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2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；2.理解并运用圆周角定理及其推论；3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；4.理解并运用圆内接四边形的性质.考点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。
这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点2：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。
2）直径长度等于半径长度的2倍。
，读作圆弧弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
以A、B为端点的弧记作ABAB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
考点3：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点4：垂径定理的应用考点5：圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
圆之杨若古兰创作目录一．圆的定义及相干概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线, 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的地位关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的最终综合测试一．圆的定义及相干概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中间对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆心是它的对称中间.考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的地位，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.直径是圆中最大的弦.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.弧：圆上任意两点间的部分叫做弧.弧分为半圆，优弧、劣弧三种.（请务必留意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形.弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段.（请务必留意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的曾经不克不及再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形.如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在.考点5点和圆的地位关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的地位关系有三种.①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，觉得5半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有如何的地位关系，并说明你的理由.例2．已知，如图，CDB ，且AB=OC ，求∠A 的度数.例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 最大为8cm ，则这圆的半径是例4 在半径为5cm CD=8cm ，则AB 和CD 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 订交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ，求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，A BDC O · E求BAC的度数．【考点速练】1.以下命题中，准确的是（）A．三点确定一个圆B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C．任何一个四边形都有一个外接圆D．等腰三角形的外心必定在它的内部2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形必定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．有数个4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．有数个5．以下说法中，准确的个数为（）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点必定有圆．A．1个B．2个C．3个D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所构成的图形是( )A.圆的内部(包含鸿沟)；B.圆的内部(不包含鸿沟)；C.圆；D.圆的内部(包含鸿沟)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O 上,则OA的长( )8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，须要晓得它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（请求保存作图痕迹）11.如图，已知在ABC∠90A，AB=3cm，AC=4cm，以=∆中，︒点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的耽误线于点D，求CD的长．CB12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿13、△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是＿＿.14、如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有的⊙O 的弦的条数为＿＿.如图所示,已知⊙O 的半径为10cm ，直径AB 上一点,弦CD 过点CD 引垂线AE 和BF,求AE-BF 的值.【功课】日期 姓名完成时间成绩1、在半径为2的圆中，弦长等于2____2. △ABC的三个顶点在⊙O上,且AB=AC=2,∠BAC=120º,则⊙O的半径=__,BC=___.3． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为_________；•最长弦长为_______．4. 如图,A,B,C 三点在⊙O 上,且AB 是⊙O 的直径,半径OD⊥AC,垂足为F,若∠A=30º,OF=3,则OA=______ ,AC=______,BC=_________.B FA DC B O5.如图5,为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB=____6.如图6, ⊙O中弦AB⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点.⑴若AB=AC,则四边形OEAD是形;⑵若OD=3,半径5 r,则AB=_cm,AC=___ _cm7.如图7，⊙O的直径AB和弦CD订交于点E，已知AE=8cm，EB=4cm，∠CEA=30°，则CD的长为_________．(5) (6) (7)二．垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的两条孤．推论1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，而且平分弦所对的两条孤．②弦的垂直平分线经过圆心，而且平分弦所对的两条孤．③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，而且平分弦所对的另一条孤．推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．垂径定理及推论1中的三条可概括为：① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且CNM AMN ∠=∠．求证：AB=CD ．例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE⊥l 于E ，BF⊥l 于F.求证：CE=DF ． 例3 如图所示，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A ，点D 与B 不重合），且CE⊥CD 交AB 于E ，DF⊥CD 交AB 于F.（1）求证：AE ＝BF（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否是，请说明理由. 例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【考点速练】 ABC D P O .. AB DC O · N M1.已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长cm 32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）.A ．1cm B.2cm C.cm 2 D.cm 3cm 3．如图1，⊙O 的半径为6cm ，AB 、CD 为两弦，且AB⊥CD，垂足为点E ，若CE=3cm ，DE=7cm ，则AB 的长为（ ）A ．10cm B.8cm C.cm 24 D.cm 28 4.