2020-2021学年广东省揭阳市揭东县高二上学期期末考试 数学 word版

广东省潮州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷一、单选题1.命题“ ∀x ∈(0,1),x 2−x <0 ”的否定是（ ）A. ∃x 0∉(0,1),x 02−x 0≥0B. ∀x 0∉(0,1),x 02−x 0<0C. ∀x 0∈(0,1),x 02−x 0≥0D. ∃x 0∈(0,1),x 02−x 0≥02.在 △ABC 中，若 sinA a =cosB b，则角 B 为（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. π23.如果 a >b >0 ，那么下列不等式一定成立的是（ ）A. c −a >c −bB. 1a >1bC. (12)a >(12)b D. lna >lnb 4.过椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的上顶点与右顶点的直线方程为 x +2y −4=0 ，则椭圆 C 的标准方程为 （ ）A. x 216+y 24=1B. x 220+y 24=1C. x 224+y 28=1D. x 232+y 28=1 5.已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 15=30 ， a 10=4 ，则 a 9 等于（ ）A. 2B. 3C. 4D. 86.若数列 {a n } 的通项公式为 a n =n n 2+196(n ∈N ∗) ，则这个数列中的最大项是（ ） A. 第12项 B. 第13项 C. 第14项 D. 第15项7.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15º、北偏东45º方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60º方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里．A. 5√6B. 10√6C. 10√2D. 20√28.已知 x >0 ， y >0 ，且 2y +1x =1 ，则 x +2y 的最小值为（ ）A. 9B. 12C. 16D. 209.如图，空间四边形 ABCD 中， E ， F 分别是 BC ， CD 的中点， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ）A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. FA ⃗⃗⃗⃗⃗C. AF ⃗⃗⃗⃗⃗D. EF⃗⃗⃗⃗⃗ 10.已知双曲线 x 2a 2−y 2=1(a >0) 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，离心率为 2√33，P 为双曲线右支上一点，且满足 |PF 1|2−|PF 2|2=4√15 ，则 △PF 1F 2 的周长为（ ）A. 2√5B. 2√5+2C. 2√5+4D. 2√3+411.已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2−6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）A. 13B. 18C. 21D. 2612.已知A,B,C是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且2|AF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）A. 53 B.√173C. √172D.94二、填空题13.已知椭圆x 25+y2m=1的一个焦点为(0,1)，则m=．14.已知在等比数列{a n}中，a1a2a3=8，a4+a5=0，则a6=．15.已知空间直角坐标系中，点A(−1,1,2)，B(−3,0,4)，若|c|=6，c⃗//AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则c⃗=．16.下表数阵的特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a i j则（1）a n n=（n∈N∗）；（2）表中的数52共出现次.三、解答题17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=−1，b1=1，a2+ b2=3 .（1）若a3+b3=7，求{b n}的通项公式；（2）若T3=13，求S n .18.在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b2+c2−a2=4√23bc .（1）求sinA的值；（2）若ΔABC的面积为√2，且√2sinB=3sinC，求ΔABC的周长.19.已知命题p:2−a<t≤3+a，命题q:方程x24t+y2t2+3=1表示焦点在x轴上的椭圆．（1）.当a=1时，判断“命题p”是“命题q”成立的什么条件？（2）.若“命题p”是“命题q”成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AA1= AB，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．（1）.求证：DE//平面ABC；（2）.求二面角B1−AE−F的余弦值．21.十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员x(x>0)户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4x%，而)(a>0)万元.从事水果加工的农民平均每户收入将为3(a−3x50（1）若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值.22.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点F到直线x−y+1=0的距离为√2 .（1）.求抛物线C的方程；（2）.点O为坐标原点，直线l1、l2经过点M(−1,0)，斜率为k1的直线l1与抛物线C交于A、B两点，斜率为k2的直线l2与抛物线C交于D、E两点，记λ=|MA|⋅|MB|⋅|MD|⋅|ME|，若k1k2=−12，求λ的最小值.答案解析部分一、单选题1.【答案】 D2.【答案】 B3.【答案】 D4.【答案】 A5.【答案】 B6.【答案】 C7.【答案】 A8.【答案】 A9.【答案】 C10.【答案】 C11.【答案】 C12.【答案】 B二、填空题13.【答案】 614.【答案】 215.【答案】 （-4，-2,4）或（-4，-2,4）16.【答案】 n 2+1；4三、解答题17.【答案】 （1）解：设等差数列 {a n } 的公差为d ，等比数列 {b n } 的公比为q ，则 a n =−1+(n −1)d ， b n =q n−1由题意可得： {a 2+b 2=3a 3+b 3=7 ，则 {−1+d +q =3−1+2d +q 2=7即 {d +q =42d +q 2=8，解得 {d =2q =2 或 {d =4q =0 （舍去） 因此 {b n } 的通项公式为 b n =2n−1 .（2）解：由题意可得： T 3=b 1+b 2+b 3 ，则 {T 3=b 1(1+q +q 2)=13−1+d +q =3 ，解得 {q =3d =1 或 {q =−4d =8， ∴ S n =12n 2−32n 或 S n =4n 2−5n .18.【答案】 （1）解：∵ b 2+c 2−a 2=4√23bc ，∴由余弦定理可得2bccosA ＝ 4√23 bc ，∴cosA ＝ 2√23 ， ∴在△ABC 中，sinA ＝ √1−cos 2A ＝ 13 ．（2）解：∵△ABC 的面积为 √2 ，即 12 bcsinA ＝ 16 bc ＝ √2 ，∴bc ＝6 √2 ，又∵ √2 sinB ＝3sinC ，由正弦定理可得 √2 b ＝3c ，∴b ＝3 √2 ，c ＝2，则a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ＝6， ∴a =√6 ，所以周长为 a +b +c =2+√6+3√2 .19.【答案】 （1）解：当 a =1 时，若命题 p 为真，则 1<t ≤4 ，若命题 q 为真，则 4t >t 2+3,∴1<t <3 ，由命题 q 能推出命题 p ，但命题 p 不能推出命题 q ，所以“命题 p ”是“命题 q ”成立的必要不充分条件．（2）解：因为命题 p 是命题 q 成立的充分不必要条件，所以 {2−a <3+a2−a ≥13+a <3，解得 −12<a <0 ． 20.【答案】 （1）证明：设 AB 的中点为 G ，连接 DG,CG ，则 DG//__12BB 1//__EC ， ∴四边形 DGCE 为平行四边形∴ DE//GC又 DE ⊄ 平面ABC ， GC ⊂ 平面ABC ∴ DE // 面 ABC ．（2）解：如图建立空间直角坐标系 O −xyz ，令 AB =AA 1=2 ，则 A(0,0,0) ， E(0,2,1) ， F(1,1,0) ， B(2,0,0) ， B 1(2,0,2) ， D(1,0,1) ，∵B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−2) ， EF ⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−1,−1) ， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0) ∴ B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0∴ B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AF ⃗⃗⃗⃗⃗∵ AF ∩EF =F ∴ B 1F ⊥ 面 AEF∴平面 AEF 的一个法向量为 B1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−2) 设平面 B 1AE 的法向量为 n⃗ =(x,y,z) ， 则由 n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即 {2y +z =0x +z =0． 令 x =2 ，则 z =−2,y =1 ∴n ⃗ =(2,1,−2) ∴cos <n ⃗ ,B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ·B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√66 n ⃗⃗⃗ ⋅B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗⃗ ||B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√66 ∴二面角 B 1−AE −F 的余弦值为 √66. 