【火线100天】2015中考数学 第10讲 函数及其图象

二次函数知识的综合运用本专项主要考查二次函数与一次函数的综合运用，二次函数的图象与字母系数之间的关系，二次函数在实际生活中的应用，以选择题、填空题、解答题形式呈现．类型1 二次函数的图象与字母系数的关系(2015·黔东南)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①abc＝0；②a＋b＋c>0；③a>b；④4ac－b2<0.其中正确的结论有( C )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】序号逐项分析正误①∵由抛物线过原点可知c＝0，∴abc＝0. √②∵当x＝1时，函数图象在x轴下方，∴当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0.×③∵抛物线对称轴为x＝－32，∴－b2a＝－32.∴b＝3a.∵图象开口向下，∴a＜0.∴a＞3a.∴a＞b.√④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac>0，即4ac－b2<0.√二次函数图象与a、b、c之间关系问题解决：可以从一些特殊形式考虑：(1)含a＋b＋c代数式，考虑当x ＝1时求y值；(2)含a－b＋c代数式，考虑当x＝－1时求y值；(3)含4a＋2b＋c代数式，考虑当x＝2时求y值；(4)含4a－2b＋c代数式，考虑当x＝－2时求y值；(5) 含b2－4ac代数式，考虑由图象与x 轴交点个数来判断．1．(2015·某某)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是( ) A ．a ＜0 B ．b ＞0C ．b 2－4ac ＞0 D ．a ＋b ＋c ＜02．(2015·枣庄)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x ＝12，且经过点(2，0)，有下列说法：①abc ＜0；②a ＋b ＝0；③4a ＋2b ＋c ＜0；④若(0，y 1)，(1，y 2)是抛物线上的两点，则y 1＝y 2.上述说法正确的是( )A ．①②④B ．③④C ．①③④D ．①②3．(2014·黔东南)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，下列4个结论： ①abc ＜0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④b 2－4ac ＞0.其中正确结论的有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④4．(2013·某某)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，若M ＝a ＋b －c ，N ＝4a －2b ＋c ，P ＝2a －b ，则M 、N 、P 中，值小于0的数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．(2014·达州)下图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，对称轴是直线x ＝1.① b 2＞4ac ；②4a －2b ＋c ＜0；③不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是x≥3.5；④若(－2，y 1)，(5，y 2)是抛物线上的两点，则y 1＜y 2.上述4个判断中，正确的是( )A ．①②B ．①④C ．①③④D ．②③④6．(2014·某某)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为－1，3，与y 轴负半轴交于点C ，在下面五个结论中：①2a－b ＝0；②a＋b ＋c>0；③c＝－3a ；④只有当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a 值可以有四个．其中正确的结论是________．(只填序号)类型2 二次函数与一次函数的综合运用(2013·某某)已知：直线y ＝ax ＋b 过抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的顶点P ，如图所示． (1)顶点P 的坐标是______；(2)若直线y ＝ax ＋b 经过另一点A(0，11)，求出该直线的表达式；(3)在(2)的条件下，若有一直线y ＝mx ＋n 与直线y ＝ax ＋b 关于x 轴成轴对称，求直线y ＝mx ＋n 与抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的交点坐标．【思路点拨】 (3)求出直线y ＝ax ＋b 与x 轴的交点坐标和点A 关于x 轴的对称点的坐标，求出y ＝mx ＋n 的解析式，再与y ＝－x 2－2x ＋3组成方程组，求出交点坐标． 【解答】 (1) ∵a＝－1，b ＝－2，c ＝3， ∴－b 2a ＝－－22×（－1）＝－1，4ac －b 24a ＝4×（－1）×3－（－2）24×（－1）＝－12－4－4＝4.(2) ∵直线y ＝ax ＋b 经过顶点P(－1，4)和A(0，11)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝－a ＋b ，11＝a×0＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝11. ∴直线y ＝ax ＋b 表达式为y ＝7x ＋11.(3)∵直线y ＝7x ＋11与x 轴，y 轴交点坐标分别为(－117，0)，(0, 11)，∴与x 轴成轴对称的直线y ＝mx ＋n 与x 轴，y 轴交点坐标分别为(－117，0)，(0, －11)．∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－117m ＋n ，－11＝m×0＋n.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－7，n ＝－11.∴直线y ＝mx ＋n 表达式为y ＝－7x －11.∵直线y ＝－7x －11与抛物线y ＝－x 2－2x ＋3相交，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－7x －11，y ＝－x 2－2x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝7，y 1＝－60.⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝3. ∴直线y ＝－7x －11与抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的交点坐标为(7，－60)，(－2, 3)．二次函数与一次函数的综合运用中，常常需要求出两函数图象的交点坐标，只需联立两函数的解析式，即可求得结果；同时，二次函数图象中几个特殊点的坐标，往往是函数综合题中考查的重点内容．1．(2014·某某)已知抛物线y ＝ax 2＋bx 和直线y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( )2．(2015·某某)如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是( )3．(2015·某某)已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是经过(－1，0)且平行于y 轴的直线．(1)求m、n的值；(2)如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA∶PB＝1∶5，求一次函数的表达式．类型3 利用二次函数求最值(2015·某某)某商场A、B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元，(1)设A、B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a，b的值；(2)B商品的成本是20元，根据市场调查：若按(1)中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若按销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件，①求每天B商品的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式？②求销售单价为多少元时，B商品的销售利润最大，最大利润是多少？【思路点拨】(1)由2件A商品和1件B商品需要80元，3件A商品和2件B商品需要135元，列二元一次方程组求解．(2)①根据利润＝(售价－成本)×销量列出y关于x的函数关系式；②利用二次函数最值确定最大利润．⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝80，3a ＋2b ＝135，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝30. 答：a 、b 的值分别为25，30. (2)①∵销售单价为x 元， ∴销售量为100－5(x －30)件，根据题意得y ＝(x －20)[100－5(x －30)]＝－5x 2＋350x －5 000， 即y 关于x 的函数关系式为y ＝－5x 2＋350x －5 000(30≤x≤50)． ②由抛物线对称轴为x ＝－3502×（－5）＝35，可知当售价为35元时，B 商品每天的销售利润最大，最大利润为y ＝－5×352＋350×35－5 000＝1 125(元).答：当B 商品定价为35元时，B 商品每天的利润最大，最大利润为1 125元．此题主要考查了二次函数的应用以及用配方法求最大值，准确分析题意，列出y 与x 之间的二次函数关系式是解题关键．1．(2015·黔南)为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v 是车流速度密度x 的一次函数．(1)求彩虹桥上车流密度为100辆/小时的车流速度；(2)在交通高峰时段，为使彩虹桥上的车流速度大小40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么X 围内？(3)当车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y 的最大值．2．(2015·某某模拟)乐乐童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)童装店降价前每天销售该童装可盈利多少元？(2)如果童装店想每天销售这种童装盈利1 200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？(3)每件童装降价多少元童装店可获得最大利润，最大利润是多少元？3．