当前位置：文档之家 › 三角函数线

三角函数线

  • 格式：docx
  • 大小：172.29 KB
  • 文档页数：4

下载文档原格式

  / 4

合集下载

三角函数线

三角函数线

三角函数线
三角函数线是正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线和余割线的总称（有时还包括正矢线、余矢线等，是三角函数的几何表示。

如图：
设任意角a的顶点在原点O（单位圆的圆心），始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过点P作x轴的垂线，，垂足为点M；过点A（1,0）作单位圆的切线，设它与角a的终边（当a位于第一、第四象限时）或其反向延长线（当a位于第二、第三象限是）相交于点T，于是有sin a=y=MP，cos a=x=OM，tan a=y/x=PM/OM=AT/OA=AT.
我们规定与坐标轴同向时，方向为正方向，与坐标轴反向时，方向为负向，则有向线段MP,OM,AT,分别叫做角a的正弦线、余弦线、正切线，他们统称三角函数线。

（1）三角函数线的意义是可以表示三角函数的值，其长度等于三角
函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负。

（2）因为三角函数线是与单位圆有关的有向线段，所以作角的三角函数线时，一定要先做单位圆。

（3）有向线段的书写：有向线段的起点字母写在前面，终点字母写在后面。

人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件

人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件

x OA
作三角函数线的步骤: 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件
(1)以圆点为圆心画出单位圆，作出角的终边;
(2) 设α的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于M，则：
有向线段MP是正弦线, 有向线段OM是余弦线;
(3) 设单位圆与x轴的正半轴交于点A，过点A作x轴的垂线,
与角α的终边(或其反向延长线)交于点T，则：
α的
y
终边 P
MO
A(1,0)
x
T
(Ⅱ)
AT y tan, 有向线段AT叫角α的正切线
x
特别注意：正切线必须是： 以A为始点、T为终点
y
T
M
A(1,0)
O
x
α的 P
可以看出：正切线在第一三象限为正，第二四终边象限(Ⅲ为)负.
y T α的
终边
P
A(1,0)
OM x
(Ⅰ)
y
M A(1,0)
O
x
PT
α的
1
Ax
y=－1
T
4
题型四：利用三角函数线解三角不等式 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件
例
写出满足条件
1 2
≤cosα＜
3 2
的角α的集合.
|2k
6
＜α≤
2k 2 ，或
3
2k 4 ≤α＜ 2k 11 ，k Z
3
6
x1 x 3
2
2
2
y
3
1
6
-1 O
4
-1
3
1
x
11
6
(2k
6
,2k
不查表，比较大小。
（２）cos 2

高考数学知识点：三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)

高考数学知识点：三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)

高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线,高二，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，ta nα=AT，如下图：注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。

关于三角函数线，要注意以下几点：（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。

三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x 轴上，向右为正，向左为负。

（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。

特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。

（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。

当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。

（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。

一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。

诱导公式：公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律：奇变偶不变，符号看象限。

即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。

形如2k×90°±α，则函数名称不变。

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

三角函数线

三角函数线

P
T

O
M
A
S OPA SOPA S OAT 1 1 1 2 MP OA 1 AT OA 2 2 2 sin tan
4、比较sin11550与sin(-16540)的大小。
sin11550=sin750 sin(-16540)=sin1460
思考：
• 为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否 给线段OM、MP、AT规定一个适当的方向， 使它们的取值与点P的坐标一致？
当角α的终边不在坐标轴上时，以O为始点、 M为终点，规定：
• 当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正，且有 正值x； • 当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负，且有 负值x。 • 这样，无论哪一种情况都有

75
P1 P2 M2 O M1

146
sin11550 >sin(-16540)
小结
• 1、 sin y MP
• 2、 • 3、
cos x OM
y tan AT x
• 4、有向线段：既有长度又有方向的线段
• 作业布置：课堂作业P10作业二
1、做出下列各角的三角函数线
• （1） 3
P T
O
M
A
2 • （2） 3
T
M
O
P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
• 2、你能从单位圆中的三角函数线出发 得出三角函数的哪些性质吗?
y x
yx
O
3、已知 0， ，在单位圆中作出角 2
的正弦线、正切线，并证明： sin tan
• 当线段AT与y轴同向时，AT的方向为正，且有正 y • 值 ；

三角函数线

三角函数线
yr
-+
-o + x
tan y
yx
-+ +o - x
y
sin 全为+ tano cosx
心得:角定象限,象限定符号
记法： 一全正 二正弦
三正切 四余弦
练习
1. 角α的终边经过点P(0, b)则( D)
A.sin α=0
B.sin α=1
C.sin α=-1
D.sin α=± 1
2.若角600o的终边上有一点(-4, a),则a的值是( B)
知识 回顾
你记住了吗？
几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α
的弧 0
度数
sinα 0
cosα 1
tanα 0
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