21.【答案】 （1）解：动员 x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则 (200−x)×[3×(1+0.04x)]≥200×3 ，解得 0<x ≤175 . （2）解：由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则 3(a −3x 50)⋅x ≤(200−x)×[3×(1+0.04x)] ，（ 0<x ≤175 ），化简得 a ≤0.02x +200x +7 ，（ a >0 ）. 由于 0.02x +200x +7≥2√0.02x ⋅200x +7=11 ，当且仅当 0.02x =200x ⇒x =100 时等号成立，所以 0<a ≤11 ，所以 a 的最大值为 11 .22.【答案】 （1）解：抛物线的焦点 F 的坐标为 (p 2,0) ， 点 F 到直线 x −y +1=0 |p 2+1|√2=√2 ，因为 p >0 ，所以 p =2 . 所以抛物线 C 的方程为 y 2=4x ；（2）解：设点 A(x 1,y 1) 、 B(x 2,y 2) ，联立方程 {y 2=4xy =k 1(x +1) ，消去 y 后整理为 k 12x 2+(2k 12−4)x +k 12=0 ， 由题意得 {k 1≠0Δ=(2k 12−4)2−4k 14>0 ，所以 −1<k 1<0 或 0<k 1<1 ， 所以 {x 1+x 2=4−2k 12k 12x 1x 2=1 ， 又 |MA|=√1+k 12|x 1+1| ， |MB|=√1+k 12|x 2+1| ，所以， |MA|⋅|MB|=(1+k 12)|(x 1+1)(x 2+1)|=(1+k 12)|x 1x 2+(x 1+x 2)+1| =(1+k 12)|4−2k 12k 12+2|=4(1+k 12)k 12 . 同理， |MD|⋅|ME|=4(k 22+1)k 22 . 所以 λ=|MA|⋅|MB|⋅|MC|⋅|MD|=16(k 12+1)(k 22+1)k 12k 22=16(k 12k 22+k 12+k 22+1)k 12k 22 =16(54+k 12+k 22)14≥64(54+2|k 1k 2|)=64×94=144 .（当且仅当 {k 1=−√22k 2=√22 或 {k 1=√22k 2=−√22取等号）. 所以 λ 的最小值为144.。

人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷（全册）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B. 体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为 132.下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )． A. B. C. D.3.关于 x 的一元二次方程 x 2−5x +2p =0 的一个根为 1 ，则另一根为（ ）.A. -6B. 2C. 4D. 14.下列关于二次函数 y =2x 2+3 ，下列说法正确的是（ ）.A. 它的开口方向向下B. 它的顶点坐标是 (2,3)C. 当 x <−1 时， y 随 x 的增大而增大D. 当 x =0 时， y 有最小值是35.如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，延长DE 交⊙OO 于点F ，若AC = 12，AE = 3，则⊙O 的直径长为（ ）A. 10B. 13C. 15D. 166.某校食堂每天中午为学生提供A 、 B 两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 237.如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A. 2.5米B. 3米C. 3.5米D. 4米8.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·哧壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物。

而立之年督东吴，早逝英年两位数。

广东省湛江市2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合()(){}7120A x x x =-+<，{}60B x x =+>则A B =（ ）A ．{}612x x -<< B ．{}67x x -<< C ．{}12x x >-D ．{}67x x <<2．“四边形ABCD 为菱形”是“四边形ABCD 的两条对角线互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．双曲线2284yx -=-的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C．y = D．2y x =±4．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下1a 尺，第二天被截取剩下的一半剩下2a 尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下5a 尺，则125a a a +=（ ） A ．18B ．20C ．22D ．245．已知抛物线C 的焦点到准线的距离大于2，则C 的方程可能为（ ） A ．24y x =B ．23y x =-C ．26x y =D ．28y x =-6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点，若O 为底面1111D C B A 的中心，则异面直线1C E 与AO 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．30C ．815D ．157．P 为椭圆22:11713x y C +=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1F P 至点Q ，使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为（ ）A ．()22234x y ++= B ．()22268x y ++= C ．()22234x y -+=D ．()22268x y -+=8．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B 处，此时测得俯角为45．已知小车的速度是20km/h ，且cos 8AOB ∠=-，则此山的高PO =（ ）A ．1 kmB ．km 2CD二、多选题9．设命题:67p n N n ∀∈+，为质数，则（ ） A ． p ⌝为假命题 B ． :N,67p n n ⌝∃∈+不是质数 C ． p ⌝为真命题D ． :N,67p n n ⌝∀∈+不是质数10．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ） A ．512a = B ．公差3d =C ．()261n S n n =+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64nn + 11．已知0a b >>，且31a b +=，则（ ） A ．ab 的最大值为112B ．ab 的最小值为112C ．13a b+的最小值为16 D ．2215a b +的最小值为5812．已知椭圆22:19x y Ω+=的左、右顶点分别为A B ，，点P 为Ω上一点，且P 不在坐标轴上，直线AP 与直线3y =-交于点C ，直线BP 与直线3y =-交于点D ．设直线AP 的斜率为k ，则满足36CD =的k 的值可能为（ ）A ．1B ．17-C ．110D．7-+三、填空题13．设向量()1,2,4AB =，(),1,1CD m =，AB CD ⊥，则实数m =________.14．若双曲线2216x y m-=的虚轴长为__________．15．在ABC 中，若,tan 23B C AC π===，则AB =__________．16．已知点()P m n ,是抛物线28x y 上一动点，的最小值为__________．四、解答题17．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足2225,sin 2sin 8b c a bc C B +-==． （1）求cos A ；（2）若ABC 的周长为6+ABC 的面积．18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AC AA BC E F ⊥==,,,分别为侧棱11,BB CC 中点．（1）证明：//BF 平面11AC E ．（2）求1B C 与平面11AC E 所成角的正弦值． 19．已知数列{}n a 的首项为4． （1）若数列{}2nn a -是等差数列，且公差为2，求{}na 的通项公式．（2）在①3248a a -=且20a >，②364a =且40a >，③20212201716a a a =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题，若{}n a 是等比数列，__________，求数列(){}31nn a -的前n 项和nS．20．如图，平面ABCDE ⊥平面CEFG ，四边形CEFG 为正方形，点B 在正方形ACDE 的外部，且4AB BC AC ===．（1）证明：AD CF ⊥．（2）求平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值．21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2213x y -=有相同的焦点F ．（1）求C 的方程，并求其准线l 的方程；（2）如图，过F 且斜率存在的直线与C 交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，直线OA 与准线l 交于点N ．过点A 作l 的垂线，垂足为M ．证明：12y y 为定值，且四边形AMNB 为梯形．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且焦距为8．（1）求C 的方程； （2）设直线l 的倾斜角为3π，且与C 交于A ，B 两点，求AOB （O 为坐标原点）面积的最大值．参考答案1．B 【分析】分别解一元二次不等式得集合A 、B ，再进行交集运算即可求解. 【详解】因为()(){}{}7120127A x x x x x =-+<=-<<∣， {}{}606B x x x x =+>=>-∣，所以{}67A B xx ⋂=-<<∣． 