(2015·黔西南模拟)某服装经销商发现某款新型运动服市场需求量较大，经过市场调查发现年销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的一次函数关系，而该服装的进价z(元)与销售量y(件)之间的关系如下表所示．已知每年支付员工工资和场地租金等费用总计2万元．销售数量y(件) …300 400 500 600 …进货价格z(元) …340 320 300 280 …(1)求y关于x的函数关系式．(2)写出该经销商经销这种服装的年获利w(元)关于销售单价x(元)的函数关系式．当销售单价x为何值时，年获利最大？并求出这个最大值．，请你根据图象帮助确定销售单价的X 围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？ 参考答案类型1 1.D 2.A 3.B 4.A 5.B 6.③④ 类型2 1.D 2.A3．(1)∵二次函数对称轴是经过(－1，0)且平行于y 轴的直线， ∴－m2＝－1，解得m ＝2.∵二次函数过点P(－3，1)， ∴1＝9－6＋n ， 解得n ＝－2.(2)二次函数解析式为y ＝x 2＋2x －2.过P 作PC⊥x 轴于点C ，过B 作BD⊥x 轴于点D ，PC ∥BD ，∴△APC ∽△ABD. 又∵PA∶PB＝1∶5， ∴PC BD ＝PA AB ＝PA PA ＋PB ＝16. ∵PC ＝1， ∴BD ＝6. ∴y B ＝6.∵B 在二次函数上，设B 点横坐标为x ， ∴x 2＋2x －2＝6，解得x 1＝2，x 2＝－4(舍去)．∴B 点坐标为(2，6)，将B 、P 点代入一次函数得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝6，－3k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝4.∴一次函数的表达式是y ＝x ＋4.类型3 1.(1)设车流速度v 与车流密度x 的函数关系式为v ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧80＝20k ＋b ，0＝220k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－25，b ＝88.∴当20≤x≤220时，v ＝－25x ＋88.当x ＝100时，v ＝48(千米/小时)．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－25x ＋88>40，－25x ＋88<60.解得70<x<120.∴应控制大桥上的车流密度在7<x<120X 围内． (3)设车流量为y 与x 之间的关系式为y ＝vx ，当20≤x≤220时，y ＝(－25x ＋88)x ＝－25(x －110)2＋4 840，∴当x ＝110时，y 最大＝4 840.∴当车流密度是110辆/千米时，车流量y 取得最大值是4 840辆/小时． 2．(1)童装店降价前每天销售该童装可盈利：(100－60)×20＝800(元)． (2)设每件童装降价x 元，根据题意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1 200. 解得x 1＝10，x 2＝20. ∵要使顾客得到较多的实惠， ∴x ＝20.答：童装店应该降价20元. (3)设每件童装降价x 元，可获利y 元，根据题意，得y ＝(100－60－x)(20＋2x)＝－2x 2＋60x ＋800＝－2(x －15)2＋1 250. ∴当x ＝15时，y 最大＝1 250.答：每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1 250元．3．(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧500＝300k ＋b ，400＝400k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝800.∴y ＝－x ＋800.(2)设z 关于y 的函数关系式为z ＝k 1y ＋b 1，则⎩⎪⎨⎪⎧340＝300k 1＋b 1，320＝400k 1＋b 1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－15，b 1＝400.∴z ＝－15y ＋400.则z 关于x 的函数关系式为z ＝－15(－x ＋800)＋400＝15x ＋240.年获利w 关于销售单价x 的函数关系式为：w ＝(x －z)y －20 000＝(x －15x －240)(－x ＋800)－20 000＝－45x 2＋880x －212 000＝－45(x －550)2＋30000.当x ＝550时，w 最大＝30 000，最大获利3万元．(3)由图象可知，，销售单价应在450元到650元之间，又由于销售单价越低，销售量越大，所以销售单价应定为450元．。

第12讲 反比例函数考点1 反比例函数的概念 一般地，形如y=kx(k 为常数，k ≠① )的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数.自变量的取值范围是② .考点2 反比例函数的图象与性质 反比例函数y=k(k ≠0)的图象是③ ，且关于④ 对称.在每个象限内】在应用反比例函数的性质时，要注意“在每个象限内”这几个字的含义，切忌说的增大而减小.考点3 反比例函数中k 的几何意义【易错提示】在实际问题中，求出的解析式要注意自变量和函数的取值范围.1.确定点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横坐标代入解析式，求出y 的值.若所求值等于纵坐标，则点在函数图象上.若所求值不等于纵坐标，则点不在函数图象上；②把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在函数图象上.若乘积不等于k ，则点不在函数图象上.2.反比例函数值的大小比较时，应分x ＞0与x ＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k ＜0时，y 随x 的增大而增大”.3.在一次函数与反比例函数的函数值的大小比较中，要把x 的取值以两交点横坐标、原点为分界点分成四部分进行分析.命题点1 反比例函数的图象和性质 例1 (2013·河北)反比例函数y ＝mx的图象如图所示，以下结论：①常数m ＜-1；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大；③若A(-1，h)，B(2，k)在图象上，则h ＜k ；④若P(x ，y)在图象上，则P ′(-x ，-y)也在图象上.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.①④方法归纳：解决反比例函数题，一般采用数形结合的思想，同时注意增减性的条件是“在每个象限内”.反比例函数是中心对称图形，故若(-a ，b)在反比例函数y ＝mx图象上，则(a ，-b)也在反比例函数图象上.1.(2014·扬州)若反比例函数y=kx(k ≠0)的图象经过点P(-2，3)，则该函数的图象不经过的点是( ) A.(3，-2) B.(1，-6) C.(-1，6) D.(-1，-6)2.(2014·无锡)已知双曲线y=1k x -经过点(-2,1)，则k 的值等于 . 3.(2014·南京)已知反比例函数y=kx 的图象经过点A(-2，3)，则当x ＝-3时，y ＝ .4.(2014·连云港)若函数y=1m x-的图象在同一象限内，y 随x 的增大而增大，则m 的值可以是 .(写出一个即可) 5.已知反比例函数y=(m-1) 23m x-的图象在第二、四象限，求m 的值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况.命题点2 反比例函数中k 的几何意义例2 (2014·济宁)如图，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在反比例函数y=kx的图象上，OA ＝1，OC ＝6，则正方形ADEF 的边长为 .【思路点拨】先确定B 点坐标(1，6)，得k ；设AD ＝t ，得E 点坐标，代入反比例函数解析式求t.方法归纳：过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，结合函数图象所在的象限可以确定k 的值，反过来，根据k 的值，可以确定此矩形的面积.1.(2013·铜仁)如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数y=kx的图象经过点A ，则k 的值是( ) A.2 B.-2 C.4 D.-42.(2014·娄底)如图，M 为反比例函数y=kx的图象上的一点，MA 垂直y 轴，垂足为A ，△MAO 的面积为2，则k 的值为 .3.(2014·滨州)如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4.反比例函数y=kx(x<0)的图象经过顶点C，则k的值为 .4.如图，点A、B在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC,△AOC的面积为6，则k的值为 .5.在平面直角坐标系中，若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线y=-6x和y=2x于A，B两点，P是x轴上任意一点，则△ABP的面积等于 . 命题点3 确定反比例函数的解析式例3 (2014·湖州)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A(2,5)在反比例函数y=kx的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B.(1)求k和b的值.(2)求△OAB的面积.【思路点拨】(1)把点A的坐标代入一次函数、反比例函数解析式，求得k、b的值.(2)求一次函数与x轴交点，得OB长，进而求得△OAB的面积.【解答】方法归纳：求函数解析式，一般先根据题意，找出或求出图象上的相关点，用待定系数法列方程求解.且常常将平面坐标系中三角形的面积问题转化为求线段的长度进而转化为求点的坐标问题.1.(2014·汕尾)已知反比例函数y=kx的图象经过点M(2,1).(1)求该函数的表达式；(2)当2<x<4时，求y的取值范围(直接写出结果).2.(2014·台州)已知反比例函数y=5xm，当x＝2时y＝3.(1)求m的值；(2)当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围.3.(2013·梅州)已知，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象都经过点A(a，2).(1)求a的值及反比例函数的表达式；(2)判断点)是否在该反比例函数的图象上，请说明理由.命题点4 反比例函数的实际应用例4 (2014·嘉兴)实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y=-200x2+400x刻画；1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用反比例函数y=kx(k>0)刻画(如图所示).