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《用公式法求解一元二次方程》课件ppt

《用公式法求解一元二次方程》课件ppt
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a


课堂检测
解下列方程:
参考答案:
(1). x2-2x－8＝0；
(2). 9x2＋6x＝8；
1.x1 2; x2 4.
2 4 2.x1 ; x2 . 3 3 3 3.x1 1; x2 . 2 3 4. y1 y2 . 3
心动
2
不如行动
公式法将从这里诞生
2x2-9x+8=0 吗?
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边配方, 右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
(3). (2x-1)(x-2) =-1;
4.3 y

1 2 3 y.
下课了!
结束寄语
• 公式法是解一元二次方程重要 方法,要作为一种基本技能来掌 握，多加练习，提高效率
心动
不如行动
1.变形:化已知方程为一般形式;
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
2.确定系数:用a,b,c写出各项系 数; 3.计算: b2-4ac的值;
4.代入:把有关数值代入公 式计算;
5.定根:写出原方程的根.
学习是件很愉快的事
b b2 4ac x 2a 例 1 解方程：x2-7x-18=0
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.

公式法解一元二次方程ppt

公式法解一元二次方程ppt

用公式法解一元二次方程的
小结
一般步骤：
由配方法解一般的一元二 1、把方程化成一般形式, 次方程 ax2+bx+c=0 并写出a，b，c的值。 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 2、求出b2-4ac的值。 得 3、代入求根公式 :
求根公式 : X=
X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
公式法是这样产生的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗? b c 2 解 : x x 0. a a b c 2 x x . a a
b b b c x x . a 2a 2a a
2 2 2
b b2 4ac . x 2 4a 2a
方程有两个相等的实数根
x1 x2 3
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例4：用公式法解方程 x2+17=8x
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
思考题： 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0
有两个相等的实数解
想一想：
关于一元二次方程 ax bx c 0 a a，b，c满足什么条件时，方程的两根互

用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)

用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)

复习引入
（4） 4 x2 3x 2 0.
3 1 解：两边同时除以4，得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项，得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方，得 x x = ， 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即： x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项，得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么 运算？有条 件限制吗？
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时，开平方得 x = . 2 2a 4a
（1）x 5x 4 0；
2
∵ b 4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
2
（2） 4x2 7 6 x；
2 b 4ac ＜0，∴方程没有实数根. ∵
（3） 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac ＝0 ，∴方程有两个相等的实数根.
1 解：两边都除以2，得：x 2 x 0 . 2
2
1 移项，得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方，得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ，x2 =1+ . 2 2
复习引入
（2）x2 1.5= 3x；
2
分析：（1）确定a,b,cLeabharlann 值；（2）判断方程是否有根；
（3）写出方程的根.
新知应用
（1）x 7 x 18 0； 例1 解方程：

公式法解一元二次方程PPT课件

公式法解一元二次方程PPT课件
用公式法解一 元二次方程
单击此处添加副标题 单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您
的观点。
演讲人姓名
用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 一、用配方法解下列方程 2x²-12x+10=0
若二次项系数 不是1，把二 次项系数化为 1(方程两边都 除以二次项系 数)；
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b xc.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
aa
x2bxb2b2c. a 2a 2a a
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对 值一半的平方;
x b 2 2a
b24a42ac.
当b24ac0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2aΒιβλιοθήκη xbb24a.cb24a c0.
2a
6t2 -5 =13t
例4
解方程： x2323x
解： 原方x2 程 23 x 化 3 0为：
a 1 ,b 23 ,c 3
b24ac 23 2 4 1 3 0
x 23 0 233 2 1 2
x1x20
结论：当 b24a c0时，一元二次方程有两个
相等的实数根.
例 用公式法解方程： x2 – x - =0
求根公式 : X=
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
祝你成功！
知识的升华
独立 作业
思考题：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b， c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相 等的实数解