故选：B. 2．A 【分析】根据菱形的定义与性质，结合充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】若四边形ABCD 是菱形，则它的对角线互相垂直，反之,若四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，四边形ABCD 不一定是菱形， 所以“四边形ABCD 是菱形”是“四边形ABCD 的对角线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 3．A 【分析】令2204yx -=即可求出.【详解】令2204yx -=，解得2y x =±，故双曲线的渐近线方程为2y x =±. 故选：A. 4．A 【分析】根据题意, 12345,,,,a a a a a 成等比数列，求出125,,a a a 即可求解.【详解】设这根木棰总长为1, 每天截取其一半,剩下的部分记为n a ,则{n a }构成12n a =,公比12q =的等比数列, 所以1255111,242a a a === 所以125112418124a a a ++== 故选:A. 点评等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换． 5．C 【分析】由题可得24p >，即可判断. 【详解】抛物线C 的焦点到准线的距离大于2，2p ∴>，即24p >，∴C 的方程可能为26x y =.故选：C. 6．D 【分析】以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出向量1C E ，AO 的坐标，利用向量夹角的坐标公式即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设边长为2，则()10,2,2C ，()2,2,1E ，()2,0,0A ，()1,1,2O ， 所以()12,0,1C E =-，()1,1,2AO =-， 设异面直线1C E 与AO 所成角为θ，所以111cos cos ,2C E AO C E AO C E AOθ⋅====， 所以异面直线1C E 与AO 故选：D 点评方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.7．B 【分析】 由椭圆的122PF PF a +==2PQ PF =，所以112PF PQ FQa +===动点Q 的轨迹为以()12,0F -为圆心，Q 的轨迹方程. 【详解】由2211713x y +=可得：a =，因为122PF PF a +==2PQ PF =，所以112PF PQ FQ a +===所以动点Q 的轨迹为以()12,0F -为圆心， 故动点Q 的轨迹方程为()22268x y ++=. 故选：B. 点评方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,x y 的等式，就能得到曲线的轨迹方程； （2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程. 8．A 【分析】由题意作图可得60APO ∠=，45BPO ∠=，设PO h =，在Rt POA △，Rt POB 中求出AO =，BO h =，在AOB 中，由余弦定理列方程即可求解.【详解】由题意可知：PO ⊥平面AOB ，903060APO ∠=-=，904545BPO ∠=-=，7.520 2.560AB =⨯=km ，设PO h =，在POA 中，tan AO APO PO ∠=，tan 60AOh=，所以AO =， 在POB 中，tan BO BPO PO ∠=，tan 45BOh=，所以BO h =，在AOB 中，由余弦定理可得：2222cos AB AO BO AO A BO OB =∠+-⨯，所以)2222.58h h =+-⨯⎛- ⎝⎭⨯，即2252544h =，解得：1h =， 所以山的高1PO =， 故选：A. 9．BC 【分析】举反例可得命题p 是假命题，则可判断p ⌝为真命题，根据全称命题的否定为特称命题可得p ⌝. 【详解】当3n =时，6725n +=，且25不是质数，故命题p 是假命题，则p ⌝为真命题，故C 正确； 根据全称命题的否定为特称命题可得p ⌝：x N ∃∈，67n +不是质数，故B 正确. 故选：BC. 10．BCD 【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ， 再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确；对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++-⎪-+⎝⎭()611132322324n n n n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD. 点评方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.11．AD 【分析】利用基本不等式可求出112ab ≤，即可判断AB ；由()13133a b a b a b⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭利用基本不等式可判断C ；将13=-a b 代入2215a b +可求出最值，判断D. 【详解】0a b >>，13a b =+≥112ab ≤，当且仅当3a b =时等号成立，即ab 的最大值为112，故A 正确；B 错误； ()1313333101016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当33b a a b =，即a b =时等号成立，0a b >>，1316a b+>，故C 错误；0a b >>，31a b +=，可得104b <<，()22222151513152488a b b b b ⎛⎫∴+=-+=-+ ⎪⎝⎭，当18=b 时，2215a b+取的最小值为58，故D 正确. 故选：AD. 点评易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 12．AD 【分析】设()00,P x y ，可得19AP BP k k ⋅=-，则AP k k =，19BP k k=-，求出直线AP 和BP 方程可得CD 坐标，即可表示出CD ，求出k. 【详解】设()00,P x y ，则220019x y +=，()()3,0,3,0A B -，20200022000011933999AP BPx y y y k k x x x x -∴⋅=⋅===-+---， AP k k =，19BP k k∴=-， 则直线AP 方程为()3y k x =+，令3y =-，可得33,3C k ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 直线BP 的方程为()139y x k=--，令3y =-，可得()273,3D k +-，则()3327336k k CD ---=+=，解得1k =或19. 故选：AD. 点评本题考查椭圆中直线斜率的求解，解题的关键是得出AP BP k k ⋅是定值19-，即可以k 表示出,C D . 13．6- 【分析】利用向量数量积坐标计算公式直接求解. 【详解】 因为AB CD ⊥，所以240AB CD m ⋅=++=， 解得6m =-. 故答案为：6-. 点评求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 14．2 【分析】根据双曲线方程的几何性质可得结果， 【详解】由题得2b =，所以b =，又226,18a m b ===，所以261824c =+=，所以c =.所以双曲线的离心率为2c e a ===. 故答案为：2.15．13由tan C =in s C =，由正弦定理即可解出. 【详解】因为sin tancos C C C ==22sin cos 1C C +=，所以in s C =，由正弦定理得sin sin AC AB B C =，则sin sin C B AC AB ==16．3 【分析】表示()P m n ,到(0,2)F -与点()2,1A -的距离之和，根据抛物线的定义即可求得结果. 【详解】 由抛物线28xy ，可得焦点为(0,2)F -，准线为2l y =：.=是点()P m n ,到(0,2)F -与点 ()2,1A -的距离之和，根据抛物线的定义可知，点()P m n ,到(0,2)F -的距离等于点 ()P m n ,到l 为 ()213--=. 故答案为：317．（1）516；（2（1）由余弦定理可求得cos A ；（2）根据正弦定理可得2c b =，再由已知和余弦定理可求得2b =，根据三角形的面积可求得答案. 【详解】解：（1）因为22258b c a bc +-=，所以2225cos 216b c a A bc +-==；（2）因为sin 2sin C B =，所以2c b =．由余弦定理得2222152cos 4a b c bc A b =+-=，则a =，因为ABC 的周长为6+，所以36b =+2b =，所以ABC 的面积为1224b b ⨯⨯=. 点评方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.18．（1）答案见解析；（2 【分析】（1）先证线线平行，即1//BF C E ，再得出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，求出面11AC E 的法向量为n 和向量1CB ，求出这两个向量的夹角的余弦，从而得到1B C 与平面11AC E 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB 与1CC 平行且相等. 因为E ，F 分别为侧棱1BB ，1CC 的中点，所以BE 与1FC 平行且相等， 所以四边形1BEC F 是平行四边形， 从而1//BF C E .因为1C E ⊂平面11AC E ，BF ⊄平面11AC E ，所以//BF 平面11AC E .（2）解：以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，设1BC =，则()12,0,2A ，()10,0,2C ，()0,1,1E ，()10,1,2B .()112,0,0C A =，()10,1,1EC =-，()10,1,2CB =.设平面11AC E 的法向量为(),,n x y z =， 则1110n C A n EC ⋅=⋅=，即20,0,x y z =⎧⎨-+=⎩令1y =，得()0,1,1n =.所以1cos,10CB n ==， 故1B C 与平面11AC E. 点评本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 19．