(1)根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值.(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路.参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由.【思路点拨】(1)利用二次函数的性质找到函数的最大值；根据xy=k，求得k的值；(2)根据晚上到第二天早上的时间求得到早上7：00某驾驶员血液中的酒精含量，与20毫克/百毫升比较，即可得到他第二天早上7：00能否驾车上班.【解答】方法归纳：本题是二次函数和反比例函数所构成的分段函数，并进一步利用反比例函数解决实际问题，解决这类问题的关键是审清题目，理清步骤：先根据点的坐标确定解析式，再根据方程或不等式解决实际问题.1.(2013·绍兴)教室里的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃后停止加热，水温开始下降，此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30 ℃时，接通电源后，水温y(℃)和时间x(min)的关系如右图，为了在上午第一节下课时(8:45)能喝到不超过50 ℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的( )A.7:20B.7:30C.7:45D.7:502.(2014·云南)将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程s(单位：千米)与平均耗油量a(单位：升/千米)之间是反比例函数关系s=ka(k是常数，k≠0).已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米.(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式(关系式).(2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？1.(2014·甘孜)在平面直角坐标系中，反比例函数y=2x的图象的两支分别在( )A.第一、三象限B.第一、二象限C.第二、四象限D.第三、四象限2.(2014·株洲)已知反比例函数y= kx的图象经过点(2,3)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是( )A.(-6,1)B.(1,6)C.(2，-3)D.(3，-2)3.(2013·铜仁)已知矩形的面积为8，则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为( )4.(2014·昆明)左下图是反比例函数y=kx(k 为常数，k ≠0)的图象，则一次函数y=kx-k 的图象大致是( )5.(2014·益阳)正比例函数y=6x 的图象与反比例函数y=6x的图象的交点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第一、三象限 6.(2013·南京)在同一直角坐标系中，若正比例函数y ＝k 1x 的图象与反比例函数y ＝2k x的图象没有公共点，则( )A.k 1＋k 2＜0B.k 1＋k 2＞0C.k 1k 2＜0D.k 1k 2＞07.(2013·苏州)如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3，4)，顶点A 在x 轴的正半轴上.反比例函数y=kx(x>0)的图象经过顶点B ，则k 的值为( )A.12B.20C.24D.328.(2013·无锡)已知双曲线y=1k x经过点(-1，2)，那么k 的值等于 . 9.一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(cm)是面条粗细(横截面积)x(cm 2)的反比例函数，假设其图象如图所示，则y 与x 的函数关系式为 .10.(2013·枣庄)若正比例函数y=-2x 与反比例函数y=kx图象的一个交点坐标为(-1,2)，则另一个交点的坐标为 .11.(2013·包头)设反比例函数y=2kx+，(x1，y1)，(x2，y2)为其图象上两点，若x1＜0＜x2，y1＞y2则k的取值范围是 .12.(2014·衡阳)若点P1(-1,m),P2(-2,n)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，则m n(填“>”“<”或“=”).13.若点A(m，-2)在反比例函数y=4x的图象上，则当函数值y≥-2时，自变量x的取值范围是 .14.(2014·遂宁)已知：如图，反比例函数y=kx的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A(1，4)、点B(-4，n).(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△OAB的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.15.某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1 200 m3的生活垃圾运走.(1)假如每天能运x m3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；(2)若每辆拖拉机一天能运12 m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？(3)在(2)的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？16.(2014·威海改编)已知反比例函数y＝12mx-(m为常数)的图象在一、三象限.(1)求m的取值范围；(2)如图，若该反比例函数的图象经过□ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(-2，0).①求出函数解析式；②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD＝OP，则P点的坐标为 .17.(2014·遵义)如图，反比例函数y=kx(k>0)的图象与矩形ABCO的两边相交于E、F两点.若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为 .18.(2014·东营)如图，函数y=1x和y=-3x的图象分别是l1和l2.PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为 .19.(2013·自贡)如图，在函数y=8x(x>0)的图象上有点P1，P2，P3，…，P n，P n+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，…，P n，P n+1分别作x轴，y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S1= ，S n= .(用含n的代数式表示)20.(2014·内江)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(-4，0)，与y轴交于点C，PB丄x轴于点B，且AC＝BC.(1)求一次函数、反比例函数的解析式；(2)反比例函数图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形，如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由.参考答案 考点解读①0 ②x ≠0 ③双曲线 ④原点 ⑤减小 ⑥增大 ⑦常数 ⑧|k| ⑨|y| ⑩|x| ⑪|xy| ⑫k ⑬|k| ⑭12|k| ⑮12|k| ⑯待定系数法 ○170 ○18k ○19反比例 ○20待定系数法 各个击破例1 C题组训练 1.D 2.-1 3.2 4.答案不唯一，如：-25.∵y=(m-1)x m2-3是反比例函数，∴m 2-3＝-1，且m-1≠0.解得m=又∵图象在第二、四象限，∴m-1＜0，即m ＜1.∴在每个象限内，y 随着x 的增大而增大. 例2 2解析：∵OA ＝1，OC ＝6，∴B 点坐标为(1，6). ∴k ＝1×6＝6.∴反比例函数解析式为y ＝6x. 设AD ＝t ，则OD ＝1＋t ，∴E 点坐标为(1+t ，t).∴(1＋t)·t ＝6.整理得t 2＋t-6＝0， 解得t 1＝-3(舍去)，t 2＝2. ∴正方形ADEF 的边长为2.题组训练 1.D 2.4 3.-6 4.4 5.4 例3 (1)把A(2,5)分别代入y=kx和y=x+b,得 5=2k，5=2+b ，即k=10，b=3. (2)由(1)得直线AB 的解析式为y=x+3, ∴B 点坐标为(-3，0)，∴OB=3. 过点A 作AC ⊥x 轴于点C,11∵点A 的坐标为(2，5)，∴AC=5.∴△OAB 的面积=12×BO ×AC=12×3×5=152.题组训练 1.(1)∵反比例函数y=kx 的图象经过点M(2,1)，∴k =2，即y=2x . (2)12<y<1.2.(1)∵当x ＝2时y ＝3，∴3＝52m，即m ＝-1.(2)由(1)得，反比例函数的解析式为y ＝6x ，∵当x ＝3时，y ＝2；当x ＝6时，y ＝1，且当3≤x ≤6时，y 随x 的增大而减小，∴函数值的取值范围是1≤y ≤2.3.(1)∵一次函数y=x+1的图象经过点A(a ，2)，∴2=a+1，解得a=1.又反比例函数y=kx (k ≠0)的图象经过点A(a ，2)，∴2=1k，∴k=2.∴a 的值为1，反比例函数的表达式为y=2x .(2)∵2=2，∴点2)在该反比例函数的图象上.例4 (1)①y=-200x 2+400x=-200(x-1)2+200，∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200(毫克/百毫升).②∵当x=5时，y=45，∴k=xy=45×5=225.(2)不能驾车上班.理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，∴将x=11代入y=225x ，则y=22511＞20，∴第二天早上7：00不能驾车去上班.题组训练 1.A2.(1)把a ＝0.1，s ＝700代入s=ka ，得 700=0.1k，k=70，s=70a .(2)把a ＝0.08代入s=70a ，得s ＝875.∴当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶875千米.12 整合集训1.A2.B3.B4.B5.D6.C7.D8.-39.y=128x（x>0) 10.(1，-2) 11.k ＜-2 12.＜ 13.x ≤-2或x>0 14.(1)∵A(1，4)，代入y=k x，得k=4， 即反比例函数的解析式为y=4x. 将(-4，n)代入y=4x 得-4n=4，得n=-1. 所以B(-4，-1).