高数_第1章_极限计算方法总结

高等数学极限求法总结高等数学极限求法总结极限的判断定义是:单调递增有上界则有极限,单调递减有下界则有极限。

下面是小编整理的高等数学极限求法总结，希望对你有帮助！函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。

掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。

限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x时的极限。

1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。

方能利用极限四则运算法则进行求之。

不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。

但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。

而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。

例 1 求 lim( x 2 3x + 5).x→ 2解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5= (lim x) 2 3 lim x + lim 5= 2 2 3 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。

一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。

利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f(x)/F(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx) = 1 / (cosx)^2(x) = 1原式 = lim 1/(cosx)^2当 x --> 0 时,cosx ---> 1原式 = 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：① 分子、分母为无穷小，即极限为 0 ；② 分子上取正弦的角必须与分母一样。

大一高数知识点总结求极限大一的高等数学课程对于许多学生来说是一个挑战。

其中，求极限是一个重要的知识点，在解决数学问题和理解数学概念时起到关键的作用。

本文将对大一高数中与求极限相关的知识做一个总结。

一、数列极限在大一高数中，数列极限是一个基础而重要的概念。

数列极限可以通过数学定义和一些常用的极限定理来求解。

1. 数列极限的定义数列极限的定义是：对于一个数列{an}，当n趋近于无穷时，如果存在一个实数A，使得对于任意给定的正数ε（无论多么小），都存在正整数N，使得当n > N时，有|an - A| < ε成立，则称数列的极限为A。

2. 常用的数列极限定理在实际计算中，可以根据一些常用的数列极限定理简化计算过程。

常用的数列极限定理包括：- 夹逼准则：当数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=L，那么lim(n→∞)bn=L。

- 唯一性定理：如果数列{an}与数列{bn}有相同的极限，即lim(n→∞)an=lim(n→∞)bn=L，那么可以推出lim(n→∞)(an ±bn)=2L。

- 四则运算法则：对于两个数列{an}和{bn}，如果它们的极限存在，可以利用四则运算计算它们的极限。

即lim(n→∞)an ± bn = lim(n→∞)an ± lim(n→∞)bn，lim(n→∞)an · bn =lim(n→∞)an · lim(n→∞)bn，lim(n→∞)an / bn = (lim(n→∞)an) / (lim(n→∞)bn)（其中，lim(n→∞)bn ≠ 0）。

二、函数极限在大一高数中，函数极限是求极限的另一个重要方面。

函数极限的计算可以通过代入法、夹逼定理和洛必达法则等方法进行。

1. 函数极限的代入法对于一些常见的函数极限，可以通过代入法进行计算。

例如，对于以下函数极限的计算：lim(x→a)f(x)，当x趋近于某个实数a时，可以通过直接将x代入f(x)的表达式中，计算得到极限值。

高数第一章函数与极限总结高数作为数学的第四门学科，函数与极限是其中重要的知识点。

本文就高数第一章函数与极限做一个总结。

1、函数函数是一种特殊的数学关系，它将某种输入关系映射到另一种输出关系。

函数可以分为偶函数和奇函数，偶函数是输入与输出之间保持对称关系的函数，而奇函数是输入与输出之间不保持对称关系的函数。

二次函数是函数中的重要概念，其中y=ax2+bx+c将等号两边的关系形式分解为三个特殊情况，其中一种情况是二次函数，即y=ax2+b，另一种情况为一次函数，即y=bx+c。