（1）22n n a n =+；（2）()132483n nn S +-+=【分析】 （1）求出{}2nn a -首项，即可求出{}2n na-通项公式，得出{}n a 的通项公式；（2）设出公比，建立关系求出公比，再利用错位相减法即可求出n S . 【详解】解：（1）因为14a =，所以122a -=， 因为数列{}2nn a -是等差数列，且公差为2，所以()22212nn a n n -=+-=，则22n n a n =+.（2）选①：设公比为q ，由3248a a -=，得24448qq -=，解得4q =或3-，因为20a >，所以4q =. 故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯，两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--，即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--，故()132483n nn S +-+=. 选②：设公比为q ，由364a =，得2464q=，解得4q =±，因为20a >，所以4q =. 故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯，两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--，即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--，故()132483n nn S +-+=. 选③：设公比为q ，由20212201716a a a =，得20211201820181664a a a a ==，则364q =，所以4q =. 故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯，两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--，即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--，故()132483n n n S +-+=. 点评方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}na 是等差数列，公差为d ，则111111n n nn a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.20．（1）详见解析；（2）73【分析】（1）易知GC CE ⊥,再根据平面ABCDE ⊥平面CEFG ，得到GC ⊥平面ABCDE ，进而有GC AD ⊥，再由CE AD ⊥,利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）以C 为原点，以CD ，CA ，CG ，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得平面BFG 的一个法向量(),,n x y z =，再由平面ABCDE 的一个法向量()0,0,1m =， 设平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角为α，由cos m n m nα⋅=⋅求解.【详解】（1）因为四边形CEFG 为正方形， 所以GC CE ⊥,又因为平面ABCDE ⊥平面CEFG ，且平面ABCDE ⋂平面CEFG CE =， 所以GC ⊥平面ABCDE ，又AD ⊂平面ABCDE ， 所以GC AD ⊥，又因为四边形ACDE 是正方形， 所以CE AD ⊥,又CE CG C ⋂=， 所以AD ⊥平面CEFG ， 又CF ⊂平面CEFG ， 所以AD CF ⊥.（2）以C 为原点，以CD ，CA ，CG ，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：则(((),,1,2,0G F B -，所以()(4,4,0,1,GF BG ==-，设平面BFG 的一个法向量为：(),,n x y z =，则00n GF n GF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即44020x y x y +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令1x =，则1,y z =-=，则1,1,n ⎛=- ⎝⎭， 又平面ABCDE 的一个法向量为：()0,0,1m =，设平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角为αcos 1m nm n α⋅==⋅+ 点评 方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝AC BDAC BD ⋅⋅.2、利用向量求线面角的方法：（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．21．（1）28y x =；准线l 的方程为2x =-；（2）证明见解析.【分析】（1）先利用双曲线的标准方程得到()2,0F ，再利用抛物线的焦点求p 即可求解；（2）设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，联立抛物线方程和直线方程消x 得到关于y 的式子，利用韦达定理即可得出12y y 为定值；设点N 为()2,m -，利用OA ON k k =，再结合抛物线方程得到112211122168y y m y y x y =-=-=-=，进而得到//BN x 轴//AM ，即可得证. 【详解】（1）解：因为双曲线2213x y -=的右焦点为()2,0， 所以()2,0F ， 则22p =， 即4p =，故C 的方程为28y x =，其准线l 的方程为2x =-．（2）证明：由题意可知，直线AB 过点F 且斜率存在，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，联立2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得28160ky y k --=， 2Δ64640k =+>恒成立，121616k y y k-==-， 故12y y ⋅为定值．因为点N 在准线l 上，设点N 为()2,m -，则由OA ON k k =， 可得112y m x =-． 又2116y y =-， 所以112211122168y y m y y x y =-=-=-=． 因此//BN x 轴//AM ，易知，12x x ≠，||AM BN ≠，故四边形AMNB 为梯形．点评关键点睛：本题考查了双曲线的方程和抛物线的方程及性质，直线与抛物线的位置关系问题；两方程联立，利用韦达定理得到12y y ⋅为定值，求出点N 的纵坐标等于2y 是解决本题的关键.22．（1）221204x y +=；（2） 【分析】（1）由椭圆的离心率，焦距，再结合222a b c =+，即可求出C 的方程；（2）设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出AB ，再利用点到直线的距离求出d ，即可求出AOB 面积的表达式，根据表达式即可求出AOB 的面积有最大值.【详解】解：（1）依题意可知：22228e c a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：22204a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程为：221204x y +=； （2）依题意可设直线l的方程为：y m =+，联立：221204y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22165200x m ++-=，则2230064(520)0m m ∆=-->，解得：88m -<<，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x +=21252016m x x -=，||AB =4== 原点到直线l 的距离||2n d ==， 则AOB 的面积11||||2224m S d AB =⋅=⨯=，当且仅当“232m =”，即“m =±时，AOB 的面积有最大值，且最大值为 点评思路点睛：求解椭圆中AOB 的面积问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式，求出弦长，再利用点到直线的距离求出高，即可求出结果.。

一、选择题（共8小题）.1．设集合A ＝{x |（x ﹣7）（x +12）＜0}，B ＝{x |x +6＞0}，则A ∩B ＝（）A ．{x |﹣6＜x ＜12}B ．{x |﹣6＜x ＜7}C ．{x |x ＞﹣12}D ．{x |6＜x ＜7}2．“四边形ABCD 是菱形”是“四边形ABCD 的对角线互相垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．双曲线x 2﹣4y 2＝﹣8的渐近线方程为（）A ．y ＝±2xB ．C ．D ．4．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子•天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a 1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a 2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a 5尺，则＝（）A ．18B ．20C ．22D ．245．已知抛物线C 的焦点到准线的距离大于2，则C 的方程可能为（）A ．y 2＝4xB ．y 2＝﹣3xC ．x 2＝6yD ．y ＝﹣8x 26．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点，若O 为底面A 1B 1C 1D 1的中心，则异面直线C 1E 与AO 所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．7．P为椭圆上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹方程为（）A ．（x +2）2+y 2＝34B ．（x +2）2+y 2＝68C．（x﹣2）2+y2＝34D．（x﹣2）2+y2＝688．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°．已知小车的速度是20km/h，且，则此山的高PO＝（）A．1km B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．设命题p：∀n∈N，6n+7为质数，则（）A．￢p为假命题B．￢p：∃n∈N，6n+7不是质数C．￢p为真命题D．￢p：∀n∈N，6n+7不是质数10．