把A(1，4)代入y=x+b 得4=b+1,得b=3.所以y=x+3；(2)由题意得y=x+3与y 轴交点为(0,3)，∴△OAB 的面积=12×3×4+12×3×1=7.5. (3)-4＜x ＜0或x ＞1.15.(1)y=1 200x； (2)5辆拖拉机每天能运5×12=60（m 3），则y=1 200÷60=20（天），即需要20天才能运完；(3)假设需要增加n 辆，根据题意，得8×60+6×12(n+5)≥1 200，解得n ≥5.答：至少需要增加5辆.16.(1)根据题意，得1-2m ＞0.解得m ＜12. (2)①∵四边形ABCD 是平行四边形，A(0，3)，B(-2，0)，∴D(2，3).∴函数解析式为y ＝6x. ②（3,2)或(-2,-3)或(-3,-2).17.8 提示：设E 点坐标为(a ，b)，则k=ab.因为E 是AB 中点，所以B 点坐标为(2a ，b).设F 点坐标为(2a ，h)，则k=2ah ，所以h=2b ，所以F 是CB 中点.所以BE=AE=a ，BF=CF=2b .因为S △BEF =2，所以12×a ×2b =4ab =2.所以ab=8.故k=8.18.8 19.4 ()81n n + 20.(1)∵AC ＝BC ，CO ⊥AB ，∴AO ＝BO.∵A(-4，0)，∴B(4，0)，∴P(4，2).∴m ＝4×2=8，即反比例函数的解析式为y ＝8x. 把A(-4，0)，P(4，2)代入y ＝kx ＋b 得04,24.k b k b =-+⎧⎨=+⎩解得1,41.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴一次函数的解析式为y ＝14x ＋1. (2)存在.13 ∵点C 在一次函数y ＝14x ＋1的图象上，∴C(0,1).又∵B(4，0)，∴BC 的解析式为y ＝-14x ＋1.∵P 点的纵坐标为2，将BC 向上平移2个单位的直线解析式为y ＝-14x ＋3， 解方程组1348y x y x⎧-⎪⎨⎪⎩＝＋，＝得x=4(舍去）或x=8.当x=8时，y=1.∴D(8,1).此时. 即PD ＝BC.∵PD ∥BC,∴四边形BCPD 为平行四边形.∵,PC=BC,∴四边形BCPD 为菱形,∴D(8,1).。

一次函数与反比例函数的图象与性质一次函数与反比例函数的图象与性质主要考查两个方面的知识：(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据解析式解决面积、交点坐标、函数值的大小比较等相关问题，解决这类问题要认真观察图象，挖掘题目中的已知条件和隐含条件，根据问题情境和图象，建立函数模型． (2015·昆明盘龙区二模)如图，直线y ＝mx 与双曲线y ＝k x 相交于A 、B 两点，A 点的坐标为(1，2)． (1)求反比例函数的表达式；(2)根据图象直接写出当mx ＞k x时，x 的取值范围； (3)计算线段AB 的长．【思路点拨】 (1)根据点A 在反比例函数图象上可直接求出反比例函数的表达式；(2)根据题意，由点A 、B 的对称性确定B 点的坐标，再根据图象可判断限定条件时的x 的取值范围；(3)根据点A 、B 的坐标和勾股定理可求得线段AB 的长．【解答】 (1)∵点A(1，2)在反比例函数图象上，∴k ＝1×2＝2.∴反比例函数的表达式为y ＝2x. (2)∵直线与双曲线相交于A 、B 两点，∴B(－1，－2)．∴－1＜x ＜0或x ＞1.(3)过点A 作平行y 轴的直线，过点B 作平行x 轴的直线，两直线交于点C.则C(1，－2)．∴AC ＝4，BC ＝2.∴AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝2 5.本题考查用待定系数法求反比例函数的表达式，在求交点坐标时，可以根据解反比例函数与一次函数构成的方程组，也可以利用对称性得到；对于求不等式解集的问题，实质是根据两函数值的大小确定自变量的取值范围，关键是找到两种函数图象的交点，以交点为界限，看左、右区域两个函数图象的上、下位置关系，直接写出自变量的取值范围．1．(2015·原创)如图，一次函数的图象经过M 点，与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，根据图中信息求：(1)这个函数的解析式；(2)tan ∠BAO 的值．2．(2015·昆明西山区二模)如图，一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象与反正比例函数的图象y ＝k 2x交于A(－2，1)，B(1，a)两点．(1)试确定上述反正比例函数和一次函数的表达式；(2)求△AOB 的面积．3．(2015·昆明盘龙区一模)如图，在△AOB ，∠ABO ＝90°，OB ＝4，AB ＝8，反正例函数y ＝k x在第一象限内的图象分别交OA ，AB 于点C 和点D ，且△BOD 的面积S △BOD ＝4.(1)求反比例函数解析式；(2)求点C 的坐标．4．(2015·安徽)如图，已知反比例函数y ＝k 1x与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于点A(1，8)、B(－4，m)．(1)求k 1、k 2、b 的值；(2)求△AOB 的面积；(3)若M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)是反比例函数y ＝k 1x图象上的两点，且x 1＜x 2，y 1＜y 2，指出点M 、N 各位于哪个象限，并简要说明理由．5．(2015·济宁)在矩形AOBC 中，OB ＝6，OA ＝4.分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上一点，过点F 的反比例函数y ＝k x(k>0)图象与AC 边交于点E.(1)请用k 表示点E ，F 的坐标；(2)若△OEF 的面积为9，求反比例函数的解析式．6．(2015·北京)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b(k≠0)与双曲线y＝8x的一个交点为P(2，m)，与x轴、y轴分别交于点A，B.(1)求m的值；(2)若PA＝2AB，求k的值．参考答案1．(1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b.∵函数的图象经过点M(－1，4)，B(0，6)，∴⎩⎨⎧==+-.2,4b b k 解得⎩⎨⎧==.6,2b k∴这个函数的解析式为y ＝2x ＋6.(2)当y ＝0时，x ＝－3.∴点A 的坐标为(－3，0)．∴OA ＝3.∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝63＝2. 2.(1)∵反正比例函数y ＝k 2x 的图象经过A(－2，1)，B(1，a)两点， ∴k 2＝－2×1＝－2，a ＝k 21＝－2. ∵一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象经过A 、B 两点，∴⎩⎨⎧-=+=+-.2,1211b k b k 解得111.k b =-⎧⎨=-⎩，∴反比例函数的表达式为y ＝－2x，一次函数的表达式为y ＝－x －1. (2)设一次函数的图象与x 轴的交点为E ，则其坐标为(－1，0)，与y 轴的交点为点F ，则其坐标为(0，－1)．∴OE ＝1，OF ＝1.∴S △AOB ＝S △AOE ＋S △EOF ＋S △BOF ＝12×1×1＋12×1×1＋12×1×1＝32.3.(1)∵S △BOD ＝12×OB ×BD ＝4，OB ＝4， ∴BD ＝2.∴点D 的坐标为(4，2)．∵点D 在反比例函数的图象上，∴k ＝4×2＝8.∴反比例函数解析式为y ＝8x. (2)设直线OA 的解析式为y ＝ax.把A(4，8)代入，得4a ＝8，解得a ＝2.∴直线OA 的解析为y ＝2x.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,8,2x y x y 得⎩⎨⎧==.4,2y x 或⎩⎨⎧-=-=.4,2y x ∵C 在第一象限，∴点C 的坐标为(2，4)．4.(1)∵反比例函数y ＝k 1x 与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于点A(1，8)、B(－4，m)，∴k 1＝8，B(－4，－2)．将A(1，8)，B(－4，－2)代入y ＝k 2x ＋b 得⎩⎨⎧+-=-+=.42,822b k b k 解得⎩⎨⎧==.6,22b k(2)由(1)知一次函数y ＝2x ＋6的图象与y 轴的交点坐标为(0，6)， ∴S △AOB ＝12×6×2＋12×6×1＝9.(3)∵反比例函数y ＝k 1x 的图象位于第一、三象限，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小．∵x 1＜x 2，y 1＜y 2.∴M ，N 在不同的象限．∴M(x 1，y 1)在第三象限，N(x 2，y 2)在第一象限．5.(1)∵E ，F 是反比例函数y ＝k x (k>0)图象上的点，且OB ＝6，OA ＝4，∴点E 坐标为E(k 4，4)，点F 坐标为F(6，k 6)．(2)由题意知：S △ECF ＝12EC ·CF ＝12(6－14k)(4－16k)，∴S △EOF ＝S 矩形AOBC －S △AOE －S △BOF －S △ECF ＝24－12k －12k －12(6－14k)(4－16k)＝9.∴12－k248＝9.解得k ＝12.∴反比例函数的解析式为y ＝12x .6.(1)∵点P(2，m)在y ＝8x 上，∴m ＝82＝4.(2)∵P(2，4)在y ＝kx ＋b ，∴4＝2k ＋b ，b ＝4－2k.∵y ＝kx ＋b 与x 、y 轴交于A 、B 两点，∴A(2－4k ，0)，B(0，4－2k)．∵PA ＝2AB ，则分两种情况．①如图1，PB ＝AB ，则OD ＝OA ＝2，∴4k －2＝2.∴k ＝1.②如图2，PA ＝2AB ，PD ＝2OB ＝4.∴OB ＝2，2k －4＝2.∴k ＝3.∴k ＝1或k ＝3.。

湖北世纪华章文化传播有限公司公司简介湖北世纪华章文化传播有限公司创建于2001年，是一家以中小学教育辅导类图书开发为重点，集内容策划、出版发行于一体的民营股份制企业，是全国一流的基础教育图书供应商。

