 0 0
u3 u4
1 1 1 u1 0 0 0 u2 1 0 0 u3 u 0 1 0 4
，
K6
Y : y1 y2 y3 y4 Y : y1 y2 y3 y4 K3, 4 二部图
K1, 4
2) 赋权图与子图
定义 若图 G (V (G), E (G)) 的每一条边e 都赋以 一个实数w(e)，称w(e)为边e的权，G 连同边上的权 称为赋权图. 定义 设 G (V , E )和 G (V , E) 是两个图. 1) 若V V , E E ,称 G是 G 的一个子图,记 G G. E 2) 若 V V， E ，则称 G是 G 的生成子图. 3) 若 V V，且 V ，以 V 为顶点集，以两端点 均在 V 中的边的全体为边集的图 G 的子图，称 为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[V ] . 4) 若E E，且 E ，以 E为边集，以 E 的端点 集为顶点集的图 G 的子图，称为 G 的由 E 导出的 边导出的子图，记为 G[E] .
组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到 全县各乡（镇）、村巡视. 巡视路线指从县政府 所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政
府所在地的路线.
1）若分三组（路）巡视，试设计总路程最 短且各组尽可能均衡的巡视路线. 2）假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2 小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视，至少应分 几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.
2) 对有向图 G (V , E ) ，其关联矩阵 M (mij ) , 其中：
1, 若vi是e j的尾, mij 1, 若vi是e j的头, 0, 若v 不是e 的头与尾. i j
e1 e2
e3 e4
e5
1 0 1 1 0 u1 1 1 0 0 0 u 2 M 0 1 1 0 1 u3 0 0 0 1 1 u 4
本题是旅行售货员问题的延伸－多旅行售货员问题. 本题所求的分组巡视的最佳路线，也就是m条 经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到 最小的闭链（闭迹）. 如第一问是三个旅行售货员问题，第二问是四 个旅行售货员问题. 众所周知，旅行售货员问题属于NP完全问题， 即求解没有多项式时间算法. 显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此， 一定要针对问题的实际特点寻找简便方法，想找到
图论模型
1. 问题引入与分析 2. 图论的基本概念 3. 最短路问题及算法 4. 最小生成树及算法 5. 旅行售货员问题
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6. 模型建立与求解
1. 问题引入与分析
1)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾
情巡视路线”中的前两个问题是这样的：
今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、
公路边的数字为该路段的公里数.
2) 问题分析： 本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不 同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线. 将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡 镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条 公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所 给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中 一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络 图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次 再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.
a4 (u4 , u5 ) ， a5 (u4 , u3 ) ， a6 (u3 , u4 ) ， a7 (u1, u3 ) . （见右图 3）
常用术语
1) 边和它的两端点称为互相关联. 2)与同一条边关联的两个端点称 为相邻的顶点，与同一个顶点 点关联的两条边称为相邻的边. 3) 端点重合为一点的边称为环， 端点不相同的边称为连杆.
例 设 H (V ( H ), E ( H )) ，其中：
V ( H ) {u1, u2 , u3 , u4 , u5}，
E ( H ) {a1, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 }， a1 (u1, u2 ) ， a2 (u2 , u2 ) ， a3 (u4 , u2 ) ，
3) 图的矩阵表示 (以下均假设图为简单图). 邻接矩阵: 1) 对无向图 G，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中： 1, 若vi与v j 相邻, aij 0, 若vi与v j不相邻. v1 v2 v3 v4 v5
0 1 A 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 v1 0 0 v2 1 1 v3 0 0 v4 0 0 v5
3) 对有向赋权图 G (V , E ) , 其邻接矩阵 A (aij ) , 其中： wij , 若(vi , v j ) E , 且wij为其权， aij 0， i j, , 若(vi , v j ) E.
u1 u2 u3 u4 0 3 7 8 u1 0 u 2 A 6 0 u3 4 0 u 4
4) 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边 称为重边．
5) 既没有环也没有重边的图，称为简单图．
常用术语 6) 任意两顶点都相邻的简单图,称为完全图. 记为Kv.