有以下判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有有数条.其中准确的判断有（ ）5．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB 于C 、D 若AB=4，CD=2，圆心O 到AB 的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）A ．3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:46.等腰三角形腰长为4cm,底角为 30,则外接圆直径为（ ）A ．2cm B.4cm C.6cmD.8cm7.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,A DE C B ·图1 A ·OC D B那么OP 长的取值范围是.8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是____m.9.如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（暗影部分）水面的宽度AB 为800mm ，求水的最大深度10.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 于为. 11.已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径弧AB 的中点,AB 、OC 订交于点M.试判断四边形OACB 的外形,并说明理由. 12.如图所示，在⊙O 中，弦AB⊥AC，弦BD⊥BA，AC 、BD 交直径MN 于E 、F.求证：ME=NF.13.（思考题）如图，1o Θ与2o Θ交于点A ，B ，过A 的直线分别交1o Θ，2o Θ于M,N ，C 为MN 的中点，P 为21O O 的中点，求证：PA=PC.【功课】日期 姓名完成时间成绩 1.已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD⊥AB，垂足为M.且OM=3cm ，则CD=.2．D 是半径为5cm 的⊙O 内的一点，且D0=3cm ，则过点D CA M CB A O ·O A B DC E F M N 1O A B 2O M N C PD 的所有弦中，最小的弦AB=cm.3.若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为32cm ，则此弦所对应弓形的弓高是.4.已知⊙O 的弦AB=2cm,圆心到AB 的距离为n,则⊙O 的半径R=，⊙O 的周长为. ⊙O 的面积为.5．在⊙O 中，弦AB=10cm ，C 为劣孤AB 的中点，OC 交AB 于D ，CD=1cm ，则⊙O 的半径是. 6．⊙O 中，AB 、CD 是弦，且AB∥CD，且AB=8cm ，CD=6cm ，⊙O 的半径为5cm ，连接AD 、BC ，则梯形ABCD 的面积等于. 7．如图，⊙O 的半径为4cm ，弦AB 、CD 交于E 点，AC=BC ，OF⊥CD 于F ，OF=2cm ，则 ∠BED=.8．已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN∥EF，且MN=12cm ，EF=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为. 三．圆周角与圆心角【考点速览】 考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数.Eg: 判别以下各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆订交的角叫圆周角.两个条件缺一不成．Eg: 判断以下图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由· A EFBCDO考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．Eg: 如下三图，请证实.考点34. 推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90的圆周角所对的弦是直径．③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．经典例题例1：下图中是圆周角的有.是圆心角的有.例2：如图，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝35°,则∠OBC=_____.O例3：如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=．例４：如图１，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠º．例5：如图2，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠=． 例6：已知：如图，AD•是⊙O 的直径，∠ABC= 30 °，则∠CAD=_______．例7：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为cm ． 例8 已知：如图所示，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ，AF⊥BD 于F ，耽误AF 交BC 于G ．求证：BC BG AB ⋅=2考点练习1.如图，已知ACB ∠是⊙O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（ ）（例１）A BEFCD G O 例２CA· OBDCGF1 EA ．40︒ B. 50︒C. 80︒D. 100︒2.已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ⌒上分歧于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．45° B．60° C．75° D．90° 3.△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC ＝6，则△ABC 外接圆的半径为（ ） A ．32B ．33C ．3D ．34.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）A ．30° B．150° C．30°或150° D．60° 5.如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6.以下命题中，准确的是（ ）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等A ．①②③B ．③④⑤C ．①②⑤B EDA COD ．②④⑤7.如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2， 则等边三角形ABC 的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．258.如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC ，BD 为 ⊙O 的直径，AD=6，则BC ＝.9.如图9，有一圆形展厅，在其圆形边沿上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控全部展厅，起码需在圆形边沿上共安装如许的监视 器台.10.如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为.11.如图,AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC=30°，点P 在线段OB 上活动.设∠ACP=x，则x 的取值范围是. 12.如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边沿B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走.按照这类方式，小华第五次走到场地边沿时处于弧AB 上，此时∠AOE＝56°，则α的度数是.13.如图，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD ．（第9题） A65°°OABO C x P（1）求证：DB 平分∠ADC；（2）若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长．14.如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO=∠BCD ．（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O15.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，，AD 是△ABC 的角平分线，过A 、C 、D AB 交于点E ，连接DE. （1）求证：AC ＝AE ；（2）求△ACD 16.已知：如图等边ABC △点（端点除外），耽误BP 至D （1）若AP 过圆心O 形？并说明理由．（2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为何？【考点速览】圆心角, 弧,弦,:B在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必留意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和C 、D ，求证：AB=CD ．例2、已知：如图，EF 为⊙O的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF. 求证：PA=PC.例3．如图所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED BC=DE ．求证：AC=AE ．例5．