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公司宗旨：服务教师、服务教学、服务教育公司使命：以图书出版推动教育进步公司愿景：让每一位学生以较小的成本分享到高品质的教育《火线100天》数学数学2015年全国中考真题分类解析《火线100天》Word 版2015年全国中考真题荟萃2011-2015年河北省中考真题荟萃2013～2015年河北中考数学试题分析及2016年中考复习备战策略河北中考考点28讲第一单元数与式第二单元方程与不等式第三单元函数第四单元图形的初步认识与三角形第五单元四边形第六单元圆第七单元图形与变换第八单元统计与概率河北中考6大题型轻松搞定河北中考考点28讲第一单元数与式第1讲实数与实数运算第2讲整式及因式分解第3讲分式滚动小专题（一）数与式的计算单元测试（一）数与式河北中考考点28讲第二单元方程与不等式第4讲一次方程（组）第5讲分式方程第6讲一元一次不等式（组）第7讲一元二次方程滚动小专题（二）方程、不等式的解法滚动小专题（三）方程（组）、不等式的实际应用单元测试（二）方程与不等式河北中考考点28讲第三单元函数第8讲函数及其图象第9讲一次函数的图象和性质第10讲一次函数的实际应用第11讲反比例函数第12讲二次函数的图象和性质第13讲二次函数的实际应用滚动小专题（四）函数的图象和性质滚动小专题（五）函数的实际应用单元测试（三）函数（A卷）单元测试（三）函数（B卷）滚动阶段测试（一）1～3单元河北中考考点28讲第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线第15讲三角形的基本知识第16讲全等三角形第17讲等腰三角形和直角三角形第18讲图形的相似滚动小专题（六）三角形的有关计算与证明第19讲锐角三角函数及其应用滚动小专题（七）解直角三角形单元测试（四）图形的初步认识与三角形（A卷）单元测试（四）图形的初步认识与三角形（B卷）河北中考考点28讲第五单元四边形第20讲多边形与平行四边形第21讲特殊的平行四边形滚动小专题（八）四边形的有关计算与证明单元测试（五）四边形河北中考考点28讲第六单元圆第22讲圆的基本性质第23讲与圆有关的位置关系第24讲圆的有关计算滚动小专题（九）圆的有关计算与证明单元测试（六）圆河北中考考点28讲第七单元图形与变换第25讲图形的平移、对称、旋转与位似第26讲视图与尺规作图滚动小专题（十）与图形变换有关的证明与计算单元测试（七）图形变换滚动阶段测试（二）1～7单元河北中考考点28讲第八单元统计与概率第27讲统计第28讲概率滚动小专题（十一）统计与概率的应用单元测试（八）统计与概率滚动阶段测试（三）1～8单元河北中考6大题型轻松搞定专题复习（一）基本运算专题复习（二）数学思想方法专题复习（三）规律与猜想专题复习（四）函数问题专题复习（五）图形问题专题复习（六）河北压轴题专题复习（一）基本运算第1课时数式运算第2课时定义新运算或新概念专题复习（三）规律与猜想第1课时数式的规律第2课时图形的规律专题复习（四）函数问题第1课时函数基础知识第2课时函数的图象与性质1第3课时函数的图象与性质2第4课时函数的图象与性质3第5课时函数建模1第6课时函数建模2专题复习（五）图形问题第1课时图形的基本性质第2课时三角形全等第3课时解三角形与三角形相似第4课时四边形第5课时圆第6课时图形变换第7课时几何综合专题复习（六）河北压轴题第1课时动态问题1第2课时动态问题2第3课时动态问题3第4课时解决问题1第5课时解决问题2第6课时解决问题3。

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公司宗旨：服务教师、服务教学、服务教育公司使命：以图书出版推动教育进步公司愿景：让每一位学生以较小的成本分享到高品质的教育《火线100天》数学数学2015年全国中考真题分类解析《火线100天》Word 版2015年全国中考真题荟萃2011-2015年河北省中考真题荟萃2013～2015年河北中考数学试题分析及2016年中考复习备战策略河北中考考点28讲第一单元数与式第二单元方程与不等式第三单元函数第四单元图形的初步认识与三角形第五单元四边形第六单元圆第七单元图形与变换第八单元统计与概率河北中考6大题型轻松搞定河北中考考点28讲第一单元数与式第1讲实数与实数运算第2讲整式及因式分解第3讲分式滚动小专题（一）数与式的计算单元测试（一）数与式河北中考考点28讲第二单元方程与不等式第4讲一次方程（组）第5讲分式方程第6讲一元一次不等式（组）第7讲一元二次方程滚动小专题（二）方程、不等式的解法滚动小专题（三）方程（组）、不等式的实际应用单元测试（二）方程与不等式河北中考考点28讲第三单元函数第8讲函数及其图象第9讲一次函数的图象和性质第10讲一次函数的实际应用第11讲反比例函数第12讲二次函数的图象和性质第13讲二次函数的实际应用滚动小专题（四）函数的图象和性质滚动小专题（五）函数的实际应用单元测试（三）函数（A卷）单元测试（三）函数（B卷）滚动阶段测试（一）1～3单元河北中考考点28讲第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线第15讲三角形的基本知识第16讲全等三角形第17讲等腰三角形和直角三角形第18讲图形的相似滚动小专题（六）三角形的有关计算与证明第19讲锐角三角函数及其应用滚动小专题（七）解直角三角形单元测试（四）图形的初步认识与三角形（A卷）单元测试（四）图形的初步认识与三角形（B卷）河北中考考点28讲第五单元四边形第20讲多边形与平行四边形第21讲特殊的平行四边形滚动小专题（八）四边形的有关计算与证明单元测试（五）四边形河北中考考点28讲第六单元圆第22讲圆的基本性质第23讲与圆有关的位置关系第24讲圆的有关计算滚动小专题（九）圆的有关计算与证明单元测试（六）圆河北中考考点28讲第七单元图形与变换第25讲图形的平移、对称、旋转与位似第26讲视图与尺规作图滚动小专题（十）与图形变换有关的证明与计算单元测试（七）图形变换滚动阶段测试（二）1～7单元河北中考考点28讲第八单元统计与概率第27讲统计第28讲概率滚动小专题（十一）统计与概率的应用单元测试（八）统计与概率滚动阶段测试（三）1～8单元河北中考6大题型轻松搞定专题复习（一）基本运算专题复习（二）数学思想方法专题复习（三）规律与猜想专题复习（四）函数问题专题复习（五）图形问题专题复习（六）河北压轴题专题复习（一）基本运算第1课时数式运算第2课时定义新运算或新概念专题复习（三）规律与猜想第1课时数式的规律第2课时图形的规律专题复习（四）函数问题第1课时函数基础知识第2课时函数的图象与性质1第3课时函数的图象与性质2第4课时函数的图象与性质3第5课时函数建模1第6课时函数建模2专题复习（五）图形问题第1课时图形的基本性质第2课时三角形全等第3课时解三角形与三角形相似第4课时四边形第5课时圆第6课时图形变换第7课时几何综合专题复习（六）河北压轴题第1课时动态问题1第2课时动态问题2第3课时动态问题3第4课时解决问题1第5课时解决问题2第6课时解决问题3。

二次函数与几何图形综合 (2015·某某)如图，经过点C(0，－4)的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴相交于A(－2，0)，B 两点．(1)a________0，b 2－4ac________0(填“＞”或“＜”)；(2)若该抛物线关于直线x ＝2对称，求抛物线的函数表达式；(3)在(2)的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，，使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形．若存在，求出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】 (1)根据二次函数的图象与性质，确定a 及b 2－4ac 的正负；(2)用待定系数法求抛物线的函数表达式；(3)由平行四边形性质及点在抛物线上求得点E 的坐标．【解答】 (1)由抛物线开口向上，可知a ＞0；由抛物线与x 轴有两个不同的交点，可知b 2－4ac ＞0. (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝2，c ＝－4，4a －2b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－43，c ＝－4. ∴抛物线的函数表达式是y ＝13x 2－43x －4. (3)存在．理由如下：①当点E 在x 轴下方，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ，如图1,∵四边形ACEF 是平行四边形，∴CE ∥AF ，这时点E 的纵坐标为－4，则13x 2－43x －4＝－4，解得x ＝0或x ＝4， 故E 点的坐标是(4，－4)．②当点E 在x 轴上方，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，过点E 作ED ⊥x 轴于点D ，如图2,∵四边形ACFE是平行四边形，∴EF＝AC，EF∥AC.∴∠EFD＝∠CAO，又∵∠AOC＝∠FDE＝90°. ∴△ACO≌△FED.∴ED＝OC.这时点E的纵坐标为4，则1 3x2－43x－4＝4，解得x＝2±27 .故E点的坐标是(2＋27，4)，(2－27，4)．综上所述，E点坐标为(4，－4)或(2＋27，4)或(2－27，4)．(1)解决存在性问题的一般步骤是：首先假设其存在，画出相应的图形；然后根据所画图形进行解答，得出某些结论，若结论符合题目要求或是定义定理，则假设成立；若出现与题目要求或是定义定理相悖的情况，则假设错误，不存在．(2)分类讨论是一种重要的数学思想，当问题涉及的元素具有不确定性时，往往需要运用分类讨论思想对该元素的不同情况进行分类讨论．对于某些不确定的情况，如由于时间变化引起的数量变化、等腰三角形的腰或底的不确定、直角三角形直角的不确定、运动问题、旋转问题等，当情况不唯一时，我们就要分类讨论．在进行分类讨论时，要根据题目要求或是时间变化等，做到不重不漏地解决问题．(2015·某某)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2).(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；(3)以AB为直径作⊙M，直线经过点E(－1，－5)，并且与⊙M相切，求该直线的解析式．【思路点拨】 (1)根据A、B、C三点为抛物线上的点列出方程组，求出抛物线的解析式；(2)过D作DH⊥x轴交直线AC于点G，设D点横坐标为m，用割补法把△ACD的面积用含m的式子表示出来，求出△ACD面积的最大值及D 点坐标；(3)过E的直线与⊙M切于点N交x轴于点F，利用相似三角形的性质与判定或用三角函数求出点F坐标，从而求出直线的解析式．【解答】(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(－4，0)，B(2，0)，C(0，2)三点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －4b ＋c ，0＝4a ＋2b ＋c ，2＝c.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝－12，c ＝2. ∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2－12x ＋2. (2)过D 作DH ⊥x 轴交直线AC 于点G ，设D 点横坐标为m ，则DH ＝－14m 2－12m ＋2，AH ＝m ＋4，OH ＝－m. 设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k ＋b ，2＝b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝2.∴直线AC 的解析式为y ＝12x ＋2. ∴G(m ，12m ＋2)． ∴DG ＝－14m 2－12m ＋2－(12m ＋2)＝－14m 2－m. ∵S △ADC ＝S △ADG ＋S △CDG ＝12DG ·AH ＋12DG ·OH ＝12DG(AH ＋OH)＝12DG ·AO ， ∴S △ADC ＝12(－14m 2－m)×4＝－12m 2－2m ＝－12(m ＋2)2＋2. ∵－12＜0，∴S △ADC 面积有最大值．