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江苏省泰兴中学高一数学教学案()
必修数列的求和
班级姓名
目标要求：
会利用等差、等比数列求和公式求某些特殊数列的和
重点难点：
重点：掌握数列求和常用方法：公式法、裂项求和法、分组求和法、错位相减法、倒序相加法.
难点：错位相减法
典例剖析：
例．求的和
例．求数列.前项和
例．求数列前项和
例．求和
学后反思
求数列前项和时要注意对数列的通项公式进行观察和变形，把一些特殊数列的求和问题转化为等差或等比数列求和的问题
数列求和的常用方法：、、、、
课堂练习
、设，则的值为.
、求和：
、数列前项的和是
、求数列前项的和。
数列〔1〕海州高级中学李旭萃教学目标：1 了解数列的概念和分类，理解数列的实质即一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；2．理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．教学重点：1．理解数列的概念；2．会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．教学难点：1．理解数列的实质：一种特殊的函数；2．能根据简单数列的前几项写出数列的通项公式教学方法：采用启发式的教学方法，通过问题激发学生求知欲，引用生活中的实力让学生主动参与数学实践活动中来，并以独立思考和相互交流的形式，在老师的引导下总结数列的概念。
教学过程：一、问题情境1．情境：青蛙的儿歌导入新课剧场座位：，，，，，．．．〔1〕彗星出现的年份：，，，，，．．．〔2〕细胞分裂的个数：，，，，，．．．〔3〕各年树木的枝干数： 1，，，，，，．．．〔4〕我国参加9次奥运会获金牌数，，，，，，51,28,26 〔5〕2．问题：这些问题有什么共同特点？二、学生活动问题，教师引导学生体会例子中出现的几组数据的顺序都是不可调换的，是学生理解顺序变化对这列数字的影响．从而生成数列的概念。
三、建构数学1．数列：按照一定次序排列的一列数称为数列．数列的一般形式可以写成，，，．．．，，．．．，简记为．2．项：数列中的每个数都叫做这个数列的项．称为数列的第项〔或称为首项〕，称为第项，．．．，称为第项．比照数列和集合的概念，比拟两者的区别：〔1〕数列中的项是有序的，而集合中的项是无序的；〔2〕数列中的项可以重复，而集合中的元素不能重复．给出数列的概念后让学生用数列去表示：“一尺之棰〞每日剩下的局部：1，，，，，．．．3．有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．通项公式．一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示．那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5、数列是特殊的函数．在数列中，对于每一个正整数〔或｛1，2，…,｝〕，都有一个数与之对应．因此，数列可以看成以正整数集N〔或它的有限子集｛1，2，…,｝〕为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果〔，…〕有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…．〔强调有序性〕提出数列是一种特殊的函数后，给出两组数列的通项公式，画出其图像，说明数列的图像是一些离散的点。
数列专题复习1——数列求和问题教学目标：1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式；2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．教学重点：等差、等比数列的求和公式及非等差、等比数列求和的几种常见方法的应用． 教学难点：非等差、等比数列的求和．教学方法：启发式、讲练结合．教学过程：一、问题情境问题1 求和是数列问题中考查的一个重要方面，我们已经学过的数列求和有哪几种？ 问题2 对于下列数列如何求和？①已知)(x f 满足12,R x x ∈，当121=+x x 时，21)()(21=+x f x f ，若N n f nn f n f n f f S n ∈+-++++=),1()1()2()1()0( ，求n S ． ②求数列a ，2a 2，3a 3，4a 4，…，na n ，…（a 为常数）的前n 项和． ③求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S ． 二、学生活动1．等差、等比数列直接运用公式求和（直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法）2．分析、概括各种数列的特征，从特征中寻求解决的方法．三、建构数学题型 1 公式法求和．题型2 倒序相加法求和．（此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这(1)(1)2n n a +=，一特点来进行倒序相加的）题型3 错位相减法求和．这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }，{ b n }分别是等差数列和等比数列．题型4 裂项相消法求和．这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．题型5 分组求和法．有一类数列，既不是等差数列，又不是等比数列，若将这类数列适当拆开，则可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其相加，即可得出原数列的和．四、数学运用例1 已知log 3x ＝－1log 23，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和． 