如图所示，已知在⊙O 中，︒，OD⊥AB 于D ，OE⊥BC 于E ． 求证：ODE ∆是等边三角形．综合练习 一、选择题ABE FO PC12DAB C 1．以下说法中准确的是（ ）A 、相等的圆心角所对的弧相等B 、相等的弧所对的圆心角相等C 、相等的弦所对的弦心距相等D 、弦心距相等，则弦相等2．如图，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于（ ）A 、︒15B 、︒20C 、︒25D 、︒303．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为（ ）A 、1cmB 、3cmC 、32cmD 、4cm4．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距（ ）A 、3B 、6C 、13+D 、333±5.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E. （1）试说明△ODE 的外形；（2）如图2，若∠A=60º，AB≠AC，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由.6 如图，△ABC 过点、CA 交BC 的耽误线于点（1）求证：△BEF·O 图A BCA B C如图 3如图4如图5（2）BA=4，CG=2，求BF 的长.7 已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F.求证：AE=BF=CD.【功课】日期 姓名完成时间成绩 1.如图1，ABC ∆内接于⊙O ，445==∠，ABC则⊙O 的半径为（ ）. A ．22B ．4C ．32D ．52.如图2，在⊙O 中，点C 是AB 的中点，40=∠A ，则BOC ∠等于（ ）. A ．40B ． 50C ． 70D ．803.如图3，A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点，且D 是AB 的中点，CD 交OB 于E ， 55,100=∠=∠OBC AOB ，OEC ∠= 度.4.如图4，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，130=∠D ，则BAC∠的度数是 .5.如图5，AB 是半圆O 的直径，E 是BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知BC=8cm,DE=2cm ，则AD 的长为 cm. 6．如图所示，在⊙O 中，AB 是直径，CO⊥AB，D 是CO 的中点，DE∥AB．求证:EC=2EA五．圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.·A O BE DCGF 如图1 如图2ABOD E C圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形. 判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可. 【典型例题】例1 （1）已知圆内接四边形ABCD 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D 的度数．（2）已知圆内接四边形ABCD 中，如图所示，AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A、∠B、∠C、∠D 的度数．例2 四边形ABCD 内接于⊙O，点P 在CD 的耽误线上，且AP∥BD．求证：AD AB BC PD ⋅=⋅例3 如图所示，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 上任一点．求证：DB+DC=DA ．例4AB 是⊙O的直径，弦DE⊥AB，弦AF 和DE 的耽误线交于C ，连结DF 、EF ， 求证：FE FD FA FC ⋅=⋅例5 如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，过A 点的直线与ABC ∆的外接圆交于E ，与BC 的耽误线交于D ．求证：ED AD AC AD ⋅=-22【考点速练】1．圆内接四边形的对角，而且任何一个外角都它的内对角．2．已知四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2::7，且最大的内角为． 3．如右图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，AE⊥CD 于E ，若∠ABC=︒130，则∠DAE=．·A D C BOPA ·BC DO · A B C D O · A B C DEO· ABCDO4．已知圆内接四边形ABCD的∠A、∠B、∠C的外角度数比为2:3:4，则∠A=，∠B=．5．圆内接梯形是梯形，圆内接平行四边形是．6．若E是圆内接四边形ABCD的边BA的耽误线上一点，BD=CD，∠EAD=︒55，则∠BDC=．7．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠C的度数之比是5:4，∠B比∠D大︒30，则∠A=.∠D=．8．圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数比是2：3：6,则∠D的度数是（）A、︒5.67B、︒135C、︒5.112D、︒1109．如图1所示，圆的内接四边形ABCD，DA、CB耽误线交于P，AC和BD交于Q，则图中类似三角形有（）A、1对B、2对C、3对D、4对10．如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（）A、215B、315C、2315D、221511．以下四边形中，有外接圆的四边形是（）A、有一个角为︒60的平行四边形B、菱形C、矩形D、直角梯形12．如图2，四边形ABCD是圆的内接四边形，如果BCD 的度数为︒240，那么∠C等于（）A 、︒120B 、︒80C 、︒60D 、︒4013．若四边形ABCD内接于圆，且∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n，则（ ） A 、5m=4n B 、4m=5n C 、m+n=9 D、m=n=︒18014．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点C与点D 分别是劣弧AB 与优弧ADB 上任一点（点C 、D 均不与A 、B 重合）. (1)求ACB ∠；(2)求三角形ABD 的最大面积． 15．如图所示，已知△ABC 内接于⊙O，AB=AC ，点D 为劣弧BC 上一动点（不与B 、A 、C 重合），直线AD 与BC交于E 点，连结BD 、DC.（1）求证:BD·DC=DE·DA；（2）若将D 改为优弧BAC 上一动点（不与B 、A 、C 重合），其他条件均不改变，则（1）中的结论还成立吗？请画图并证实你的结论.【功课】日期 1．过四边形ABCD 、，若∠B+∠D ︒>180，则DA 、圆上 B2．如图1，若 A C BPQ图1AD B C· O图2ABCODAA数共有（ ）A 、5对B 、6对C 、7对D 、8对3．如图2，已知ABC ∆的外角∠BCD 的平分线CE 交ABC ∆的外接圆于E ，则ABE ∆是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 4．如图3，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AE 是⊙O 的弦，且AE⊥CD，若∠B=︒120，则∠DAE 为（ ） A 、︒60 B 、︒30 C 、︒50 D 、︒705．已知：如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O，BD 是⊙O 直径，若∠DAC=︒60，BC=337，AD=5．求AC 的长．六．会用切线，能证切线考点速览： 考点1直线与圆的地位关系考点2A BCD图1A ·BCDE O图3ABCDE 图2 ·ABDCO切线：经过半径外端而且垂直于这条半径的直线是圆的切线.符号说话Array∵ OA⊥ l 于A，OA为半径∴ l 为⊙O的切线考点3判断直线是圆的切线的方法：①与圆只要一个交点的直线是圆的切线.②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线.③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线.（请务必记住证实切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点4切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.（请务必记住切线主要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直）经典例题：例1.如图，△ABC 内接于⊙O， AB 是 ⊙O 的直径，∠CAD＝ ∠ABC，判断直线AD 与⊙O 的地位关系，并说明理由.例2.如图,OA=OB=13cm ，AB=24cm ，⊙O 的半径为5cm ，AB 与⊙O 相切吗？为何? 例3.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点为A 、B ，C 是⊙O 上一点，若∠P＝40.， 求∠C 的度数.例4．如图所示，ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，以AC 为直径作⊙O 交AB 于D ，E 为BC 中点.求证：DE 是⊙O 的切线．例5．（2010深圳）如图10，以点M 与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C x － 533与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ．（1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（3分） （2）如图11，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP:PH ＝3:2，求cos∠QHC 的值；（3分）（3）如图12，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重BB合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN·MK＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．（3分）中考链接1.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆订交于点A ，与大圆订交于点B ，小圆的切线AC 与大圆订交于点D ，且CO 平分∠ACB.试判断BC 所在直线与小圆的地位关系，并说明理由. 2. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90. ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC 、AB 分别交于点D 、E ，且∠CBD= ∠A，判断BD 与⊙O 的地位关系，并证实你的结论.3. (2009深圳)如图，AB 是⊙O 的直径，AB=10，DC 切⊙O 于点C ，AD⊥DC，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E.图10图11图12（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若sin∠BEC=3，求DC的长.54．（2008深圳）如图，点D是⊙O点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若点E是劣弧BC上一点，且△BEF的面积为8，2，求△ACFcos∠BFA＝3课堂速练（1）1．判断①垂直于半径的直线是圆的切线.………………………………（）②过半径外端的直线是圆的切线.………………………………（）③与圆有公共点的直线是圆的切线.……………………………（）④圆的切线垂直于半径.…………………………………………（）2．如图，AC切⊙O于点A，∠BAC＝37.，则∠AOB的度数为（）A. 64.B. 74.C. 83.D. 84.3. 如图，AB与⊙O相切于B，AO的耽误线交⊙O于点C，连接BC，若∠A＝36.．则∠C＝______4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，ABCD，5C，∠BAC＝50.，∠ACD=______6．如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，CO交⊙O 于点D，BC于的度数．7．（2006xoy中，点M 在x⊙M交x y轴于C D、两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（－2，0），AE8(1)求点C的坐标.(2)连结MG BC、，求证：MG∥BC(3)如图10-2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上活动时，PFOF的比值是否发生变更，若不变，求出比值；若变更，说明变更规律.七．切线长定理考点速览：考点1B切线长概念：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长和切线的区别切线是直线，不成度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．考点2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．要留意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO 平分APB ∠． 考点3两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 经典例题：例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13㎝，PED ∆的周长为24㎝，求：①⊙O 的半径；②若40APB ∠=︒，EOD ∠的度数．例2 如图，⊙O 分别切ABC ∆E 、F ，若,,BC a AC b AB c ===． （1）求AD 、BE 、CF 的长；（2径r ．例ABCD则四边形的周长为？例4 如图甲，直线343+-=x y 与x 轴订交于点A ，与y 轴订交于点B ，点C ()n m ,是第二象限内任意一点，以点C 为圆心与圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F. （1）当四边形OBCE 是矩形时，求点C 的坐标；（2）如图乙，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径r ； （3）求m 与n 之间的函数关系式；（4）在⊙C 的挪动过程中，能否使OEF ∆是等边三角形（只回答“能”或“不克不及”）？考点速练1：1．如图，⊙O 是ABC ∆的内切圆，D::4:3:2A B C∠∠∠=，则DEF ∠=．FEC ∠=．2．直角三角形的两条直角边为53．如图，直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O相切于点E 、F 、G ，且AB∥CD，若OB=6㎝，OC=8㎝，则BOC ∠=，⊙O 的半径=㎝，BE+CG=㎝．4．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AB 交OP 于点M ，若2,OM cm AB PB ==，则⊙O 的半径是㎝． 考点速练（2）1．如图，在Rt ABC ∆中，90,3,C AC BC ∠=︒=点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E⊙O 与BC 的另一个交点D ，则线段BD 的长．2．如图，ABC ∆内接于⊙O，AB 为⊙O 直径，过C 点的切线交直径AB 的耽误线于P ，25BAC ∠=︒，则P ∠=．4、（广西）PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 切点，∠APB＝780，点C 是⊙O 上异于A 、B 任一点，那么∠ACB＝＿＿＿＿＿.5、（山西）若直角三角形斜边长为10cm ，其内切圆半径为2cm ，则它的周长为_______.6、（贵阳）如图，⊙O 是Rt△ABC 的内切圆，∠ACB＝900，且AB ＝13，AC ＝12，则图中暗影部分的面积是（ ）A 、π-30B 、π230-C 、π330-D 、π430-7．连结圆的两条平行切线的切点的线段，是这个圆的．8.如图1，AB 是⊙O 的直径，直线MN 切半圆于C ，AM⊥MN，BN⊥MN，若AM=a ，BN=b ，则AB=.9．如图2，AB 是⊙O 的直径，耽误AB 到D ，使BD=OB ，DC 切⊙O 于C ，则∠D=，∠ACD=，若半径为r ，AC=．10．经过圆的直径两端点的切线必互相．11.如图，在ABC ∆，10,8,90===∠AB AC C ，点P 在AC 上，AP=2，若⊙O 的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB 、AC 都相切，则⊙O 的半径是（ ）. A ．1 B ．45 C ．712D ．49 · A ED B O C题1 · AP B O C 题2 · A B D C O图2 M · CA OB N图112.如图，四边形ABCD是直角梯形，以垂直于底的腰AB 为直径的⊙O与腰CD相切于E，若此圆半径为6㎝，梯形ABCD的周长为38㎝，求梯形的上、下底AD、BC的长．八．三角形内切圆考点速览考点1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．考点2三角形外接圆与内切圆比较：名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC；（2）外心纷歧定在三角形的内部．内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、·AODB CE考点3求三角形的内切圆的半径1、直角三角形△ABC内切圆⊙O的半径为2cbar -+=.2、普通三角形①已知三边，求△ABC内切圆⊙O的半径r.（海伦公式S△＝)c s)(b s)(a s(s---，其中s=2cba++)经典例题：例1．浏览材料：如图（1），△ABC的周长为L，内切圆O 的半径为r，连结OA，OB，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC暗示△ABC的面积．∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA又∵S△OAB =12AB·r，S△OBC =12BC·r，S△OCA=12AC·r∴S△ABC =12AB·r+12BC·r+12CA·r=12L·r（可作为三角形内切圆半径公式）（1）理解与利用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径；（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）•且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与耽误：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，…an，合理猜测其内切圆半径公式（不需说明理由）．例2．如图，△ABC中，∠A=m°．（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC 的度数；（2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC 的度数；（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．例3．