∴当m ＝－2时，S △ADC 面积的最大值为2，此时D 点的坐标为(－2，2)．(3)如图，设过点E 的直线与⊙M 切于点N ，交x 轴于点F ，连接MN ，∵A(－4，0)，B(2，0)，AB 为⊙M 的直径，∴AB ＝6，M(－1，0)．∴MN＝12AB ＝3. ∵E(－1，－5)，∴ME ＝5，∠FME ＝90°.∵EF 与⊙M 切于点N ，∴∠MNE ＝90°.∴EN ＝ME 2－MN 2＝52－32＝4.∵∠MNE ＝∠FME，∠MEN ＝∠FEM，∴△MNE ∽△FME.∴MN MF ＝EN ME ，即3MF ＝45. ∴MF ＝154.∴FO ＝154＋1＝194或FO ＝154－1＝114.∴F(－194，0)或(114，0)． 设直线EF 的解析式为y ＝kx ＋b ，当F(－194，0)时，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧0＝－194k ＋b ，－5＝－k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝－193. ∴直线EF 的解析式为y ＝－43x －193. 当F(114，0)时，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧0＝114k ＋b ，－5＝－k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，b ＝－113. ∴直线EF 的解析式为y ＝43x －113. 综上所述，直线EF 的解析式为y ＝－43x －193或y ＝43x －113.解这类问题关键是：(1)善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件；(2)会用待定系数法求函数解析式；(3)利用“数形结合”的思想，按照“解析式→坐标→距离(线段长度)→几何图形性质及应用”的思路进行思考；(4)周长最短、面积最大等，一般都是先化为二次函数的顶点式，再得出最大值或最小值．(2015·黔南)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－16x 2＋bx ＋c ，过点A(0，4)和C(8，0)，P(t ，0)是x 轴正半轴上的一个动点，M 是线段AP 的中点，将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°，过点A 作y 轴的垂线，两直线相交于点D.(1)求b ，c 的值；(2)当t 为何值时，点D 落在抛物线上；(3)是否存在t ，使得以A ，B ，D 为顶点的三角形与△AOP 相似？若存在，求此时t 的值；若不存在，请说明理由．(2)利用△AOP∽△PEB，用含t 的式子表示出D 的坐标，再代入到二次函数的解析式中求出t 的值； (3)当P 在线段OC 上和点C 的右侧时，根据相似三角形的对应关系分类讨论． 【解答】 (1)由抛物线y ＝－16x 2＋bx ＋c 过点A(0，4)和C(8，0)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，－16×64＋8b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝56，c ＝4.(2)∵∠AOP＝∠PEB＝90°，∠OAP ＝90°－∠APO＝∠EPB，∴△AOP ∽△PEB ，且相似比为AO PE ＝AP PB＝2. ∵AO ＝4，∴PE ＝2，OE ＝OP ＋PE ＝t ＋2.又∵DE＝OA ＝4，∴点D 的坐标为(t ＋2，4)．∴点D 落在抛物线上时，有－16(t ＋2)2＋56(t ＋2)＋4＝4. 解得t ＝3或t ＝－2.∵t ＞0，∴t ＝3，故当t 为3时，点D 落在抛物线上．(3)存在t ，能够使得以A 、B 、D 为顶点的三角形与△AOP 相似，理由如下：①当0＜t ＜8时，若△POA∽△ADB，则PO AD ＝AO BD ，即t t ＋2＝44－12t ， 整理得t 2＋16＝0，所以t 无解．若△POA∽△BDA，同理，得t ＝－2＋25(负值舍去)；②当t ＞8时，若△POA∽△ADB，则PO AD ＝AO BD ，即t t ＋2＝412t －4，解得t ＝8＋45(负值舍去)． 若△POA∽△BDA，同理，得t 无解．综上所述，当t ＝－2＋25或t ＝8＋45时，以A 、B 、D 为顶点的三角形与△AOP 相似．关于动点的问题，一般都要注意动点在不同位置时，对几何图形的影响．三角形相似时，若没有用相似符号标记，也要注意不同的对应关系．所以对于这样的一类问题需要分类讨论，做到不重复，也不要遗漏．(2015·某某)如图，已知：关于x 的二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(1，0)和点B ，与y 轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x 轴交于点D.(1)求二次函数的表达式；(3)有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问M 、N 运动到何处时，△MNB 的面积最大，试求出最大面积．【思路点拨】 (1)根据A 、C 两点坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)分别以线段BC 为腰和底确定P 点的位置并求得坐标；(3)把△MNB 的面积用二次函数的表达式表示出来，应用二次函数求得△MNB 的最大面积．【解答】 (1)∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0), C(0，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，c ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3. ∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)存在．令y ＝0，则x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.∴B(3，0)．①当以BC 为底边时，由于OB ＝OC ＝3，∴点O 符合条件，即有点P 1(0，0)，使△PBC 为等腰三角形；②当以PB 为底边时，BC 为腰时，PC ＝BC ＝32＋32＝32，当点P 在C 点上方时，P 2点坐标为(0，32＋3)；当点P 在C 点下方时，P 3点坐标为(0，3－32)．③当以PC 为底边时，BC 为腰时，OP ＝OC ，∴P 点和C 点关于原点对称，即点P 4坐标为(0，－3)．综上所述，符合条件的P 点有P 1(0，0)，P 2(0，32＋3)，P 3(0，3－32)，P 4(0，－3)，使△PBC 为等腰三角形．(3)设点M 运动t 个单位时，△MNB 的面积最大，∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0), B(3，0)，∴OA ＝1，OB ＝3.∴BM ＝OB －OA －AM ＝3－1－t ＝2－t.∵点N 的速度是点M 的2倍，∴DN ＝2t.S △MNB ＝12(2－t)×2t＝－(t －1)2＋1， ∴当t ＝1时，△MNB 的面积有最大值为1.即当M(2，0)、N(2，2)或N(2，－2)时，△MNB 的面积最大，最大面积为1.(1)会用待定系数法求函数解析式；(2)对于单个图形形状的存在性判断，先假设图形形状存在，然后根据图形的特殊性求出存在的条件(即要求的点的坐标)．当图形的形状无法确定唯一时，还应该根据已知条件进行分类；(3)在运动中求最大值或最小值时，通常可以考虑将问题转化为函数的最值讨论问题，利用二次函数的顶点坐标或函数取值X 围解决；对于数形结合的思想的应用要注意几何图形的性质为相应的函数或方程提供的条件的应用．类型之一 二次函数与存在等腰三角形1．(2015·黔东南)如图，已知二次函数y 1＝－x 2＋134x ＋c 的图象与x 轴的一个交点为A(4，0)，与y 轴的交点为B ，过A 、B 的直线为y 2＝kx ＋b.(1)求二次函数的解析式及点B 的坐标；(2)由图象写出满足y 1<y 2的自变量x 的取值X 围；(3)在两坐标轴上是否存在点P ，使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2．(2014·某某)如图，经过点A(0，－6)的抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于B(－2，0)，C 两点． (1)求此抛物线的函数关系式和顶点D 的坐标；(2)将(1)中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m(m＞0)个单位长度得到新抛物线y1，若新抛线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值X围；(3)在(2)的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值X围．类型之二二次函数与存在相似三角形1．(2014·某某)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB＝DC，BC在x轴上，点A在y 轴的正半轴上，点A，D的坐标分别为A(0，2)，D(2，2)，AB＝22，连接AC.(1)求出直线AC的函数解析式；(2)求过点A，C，D的抛物线的函数解析式；(3)在抛物线上有一点P(m，n)(n＜0)，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，连接PC，使以点C，P，M为顶点的三角形与Rt△AOC相似，求出点P的坐标．2．(2015·潍坊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2－8mx＋4m＋2(m>0)与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B(x1，0)，C(x2，0)，且x2－x1＝4.直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E(t，0)，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；(3)当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．类型之三二次函数与存在特殊四边形1．(2015·某某)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M′.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线A M′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；(3)是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．