2、极限极限是高数中的重要概念，它是指在某种情况下，当某个表达式中的变量x趋近某一特定值时，表达式中变量y的值趋近某一特定值。

极限有三种情况：零点极限、无穷大极限和无穷小极限。

零点极限指的是当某个表达式中的变量x趋近某一特定值时，表达式中变量y的值接近零。

无穷大极限指的是当某个表达式中的变量x趋近某一特定值时，表达式中变量y的值接近正无穷大。

无穷小极限指的是当某个表达式中的变量x趋近某一特定值时，表达式中变量y的值接近负无穷小。

极限的计算方法有三种：简单极限法、分步极限法和法则极限法。

简单极限法指的是当某个表达式中的变量x趋近某一特定值时，直接求解出极限值。

分步极限法指的是先进行一些简单的运算，然后再求解极限值。

法则极限法指的是利用数学法则和函数定义求解极限值。

总结本文针对高数第一章的函数与极限概念进行了总结，函数可以分为偶函数与奇函数，其中二次函数是常见的特殊情况。

极限分为零点极限、无穷大极限和无穷小极限，计算极限则有简单极限法、分步极限法和法则极限法。

这些概念在后续学习中均会发挥重要作用，需要我们深入理解并掌握。

大一高数求极限的方法总结极限是高数学中一个重要的概念。

学习高数，理解和计算极限是大学生必须掌握的能力之一。

极限不仅可以用于理论推导，而且还可以帮助学生更好地应用极限，来解决实际数学问题。

极限有两种计算方法：一种是柱状法，一种是流程。

柱状法指的是使用微积分的方法来解决问题；而流程指的是通过分析函数的特征，从而求取极限的方法。

第一，柱状法。

柱状法是基于极限定义的，在求取极限的时候，可以利用定义，来确定极限的值。

例如求函数$y=frac{2x^{2}+5x+1}{(x-1)}$的极限，首先我们需要将函数分成上下两部分：$y_1=2x^{2}+5x+1$，$y_2=x-1$，分别给出它们的极限：$lim_{x to 1^{+}}y_1=6$，$lim_{x to 1^{-}}y_2=2$，然后将它们带入极限定义：$lim_{x to 1}y=lim_{x to1}frac{y_1}{y_2}=frac{lim_{x to 1^{+}}y_1}{lim_{x to1^{-}}y_2}=frac{6}{2}=3$，即得出极限值为$3$。

第二，流程。

流程是使用分析函数特征来求取极限的方法，常用于求一元函数（如指数函数、对数函数等）的极限。

例如求函数$y={frac{sqrt{x+2}-2}{x-3}}$的极限，在求这个函数的极限之前，我们可以先分析函数的特征，此函数在$x=3$处发生拐点，因此可以推测函数在$x=3$处的极限值应该为无穷大。

然后，我们可以使用流程法，将函数中的分子除以分母，将形式变成$frac{k_1}{0}$的形式，从而得到极限值无穷大。

最后，我们总结柱状法和流程法的不同之处。

在求取极限的时候，柱状法是依据定义求取极限的，而流程法则是利用函数的特征来求解极限。

因此，建议大家在学习高数的时候，还是要了解柱状法和流程法，将两种方法结合起来，更好地求取极限，并能够更好地应用到实际数学问题中去。

以上就是有关极限的求解方法总结。

第一章~~第三章一、极限数列极限lim n n x ->∞函数极限lim ()x f x ->∞，lim ()x f x →+∞，lim ()x f x →-∞lim ()x x f x ->，0lim ()x x f x -->，0lim ()x x f x +->求极限（主要方法）：（１）100sin 1lim1,lim(1),lim(1)x xx x x xe x e x x->->∞->=+=+=（２）等价无穷小替换（P76）。

当()0x ϕ→时，代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。

（3）洛必达法则（000,,0,,0,1,0∞∞⋅∞∞-∞∞∞），只有0,0∞∞可以直接用罗比达法则。

幂指函数求极限：()lim ()ln ()lim ()v x v x u x u x e =；或，令()()v x y u x =，两边取对数ln ()ln ()y v x u x =，若lim ()ln ()v x u x a =，则()lim ()v x a u x e =。

结合变上限函数求极限。

二、连续 00lim ()()x x f x f x ->=左、右连续 000lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x -+->->==函数连续⇔函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。

三、导数 0000000()()()()'()limlim x x x f x f x f x x f x f x x x x->->-+-==- 左导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---->->-+-==-右导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x+++->->-+-==- 微分 ()'y A x z dy Adx y dx ο∆=⋅∆+==可导⇒连续 可导⇔可微 可导⇔既左可导又右可导求导数：（１） 复合函数链式法则[]()'[]'()dy dy du y f u u g x f u g x dx du dx====[()]''[()]'()'[()]([()])'y f g x y f g x g x f g x f g x ==≠（２） 隐函数求导法则两边对x 求导，注意y 、y '是x 的函数。