设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a1＝2，a3＝8，则（）A．a5＝12B．公差d＝3C．S2n＝n（6n+1）D．数列{}的前n项和为11．已知a＞b＞0，且a+3b＝1，则（）A．ab的最大值为B．ab的最小值为C．的最小值为16D．a2+15b2的最小值为12．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P为Ω上一点，且P不在坐标轴上，直线AP与直线y＝﹣3交于点C，直线BP与直线y＝﹣3交于点D．设直线AP 的斜率为k，则满足|CD|＝36的k的值可能为（）A．1B．C．D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．设向量，，，则实数m＝．14．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的离心率为．15．在△ABC中，若，，AC＝2，则AB＝．16．已知点P（m，n）是抛物线x2＝﹣8y上一动点，则的最小值为．四、解答题．本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤．17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，sin C＝2sin B．（1）求cos A；（2）若△ABC的周长为，求△ABC的面积．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝AA1＝2BC，E，F分别为侧棱BB1，CC1中点．（1）证明：BF∥平面A1C1E．（2）求B1C与平面A1C1E所成角的正弦值．19．已知数列{a n}的首项为4．（1）若数列是等差数列，且公差为2，求{a n}的通项公式．（2）在①a3﹣a2＝48且a2＞0，②a3＝64且a4＞0，③a2021＝16a2a2017这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题，若{a n}是等比数列，______，求数列{（3n﹣1）a n}的前n项和S n．20．如图，平面ABCDE⊥平面CEFG，四边形CEFG为正方形，点B在正方形ACDE的外部，且AB＝BC＝，AC＝4．（1）证明：AD⊥CF．（2）求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F．（1）求C的方程，并求其准线l的方程；（2）如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），直线OA与准线l交于点N．过点A作l的垂线，垂足为M．证明：y1y2为定值，且四边形AMNB为梯形．22．已知椭圆的离心率为，且焦距为8．（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．17.解：（1）因为，所以．（2）因为sin C＝2sin B，所以c＝2b．由余弦定理得，则．因为△ABC的周长为，所以，解得b＝2．所以△ABC的面积为．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝AA1＝2BC，E，F分别为侧棱BB1，CC1中点．（1）证明：BF∥平面A1C1E．（2）求B1C与平面A1C1E所成角的正弦值．解：（1）证明：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为侧棱BB1，CC1中点．∴BE C1F，∴四边形BEC1F是平行四边形，∴BF∥EC1，∵BF⊄平面A1C1E，EC1⊂平面A1C1E，∴BF∥平面A1C1E．（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝AA1＝2BC，E，F分别为侧棱BB1，CC1中点．∴以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设AC＝AA1＝2BC＝2，则B1（0，1，2），C（0，0，0），A1（2，0，2），C1（0，0，2），E（0，1，1），＝（0，﹣1，﹣2），＝（2，0，0），＝（0，1，﹣1），设平面A1C1E的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，1），设B1C与平面A1C1E所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴B1C与平面A1C1E所成角的正弦值为．19．已知数列{a n}的首项为4．（1）若数列是等差数列，且公差为2，求{a n}的通项公式．（2）在①a3﹣a2＝48且a2＞0，②a3＝64且a4＞0，③a2021＝16a2a2017这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题，若{a n}是等比数列，______，求数列{（3n﹣1）a n}的前n项和S n．解：（1）数列是等差数列，且公差为2，首项为4，所以，整理得．（2）选①：a3﹣a2＝48且a2＞0，{a n}是等比数列，设公比为q，由于首项为4，则由a3﹣a2＝48，得q＝4，所以，选②：由于首项为4，且a3＝64，{a n}是等比数列，所以q＝±4，且a4＞0，所以，选③：由于数列，{a n}的首项为4，且满足a2021＝16a2a2017，解得q＝4，所以，设，则①，所以4②，①﹣②得﹣3，所以．20．如图，平面ABCDE⊥平面CEFG，四边形CEFG为正方形，点B在正方形ACDE的外部，且AB＝BC＝，AC＝4．（1）证明：AD⊥CF．（2）求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值．解：（1）证明：∵四边形ACDE为正方形，∴AD⊥CE，∵平面ABCDE⊥平面CEFG，平面ABCDE∩平面CEFG＝CE，∴AD⊥平面FECG．又CF⊂平面FECG，∴AD⊥CF；（2）∵四边形CEFG为正方形，∴CG⊥CE，∵平面ABCDE⊥平面CEFG，平面ABCDE∩平面CEFG＝CE，∴CG⊥平面ABCDE．故EA，ED，EF两两垂直，所以以E为原点建立空间直角坐标系，∵AB＝BC＝，AC＝4，∴B到AC的距离为1．∴B（5，2，0），F（0，0，4），G（4，4，4），则，，设面BFG的法向量为，由，可得＝（4，﹣4，3）又平面ABCDE的法向量为，cos＝＝∴平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值为．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F．（1）求C的方程，并求其准线l的方程；（2）如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），直线OA与准线l交于点N．过点A作l的垂线，垂足为M．证明：y1y2为定值，且四边形AMNB为梯形．解：（1）因为双曲线的右焦点为（2，0），所以F（2，0），则，即p＝4，故C的方程为y2＝8x，其准线l的方程为x＝﹣2．（2）证明：由题意可知，直线AB过点F且斜率存在，设其方程为y＝k（x﹣2）（k≠0），联立，整理得ky2﹣8y﹣16k＝0，所以△＝64+64k2＞0恒成立，所以，故y1⋅y2为定值．因为点N在准线l上，设点N为（﹣2，m），则由k OA＝k ON，可得．又，所以．因此BN∥x轴∥AM，易知，x1≠x2，|AM|≠|BN，故四边形AMNB为梯形．22．已知椭圆的离心率为，且焦距为8．（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．解：（1）依题意可知，解得a＝2，b＝2，c＝4故C的方程为．（2）依题意可设直线l的方程为，联立，整理得，则△＝300m2﹣64（5m2﹣20）＞0，解得﹣8＜m＜8．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，原点到直线l的距离，则△AOB的面积，当且仅当m2＝32，即时，△AOB的面积有最大值，且最大值为2．。

广东省江门市2020-2021学年高二上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．i 是虚数单位，34i -在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．归纳法 3．、、A B C 是ABC ∆的内角，,,A B B C C A αβγ=+=+=+，则,,αβγ一定A ．都大于23πB ．都不大于23πC ．都小于23πD ．有一个不小于23π 4．抛物线2y x =与2x y =所围图形的面积S =A ．14B ．13C ．12D ．15．从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，事件A 表示“取到的两数之和为偶数”，事件B 表示“取到的较大的数为奇数”，则P(|)B A =A ．34B ．25C ．14D ．126．下列推理过程，属于演绎推理的是A ．两直线平行同旁内角互补，如果,AB ∠∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ︒∠∠=+B ．高二（1）班55人，（2）班54人，（3）班52人，由此得高二所有班人数都超过50C ．由“三角形两边之和大于第三边”，推测“四面体四条棱之和大于另外两条棱之和”D ．由111111,(2)2n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭归纳得数列{}n a 的通项1n a = 7．10(1)x -的展开式的第6项的系数是A ．610C -B ．610C C ．510C -D ．510C 8．下列关于残差图的描述错误的是 （ ）A ．残差图的纵坐标只能是残差.B ．残差图的横坐标可以是编号、解释变量和预报变量.C ．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小.D ．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小.9．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 （ ）A ．144种B ．72种C ．64种D ．84种10．已知随机变量1~6,,D(21)2X B X ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A ．9 B ．6 C ．4 D ．311．若52345012345(2x a a x a x a x a x a x =+++++，则()()22024135a a a a a a ++-++= A ．-1 B ．1 C ．0 D ．212．函数()f x 在定义域R 内的导函数为()'f x ，若4()(),(2),(1)f x f x a e f b ef '>=-=，(2)c f =，A ．