解析 由log 3x ＝－1log 23 ⇒log 2x ＝－1⇒x ＝12． 由等比数列求和公式得 S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n＝xx x n --1)1( ＝211)211(21--n ＝1－n 21． 例2 求数列a ，2a 2，3a 3，4a 4，…，na n ，…(a 为常数)的前n 项和．解析 若a ＝0， 则S n ＝0．若a ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n +1)2 ．若a ≠0且a ≠1，则S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋ na n ，∴aS n ＝ a 2＋2 a 3＋3 a 4＋…＋na n +1，∴(1－a ) S n ＝a ＋ a 2＋a 3＋…＋a n －na n +1 ＝∴ S n = 当a ＝0时，此式也成立．∴S n ＝ 111n n a a na a ++---．112(1)(1)1n n a a na a a a ++--≠--．112(1)(1)1n n a a na a a a++--≠--．点评 数列{}n na 是由数列{}n 与{}n a 对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况．而且对于应用等比数列求和时，一定要先注意公比的取值． 例3 求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S ． 分析 ∵)2(1+n n =211(21+-n n ），则对数列中每一项分解后即可得出结果． 解析 ∵)2(1+n n =211(21+-n n ）， ∴ S n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅+-+-)211()4121()311(21n n =)2111211(21+-+--n n =42122143+-+-n n ．例4 求数列112，134，158，…，（2n -1）＋ 12n ,…的前n 项和. 解 [135(21)]n S n =+++⋯+-+111()242n ++⋯ 11(1)1(21)221212n n n -+-=⨯+- 2112n n =+- 五、要点归纳与方法小结数列求和的常用方法：公式法．直接应用等差、等比数列的求和公式；2. 倒序相加法：如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加法．3. 错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求．4. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式有：1()n n k=+，=，1 (21)(21) n n =-+，等等．5. 分组求和法：需要熟悉一些常用基本式的特点与规律，将同类性质的数列归于一组，便于运用常见数列的求和公式．。
第 1 课时：§2.1 数列（1）【三维目标】：一、知识与技能1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；三、情感、态度与价值观1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点与难点】：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式【学法与教学用具】：1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。
2. 教学方法：启发引导式3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 观察下列例子中的6列数有什么特点：（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．． 这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．（组织学生观察这六组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。
苏教版必修五数列教案第一课时：§2.1数列的概念与简单表示法教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式;了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项.过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学过程一.情境引入：问题1：一牧羊人赶着一群羊通过36个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只乘2只羊，则原来牧羊人赶了多少只羊？本题蕴含什么数学知识，你能解决这个问题吗？问题2：考察下列的数据，看看有什么共同特点？（1）20，22，24，26，28，...。
(2)1740,1823,1906,1989,2072,....(3)1,2,4,8,16,....(4)1，-1，1，-1，1，-1，...。
（5）1，1，2，3，5，8，... 。
（6）从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15，5，16，16，28，32。