高数大一知识点总结第一章在大一的数学课程中，高等数学（简称高数）是一门重要的基础课程。

在高等数学的学习中，第一章涵盖了很多基础知识点，包括数列与极限、函数与极限以及连续性等内容。

接下来，我将对这些知识点进行总结和概述。

1. 数列与极限数列是由一系列有序的数所组成的序列。

在数列的学习中，我们需要了解等差数列和等比数列两种基本类型。

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

极限是数列中的一个重要概念。

如果一个数列的前n项无限接近于某个常数a，那么我们称这个常数a为该数列的极限，记作lim(n→∞)an=a。

通过计算数列的极限，我们可以探讨数列的性质、趋势以及收敛性。

2. 函数与极限函数是一种关系，将一个自变量映射到一个因变量。

数学中有多种类型的函数，如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

函数的图像反映了自变量和因变量之间的关系。

函数的极限是研究函数性质的重要内容。

如果一个函数在某个点处的自变量无限接近于某个常数x0时，其因变量也无限接近于某个常数a，我们称这个常数a为该函数在点x0处的极限。

记作lim(x→x0)f(x)=a。

通过研究函数的极限，我们可以了解函数在不同自变量值下的表现和趋势。

3. 连续性连续性是函数的一种性质，反映了函数在一定区间内的光滑程度。

如果一个函数在某个点处的极限等于该点处的函数值，那么我们称这个函数在该点处连续。

函数的连续性可以分为左连续、右连续和间断。

我们可以利用函数的连续性来探讨函数的变化情况和特性。

通过分析函数的连续性，可以判断函数是否在某一区间内单调增加或者单调减少。

4. 极大值与极小值极大值和极小值是函数图像上的特殊点。

对于定义在某个区间的函数，如果存在一个点x0使得在该点的某个领域内，函数值都小于等于f(x0)，那么我们称该点x0为函数的极大值点。

求极限方法总结求极限方法总结一，求极限的方法横向总结：1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos二，求极限的方法纵向总结：1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置2）用无穷小量与有界变量的乘积3）2个重要极限4）分式解法（上述）高数解题技巧。

高数（上册）期末复习要点高数（上册）期末复习要点第一章：1、极限2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧。

知识点总结高数一一、极限与连续1. 极限的概念及性质极限是数列或函数在趋于某个值时的性质，其定义包括数列极限和函数极限两种情况。

数列极限定义为：对于任意的ε>0，存在N∈N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立。

函数极限定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε成立。

极限的性质包括唯一性、有界性、局部性、夹逼性等。

2. 极限运算法则极限运算法则包括四则运算法则、复合函数极限法则、比较大小法则、夹逼定理等，通过这些法则可以简化极限运算的复杂性。

3. 无穷小与无穷大无穷小是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷小于此值的函数。

无穷大则是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷大于此值的函数。

在极限运算中，无穷小和无穷大的性质十分重要。

4. 连续的概念及性质连续函数的定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε成立。

连续函数的性质包括局部性、初等函数的连续性、复合函数的连续性等。

二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则导数是函数在某一点处的变化率，导数的定义为：f'(x)=lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h。

求导法则包括基本导数公式、和差积商的求导法则、复合函数求导法则等。

2. 高阶导数与隐函数求导高阶导数为求导多次的结果，隐函数求导是指对于包含多个变量的函数，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。

3. 微分的概念与微分公式微分是函数在某一点处的局部线性近似，微分的定义为：df(x)=f'(x)dx。

微分公式包括基本微分公式、换元法、分部积分法等。

4. 隐函数与参数方程的导数隐函数与参数方程的导数是指对于包含多个变量的方程，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。

三、微分中值定理与泰勒公式1. 微分中值定理微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，它们描述了函数在某些条件下的性质，对于函数的研究有重要意义。