a c b >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c b a >>二、填空题13．计算：812712A A =________. 14．某校期末测试理科数学成绩()2~N 90,ξσ，统计结果显示(60120)0.8P ξ<<=，若学校理科学生共700人，则本次测试成绩高于120分的学生人数为________.15．某汽车在公路直线行驶，刹车后的速度()408v t t =-（单位：/m s ），则该汽车到停车的位移是________.16．观察下图所示“三角数阵”，该数阵最后一行各数之和为________.三、解答题17．ABCD 是复平面内的平行四边形，、、A B C 三点对应的复数分别是132i i i +-+、、，其中，i 是虚数单位.（Ⅰ）求点D 对应的复数；（Ⅱ）求四边形ABCD 的周长.18．在数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =-，满足12n n nS a S ++=（n ≥2）． （Ⅰ）求1S ，2S ，3S 并猜想n S 表达式；（Ⅱ）试用数学归纳法证明你的猜想．19．一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了6组观测数据如下表：（I ）以温度为23、25、27、29的数据分别建立：①y 和x 之间线性回归方程11ˆyb x a =+，②z 和y 之间线性回归方程22ˆzb x a =+； （Ⅱ）若以（Ⅰ）所得回归方程预测，得到温度为21、32的数据如下：试以上表数据说明①②两个模型，哪个拟合的效果更好.参考数据：()()234523451130.5, 3.20344y y y y y z z z z z =+++==+++=()()()()5522168, 5.512i i i ii i x x y y x x z z ==--=--=∑∑ 1.825 4.8576.2,128.6e e ≈≈20．某商品促销活动设计了一个摸奖游戏：在一个口袋中装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同，顾客一次从中摸出3个球，若3个都是白球则无奖励，若有1个红球则奖励10元购物券，若有2个红球则奖励20元购物券，若3个都是红球则奖励30元购物券.（Ⅰ）求中奖的概率；（Ⅱ）求顾客摸奖一次获得购物券奖励的平均值.21．已知函数2()(12)ln ,R f x ax a x x a =+--∈是常数（Ⅰ）求证函数()y f x =的图象经过一个定点P ，并求函数()y f x =在点P 处的切线； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性.22．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生，数据如下：（Ⅰ）画出性别与主修统计专业列联表；（Ⅱ）有多大把握认为主修统计专业与性别有关？ 参考数据与公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.23．ABC ∆内角、、A B C 的对边分别是a b c 、、.（1）若a b c 、、的成等差数列，求证：1322a b <<；（Ⅱ）若a b c 、、的倒数成等差数列，求证：2πB.参考答案1．D【分析】先找到复数对应的点，再判断点位于第几象限得解.【详解】由题得复数34i -对应的点为（3，-4）,由于点在第四象限，所以复数对应的点位于第四象限.故选D【点睛】本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．C【分析】根据反证法的使用情景分析得解.【详解】对于某些正面证明比较困难，对于含有否定概念的命题的证明，一般采用反证法证明.. 故选C【点睛】本题主要考查反证法证明命题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．D【分析】假设,,αβγ都小于23π，利用反证法分析证明得解. 【详解】假设,,αβγ都小于23π，则222,,333A B B C A C πππ+<+<+<, 所以2323A B B C A C ππ+++++<⨯=, 所以A B C π++<.这与A B C π++=矛盾，所以假设不成立，所以,,αβγ有一个不小于23π. 故选D【点睛】 本题主要考查反证法证明，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于基础题.4．B【分析】由题得抛物线2y x =与2x y =所围图形的面积S =120)x dx ⎰，再利用定积分计算得解. 【详解】联立得22=x y y x⎧⎨=⎩，解之得01=01x x y y ==⎧⎧⎨⎨=⎩⎩或. 所以两曲线的交点为（0,0）和（1,1）.由题得抛物线2y x =与2x y =所围图形的面积S =120)x dx ⎰， 所以3312021211()|33333S x x =-=-=. 故选：B【点睛】本题主要考查利用定积分求图形的面积，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于基础题.5．A【分析】用列举法求出事件A 为“取到的两个数的和为偶数”，事件B 为“取到的较大的数为奇数”所包含的基本事件的个数，求出n （A ），()n AB ，再根据条件概率公式，即可得到结论．【详解】事件A =“取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：(1,3)、(1,5)、(3,5)、(2,4)， n ∴（A ）=4，事件B =“取到的较大的数为奇数”所包含的基本事件有(1,3)、(1,5)、(3,5)，()3n AB ∴=()3(|)()4n AB P B A n A ∴==． 故选A ．【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 6．A【分析】利用演绎推理、类比推理和归纳推理的概念逐一判断每一个选项得解.【详解】对于选项A,符合演绎推理的概念，从一般性的结论到特殊对象的结论；对于选项B,该推理是归纳推理，是从特殊到一般的推理，不是演绎推理；对于选项C,该推理是类比推理，所以该选项不是演绎推理；对于选项D,该推理是归纳推理，所以该选项不是演绎推理.故选：A【点睛】本题主要考查演绎推理、类比推理和归纳推理的概念，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题.7．C【分析】先写出二项式展开式的通项，通过通项求解.【详解】由题得10110(1)(0,1,2,10)r r r r T C x r -+=-=，令r=5,所以5555561010T C xC x ==-（-1)， 所以10(1)x -的展开式的第6项的系数是510C -.故选：C【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.8．D【解析】试题分析：根据残差图的定义和图像即可得到结论.可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，则对应相关指数越大，故选项D错误.故选D.考点：散点图.9．D【分析】根据题意，分3步进行分析：①先给最上面“金”着色，有4种结果，②再给“榜”着色，有3种结果，③给“题”和“名”着色，分情况讨论其着色方法数目，最后根据分步计数原理计算．【详解】根据题意，分3步进行分析：①先给最上面“金”着色，有4种结果，②再给“榜”着色，有3种结果，③给“题”着色，若其与“榜”同色，则给“名”着色，有3种结果；若其与“榜”不同色，则给“榜”着色有2种结果，然后给“名”着色，有2种结果，根据分步计数原理知共有4×3×（3+2×2）=84种结果，故选D【点睛】在解决计数问题时，首先要仔细分析——需要分类还是分步，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”．10．B【分析】先求出D(X),再求D(2X+1)的值.【详解】因为随机变量1 ~6,,2 X B⎛⎫⎪⎝⎭所以113 ()6(1)222 D X=⨯⨯-=,所以3(2+1)4()462D X D X==⨯=.故选B【点睛】本题主要考查二项分布的方差的计算和方差的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 11．A 【分析】先求出012345a a a a a a +++++，再求出012345a a a a a a -+--+的值即得解. 【详解】由题得()()22024135a a a a a a ++-++=012345()a a a a a a +++++012345()a a a a a a -+-+-.令x=1得5012345()=a a a a a a +++++（，令x=-1时5012345()=2a a a a a a -+-+-（-，所以()()22024135a a a a a a ++-++=555=[(221+-=-（.故选：A 【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和差的计算问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12．D 【分析】 由题得()[]0x f x e '>，设()()xf xg x e=，得函数g(x)在R 上是增函数，再利用函数的单调性分析得解. 【详解】由题得()()0,f x f x '-> 所以()e ()e 0,xxf x f x '-> 所以()[]0x f x e '>，设()()xf xg x e =， 所以函数g(x)在R 上是增函数， 所以(2)(1)(2)g g g >>-，所以212(2)(1)(2)f f f e e e-->>， 所以c b a >>. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的运算和性质，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 13．5 【分析】直接利用排列数的公式计算即得解. 【详解】由题得812712A 121165=5A 12116⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯. 故答案为5 【点睛】本题主要考查排列数的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和计算水平. 14．70 【分析】先求出(120)P ξ>,再求出本次测试成绩高于120分的学生人数. 【详解】由题得1(90120)(60120)0.42P P ξξ<<=<<=， 所以(120)P ξ>=0.5-0.4=0.1.所以本次测试成绩高于120分的学生人数为700×0.1=70. 