二.讲授新课知识点⒈ 数列的定义：（了解）（1）叫做数列.注意：①数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；②定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现（2）数列的项：(3). （了解）数列的一般形式：下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？知识点2.（重点）数列的通项公式：写出问题2中数列的通项公式注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.知识点3. （了解）数列与函数的关系：知识点4．（了解）数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列，无穷数列；2）根据数列项的大小分：递增数列；递减数列；常数数列；摆动数列。
数列求和免费教案教案标题：数列求和免费教案教学目标：1. 学生能够理解数列的概念和性质。
2. 学生能够应用递推公式求解数列的前n项和。
3. 学生能够解决实际问题中与数列求和相关的计算。
教学准备：1. 教师准备白板、黑板笔、教学投影仪等教学工具。
2. 学生准备纸和笔。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）教师通过提问引导学生回顾数列的概念，并与学生一起讨论数列的应用领域，如金融、物理等。
步骤二：概念讲解（10分钟）教师通过示例和图示解释数列的递推公式和通项公式，并与学生一起探讨数列的性质，如等差数列和等比数列的特点。
步骤三：数列求和方法介绍（10分钟）教师向学生介绍数列求和的常用方法，包括等差数列求和公式和等比数列求和公式，并通过实例演示求解数列的前n项和。
步骤四：练习与讨论（15分钟）教师提供一些练习题，要求学生独立解答，并在解答完成后进行讨论和答疑。
教师可以选择一些实际问题，让学生应用数列求和的方法解决问题。
步骤五：拓展应用（10分钟）教师引导学生思考更复杂的数列求和问题，如求解部分项和、求解无穷级数等，并与学生一起探讨解决方法。
步骤六：总结与归纳（5分钟）教师与学生一起总结数列求和的方法和应用，并提醒学生在实际问题中灵活运用数列求和的知识。
步骤七：作业布置（5分钟）教师布置相关的作业，要求学生练习数列求和的应用，并在下节课前完成。
教学延伸：1. 学生可以通过编写程序来计算数列的前n项和，进一步巩固数列求和的概念和方法。
2. 学生可以研究更复杂的数列求和问题，如级数求和、递归数列求和等，拓展数列求和的应用领域。
教学评估：1. 教师通过课堂练习和讨论，观察学生对数列求和的理解和应用能力。
2. 教师可以布置作业来评估学生的数列求和能力，并及时给予反馈。
教学反思：教师可以根据学生的学习情况和反馈，调整教学方法和内容，以提高学生对数列求和的理解和应用能力。
数列●三维目标1.知识与技术(1)通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方式(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数，熟悉数列是反映自然规律的大体数学模型；(2)了解数列的分类，明白得数列通项公式的概念，会依照通项公式写出数列的前几项，会依照简单数列的前几项写出数列的通项公式；(3)培育学生认真观看的适应，培育学生从特殊到一样的归纳能力，提高观看、抽象的能力．2.进程与方式(1)通过对具体例子的观看分析得出数列的概念，培育学生由特殊到一样的归纳能力；(2)通过对一列数的观看、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培育学生的观看能力和抽象归纳能力；(3)通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方式(列表、图象、通项公式)．3．情感、态度与价值观(1)体会数列是一种特殊的函数，借助函数的背景和研究方式来研究有关数列的问题，能够进一步让学生体会数学知识间的联系，培育用已知去研究未知的能力．(2)在参与问题讨论和解决进程中，培育观看、归纳的思维品质，养成自主探讨的学习适应；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的爱好．●重点、难点重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用难点：熟悉数列的本质是一类离散函数.关于数列概念那个重点内容的教学，教师应该强挪用函数的背景和研究方式来熟悉、研究数列，如此能够加深学生对函数概念和性质的明白得，有利于对数列本质的把握．建构数列的概念第一要经历大量的实例观看与分析，关键是让学生明白得数列的顺序性；第二教师启发学生对几个不同数列的共性进行探讨，通过度组讨论，慢慢完善，然后揭露出数列的概念．如何明白得数列的本质是一类离散函数呢？教师第一能够从分析一个简单的数列入手，启发学生发觉数列的函数解析式，进而能够用列表法、图象法来表示，由此发觉数列的图象是一系列孤立的点，可谓瓜熟蒂落；然后因势利导，进行一样化的抽象，通过数列的概念域与值域之间的一一对应关系的列表，深化对数列是一种特殊函数即离散函数的熟悉．●教学建议1．对数列概念的引入可作适当拓展．一方面从研究数的角度提出数列概念，使学生感受数列是刻画自然规律的大体数学模型；另一方面可从生活实际引入，如银行存款利息、购房贷款等，使学生对这些现象的数学背景有一直观熟悉，感受数列研究的现实意义，以激发学生的学习爱好．2．对数列概念的把握，教学中应注意：(1)数列是依照必然顺序排列着的一列数，教学中要注意留给学生回味、试探的空间和余地；(2)数列是一种特殊函数，其概念域是正整数集N*(或它的有限子集)，值域是当自变量按序从小到大依次取值时的对应值．3．重视对学生学习数列的概念及表示法的进程的评判，关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是不是充满爱好；在学习进程中，可否发觉数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式或递推公式．