如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I 分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．考点速练1：1．如图1，⊙O内切于△AB C，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A．40° B．55° C．65° D．70°图 1 图 2 图32．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（）A．70° B．110° C．120° D．130°3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（）A．112.5° B．112° C．125° D．55°4．以下命题准确的是（）A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B．三角形的内心纷歧定在三角形的内部C．等边三角形的内心，外心重合D．一个圆必定有独逐个个外切三角形5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（）6．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．（1）求证：BF=CE；（2）若∠C=30°，AC的长．7．如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是弧DEF上的动点（与D，E不重合），∠DMF的大小必定吗？若必定，求出∠DMF的大小；若纷歧定，请说明理由．考点速练21．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，•然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（）A．（2）nR B．（12）nR C．（12）n－1RD．（2）n－1R2．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的耽误线交BC于点D，AC=4，•DC=1，则⊙O的半径等于（）A．45B．54C．34D．563．如图，已知△ABC的内切圆⊙O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，•如果AF=2，BD=7，CE=4．（1）求△ABC的三边长；（2）如果P为弧DF上一点，过P作⊙O的切线，交AB 于M，交BC于N，求△BMN的周长．4．如图，⊙O与四边形ABCD的各边顺次切于M，N，G，H．（1）猜测AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证实你的猜测；（2）若四边形ABCD添加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m暗示梯形的周长．5、思考题（选作）：如图，已知正三角形ABC的边长为2a．（1）求它的内切圆与外接圆构成的圆环的面积；（2）根据计算结果，请求圆环的面积，•只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积；（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”，你能得出如何的结论？（4）已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆构成的圆环面积．九．了解弦切角与圆幂定理（选学）【考点速览】。
圆知识点一、圆的定义及有关概念1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。
例1 P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．知识点二、平面内点和圆的位置关系平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内 当点在圆外时，d ＞r ；反过来，当d ＞r 时，点在圆外。
当点在圆上时，d ＝r ；反过来，当d ＝r 时，点在圆上。
当点在圆内时，d ＜r ；反过来，当d ＜r 时，点在圆内。
例2 如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则点E 在圆A 的_________，点F 在圆A 的_________．练习：在直角坐标平面内，圆O 的半径为5，圆心O 的坐标为(14)--，．试判断点(31)P -，与圆O 的位置关系．知识点三、圆的基本性质1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。
3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角定理推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角定理推论２：直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径。
2025年中考数学考点分类专题归纳圆知识点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.备注：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.备注：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.4．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.备注：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.知识点二、与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.备注：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点A1，A2……A n在同一个圆上的方法当A1O=A2O=……=A n O=R时，A1，A2……A n在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.知识点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.备注：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.知识点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.备注：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.1．（2024•贺州）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB，BD＝5，则AH的长为（）A．B．C．D．2．（2024•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm3．（2024•襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2C．D．24．（2024•衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm5．（2024•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．86．（2024•安顺）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm7．（2024•临安区）如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A．B．C．D．8．（2024•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸9．（2024•日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED 的正切值等于（）A．B．C．2 D．10．（2024•巴中）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB 等于（）A．B．2 C．2D．311．（2024•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD＝130°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．25°D．30°12．（2024•盘锦）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC＝50°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．50°13．（2024•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）A．15°B．35°C．25°D．45°14．（2024•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°15．（2024•铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝（）A．55°B．110°C．120°D．125°16．（2024•通辽）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°17．（2024•咸宁）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．5D．518．（2024•陇南）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°19．