故答案为70 【点睛】本题主要考查正态分布概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 15．100m 【分析】先求出t 的值，再利用定积分求出该汽车到停车的位移. 【详解】令40-8t=0,所以t=5.所以该汽车到停车的位移为52500408)(404)|200100100t dt t t -=-=-=⎰（.故答案为:100m. 【点睛】本题主要考查定积分求位移，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 16．102（或1024） 【分析】由题得最后一行的和为0121010101010C C C C ++++,化简即得解.【详解】由题得最后一行的和为012101010101010=2C C C C ++++.故答案为102（或1024） 【点睛】本题主要考查杨辉三角，考查二项式定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．（Ⅰ）35i +（Ⅱ）+【分析】（Ⅰ）设点D 对应的复数为i(,)z a b a b R =+∈，利用AB DC =求出点D 对应的复数. （Ⅱ） 先求出||||AB BC 、,即得四边形ABCD 的周长. 【详解】（Ⅰ）设点D 对应的复数为i(,)z a b a b R =+∈ 则(1,4)AB =--，(2,1)DC a b =-- 因为ABCD 是平行四边形，所以(1,4)AB =-- 所以21,14a b -=--=- 解得3,5a b ==，所以点D 对应的复数为35i +.（Ⅱ）||(AB =-=2||2BC==四边形ABCD 的周长为2(||||)AB BC +=【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算、关系和模的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.属于基础题. 18．（Ⅰ）123S =-，234S =-，345S =-，12n n S n +=-+（Ⅱ）见解析 【分析】（Ⅰ）利用1(2)n n n a S S n -=-≥，化简整理得112n n S S -=-+（n ≥2），依次代入数据，即可求解．（Ⅱ）根据数学归纳法步骤证明即可． 【详解】 （Ⅰ）由112n n n n n S a S S S -++==-，得112n n S S -=-+（n ≥2）． ∵ 123a =-， ∴ 123S =-， 2111322423S S =-=-=-+-+，3211432524S S =-=-=-+-+， 猜想：12n n S n +=-+．（Ⅱ）证明：① 当1n =时，左边＝1123S a ==-，右边＝11122123n n ++-=-=-++，猜想成立．② 假设当n k =（*k N ∈）时猜想成立，即12k k S k +=-+， 那么，()()()()11111221212231222k k k k k S k S k k k k k +++++=-=-=-=-=-++-++++++-++， 即当1n k =+时猜想也成立．根据①②，可知猜想对任何*n N ∈都成立． 【点睛】本题考查数列中n a 和n S 的关系，利用数学归纳法证明猜想的公式，考查计算化简，推理证明的能力，属基础题．19．（Ⅰ）①ˆ8.4187.9yx =-，②ˆ0.2756 3.9626z x =-（Ⅱ）模型②的拟合效果更好，详见解析 【分析】（Ⅰ）利用最小二乘法原理求解即可. （Ⅱ）求出两种模型的随机误差，再比较它们的大小即得解. 【详解】（Ⅰ）①()()()5215228.4iii ii x x y y b x x ==--==-∑∑，11187.9a y b x =-=-，所以ˆ8.4187.9yx =- ②()()()5225220.2756iii ii x x zz b x x ==--==-∑∑，22 3.9626a z b x =-=，所以ˆ0.2756 3.9626zx =- （Ⅱ）21x =时，模型①预测的产卵数的随机误差为7(11.5)18.5--=，模型②预测的产卵数的随机误差为7 6.20.8-=.32x =时，模型①预测的产卵数的随机误差为11580.934.1-=，模型②预测的产卵数的随机误差为115128.613.6-=-， 因为22220.818.5,(13.6)34.1<-< 所以，模型②的拟合效果更好. 【点睛】本题主要考查利用最小二乘法求回归方程，考查模型拟合效果的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．（Ⅰ）56（Ⅱ）顾客摸奖一次获得购物券奖励的平均值为12元 【分析】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式求中奖的概率. （Ⅱ）设顾客摸奖一次获得购物券奖励X 元，则0,10,20,30X =，再求出对应的概率，再求出顾客摸奖一次获得购物券奖励的平均值. 【详解】（Ⅰ）中奖的概率36310516C P C =-=（Ⅱ）顾客摸奖一次获得购物券奖励X 元，则0,10,20,30X =312214646333101010113(0),(10),(20)6210s C C C C C P X P X P X C C C =========343101(30)30C P X C ===所以X 的分布列为1131010203012621030EX =⨯+⨯+⨯+⨯=答：顾客摸奖一次获得购物券奖励的平均值为12元. 【点睛】本题主要考查概率的计算，考查分布列和均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．（Ⅰ）过定点(2,2ln 2)P -，证明见解析，切线为1241ln 22y a x a ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）详见解析 【分析】（Ⅰ）先化简()2()2(ln )f x a x x x x =-+-，令220x x -=即得曲线经过的定点坐标.再利用导数的几何意义求函数()y f x =在点P 处的切线. （Ⅱ）由题得1()(1)f x x x'=- (21)ax +，再对a 分类讨论，求函数的单调性.【详解】（Ⅰ）()22()(12)ln 2(ln )f x ax a x x a x x x x =+--=-+- 由220x x -=得2,0x x ==（0x =舍去）因为(2)2ln 2f =-，所以曲线过定点(2,2ln 2)P -， 由题得1()2(12)f x ax a x '=+--，1(2)22f a '=+， 所求切线为1(2ln 2)2(2)2y a x ⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭，即1241ln 22y a x a ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）11()2(12)(1)(21)f x ax a x ax x x'=+--=-+ （1）0a ≥时，1(21)0ax x+>，由()0f x '=得11x = f x （）的单调性如下：0a <时，由()0f x '=得1211,2x x a==-（1）12a =-时，21()(1)0f x x x'=--≤且等号仅当1x =时成立，f x （）在定义域内单调递减. （2）12a <-时，120,()x x f x >>的单调性如下：（3）1a-<<时，210,()x x f x>>的单调性如下：【点睛】本题主要考查函数图像的定点问题，考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，考查函数单调性的讨论，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．（Ⅰ）列联表见解析（Ⅱ）有95%的把握认为主修统计专业与性别有关【分析】（Ⅰ）根据已知条件直接列联表. （Ⅱ）利用独立性检验求出有95%的把握认为主修统计专业与性别有关.【详解】（Ⅰ）性别与主修统计专业列联表（Ⅱ）由题得222()50(1320107)()()()()23272030n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯4.844 3.841≈>所以，有95%的把握认为主修统计专业与性别有关. 【点睛】本题主要考查列联表，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分推理能力.23．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【分析】（Ⅰ）设公差为d ，则,a b d c b d =-=+,再利用不等式的性质求证1322a b <<.（Ⅱ）依题意211b ac =+,再利用余弦定理证明cos 0B >，即证明2πB <. 【详解】（Ⅰ）设公差为d ，则,a b d c b d =-=+依题意00()()b d b d b d b b d b d b b d->⎧⎪+>⎪⎨-+>+⎪⎪++>-⎩, 解得1122b d b -<<，1322b a b d b <=-< 所以1322a b <<. （Ⅱ）依题意211b a c=+ 由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=其中，2222222ac a c b a c a c ⎛⎫+-=+- ⎪+⎝⎭由基本不等式，2222220ac a c a c ac ac a c ⎛⎫+≥+-≥-=> ⎪+⎝⎭cos 0B >，且0B π<<，所以2πB <. 【点睛】本题主要考查不等式的证明，考查等差数列的性质和余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2020-2021学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试数学（文）试题(内容： 必修3，选修1－1，选修1－2，选修4－4)时量：120分钟 满分：100 分(必考试卷Ⅰ)，50分(必考试卷Ⅱ)必考试卷Ⅰ(满分100分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数－i ＋1i＝A ．－2iB .12i C ．0 D ．2i2．下列选项叙述错误的是A ．命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”B ．若命题p ：x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0，则綈p ：x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0C ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件3．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式：y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件4．