4．正确评判学生的数学基础知识和基础技术可否类比函数的性质，正确明白得数列的概念，正确利用通项公式、列表、图象等方式表示数列，了解数列是一种特殊的函数，了解递推公式也是数列的一种表示方式．●教学流程创设问题情境，引入数列等概念及数列的一般形式.⇒引导学生从生活实际感受数列概念，并给出数列的分类.⇒通过引导学生回答所提问题理解数列的通项公式.⇒结合具体事例总结数列的各种表示方法.⇒通过例1及其变式训练使学生掌握已知数列前几项求通项公式的方法技巧.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握数列通项的应用技巧.⇒通过例3及其互动探究使学生掌握求数列最大项与最小项的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第17页)(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是________．(2)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂依次是________．(3)关于函数y ＝3x ，当自变量x 依次取－2，－1,1,2,3时，其函数值依次是________． (4)“一尺之棰，日取其半，万世不褐”，若是将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”……如此下去，即得一列数________．那么，以上问题的结果，有什么一起特点？【提示】 一起特点是：都是一列数；都有必然的顺序． 1．数列依照必然顺序排列的一列数称为数列． 2．项数列中的每一个数都叫做那个数列的项． 3．数列的一样形式可写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }.数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列，项数无穷的数列叫做无穷数列.数列的通项公式【问题导思】1．数列1，－12，13，－14，…的第n 项与序号n 之间有何关系？【提示】 第n 项是序号n 的倒数，且奇数项为正，偶数项为负． 2．数列2,4,6,8,10，…与函数y ＝2x 有何关系？【提示】 该数列是函数y ＝2x 的自变量x 依次取1,2,3,4，…时所取得的一列函数值． 若是数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系能够用一个公式来表示，那么那个公式叫做那个数列的通项公式.数列的表示法数列能够用通项公式、列表或图象来表示.利用观察法求数列的通项公式写出以下数列的一个通项公式．(1)23，415，635，863，…；(2)－1，32，－54，78，－916，…；(3)3，3，15，21，33，…；(4)9,99,999,9999，….【思路探讨】 观看→归纳a n 与n 的关系→验证结论→得出答案【自主解答】 (1)依照题意分析可知：分子为2的倍数，即为2n ，分母比分子的平方小1，因此a n ＝2n 2n2－1.(2)该数列的各项符号是负正交替转变，而各项的绝对值为11，32，54，78，916，….因此a n＝(－1)n2n －12n －1. (3)该数列的各项都能够写成根式3，9，15，21，27，….即3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，….因此a n ＝32n －1＝6n －3.(4)因为9＝101－1,99＝102－1,999＝103－1,9 999＝104－1，…，因此a n ＝10n －1. 1．本例中探访数列中的项与项数n 之间的关系时应注意： (1)关于分式应分母分子别离考虑，各个击破； (2)正负项交替显现时要引入操纵符号的因式(－1)n .2．此类问题要紧靠观看(观看规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方式，将数列进行整体变形以便能呈现出与序号n 相关且便于表达的关系，具体方式为：(1)分式中分子、分母的特点； (2)相邻项的转变特点； (3)拆项后的特点；(4)各项的符号特点和绝对值特点．依照数列的前几项，写出以下数列的一个通项公式． (1)45，12，411，414，…；(4)12，－34，58，－716，…； 【解】 (1)注意前四项中有三项的分子为4，不妨把分子统一为4，即45，48，411，414，…，因此有a n ＝43n ＋2(n ∈N *)．(2)6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因此有a n ＝n n ＋12(n ∈N *)． (3)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘9，得9,99,999，…，因此有a n ＝79(10n －1)(n∈N *)．(4)通过观看符号为一正一负：(－1)n ＋1，分子为2n －1，分母为2n ，因此a n ＝(－1)n＋12n －12n. 通项公式的应用已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n 2＋3n，(1)写出此数列的前3项；(2)试问110和1627是不是它的项？若是是，是第几项？【思路探讨】 (1)别离把n ＝1,2,3代入通项公式即可．(2)令a n 别离等于110和1627，解方程求n ，再查验n 是不是为正整数．【自主解答】 (1)a 1＝412＋3×1＝1，a 2＝422＋3×2＝25，a 3＝432＋3×3＝29.(2)令4n 2＋3n ＝110，那么n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8. 