（2024•盐城）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°20．（2024•邵阳）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°21．（2024•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．822．（2024•牡丹江）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC，BC＝2，则⊙O的半径为（）A．3B．6C．4D．223．（2024•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．24．（2024•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定25．（2024•湘西州）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为（）A．10 B．8 C．4D．426．（2024•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°27．（2024•宜昌）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°28．（2024•重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（）A．4 B．2C．3 D．2.529．（2024•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D 在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为_______．30．（2024•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_________．31．（2024•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是______cm．32．（2024•广元）如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C 与的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为___cm．33．（2024•舟山）如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为________cm．34．（2024•毕节市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_____．35．（2024•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝____度．36．（2024•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝_____．37．（2024•吉林）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，，若∠AOB＝58°，则∠BDC＝____度．38．（2024•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝_____．39．（2024•绥化）如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是________（结果用含π的式子表示）．40．（2024•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°，的长是，则⊙O的半径是___．41．（2024•新疆）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是__．42．（2024•临沂）如图．在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是______cm．43．（2024•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28＝410b，则△ABC的外接圆半径＝_．44．（2024•益阳）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝____度．45．（2024•枣庄）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．46．（2024•徐州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．。
圆知识点复习讲义第1 节圆的认识一、知识梳理1.圆的基本概念弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦.直径：经过圆心的弦叫作直径.圆弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧 .弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧.半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆.等圆：能够重合的两个圆叫作等圆.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧.2.圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.圆是中心对称图形，对称中心为圆心.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.3.点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：①点在圆外⇔d>r;②点在圆上⇔d=r;③点在圆内⇔d<r.【例】如图1-1所示,AB是⊙O 的直径,四边形ABCD 内接于⊙O. 若BC=CD=DA=4cm,则⊙O的周长为( ).A. 5πcmB. 6πcmC. 9πcmD. 8πcm解:如图1-2所示,连接OD,OC.∵AB是⊙O的直径,四边形ABCD 内接于⊙O, BC=CD=DA=4cm,̂=CD̂=BĈ.∴AD∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°.又∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形.∴OA=AD=4cm.∴⊙O 的周长=2π×4=8π(cm).故选 D.二、分层练习☆万丈高楼平地起1.下列命题正确的个数是( )个.①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④面积相等的两个圆是等圆；⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧；A. 2B. 3C. 4D. 52.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1-3 所示 .为了在商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明要选择携带的应该是( ).A. 第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块3. 如图1-4所示,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD⊥AB,垂足为点D.已知CD=4,OD=3,则AB的长为 .4. 如图1-5所示,AB是⊙O的直径,点C,D在AB的异侧,连接AD,OD,OC. 若∠AOC=70°,且AD∥OC,则∠AOD的度数为 .欲穷千里目，更上一层楼5. 如图1-6所示,AB,CD是⊙O的直径, AÊ=BD̂.若∠AOE=32°,则∠COE的度数是( ).A. 32°B. 60°C. 68°D. 64°6. 如图1-7所示,AB是⊙O的直径, BĈ=CD̂=DÊ,∠COD=35∘,则∠AOE 的度数是( ).A. 65°B. 70°C. 75°D. 85°̂=DĈ=CB̂,则四边7. 如图1-8所示,已知⊙O的半径为2cm,AB是⊙O的直径,点C,D是⊙O 上的两点，且AD形ABCD的周长为( ).A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm̂=2AĈ,那么( ).8. 如图1-9所示,在⊙O 中,如果ABA.AB=ACB.AB=2ACC.AB<2ACD.AB>2AC9. 如图1-10 所示,在矩形ABCD中, AB=8,BC=3√5,点 P 在边 AB 上,且BP=3AP.如果圆P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( ).A. 点B,C均在圆P外B. 点 B在圆 P 外,点 C在圆 P 内C. 点B在圆P内,点C在圆P外D. 点 B,C均在圆P内10. 如图1-11所示，城市A的正北方向50km的B处，有一无线电信号发射塔，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100km，AC 是一条直达C 城的公路，从A城开往C城的班车速度为60km/h.(1)当班车从A城出发开往C城时，有人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5h时接收信号最强，则此时班车到发射塔的距离是多少?(离发射塔越近，信号越强)(2)班车从 A城到C城共行驶2h，请你判断，班车到C城后还能接收到信号吗?请说明理由.会当凌绝顶，一览众山小̂的中点，点P 是直径MN上一动点，⊙O 的半径11.如图1-12所示，已知点A是半圆上的三等分点，点B是AN为1.请问：点 P 在MN上什么位置时，AP+BP的值最小?并给出AP+BP的最小值.