X 7) 若 V (G ) X Y， Y ，且X 中任意两顶点不 相邻，Y 中任意两顶点不相邻，则称为二部图或 偶图；若X中每一顶点皆与Y 中一切顶点相邻,称为 完全二部图或完全偶图,记为 K m,n (m=|X|,n=|Y|)． 8) 图 K1,n 叫做星. X : x1 x2 x3 X : x1 x2 x3
4) 图的顶点度
定义 1) 在无向图G中，与顶点v关联的边的数目(环 算两次),称为顶点v的度或次数，记为d(v)或 dG(v). 称度为奇数的顶点为奇点，度为偶数的顶点为偶点. 2) 在有向图中，从顶点v引出的边的数目称为顶点 v的出度，记为d+(v)，从顶点v引入的边的数目称为 v的入度，记为d -(v). 称d(v)= d+(v)+d -(v)为顶点v的 度或次数． 定理 d (v) 2 .
例设 G (V (G), E (G)) ， 其中：V (G ) {v1, v2 , v3 , v4}，
E (G ) {e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e6} ， e1 v1v1，e2 v2v3，e3 v1v3 ，
e e e4 v1v4 ， 5 v3v4， 6 v3v4 .
G[{v1, v2 , v3}]
G[{e3 , e4 , e5 , e6}]
3) 若 V V，且 V ，以 V 为顶点集，以两端点 均在 V 中的边的全体为边集的图 G 的子图，称 为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[V ] . 4) 若E E，且 E ，以 E为边集，以 E 的端点 集为顶点集的图 G 的子图，称为 G 的由 E 导出的 边导出的子图，记为 G[E] .
（见图 2）
定义 若一个图的顶点集和边集都是有限集，则称 其为有限图. 只有一个顶点的图称为平凡图，其他的
所有图都称为非平凡图.
定义若图G中的边均为有序偶对 (vi , v j ),称G为有向 图. 称边 e (vi , v j ) 为有向边或弧,称 e (vi , v j )是从vi 连接 v j ，称 vi为e的尾，称 v j为e的头. 若图G中的边均为无序偶对 vi v j ，称G为无向图.称 边 e vi v j 为无向边，称e连接 vi 和 v j，顶点 vi 和 v j 称 为e的端点. 既有无向边又有有向边的图称为混合图.
uavdxcw 路或路径：
圈或回路：uavbwcxfyg u
3．最短路问题及算法
最短路问题是图论应用的基本问题，很多实际 问题，如线路的布设、运输安排、运输网络最小费 用流等问题,都可通过建立最短路问题模型来求解. •最短路的定义 •最短路问题的两种方法：Dijkstra和Floyd算法 . 1) 求赋权图中从给定点到其余顶点的最短路. 2) 求赋权图中任意两点间的最短路.
对于无向赋权图的邻接矩阵可类似定义.
关联矩阵 1) 对无向图 G (V , E ) ，其关联矩阵 M (mij ) , 其中： 1, 若vi与e j 相关联, mij 0, 若vi与e j不关联.
e1 e2 M 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 e3 e4 0 1 1 0 0 e5 0 0 v1 0 0 v2 1 1 v3 1 0 v4 0 1 v5
定义 1) 途径 W v0e1v1...ek vk 中由相继项构成子序列 vi ei 1vi 1...e j v j 称为途径W的节. 2) 起点与终点重合的途径称为闭途径. 3) 起点与终点重合的的路称为圈(或回路)，长 为k的圈称为k阶圈，记为Ck. 4) 若在图G中存在(u,v)路，则称顶点u和v在图G 中连通. 5) 若在图G中顶点u和v是连通的，则顶点u和v之 之间的距离d(u,v)是指图G中最短(u,v)路的长；若没 没有路连接u和v，则定义为无穷大.
d (u3 ) 1
d (u3 ) 2
推论 任何图中奇点 的个数为偶数．
d (v1 ) 4
d (u3 ) 3
5) 路和连通 定义1) 无向图G的一条途径（或通道或链）是指 一个有限非空序列 W v0e1v1e2 ek vk ，它的项交替 地为顶点和边，使得对 1 i k，ei的端点是 vi 1和 vi , 称W是从v0 到 vk 的一条途径，或一条 (v0 , vk ) 途径. 整 数k称为W的长. 顶点 v0 和 vk 分别称为的起点和终点 , 而 v1, v2 ,, vk 1 称为W的内部顶点. 2) 若途径W的边互不相同但顶点可重复，则称W 为迹或简单链. 3) 若途径W的顶点和边均互不相同，则称W为路 或路径. 一条起点为 v0 ,终点为 vk 的路称为 (v0 , vk ) 路 记为P(v0 , vk ).