2．(2015·某某)如图，已知二次函数的图象M 经过A(－1，0)，B(4，0)，C(2，－6)三点．(1)求该二次函数的解析式；(2)点G 是线段AC 上的动点(点G 与线段AC 的端点不重合)，若△ABG 与△ABC 相似，求点G 的坐标；(3)设图象M 的对称轴为l ，点D(m ，n)(－1<m<2)是图象M 上一动点，当△ACD 的面积为278时，点D 关于l 的对称点为E ，能否在图象M 和l 上分别找到点P 、Q ，使得以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形．若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．类型之四 二次函数与线段相关的存在性问题1．(2014·黔东南)如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6(a≠0)相交于A(12，52)和B(4，m)，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标．2．(2014·某某)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为A(－1，－1)，与x轴交点M(1，0)．C为x轴上一点，且∠CAO＝90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F(－1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线AC的解析式及B点坐标；(3)过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D(0，－2)且垂直于y轴的直线于E点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由．类型之五二次函数与面积问题1．(2015·黔西南)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′.抛物线y＝－x2＋2x＋3经过点A、C、A′三点．(1)求A、A′、C三点的坐标；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分的面积；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．2.(2014·六盘水)如图，二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于A 、D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是(2，0)，B 点的坐标是(8，6)． (1)求二次函数的解析式；(2)求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；(3)该二次函数的对称轴交x 轴于C 点．连接BC ，并延长BC 交抛物线于E 点，连接BD ，DE ，求△BDE 的面积；(4)抛物线上有一个动点P ，与A ，D 两点构成△ADP，是否存在S △ADP ＝21S △BCD ？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案1．(1)将A(4，0)代入y 1＝－x 2＋134x ＋c ，得－42＋134×4＋c ＝0，解得c ＝3.∴所求二次函数的解析式为y 1＝－x 2＋134x ＋3.∵当x ＝0时，y 1＝3， ∴点B 的坐标为(0，3)．(2)满足y 1<y 2的自变量x 的取值X 围是：x<0或x>4.(3)存在，理由如下：作线段AB 的中垂线l ，垂足为C ，交x 轴于点P 1，交y 轴于点P 2.∵A(4，0)，B(0，3)， ∴OA ＝4，OB ＝3.∴在Rt △AOB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝5. ∴AC＝BC ＝52.∵Rt △ACP 1与Rt △AOB 有公共∠OAB， ∴Rt △ACP 1∽Rt △AOB.∴AP 1AB ＝AC OA ，即AP 15＝524，解得AP 1＝258.而OP 1＝OA －AP 1＝4－258＝78， ∴点P 1的坐标为(78，0)．又∵Rt △P 2CB 与Rt △AOB 有公共∠OBA， ∴Rt △P 2CB ∽Rt △AOB.∴P 2B AB ＝BC BO ，即P 2B 5＝523，解得P 2B ＝256. 而OP 2＝P 2B －OB ＝256－3＝76，∴点P 2的坐标为(0，－76)．∴所求点P 的坐标为(78，0)或(0，－76)．2．(1)将A(0，－6)，B(－2，0)代入y ＝12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧+-==-,220,6c b c 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－6.∴y ＝12x 2－2x －6，∴顶点坐标为(2，－8)．(2)将(1)中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m(m ＞0)个单位长度， 得到新抛物线y 1＝12(x －2＋1)2－8＋m ，∴P(1，－8＋m)．在抛物线y ＝12x 2－2x －6中易得C(6，0)，∴直线AC 为y 2＝x －6.当x ＝1时，y 2＝－5，∴－5＜－8＋m ＜0. 解得3＜m ＜8.(3)∵A(0，－6)，B(－2，0)，∴线段AB 的中点坐标为(－1，－3)，直线AB 的解析式为y ＝－3x －6. ∴过AB 的中点且与AB 垂直的直线的解析式为y ＝13x －83.①当3＜m ＜10318时，存在两个Q 点，可作出两个等腰三角形；②当m ＝10318时，存在一个点Q ，可作出一个等腰三角形；③当10318＜m ＜8时，Q 点不存在，不能作出等腰三角形．类型之二 二次函数与存在相似三角形 (1)由A(0，2)知OA ＝2，在Rt △ABO 中， ∵∠AOB ＝90°，AB ＝22，∴OB ＝AB 2－OA 2＝（22）2－22＝2. ∴B(－2，0)．根据等腰梯形的对称性可得C 点坐标为(4，0)．设直线AC 的函数解析式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，4k ＋n ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，n ＝2.∴直线AC 的函数解析式为y ＝－12x ＋2.(2)设过点A ，C ，D 的抛物线的函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，16a ＋4b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝12，c ＝2.∴抛物线的函数解析式为y ＝－14x 2＋12x ＋2.(3)∵点P(m ，n)(n ＜0)在抛物线y ＝－14x 2＋12x ＋2上，∴m ＜－2或m ＞4，n ＝－14m 2＋12m ＋2＜0.∴PM＝14m 2－12m －2.∵Rt △PCM 与Rt △AOC 相似， ∴PM MC ＝AO OC ＝12或PM MC ＝OCAO＝2. ①若m ＜－2，则MC ＝4－m.当PM MC ＝AO OC ＝12时，14m 2－12m －24－m ＝12，解得m 1＝－4，m 2＝4(不合题意，舍去)，此时点P 的坐标为(－4，－4)； 当PM MC ＝OCAO ＝2时，14m 2－12m －24－m ＝2，解得m 1＝－10，m 2＝4(不合题意，舍去)，此时点P 的坐标为(－10，－28)； ②若m ＞4，PM MC ＝AO OC ＝12时，14m 2－12m －2m －4＝12，解得m 1＝0，m 2＝4，不合题意，舍去；当PM MC ＝OCAO ＝2时，14m 2－12m －2m －4＝2，解得m 1＝6，m 2＝4(不合题意，舍去)，此时点P 的坐标为(6，－4)． 综上所述，所求点P 的坐标为(－4，－4)或(－10，－28)或(6，－4)． 2．(1)由题意知x 1，x 2是方程mx 2－8mx ＋4m ＋2＝0的两根，∴x 1＋x 2⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，x 2－x 1＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝6. ∴B(2，0)，C(6，0)．则4m －16m ＋4m ＋2＝0，解得m ＝14.∴该抛物线的解析式为y ＝14x 2－2x ＋3.(2)由(1)知A(0，3)，C(6，0)，∴直线AC 的解析式为y ＝－12x ＋3.要构成△APC，显然t≠6，下面分两种情况讨论：①当0＜t ＜6时，设直线l 与AC 的交点为F ，则F(t ，－12t ＋3)．∵P(t，14t 2－2t ＋3)，∴PF ＝－12t ＋3－(14t 2－2t ＋3)＝－14t 2＋32t.∴S △APC ＝S △APF ＋S △CPF ＝12(－14t 2＋32t )·t＋12(－14t 2＋32t)·(6－t)＝12(－14t 2＋32t )×6＝－34(t －3)2＋274.∴当t ＝3时，△APC 面积的最大值是274.②当6＜t≤8时，延长AC 交直线l 于点H ，则H(t ，－12t ＋3)，则PH ＝14t 2－2t ＋3－(－12t ＋3)＝14t 2－32t.∴S △APC ＝S △PAH －S △PCH ＝12(14t 2－32t )·t－12(14t 2－32t)·(t －6)＝12(14t 2－32t )×6＝34(t －3)2－274.此时，当t ＝8时，△APC 面积的最大值是12＞274.综上所述，当t ＝8时，△APC 面积的最大值是12. (3)由题意可知OA ＝3，OB ＝2，Q(t ，3)，t ＞2. ①当点P 在直线AD 下方时，令△AOB∽△AQP， ∴AO AQ ＝OB QP， ∴3t ＝23－（14t 2－2t ＋3）.解得t ＝0(舍去)或t ＝163；令△AOB∽△PQA， ∴AO PQ ＝OB QA， ∴33－（14t 2－2t ＋3）＝2t .解得t ＝0(舍去)或t ＝2(舍去)；②当P 在直线AD 上方时，令△AOB∽△AQP， ∴AO AQ ＝OB QP， ∴3t ＝2（14t 2－2t ＋3）－3.解得t ＝0(舍去)或t ＝323；令△AOB∽△PQA， ∴AO PQ ＝OB QA， ∴3（14t 2－2t ＋3）－3＝2t .解得t ＝0(舍去)或t ＝14.综上所述，满足条件的点P 有3个，此时t 的值分别是163，323，14.类型之三 二次函数与存在特殊四边形1．(1)由题意，将A(－1，0)，B(3，0)的坐标代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3. ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3. (2)∵y＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线顶点M(1，－4)，其关于x 轴的对称点M′(1，4)．设直线AM′的解析式为y ＝kx ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋m ＝0，k ＋m ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，m ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，y ＝x 2－2x －3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝5，y 2＝12. ∴直线AM′与抛物线的交点A(－1，0)，C(5，12)． 又AB ＝4，∴S △ABC ＝12AB ·y c ＝12×4×12＝24.(3)假设存在满足条件的抛物线使四边形APBQ 为正方形．由该抛物线过A(－1，0)，B(3，0)两点，可设抛物线方程为y ＝a(x ＋1)(x －3)，其中a≠0. ∵y＝a(x 2－2x －3)＝a(x －1)2－4a ， ∴抛物线顶点P(1，－4a)．∴P(1，－4a)关于x 轴的对称点Q(1，4a)． ∴PQ＝|8a|.∵四边形APBQ 为正方形，其对角线PQ 与AB 互相垂直平分且相等， ∴PQ ＝AB ，即|8a|＝4. ∴a＝±12.∴假设成立，存在满足条件的抛物线，其解析式为y ＝12x 2－x －32或y ＝－12x 2＋x ＋32.2．(1)∵二次函数的图象M 经过A(－1，0)，B(4，0)两点， ∴可设二次函数的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －4)． ∵二次函数的图象M 经过点C(2，－6)， ∴－6＝a(2＋1)(2－4)，解得a ＝1.∴二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －4)，即y ＝x 2－3x －4.(2)设直线AC 的解析式为y ＝sx ＋t ，把A 、C 坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－s ＋t ，－6＝2s ＋t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－2，t ＝－2.∴直线AC 的解析式为y ＝－2x －2，设点G 的坐标为(k ，－2k －2)(－1<k<2)． ∵G 与C 点不重合，∴△ABG 与△ABC 相似只有△AGB∽△ABC 一种情况． ∴AG AB ＝ABAC. ∵AB ＝5，AC ＝[2－（－1）]2＋（－6－0）2＝35，AG ＝（k ＋1）2＋（－2k －2）2＝5|k ＋1|， ∴5|k ＋1|5＝535，∴|k ＋1|＝53，∴k ＝23或k ＝－83(舍去)．∴点G 的坐标为(23，－103)．(3)能．理由如下：过D 点作x 轴的垂线交AC 于点H ，∵D(m ，n)(－1＜m ＜2)， ∴H(m ，－2m －2)． ∵点D(m ，n)在图象M 上， ∴D(m ，m 2－3m －4)． ∵△ACD 的面积为278，∴12[－2m －2－(m 2－3m －4)][(m ＋1)＋(2－m)]＝278，即4m 2－4m ＋1＝0，解得m ＝12. ∴D(12，－214)．∵y＝x 2－3x －4＝(x －32)2－254，∴图象M 的对称轴l 为x ＝32.∵点D 关于l 的对称点为E ， ∴E(52，－214)，∴DE ＝52－12＝2.若以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，则PQ∥DE 且PQ ＝DE ＝2. ∴点P 的横坐标为32＋2＝72或32－2＝－12.∴点P 的纵坐标为(72－32)2－254＝－94.∴点P 的坐标为(72，－94)或(－12，－94)．类型之四 二次函数与线段相关的存在性问题 1．(1)∵B(4，m)在直线y ＝x ＋2上，∴m ＝4＋2＝6， ∴B(4，6)．∵A(12，52)、B(4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6上，∴⎪⎩⎪⎨⎧++=++=.6446,621)21(2522b a b a 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8. ∴抛物线的解析式为y ＝2x 2－8x ＋6.(2)设动点P 的坐标为(n ，n ＋2)，则C 点的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)， ∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498.(12＜n ＜4)∵－2<0，∴当n ＝94时，线段PC 有最大值为498.(3)①当∠PAC＝90°时，设直线AC 的解析式为y ＝－x ＋c ，把A(12，52)代入，得52＝－12＋c ，解得c ＝3.∴直线AC 解析式为y ＝－x ＋3.∵点C 在抛物线上，设C(n ，2n 2－8n ＋6)，代入y ＝－x ＋3，得2n 2－8n ＋6＝－n ＋3. 整理得2n 2－7n ＋3＝0.解得n ＝3或n ＝12(与A 点重合，应舍去)．∴P(3，5)．②当∠ACP ＝90°时，可知AC∥x 轴， ∴C 点纵坐标为52，可求得C 点横坐标为72.∴P 点横坐标为72，纵坐标为y P ＝72＋2＝112.∴P 点坐标为(72，112)．综上所述，△PAC 为直角三角形时，点P 的坐标为(3，5)或(72，112)．2．(1)设抛物线解析式为y ＝a(x ＋1)2－1，将(1，0)代入得0＝a(1＋1)2－1，解得a ＝14，∴抛物线的解析式为y ＝14(x ＋1)2－1.(2)∵A(－1，－1)， ∴∠COA ＝45°. ∵∠CAO ＝90°，∴△CAO 是等腰直角三角形． ∴AC＝AO.∴C(－2，0)．设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A ，C 点代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝－1，－2k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－2. ∴直线AC 的解析式为y ＝－x －2.将y ＝14(x ＋1)2－1和y ＝－x －2联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14（x ＋1）2－1，y ＝－x －2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－5，y 2＝3. ∴B 点坐标为(－5，3)．(3)过点B 作BP⊥EF 于点P ，由题意可得：E(－5，－2)，设直线EF 的解析式为：y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋n ＝0，－5m ＋n ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝12.∴直线EF 的解析式为y ＝12x ＋12. ∵直线BP⊥EF，∴设直线BP 的解析式为y ＝－2x ＋e.将B(－5，3＝－7.∴直线BP 的解析式为y ＝－2x －7.∴将y ＝－2x －7和y ＝12x ＋12联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －7，y ＝12x ＋12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1. ∴P(－3，－1)．故存在P 点使得BP⊥EF，此时P(－3，－1)．类型之五 二次函数与面积问题1．(1)当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，∴C(－1，0)，A ′(3，0)．当x ＝0时，y ＝3，∴A(0，3)．(2)设A′C′与OB 相交于点D.∵C(－1，0)，A(0，3)，∴B(1，3)．∴OB＝32＋12＝10.∴S △BOA ＝12×1×3＝32. 又∵平行四边形ABOC 旋转90°得到平行四边形A ′B ′OC ′，∴∠ACO ＝∠OC′D.又∵∠ACO＝∠ABO，∴∠ABO ＝∠OC′D.又∵∠C′OD＝∠AOB，∴△ C ′OD ∽△BOA.∴S △C ′OD S △BOA ＝(OC′OB )2＝(110)2. ∴S △C ′OD ＝320. (3)设M 点的坐标为(m ，－m 2＋2m ＋3)，连接OM.S △AMA ′＝S △MOA ′＋S △MOA －S △AOA ′＝12×3×(－m 2＋2m ＋3)＋12×3×m －12×3×3＝－32m 2＋92m ＝－32(m －32)2＋278.(0<m<3) 当m ＝32时，S △AMA ′取到最大值278， ∴M(32，154)． 2．(1)∵二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象过A(2，0)，B(8，6)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧12×22＋2b ＋c ＝0，12×82＋8b ＋c ＝6.解得⎩⎨⎧=-=.6,4c b ∴二次函数解析式为y ＝12x 2－4x ＋6. (2)由y ＝12x 2－4x ＋6，得y ＝12(x －4)2－2，∴函数图象的顶点坐标为(4，－2)．∵点A ，D 是y ＝12x 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点，A(2，0)，对称轴为x ＝4， ∴点D 的坐标为(6，0)．(3)∵二次函数的对称轴交x 轴于C 点，∴C 点的坐标为(4，0)．设BC 所在直线的解析式为y ＝kx ＋b ，∵B(8，6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，8k ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝32，b ＝－6.∴BC 所在的直线解析式为y ＝32x －6. ∵E 点是y ＝32x －6与y ＝12x 2－4x ＋6的交点， ∴32x －6＝12x 21＝3，x 2＝8(舍去)． 当x ＝3时，y ＝－32， ∴E(3，－32)． ∴S △BDE ＝S △CDB ＋S △CDE ＝12×2×6＋12×2×32＝152. (4)存在，设点P 到x 轴的距离为h.∵S △BCD ＝12×2×6＝6，S △ADP ＝12×4×h ＝2h ，S △ADP ＝12S △BCD ， ∴2h ＝6×12，解得h ＝32. 当P 在x 轴上方时，32＝12x 2－4x ＋6，解得x 1＝4＋7，x 2＝4－7. 当P 在x 轴下方时，－32＝12x 2－4x ＋6，解得x 1＝3，x 2＝5. ∴存在4个这样的点P ，它们分别是P 1(4＋7，32)，P 2(4－7，32)，P 3(3，－32)，P 4(5，－32)．。