第2 节垂径定理一、知识梳理(一)垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图2-1所示，垂径定理的条件与结论理解如下：∵AB是直径,AB⊥CD于点 E,∴CE=DE,CB̂=DB̂,AĈ=AD̂.(二)垂径定理推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.【例】如图2-2所示,AB是⊙O 的弦,点 C,D是直线AB上的两点,且AC=BD,求证:OC=OD.证明:如图2-3所示,过点O作OE⊥AB于点E.∵OE⊥AB,∴AE=BE.又∵AC=BD,∴CE=DE.∴OE是CD的中垂线.∴OC=OD.二、分层练习☆万丈高楼平地起1.下列判断中正确的是( ).A.长度相等的弧是等弧B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦2.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图2-4所示，已知AB=16m,,半径OA为10m,则中间柱CD的高度为( )m.A. 6B. 4C. 8D. 53. 如图2-5所示,点A,B是⊙O上的两点,AB=10,点P是⊙O上的动点(点 P与点A,B不重合). 连接AP,PB,过点O 分别作OE⊥AP于点E,( OF⊥PB于点F,连接EF,则EF长为( ).A. 4B. 5C. 5.5D. 64. 点P为⊙O内一点，且OP=4. 若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为( ).A. 12B.2√30C. 8D. 10.5欲穷千里目，更上一层楼5.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图2-6所示，设⊙O的半径为2，若用⊙O的内接正六边形的面积来估计⊙O的面积，则⊙O的面积约为 (结果保留根号).6. 如图2-7所示，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且AD=2√2,AB=2√3,则∠DAB的度数为( ).A.105°B.60°C.75°D.70°7. 如图2-8所示, ∠PAC=30°,，在射线AC 上顺次截取AD=3cm,DB=10cm,以DB为直径作⊙O 交射线AP于点 E,F.(1)求圆心 O到AP的距离;(2)求弦 EF的长.8. 如图2-9所示,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点 P, AP=2,BP=6,∠APC=30°,,则 CD的长为( ).A.√15B.2√5C.2√15D. 89. 如图2-10所示,在半径为√5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为点 P,且AB=CD=4,则OP的长为( ).A. 1B.√2C. 2D.2√210. 如图2-11所示,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a>2),半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为y=x2√3,,则a的值是( ).A.2√2B.2+√2C.2√3D.2+√311. 如图2-12所示，△ABC外接圆的半径为5，其圆心O恰好在中线CD上.若AB=CD,则△ABC的面积为( ).A. 36B. 32C. 24D.1812.圆柱形油槽内装有一些油，截面如图2-13所示，油面宽AB 为6dm，再注入一些油后，油面 AB 上升1dm，油面宽变为 8dm，则圆柱形油槽直径 MN 为( ).A. 6dmB. 8dmC. 10dmD. 12dm会当凌绝顶，一览众山小13.如图2-14所示，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆过点A(13，0)，直线y=kx-3k+44与⊙O 相交于点B，C，则弦BC的长的最小值为 .第3 节圆周角定理(1)一、知识梳理圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.推论3：圆内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.【例】如图3-1所示,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),点B 是y轴右侧⊙A优弧上的一点，则∠OBC的余弦值为( ).A.12B.34C.√32D.54解:如图3-2 所示,连接CA 并延长交⊙A 于点D.∵CD为直径,∴∠COD=∠yOx=90°.∵直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),∴CD=10,CO=5.∴DO=√CD2−CO2=5√3.∵∠OBC=∠CDO,∴cos∠OBC=cos∠CDO=ODCD =5√310=√32.故选 C.二、分层练习☆万丈高楼平地起1. 如图3-3所示,AB是⊙O的直径,点C,D是⊙O 上的两点. 若∠CAB=25°,则∠ADC 的度数为 .2.如图3-4所示，在边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上,则tan∠CBD 的值等于( ).A.2√55B.3√55C. 2D.123. 如图3-5 所示,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AC是⊙O的直径, ∠C=50°,∠ABC的角平分线BD交⊙O 于点D,则∠BAD的度数为( ).A. 45°B. 85°C. 90°D. 95°4. 如图3-6所示,△ABC内接于⊙O, AB=AC,,连接BO 并延长交AC 于点 D. 若∠A=50°,,则∠BDC 的度数为( ).A. 75°B.76°C.65°D.70°5. 如图3-7所示,点A,B,C,D在⊙O上,直径AB交CD于点E. 已知∠C=57°,∠D=45°,则∠CEB=.6. 如图3-8所示，AB是半圆的直径，点D是AĈ的中点，∠ABC=50°,则∠DAB等于( ).A.55°B.60°C.65°D.70°欲穷千里目，更上一层楼7. 如图3-9所示,若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°,,连接OB,OC,则边 BC的长为( ).A.√2RRB.√32RC.√22D.√3R8. 如图3-10所示,在⊙O中, AC‖OB,∠BOC=50°,则∠OAB的度数为( ).A.25°B. 50°C. 60°D. 30°9. 如图3-11 所示,AD 是半圆的直径,点 C 是弧 BD 的中点, ∠ADC=55°,则∠BAD 等于( ).A. 50°B. 55°C. 65°D. 70°̂=2BĈ,∠C=20∘, 10. 如图3-12所示,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,连接AC,CD,CD交AB于点 E.若BD则∠AED的度数为( ).A. 50°B. 53°C. 55°D. 58°11. 如图3-13所示,AB是⊙O的弦,( OH⊥AB于点H，点P是优弧上的一点.若AB=2√3,OH=1,则∠APB的度数为 .12. 如图3-14所示,⊙O的半径为2,. △ABC是⊙O的内接三角形,连接OB,OC.若∠BAC 与∠BOC 互补,则弦BC的长为( ).A.4√3B.3√3C.2√3D.√3☆会当凌绝顶，一览众山小13. 如图3-15所示,在Rt△ABC中,. ∠ACB=90°,∠A=56°.. 以 BC 为直径的⊙O交AB 于点 D. 点 E 是⊙O 上的一点,且CÊ=CD̂,连接 OE. 过点 E 作. EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为( ).A. 92°B. 108°C. 112°D. 124°14. 如图3-16所示,点B,C在⊙A上,AB的垂直平分线交⊙A于点E,F,交线段AC 于点 D. 若∠BFC=20°,则∠DBC=(A. 30°B.29°C.28°D. 20°。
——教学资料参考参考范本——中考数学考点总动员系列专题38与圆有关的概念含解析______年______月______日____________________部门聚焦考点☆温习理解1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA 叫做半径。
2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AB）3.直径经过圆心的弦叫做直径。
（如图中的CD）直径等于半径的2倍。
4.半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
5.弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
6、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
3、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。
名师点睛☆典例分类考点典例一、垂径定理【例1】（20xx四川泸州第6题）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）A. B.2 C ．6 D ．877 【答案】B ． 【解析】试题解析：由题意，得 OE=OB-AE=4-1=3， CE=CD==，22OC OE -7CD=2CE=2， 故选B ．考点：1.垂径定理；2.勾股定理．【点睛】根据“两条辅助线（半径和边心距），一个直角三角形，两个定理（垂径定理、勾股定理）”解决即可，做法可总结为：作垂直，连半径，用勾股。
2020届中考数学一轮复习讲义考点三十八：与圆有关的概念聚焦考点☆温习理解1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
(如图中的AB)3.直径经过圆心的弦叫做直径。
(如图中的CD)直径等于半径的2倍。
4.半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