2) 对有向图 G (V , E ) ,其邻接矩阵 A (aij ) ,其中：
1, 若(vi , v j ) E , aij 0, 若(vi , v j ) E.
u1 u2 0 0 A 0 0
u3 u4
1 1 1 u1 0 0 0 u2 1 0 0 u3 u 0 1 0 4
，
K6
Y : y1 y2 y3 y4 Y : y1 y2 y3 y4 K3, 4 二部图
K1, 4
2) 赋权图与子图
定义 若图 G (V (G), E (G)) 的每一条边e 都赋以 一个实数w(e)，称w(e)为边e的权，G 连同边上的权 称为赋权图. 定义 设 G (V , E )和 G (V , E) 是两个图. 1) 若V V , E E ,称 G是 G 的一个子图,记 G G. E 2) 若 V V， E ，则称 G是 G 的生成子图. 3) 若 V V，且 V ，以 V 为顶点集，以两端点 均在 V 中的边的全体为边集的图 G 的子图，称 为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[V ] . 4) 若E E，且 E ，以 E为边集，以 E 的端点 集为顶点集的图 G 的子图，称为 G 的由 E 导出的 边导出的子图，记为 G[E] .
组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到 全县各乡（镇）、村巡视. 巡视路线指从县政府 所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政
府所在地的路线.
1）若分三组（路）巡视，试设计总路程最 短且各组尽可能均衡的巡视路线. 2）假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2 小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视，至少应分 几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.
2) 对有向图 G (V , E ) ，其关联矩阵 M (mij ) , 其中：
1, 若vi是e j的尾, mij 1, 若vi是e j的头, 0, 若v 不是e 的头与尾. i j
e1 e2
e3 e4
e5
1 0 1 1 0 u1 1 1 0 0 0 u 2 M 0 1 1 0 1 u3 0 0 0 1 1 u 4
本题是旅行售货员问题的延伸－多旅行售货员问题. 本题所求的分组巡视的最佳路线，也就是m条 经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达到 最小的闭链（闭迹）. 如第一问是三个旅行售货员问题，第二问是四 个旅行售货员问题. 众所周知，旅行售货员问题属于NP完全问题， 即求解没有多项式时间算法. 显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此， 一定要针对问题的实际特点寻找简便方法，想找到
图论模型
1. 问题引入与分析 2. 图论的基本概念 3. 最短路问题及算法 4. 最小生成树及算法 5. 旅行售货员问题
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6. 模型建立与求解
1. 问题引入与分析
1)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾
情巡视路线”中的前两个问题是这样的：
今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、
公路边的数字为该路段的公里数.
2) 问题分析： 本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不 同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线. 将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡 镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条 公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所 给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中 一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络 图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次 再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.
a4 (u4 , u5 ) ， a5 (u4 , u3 ) ， a6 (u3 , u4 ) ， a7 (u1, u3 ) . （见右图 3）
常用术语
1) 边和它的两端点称为互相关联. 2)与同一条边关联的两个端点称 为相邻的顶点，与同一个顶点 点关联的两条边称为相邻的边. 3) 端点重合为一点的边称为环， 端点不相同的边称为连杆.
例 设 H (V ( H ), E ( H )) ，其中：
V ( H ) {u1, u2 , u3 , u4 , u5}，
E ( H ) {a1, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 }， a1 (u1, u2 ) ， a2 (u2 , u2 ) ， a3 (u4 , u2 ) ，
3) 图的矩阵表示 (以下均假设图为简单图). 邻接矩阵: 1) 对无向图 G，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中： 1, 若vi与v j 相邻, aij 0, 若vi与v j不相邻. v1 v2 v3 v4 v5
0 1 A 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 v1 0 0 v2 1 1 v3 0 0 v4 0 0 v5
3) 对有向赋权图 G (V , E ) , 其邻接矩阵 A (aij ) , 其中： wij , 若(vi , v j ) E , 且wij为其权， aij 0， i j, , 若(vi , v j ) E.
u1 u2 u3 u4 0 3 7 8 u1 0 u 2 A 6 0 u3 4 0 u 4
4) 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边 称为重边．
5) 既没有环也没有重边的图，称为简单图．
常用术语 6) 任意两顶点都相邻的简单图,称为完全图. 记为Kv.