又n ∈N *，故n ＝－8舍去，因此110是数列{a n }的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，那么4n 2＋12n －27＝0，解得n ＝32或n ＝－92.又n ∈N *，因此1627不是数列{a n }的项．1．若是已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就能够够写出数列中的指定项．2．判定某数是不是为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中；(2)解关于n 的方程；(3)假设n 为正整数，说明所给的数是该数列的项；假设n 不是正整数，那么不是该数列的项．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n .(1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49和68是该数列的项吗？假设是，是第几项？假设不是，请说明理由．【解】 (1)∵a n ＝3n 2－28n ，∴a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，∴n ＝7或n ＝73(舍)． ∴－49是该数列的第7项，即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0，∴n ＝－2或n ＝343. ∵－2∉N *，343∉N *， ∴68不是该数列的项.数列的最大项、最小项问题已知数列{a n }的通项公式是a n ＝－2n 2＋9n ＋3，求它的最大项．【思路探讨】 数列是特殊的函数，可将问题转化为二次函数的最值问题，利用二次函数的知识求解．【自主解答】 已知－2n 2＋9n ＋3＝－2(n －94)2＋1058.由于函数f (x )＝－2(x －94)2＋1058在(0，94)上是增函数，在[94，＋∞)上是减函数，故当n ＝2时，f (n )＝－2n 2＋9n ＋3取得最大值13，因此数列{a n }的最大项为a 2＝13.1．解决此题的关键是转化为二次函数的最值问题，并注意n ∈N *.2．数列的项与项数之间组成特殊的函数关系，故可用函数的有关知识解决数列问题，但要注意函数的概念域．关于通项公式为二次函数的数列，其最值不必然是在对称轴上取得，当对称轴不是正整数时，最值应是离对称轴最近的项的值，且对应的值可能是一项或两项．假设例题中通项公式改成“a n ＝－2n 2＋29n ＋3”，结果是什么？【解】 由题意得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818， 又∵n ∈N *，∴当n ＝7时，a n 有最大值108.∴数列a n 中的最大项为a 7＝108.忽略数列的函数特性而致误已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－3n ＋4，求a n 的最小值．【错解】 因为a n ＝n 2－3n ＋4＝(n －32)2＋74， 因此a n 的最小值为74. 【错因分析】 将a n ＝n 2－3n ＋4看成关于n 的二次函数，当n ＝32时，取得最小值为74，而数列中n ∈N *，故n 取不到32，最小值并非是在极点处取得． 【防范方法】 解题时不要把数列当做一样的二次函数，数列是特殊的函数，其概念域为正整数集N *(或它的有限子集)，图象不持续，是一群孤立的点．【正解】 因为a n ＝n 2－3n ＋4＝(n －32)2＋74， 可知图象的对称轴方程为n ＝32，又n ∈N *，故当n ＝1或n ＝2时，a n 取得最小值．其最小值为22－3×2＋4＝2.1．基础知识：(1)数列的概念；(2)数列的分类；(3)数列的通项公式；(4)数列的表示法．2．大体技术：(1)利用观观点求数列的通项公式；(2)运用通项公式研究数列的项；(3)求数列的最大项与最小项．3．思想方式：(1)函数思想；(2)转化思想.1．假设数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋n ＋1n ＋1，那么它的前4项为________．【解析】 把n ＝1,2,3,4一一代入即可．【答案】 32，73，134，2152．数列12，－45，910，－1617，…的一个通项公式是a n ＝________. 【解析】 偶数项均为负，奇数项均为正，故应用(－1)n ＋1操纵符号，分子显然为序号的平方，分母均比相应分子大1.【答案】 (－1)n ＋1n 2n 2＋13．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，那么35是该数列的第________项．【解析】令2n－1＝35，那么2n－1＝45，∴n＝23.【答案】 234．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数．(1)求{a n }的通项公式；(2)88是不是是数列{a n }中的项？【解】 (1)设a n ＝kn ＋b ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝k ＋b ＝2，a 17＝17k ＋b ＝66， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝－2，∴a n ＝4n －2. (2)令a n ＝88，解得n ＝452∉N *， ∴88不是{a n }中的项.一、填空题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(n 2＋1)，那么a 3等于________．【解析】 a 3＝(－1)3＋1(32＋1)＝10.【答案】 102．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x 的值是________．