6 4 32
3 2
2
0 1 1 1
2
3
2
2
2
0
0 3
21
2
2
2
1 0 1
31
3
3 不存在 0 不存在 0
练习：求值
cos


11 3


sin


71 6


tan

19 3

解：cos


11 3


sin


71 6


tan

19 3


cos

4


3


sin

12

三角函数线

三角函数线

作业：
1 P17 2,3
练习
3 cos 2
拓展：三角函数的面积法定义
2002年，由中科院院士张 景中提出。他把边长为1， 夹角为 的菱形的面积定 义为 sin ，由此研 究正弦的性质，到处理余 弦，用面积的方法证明大 量几何问题，把三角学和 几何学打成一片。
小结：
1.有向线段的定义
2. 三角函数线 3. 三角函数线的应用
T/
例2：用三角函数线证明：
(1) sin cos 1
2 2
( 2) | sin | | cos | 1
你还能得到类似的其它结果吗？
例3. 已知α∈(0， )，试证明 2
sinα<α<tanα .
y N O P T x M A
α
例题4
1 己 知sin , 求 角的 集 合 2
α的终边 P
M
y α
三角 函 数 线 yα
的终边
P O y
T
T
x
A(1,0) T
α
O
M A(1,0)
x
sin MP
y
x
A(1,0)
cos OM
tan AT
M A(1,0)
M
α
O
α O
P
α的终边
x P
T
α终边
应用举例:
例1.如图,α、β的终边分别与单位圆交于 点P、Q,过A(1,0)作切线AT交OP于T,交OQ的 反向延长线于T/,P、Q在x轴上的射影为M、N 指出α、β的三角函数线。 y P T Q β α NO M A x
任意角的三角函数的单位圆定义：
sin y cos x y t an

第4节 三角函数线

y
tan y AT
T
x
AM
O Ax
P T
思考：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如
何？
y
P
P
O
x
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终 边在y轴上时，角α的正切线不存在.
思考：对于不等式 sin a < a < tan a（其中α为锐角），
你能用数形结合思想证明吗？
tan y AT
x
y
MA
O
x
P T
思考：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x， y），则 tan y 是负数，此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？ x
y
tan y AT
x
TP
A
A MO
x
T
思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x， y），则 tan y 是正数，此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？ x
y T
M O A(1,0) x
P
正弦线和余弦线
问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P
（x，y），则 sin y ，cos x 都是正数，你能分别用一条
有向线段表示角α的正弦值和余弦值吗？ y
| MP | y sin
P（x，y）
| OM | x cos
OM x
正弦线和余弦线
问题2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，
y），则 sin y ， cos x 都是负数，此时角α的正弦值
和余弦值分别用哪条线段表示？
y
| MP | y sin | OM | x cos
M
Ox

高考数学知识点：三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)_知识点总结

高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）_知识点总结高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线,高二，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT，如下图：注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。

关于三角函数线，要注意以下几点：（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。

三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT 方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x轴上，向右为正，向左为负。

（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。

特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。

（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。

当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。

（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。

一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。

诱导公式：公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律：奇变偶不变，符号看象限。

即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。

形如2k×90°±α，则函数名称不变。

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

《三角函数线》说课课件-PPT课件


练习1、作出下列各角的正弦线、余 弦线、正切线：
（1）π/3 （2）5 π
（3）-2 π/3 （4）- π/6 （5） π/2 （6） π
• 此题是一个基本题，要求学生独立 完成，尽管在提问（4）中已经涉及 A点变化问题，估计学生仍会有A点 随角α的变化而变化的情况，老师加
以引导，使学生走出这一误区，实 现知识目标C。
B、难点：三角函数线的应用
三角函数线可以看做是解三角函数 题的一种工具，所以本节课通过例 题、练习等途径，力图使难点得到 突破。
二、教学方法
本课采用：“自学辅导”和“启发探究 式”教学法，它符合辩证唯物主义内因和 外因相互作用的观点，符合教学论的主导 作用与学生主体作用相统一的原则，使学 生在获得感性知识的同时，为掌握理性知 识创造条件，从而培养学生的创新能力和 实践能力。
小结：（5分钟）
学生自结，教师补充，一结 知识，二结方法。
结束语：
本节课学习了三角函数的另一种定 义——三角函数线，利用三角函数线的 直观性，我们可以很方便地解决三角函 数的很多性质，那么它究竟有多大能力 呢，请同学们抱着极强的求知欲望往后 学习。
这样做的目的是：“承上启下、留下悬念”激 发学生的求知欲望，有利于养成课前预习的 习惯。
练习二、根据图象回答下列问题：
1、（口答）当角α的终边分别位于x 轴正半轴、y轴正半轴、x轴负半轴、 y轴负半轴时，角α的正弦、余弦、 正切值是多少？
2、根据（1）的结论，求出正弦、余 弦、正切函数的值域。
此题和练习一异曲同工，但涉
及了角在坐标轴上时的特殊情况， 引导学生不仅掌握事物的一般性， 更要熟悉事物的特殊性，求定义域 和值域，略高于课本要求，实现知 识目标D和能力目标A和C。