X 7) 若 V (G ) X Y， Y ，且X 中任意两顶点不 相邻，Y 中任意两顶点不相邻，则称为二部图或 偶图；若X中每一顶点皆与Y 中一切顶点相邻,称为 完全二部图或完全偶图,记为 K m,n (m=|X|,n=|Y|)． 8) 图 K1,n 叫做星. X : x1 x2 x3 X : x1 x2 x3
4) 图的顶点度
定义 1) 在无向图G中，与顶点v关联的边的数目(环 算两次),称为顶点v的度或次数，记为d(v)或 dG(v). 称度为奇数的顶点为奇点，度为偶数的顶点为偶点. 2) 在有向图中，从顶点v引出的边的数目称为顶点 v的出度，记为d+(v)，从顶点v引入的边的数目称为 v的入度，记为d -(v). 称d(v)= d+(v)+d -(v)为顶点v的 度或次数． 定理 d (v) 2 .
例设 G (V (G), E (G)) ， 其中：V (G ) {v1, v2 , v3 , v4}，
E (G ) {e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e6} ， e1 v1v1，e2 v2v3，e3 v1v3 ，
e e e4 v1v4 ， 5 v3v4， 6 v3v4 .
G[{v1, v2 , v3}]
G[{e3 , e4 , e5 , e6}]
3) 若 V V，且 V ，以 V 为顶点集，以两端点 均在 V 中的边的全体为边集的图 G 的子图，称 为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[V ] . 4) 若E E，且 E ，以 E为边集，以 E 的端点 集为顶点集的图 G 的子图，称为 G 的由 E 导出的 边导出的子图，记为 G[E] .
（见图 2）
定义 若一个图的顶点集和边集都是有限集，则称 其为有限图. 只有一个顶点的图称为平凡图，其他的
所有图都称为非平凡图.
定义若图G中的边均为有序偶对 (vi , v j ),称G为有向 图. 称边 e (vi , v j ) 为有向边或弧,称 e (vi , v j )是从vi 连接 v j ，称 vi为e的尾，称 v j为e的头. 若图G中的边均为无序偶对 vi v j ，称G为无向图.称 边 e vi v j 为无向边，称e连接 vi 和 v j，顶点 vi 和 v j 称 为e的端点. 既有无向边又有有向边的图称为混合图.
uavdxcw 路或路径：
圈或回路：uavbwcxfyg u
3．最短路问题及算法
最短路问题是图论应用的基本问题，很多实际 问题，如线路的布设、运输安排、运输网络最小费 用流等问题,都可通过建立最短路问题模型来求解. •最短路的定义 •最短路问题的两种方法：Dijkstra和Floyd算法 . 1) 求赋权图中从给定点到其余顶点的最短路. 2) 求赋权图中任意两点间的最短路.
对于无向赋权图的邻接矩阵可类似定义.
关联矩阵 1) 对无向图 G (V , E ) ，其关联矩阵 M (mij ) , 其中： 1, 若vi与e j 相关联, mij 0, 若vi与e j不关联.
e1 e2 M 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 e3 e4 0 1 1 0 0 e5 0 0 v1 0 0 v2 1 1 v3 1 0 v4 0 1 v5
定义 1) 途径 W v0e1v1...ek vk 中由相继项构成子序列 vi ei 1vi 1...e j v j 称为途径W的节. 2) 起点与终点重合的途径称为闭途径. 3) 起点与终点重合的的路称为圈(或回路)，长 为k的圈称为k阶圈，记为Ck. 4) 若在图G中存在(u,v)路，则称顶点u和v在图G 中连通. 5) 若在图G中顶点u和v是连通的，则顶点u和v之 之间的距离d(u,v)是指图G中最短(u,v)路的长；若没 没有路连接u和v，则定义为无穷大.