用公式法求解一元二次方程-ppt课件

用公式法求解一元二次方程-ppt课件
2
且四边形的周长是12，则△ 的面积为___．
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
第2课时 公式法的应用
1.在长 、宽 的矩形场地中修如图所示的
两条宽度相同的小路，小路的面积为 ，则
小路的宽为( A )
A.
B.
C.
D.
等．若停车位的总占地面积为 ,求车道的宽度（单位：）．
解：设车道的宽度为 .
根据题意，得 − − = .
整理，得 − + = ，解得 = ，
= （不合题意，舍去）．
答：车道的宽度为 ．
4.某主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三
解得 = + ， = − .
∵ = ± 都符合题意，
∴ 能围成面积为 的矩形场地.
答：道路的宽度应设计为 ．
9.张大爷要建一个矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边靠着原有
的一道墙，墙长为 ,另外三边用竹篱笆围成，如图1所示，已知篱笆
总长为 .
（1）①若足够长，是否能围成面积为 的矩形场地?如果可以，
求养鸡场的长、宽各是多少米；如果不可以，请说明理由.
答：养鸡场的长和宽分别是 ， ，或养鸡场的长和宽分别是
，. .
②是否能围成面积为 的矩形场地?
解：结合题意及①，得 − = ．
整理，得 − + = ．
∵ = −

− × × = − < ，
∴ 此时方程的根为 = = ．

= .
9.已知关于的一元二次方程 + + + − = ，其中，

用公式法求解一元二次方程ppt课件

用公式法求解一元二次方程ppt课件
题 k=0 总有实数根，∴Δ=（2 ）2+4k≥0，解得 k≥-7，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，

2 解一元二次方程 公式法PPT课件(人教版)

2 解一元二次方程 公式法PPT课件(人教版)

12．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数 根，则b 的值是__2__．
13．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是 _a_≥_－__5_____．
14．用公式法解下列方程： (1)x(2x－4)＝5－8x；
解：原方程整理为 2x2＋4x－5＝0，∴b2－4ac＝16＋4×2×5＝ 56，∴x＝－24×±256，即 x1＝－2＋2 14，x2＝－2－2 14
练习1：对一元二次方程x2－2x＝1，b2－4ac＝__8__． 2．式子____b_2_－__4_a_c___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别 式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __有__两__个__不__等__的__实__数__根_______；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __两__个__相__等__的__实__数__根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____无__实__数__根__． 练习2：(202X·长沙)若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个 不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____m_＞__－__4____．
8．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__2_5___，可得x1＝ __3__，x2＝__－__2__．
(91．)x用2－公3x式－法2＝解0下；列方解程：：x1＝3＋2 17，x2＝3－2 17 (2)8x2－8x＋1＝0；
解：x1＝2＋4 2，x2＝2－4 2
(3)2x2－2x＝5. 解：x1＝1＋2 11，x2＝1－2 11
知识点1：根的判别式 1．(202X·邵阳)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．(202X·丽水)下列一元二次方程没有实数根的是( B ) A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0

解一元二次方程-公式法 ppt课件

解一元二次方程-公式法 ppt课件

利用公式法解一元二次方程
例题
解析
解方程：x²−4x=7
一般步骤
化为一般式得：x²−4x-7=0

∵ = 1，b=−4，c=−7.

∴△= 2 − 4 =16−(−28)=44＞0.
∴方程有两个不相等的实数根
∴ =
−± 2 −4
2
=
4± 44
2
= 2 ± 11
即
 = 2 + 11， = 2 − 11.
x


，
2a
25
5
1
即 x1 1, x2 5 .
典型例题
用公式法解下列方程：
(1) x2 4 x 7 0
(3) 5x 2 3x x+1
(2) 2x2 2 2 x+1 0
(4) x2 17 8x
解: (4) 方程化为一般式 x2 8x 17 0
解析
意.
练习
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
不解方，判断关于 x 的方程 x²-kx+k-2=0的根的
情况.
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
k
练习
1
的取值范围为：k＞2且 k