5.弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示)；小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
6、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
3、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。
名师点睛☆典例分类考点典例一、垂径定理【例1】(2019•广西北部湾经济区•3分)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为______寸．【答案】26【解析】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+(r-1)2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+(r-1)2，解方程即可．本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【举一反三】(2018年湖北省黄梅濯港镇中心学校数学中考模拟)关于圆的性质有以下四个判断：①垂直于弦的直径平分弦，②平分弦的直径垂直于弦，③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是()A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【答案】C【解析】垂直于弦的直径平分弦，所以①正确；平分弦(非直径)的直径垂直于弦，所以②错误；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以③错误；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所以④正确．故选：C．点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角线段，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.考点典例二、求弦心距【例2】(2018贵州黔东南中考模拟)小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为()A．23cm B．43cm C．63cm D．83cm【答案】B．考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【点睛】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径． 【举一反三】如图，半径为5的⊙A 中，弦B C ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD. 已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的弦心距等于( )A.241B. 234C. 4D. 3 【答案】D ．考点：1.圆周角定理；2.全等三角形的判定和性质；3.垂径定理；4.三角形中位线定理. 【分析】如答图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，作直径CF ，连接BF ，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAC+∠BAF=180°， ∴∠DAE=∠BAF.在△ADE 和△ABF 中，∵AD ABDAE BAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△ABF(SAS).∴DE=BF=6. ∵AH⊥BC，∴CH=BH.又∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线. ∴AH=12BF=3．故选D．考点典例三、最短路线问题【例3】(2019年黄冈市中考模拟)如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B 为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为()A．B．1 C． 2 D． 2【答案】A.【解析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=12∠AON=12×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴22×2，即PA+PB的最小值2．故选A．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键． 【举一反三】(2018浙江温州中考模拟)如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )A ． 6B ． 1132C ． 9D ． 332【答案】C ． 【解析】试题分析：如图，设⊙O 与AC 相切于点E ，连接OE ，作OP 1⊥BC 垂足为P 1交⊙O 于Q 1，此时垂线段OP 1最短，P 1Q 1最小值为OP 1﹣OQ 1，∵AB =10，AC =8，BC =6，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C =90°，∵∠OP 1B =90°，∴OP 1∥AC∵AO =OB ，∴P 1C =P 1B ，∴OP 1=12AC =4，∴P 1Q 1最小值为OP 1﹣OQ 1=1，如图，当Q 2在AB 边上时，P 2与B 重合时，P 2Q 2最大值=5+3=8，∴PQ 长的最大值与最小值的和是9．故选C ．考点：切线的性质；最值问题．课时作业☆能力提升一．选择题1．(山东省济南市长清区2018届九年级3月质量(模拟)检测数学试题)如图，直径为10的A 经过点C 和点O ，点B 是y 轴右侧A 优弧上一点，∠OBC=30°，则点C 的坐标为( )A. ()0,5B. ()0,53 C. 50,32⎛⎫⎪⎝⎭ D. 50,33⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A故选A ．点睛：此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC=35°，则∠CAB 的度数为( )A. 35°B. 45°C. 55°D. 65° 【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题【答案】C点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.3.已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为( ) A. 25cm B. 45cm C. 25cm 或45cm D.5 23cm 或43cm 【答案】C ． 【解析】试题分析：根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论 连接AC ，AO ，∵⊙O 的直径CD=10cm ，AB ⊥CD ，AB=8cm ，∴AM=12AB=12×8=4cm ，OD=OC=5cm. 当C 点位置如答图1所示时，∵OA=5cm ，AM=4cm ，CD ⊥AB ，∴2222OM OA AM 543=-=-=cm.∴CM=OC+OM=5+3=8cm. ∴在Rt △AMC 中，2222AC AM CM 4845=+=+=cm. 当C 点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm ， ∵OC=5cm ，∴MC=5﹣3=2cm.∴在Rt △AMC 中，2222AC AM CM 4225=+=+=． 综上所述，AC 的长为25cm 或45cm . 故选C ．考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.分类思想的应用．4. (2019•黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40 m，点C是AB的中点，且CD=10 m，则这段弯路所在圆的半径为A．25 m B．24 m C．30 m D．60 m【答案】A【解析】∵OC⊥AB，∴AD=DB=20 m，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，设半径为r得：r2=(r-10)2+202，解得r=25 m，∴这段弯路的半径为25 m，故选A．5. 如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=22，则PA+PB的最小值是()A．22B．2C．1 D．2【答案】D.6. (西藏拉萨北京实验中学等四校2018届九年级第一次联考数学试题)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠BOC=80°，则∠A等于()A. 80B. 60C. 50D. 40【答案】D【解析】试题解析：由圆周角定理得,1402A BOC∠=∠=，故选D.点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.学&科网二．填空题7.(安徽省合肥市2018届九年级第五次十校联考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=120°，若⊙O的半径为2，则弦BC的长为__________．【答案】23．∵四边形ABEC 是圆内接四边形, 120BAC ∠=，60E ∴∠=，120BOC ∴∠=，又∵OD ⊥BC ，602BOD BC BD ∴∠==，，3sin60232BD OB ∴=⨯=⨯=， 22 3.BC BD ∴==故答案为： 2 3.点睛:圆内接四边形的对角互补.8. (新疆乌鲁木齐市第九十八中学2018届九年级下学期第一次模拟考试)如图，△ABC 是⊙O 的内接锐角三角形，连接AO ，设∠OAB=α，∠C=β，则α+β=______°。