【解析】 观看数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的不同离为2,3,4，…，依次增加1，故x 为15.【答案】 153．数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是________． 【解析】 数列中奇数项均为负，偶数项均为正，要用(－1)n 操纵符号，除首项为1外其余各项均为分式，故把1改写成11，从而分母依次为1,3,5,7，…，通项为2n －1，分子依次为1,4,9,16，…，通项为n2.【答案】a n＝(－1)nn2 2n－14．已知数3，3，15，21，…，那么9是数列的第______项．【解析】依照观看可知，通项公式为a n＝32n－1，令32n －1＝9，解得n ＝14.∴9是数列的第14项．【答案】 145．依照图2－1－1中的5个图形，及相应点的个数转变规律，试猜想第n 个图中有________个点．(1) (2) (3) (4) (5)图2－1－1【解析】 设第i 个图形中有a i 个点(i ＝1,2，…，n )，那么a 1＝1，a 2＝1＋1×2，a 3＝1＋2×3，a 4＝1＋3×4，a 5＝1＋4×5，…，a n ＝1＋(n －1)n .【答案】 1＋(n －1)n6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋17n ＋8，那么数列的最大项的值为________．【解析】 由a n ＝－n 2＋17n ＋8＝－(n －172)2＋3214得，n ＝8或9时，a n 最大，把8或9代入得a 8＝a 9＝80.【答案】 807．已知数列{a n }知足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n (n 为正整数)，且a 2＝6，那么数列{a n }的一个通项公式为________．【解析】 令n ＝1得a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1，∴a 1＝1＝1×1；令n ＝2得a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2，∴a 3＝15＝3×5；令n ＝3得a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3，∴a 4＝28＝4×7，又a 2＝6＝2×3∴a n ＝n (2n －1)【答案】 a n ＝n (2n －1)8．数列{a n }知足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ，0＜a n ＜12，2a n －1，12＜a n ＜1，若a 1＝67，那么a 20的值为________．【解析】慢慢计算，可得a 1＝67，a 2＝127－1＝57，a 3＝107－1＝37，a 4＝67，a 5＝127－1＝57，…，这说明数列{a n }是周期数列，T ＝3，而20＝3×6＋2，因此a 20＝a 2＝57. 【答案】 57二、解答题9．数列{a n }中，已知a n ＝n 2＋n －13(n ∈N *)． (1)写出a 2，a 10；(2)7923是不是该数列中的项？假设是，是第几项？ 【解】 (1)在a n 的表达式中，令n ＝2,10，即得a 2＝22＋2－13＝53，a 10＝102＋10－13＝1093. (2)由n 2＋n －13＝7923，即n 2＋n －240＝0， 得n ＝15或n ＝－16.∵n ∈N *，∴n ＝15，即7923是该数列中的项，是第15项． 10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．【解】 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，可知对称轴方程为n ＝52＝. 又∵n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2(或32－5×3＋4＝－2)．11．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 是项数n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 012；(2)假设b n 由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式．【解】 (1)a n 是项数n 的一次函数，故可设a n ＝kn ＋b ，又a 1＝3，a 10＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 012＝2×2 012＋1＝4 025.(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *).依照如下图的5个图形及相应点的个数的转变规律，试猜想第(n )个图中有________个点．(1) (2) (3) (4) (5)【解析】 此题关键看每增加一个分支后，各分支点数多了多少个．序号n 决定了每一个图的分支数，而每一个分支有(n －1)个点，中心再加一点，故有n (n －1)＋1＝n 2－n ＋1个点．【答案】 n 2－n ＋1有些数列的关系以图形的方式给出，要从图形中擅长观看总结出规律，即归纳归纳．另外信息包括在图中，因此要具有较强的信息整合能力．如下图的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski )三角形．在图中的4个三角形中，着色三角形的个数依次组成一个数列的前4项，请写出那个数列的一个通项公式，并在平面直角坐标系中画出它的图象．