三角函数线的作法


交于T点，AT为所求.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
y
y
O
x
P(x , y)
的终边
O
x
P(x , y)
湖南省长沙市一中卫星远程学校
⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
y
y
A
O
x
P(x , y)
的终边
O
x
P(x , y)
湖南省长沙市一中卫星远程学校
能否找到有向线段使 其大小恰为 y ？
x
y T 的终边
P(x , y)
O
A(1,0)
x
湖南省长沙市一中卫星远程学校
想一想：
由于tan = y ，能否找到使x = 1的点？
x
过点A(1,0)的切线上的点.
能否找到有向线段使 其大小恰为 y ？
x
y T 的终边
P(x , y)
O
A(1,0)
x
湖南省长沙市一中卫星远程学校
的有向线段．
y 的终边 的终边 y
P(x , y)
O
x
Ox
湖南省长沙市一中卫星远程学校
3．三角函数线：
⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin
的有向线段．
y 的终边 的终边 y
P(x , y)
O Mx
Ox
湖南省长沙市一中卫星远程学校
3．三角函数线：
⑴ 图中的圆均为单位圆，作出表示sin
的有向线段．
O
A(1,0)
x
湖南省长沙市一中卫星远程学校
⑶图中的圆均为单位圆，作出表示tan 的有向线段．
y
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

三角函数线
【学习目标】
1．熟悉三角函数线的画法；
2．利用三角函数线将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的几何形式表示出来； 3．利用三角函数线解简单的三角不等式。

【温故·习新】 1．三角函数的定义：
sin α=
cos α=
tan α=
【研讨·拓展】 1．单位圆的定义： 2．有向线段的定义： 3．三角函数线：
例1 在单位圆中画出满足1
sin 2
α=的终边并写出符合的α的集合．
变式1 在单位圆中画出满足1
cos 2
α=-的终边并写出符合的α的集合．
变式2
在单位圆中画出满足tan 1α=的终边并写出符合的α的集合．
在四个象限的符号
tan αcos α
sin α
例2 解不等式
1 sin
2
α≤-．
变式3 解不等式
1 cos
2
α>．
变式4
解不等式tanα≤
【反馈·提炼】
1．
3
()
12sin
f x
x
=
-
的定义域_______________________________
2．()
f x=_______________________________ 阅读材料：
三角函数（trigonometric function）
P的坐标是(x，y)，OP＝r，则正弦函数sinα＝y/r，余弦函数cosα＝x/r，正切函数tanα＝y/x，余切函数cotα＝x/y，正割函数secα＝r/x，余割函数cscα＝r/y。

历史上还用过正矢函数versα＝r－x，余矢函数coversα＝r－y等等。

霍斯就制造过这种弦表，公元2世纪托勒密又造了0°～90°每隔半度的正弦表。

5世纪时印度最早引入正弦概念，还给出正弦函数表，记载于《苏利耶历数书》（约400年）中。

该书还出现了正矢函数，
传到欧洲后有多种名称，17世纪后才统一。

正切和余切函数是由日影的测量而引起的，9世纪的阿拉伯计算家哈巴什首次编制了一个正切、余切表。

10世纪的艾布·瓦法又单独编制了第一个正切表。

哈巴什还首先提出正割和余割概念，艾布·瓦法正式使用。

到1551年
弦、正切、余切、正割、余割6种函数，并附有正割表。

他还首次用
值定义三角函数，令圆半径为1，并创用
函数开始通行，并不断发展至今。

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707
年4月15日－1783年9月18日），瑞士
数学家和物理学家，近代数学先驱之一。

1707年欧拉生于瑞士的巴塞尔，13岁时
入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获硕士学位。

平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学等课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。

欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

1783年9月18日于俄国彼得堡去逝。