=
=
2
2
2 −4
判别式的应用
例题
关于x的一元二次方程：(m-3)x²-4x-1=0，有
实数根，求m的取值范围？
依题可得


解一元二次方程 公式法ppt课件

解一元二次方程 公式法ppt课件

解题思路：
1.方程有两个相等的实数解，等价于 b2 4ac 0，把方程系数
代入解出m的值.
2.方程的两根为互为相反数，等价于 b2 4ac＞0，且x1 x2，用
求根公式求解.
即：x1 x2 b
b2 4ac b
2a
b2 4ac 0(b2 4ac＞0). 2a
答案：1.m＝ 17 .
方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b 2a
2 3 21
3.
例3.用公式法解方程 (x－2)(1－3x)＝6. 解：去括号，化简为一般式 3x2－7x＋8＝0. a＝3，b＝－7，c＝8.
b2 4ac (7)2 4 38 47＜0.
方程没有实数根.
归纳总结
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.把方程化成一般形式，并写出 a，b，c 的值.
2.求出＝b2－4ac 的值. 注意：当＝b2－4ac ＜0 时，方程无解.
3.代入求根公式: x = b
b2 4ac .
2a
4.写出方程的解：x1，x2 .
随堂练习
用公式法解下列方程：
（1）2x2－9x＋8＝0； （2）9x2＋6x＋1＝0； （3）16x2＋8x＝3.
（1）2x2－9x＋8＝0. 解：a＝2，b＝－9，c＝8. b2 4ac (9)2 4 28 17＞0. 方程有两个不等的实数根：
x2
2a
.
(2)当b2
4ac
0时，这时
b2 4ac 4a2
0，
方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b. 2a
(3)当b2
4ac＜0时，这时
b2
4ac 4a2
＜0，

《解一元二次方程公式法》PPT课件

《解一元二次方程公式法》PPT课件

第二十四章 解一元二次方程
24.2 解一元二次方程
第3课时 因式分解法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.回顾因式分解的相关知识. 2.学会用因式分解法解一元二次方程. (重点、难点)
导入新课
观察与思考
问题 一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一元二次 方程的解的方法有哪些？
ax2 bx c 0（a≠0）
24．2 解一元二次方程 公式法
12．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是2x2－8x＋7＝
0的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长是( B )
A. 3 B．3 C．6
D．9
13．已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根
是( C )
A．1 B．2 C．－2 D．－1
24．2 解一元二次方程 公式法
适合运用公式法 ① ⑦ ⑧
；
适合运用配方法 ④
.
2.解下列一元二次方程： （1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解： (1) 化简方程，得 3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0,
∴x=0 或3x－17=0
解得
x1=0,

x2=
17 3
则x=0,或x-3=0,解得x1=0，x2=3.
(2)同上可得x1=0.8，x2=-0.8. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式 分解法.
归纳 因式分解法的基本步骤是： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； 将方程的左边分解因式； 根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两 个一元一次方程.

一元二次方程的解法—公式法ppt课件

一元二次方程的解法—公式法ppt课件

k≠0
k≠0
归纳 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项 系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是
( A)
A. k≥ −1
B. k≥ −1且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程；（难点） 2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点） 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
知识回顾
用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
一“化”：将方程化为一般形式，且把二次项系数化为1； 二“移”：将常数项移到方程的右边； 三“配”：方程方左程边两配边成同完时全加平上方一的次形项式系；数一半的平方，将
练一练
不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+x－1=0；
（2）2x2+6=3x;
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
将方程整理 为一般形式 ax2+bx+c=0
Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
Δ= b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. 方程有两个相等的实数根
x1 = x2
(3) 5x2－3x = x + 1； 解：方程化为 5x2－4x－1 = 0.
±-
a = 5，b = －4，c = －1. Δ= b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.