(1) (2) (3) (4)【解】 这4个三角形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27，那么所求数列的前4项都是3的指数幂，且指数等于相应的序号减1，因此那个数列的一个通项公式是a n ＝3n －1(n ∈N *)．在平面直角坐标系中的图象如下图．拓展数列是如何显现的呢？我国最先的数学起源，当为结绳和刻划，表现了数的顺序性．这有可能是数列的一个起源吗？1953年春，我国第一次发觉西安半坡遗址(距今5 600～6 700年之间).1954－1957年，中国科学院考古研究所进行了5次规模较大的科学挖掘，取得了大量宝贵的科学资料，其中发觉了半坡先民利用的指甲纹壶(如图)与陶器工艺品中的图案(如图)后者每边都是八个孔的等边三角形，反映了半坡人已经有了数量和几何形状的概念，这与“三角形数”何其相似！这说明半坡人已经有了数列的初步概念，遗憾的是在半坡文明中尚未发觉对数列进行理论研究的足够证据.。
2.1数列 第 9 课时一、学习目标 1．理解数列的概念；探索并掌握数列的通项公式。
2．探索并掌握数列的几种简单表示法。
二、学法指导数列是高中数学的重要内容之一,是高考必考内容之一，同学们可以根据数列概念,及实例,归纳猜想数列通项公式。
利用递推公式计算数列的前几项数值,归纳猜想数列通项公式。
１．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；（１）确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。
（２）可重复性：数列中的数可以重复。
（３）有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。
２．数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。
３．并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样。
三、课前预习１． 叫做数列， 叫做这个数列的项。
２． 叫做这个数列的通项公式。
３． 叫做有穷数列， 叫做无穷数列。
４．数列的表示方法有： 、 、 。
四、课堂探究例1．已知数列的第n 项n a 为21n -，写出这个数列的首项、第2项和第3项．例2．已知数列{}n a 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象： （１）1n n a n =+； （２）2(1)2n na -=． 例3．写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：（1）1，3，7，15； （2）2，4，6，8；（3）1-，1，1-； （4）0，2，0，2；（5）13，45，97，169……； （6）112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯.五、巩固训练（一）当堂练习 练习：P31练习２，３，４，５（二）课后作业 32P 习题２．１第1，2，3，4题六、反思总结七、课后练习（选做）1．数列－1，85 ，－157 ，249 ，…的一个通项公式a n= ．2．数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式a n= ．3．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于 ．4．⑴求数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式.⑵求数列25 ，215 ，252，…的通项公式.5．写出下列数列的通项公式：⑴9，99，999，9999，．．．，；⑵13-，18，115-，241，．．．，；。
数列求和一、根底回忆：1、设是等差数列的前项和，假设那么_-54______2、假设数列是首项为，公比为的等比数列，那么数列的前项和________3、假设数列是首项为2，公差为2的等差数列，，那么数列的前项和________4、假设数列满足：那么数列的前项和________5、设是数列的前项和，那么数列的通项公式________6、将以下式子裂成两项差的形式：〔1〕_______; 2=_______;3=__________二、例题分析：例1、在等比数列中，公比为是其前项和，假设求解：由题意得：即解得或当时，；当时，小结与反思：求和方法之一：当数列为等差或等比数列时，求和用公式法。
数列求和常用的公式有：〔需注意公式形式的选择〕等差数列：S n＝错误!＝na1＋错误!d；等比数列：S n＝错误!例2、数列是首项为公差为的等差数列，且求数列前项和解：由题意得：所以=所以=小结与反思：求和方法之二：某些数列的通项可以拆成二项或多项〔裂项〕，以这种形式相加时出现有规律的抵消项，此时求和用裂项相消法如：；常见的拆项公式有：1错误!＝错误!－错误!； 2错误!＝错误!错误!；3错误!＝错误!错误!；4错误!＝错误!错误!－错误!；例3、数列的通项公式为求数列前项和解：因为所以小结与反思：求和方法之三：数列满足，其中为等差或等比数列时，求和用分组求和法。
例4、数列前项和〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设求数列前项和分析：此数列非等差数列也非等比数列，其通项公式可以认为是一个等差数列b n＝n与一个等比数列c n＝错误!相乘得到的，可以用乘公比错位相减法来求解．解：〔1〕因为，当时，当时，，也满足上式综上，〔2〕那么3两式相减得那么，化简得：小结与反思：求和方法之四：数列满足，其中一个等差，另一个等比时，求和用错位相减法。
错位相减法的一般步骤：〔1〕列出求和表达式；〔2〕等式两边同乘以等比数列的公比，且等式右边要错位；〔3〕将上述两式相减，对应的项相减将会出现一个新的等比数列；〔4〕右边用等比公式求和并化简整理〔注意结果的最简形式〕。