2.3.1用公式法解一元二次方程 课件(共20张PPT)

2.3.1用公式法解一元二次方程 课件(共20张PPT)

典例精讲
【题型三】公式法的应用
例 4：已知等腰三角形的一腰长为x，周长为 20，则方程x²12x+31=0的根为 6+ 5
.

例 5：若x²+3xy-2y²=0，则

点拨：方程两边同时乘
=

,得

− ±



.


+ × − = ,


设 = ,则 ² + − = ,
(2)确定 a、b、c的值;
(3)计算b²-4ac的值;
(4)当b²-4ac≥0时，把a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方
程的根;当b²-4ac <0时,方程没有实数根.
注意： 虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非
是最简单的，一定要注意方法的选择.
典例精讲
例 1：
【题型一】公式法解一元二次方程的逆用及根的判别式
典例精讲
【题型二】已知方程根的情况求参数的值或取值范围
例 2：若关于x的一元二次方程 − ² + + = 有两个相
等的实数根，则点P(m-3,-m+4)在第 二
象限.
例3：已知关于x的方程 − ²² + + + =
有实数根，则 k的取值

范围是 k≥ .
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法解一元二次方程
1.通过阅读课本学生可以利用公式法解数字系数的一元二次方程，
并会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，全面提高
学生解方程的能力.
2.通过阅读课本学生可以用配方法推导求根公式，培养学生推理
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ax2 bx c 0 (a≠0)
根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即
b △＝ 2 4ac
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值判断根的情况，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
检测题
用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0; （2）9x2+6x+1=0; （3）16x2+8x=3.
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m24=0有两个相等的实数解
2、如果关于x的一元二次方程 a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0有两个相等的实 数根，那么以 a、b、c 为边的△ABC 是什么形状的三角形？
用配方法解下列方程:
(1)x2＋6x=1 x1 3 10, x2 3 10
(2)x2=6－5x
x1 6, x2 1
(3) －x2＋4x－3=0
x1 3, x2 1
注意:解第(2)题时要先移项,变形成x2+5x=6 的形式;
如果方程的二次项系数为负,则先把二次 项系数化为正.
x b
b因x21为4aacxb²+b2xba+2c=40a（c a≠0）的求根公x2 式 是b
b2 4ac 2a
2a (根2)当x1b=²-x42ac==0时2ba ，方程有两个相等的
(3)当b²- 4ac＜0时，方程没有实数根.
b 一般地，式子 2 4ac 叫做方程
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
移项，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2

b a
x


b 2a
2


c aFra bibliotek b 2a
2

即

x

b 2a
2

b2 4ac 4a2
Q 4a2 0 当 b2 4ac 0 时
2
b
b 4ac
x 2a
4a 2
特别提醒
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
b
b2 4ac
x
2a
一元二次方程 的求根公式
(a≠0, b2-4ac≥0)
例1.用公式法解方程
（1）3x2+5x-1=0 （2）x2+2x+2=0
（3）2x2-7x=0
（4）4x²+1=-4x
（1）3x2+5x-1=0 解：a=3，b=5，c=-1， b²-4ac=5²-4×3×（-1）=37>0
X=
=
Х1=
Х2=
（2）x2+2x+2=0
解：a=1，b=2，c=2 ∵b²-4ac=2²-4×1×2=-4<0
∴此方程无实数解
（3）2x2-7x=0 解：a=2，b=-7，c=0 b²-4ac=（-7）²-4×2×0=49>0
Х=
=
Х1=
Х2=0
（4）4x²+1=-4x 解：移项，得4x²+4x+1=0 a=4，b=4，c=1，b²-4ac=4²-4×4×1=0
X=
=-
X1=X2 =-
故对于方程ax²+bx+c=0 （a≠0）有下列关系： • 猜一猜：对于一般式ax²+bx+c=0 （a≠0）的
(1)当b根²与-4abc²->40a时c的，符方号程有有什两么个关不系相？等的根