“k >4”是“方程x 2k －4＋y 210－k＝1表示焦点在x 轴上的双曲线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为6．在△ABC 的边AB 上随机取一点P ，记△CAP 和△CBP 的面积分别为S 1和S 2，则S 1>2S 2的概率是 A.12 B.13 C.14 D.157．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是A ．870B ．30C ．6D ．38．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得的数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为A ．5x 2－4y 25＝1 B.x 25－y24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－5y 24＝1 10．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋2x ＋1，若f (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(－∞，－22)D ．(－∞，－22] 答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 答 案11．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________． 12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 000](元)月收入段应抽出________人．13．对于定义域为R 的函数f (x )，若函数f (x )在()－∞，x 0和()x 0，＋∞上均有零点，则称x 0为函数f (x )的一个“给力点”．现给出下列四个函数：①f ()x ＝3||x －1＋12；②f ()x ＝2＋lg ||x －1；③f ()x ＝x 33－x －1；④f ()x ＝x 2＋ax －1(a ∈R )．则存在“给力点”的函数是________．(填序号)三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．(本小题满分11分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ－6cos θ＋2sin θ＋1ρ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy 中， 直线l 经过点P(3，3)，倾斜角α＝π3.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； (2)设l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|的值．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名小学生进行了问卷调查得到如下列联表：(平均每天喝500 ml已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为.15(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；(3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(其中有2名女生)，抽取2人参加竞技运动，则正好抽到一男一女的概率是多少？(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t(t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px(p>0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交抛物线C 于点H.(1)求|OH||ON|；(2)除H 以外，直线MH 与抛物线C 是否有其他公共点？说明理由．必考试卷Ⅱ(满分50分)一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．17．已知函数f(x)＝x 2＋x sin x ＋cos x 的图象与直线y ＝b 有两个不同交点，则b 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(1，＋∞)二、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．18．如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．19．把正整数排列成如图甲所示三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示三角形数阵，设a i j 为图乙三角形数阵中第i 行第j 个数，若a mn ＝2 017，则实数对(m ，n)为____________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．(本小题满分10分)设f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0，6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．21.(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点且||OA ＝||OF ＝2(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆的方程；(2)若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于点P ，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．22.(本小题满分13分)已知函数f ()x ＝12x 2，g ()x ＝a ln x .(1)设h ()x ＝f ()x ＋g ()x ，若对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2>0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若在[]1，e 上存在一点x 0，使得f ′()x 0＋1f ′()x 0<g ()x 0－g ′()x 0成立，求实数a 的取值范围．2020-2021学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试数学（文）试题参考答案必考试卷Ⅰ一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.5.C 【解析】根据f ′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A 、D ；从适合f ′(x)＝0的点可以排除B .10．C 【解析】f ′(x)＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x)＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a<⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上． 11．三角形三个内角都大于60° 12．2513．②④ 【解析】对于①， f ()x ＝3||x －1＋12>0，不存在“给力点”；对于②，取x 0＝1，f ()x 在(－1，1)上有零点x ＝99100，在(1，＋∞)上有零点x ＝101100，所以f ()x 存在“给力点”为1；对于③，f ′(x)＝(x ＋1)(x －1)，易知f(x)只有一个零点．对于④，f(x)＝x 2＋ax －1(a ∈R )定义域为R ，因为判别式a 2＋4>0，则一定存在“给力点”．综上可得，②④正确．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．14．【解析】(1)曲线C 化为：ρ2－6ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，再化为直角坐标方程为 x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0，化为标准方程是(x －3)2＋(y ＋1)2＝9，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cosπ3y ＝3＋t sin π3.(t 为参数)(5分)(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得：t 2＋43t ＋7＝0，Δ＝(43)2－4×7＝20>0，则t 1＋t 2＝－43，t 1·t 2＝7，所以|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1·t 2＝48－28＝2 5.(11分)15．【解析】(1)设常喝碳酸饮料中肥胖的学生有x 人，由x ＋230＝415，即得x ＝6.(2分)补充列联表如下：(5分)(2)由已知数据可求得：K 2＝30（6×18－2×4）210×20×8×22≈8.523>7.879，因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．(8分)(3)设常喝碳酸饮料的肥胖者中男生为A 、B 、C 、D ，女生为E 、F ，则任取两人有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种基本事件．设抽中一男一女为事件A ，事件A 含有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF, DE ，DF 这8个基本事件．故抽出一男一女的概率是p ＝815.(12分)16．【解析】(1)由已知得M(0，t)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .(2分) 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，(3分) 所以ON 的方程为y ＝ptx ，(4分)代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p，(5分)因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .(6分)所以N 为OH 的中点，即|OH||ON|＝2.(8分)(2)直线MH 与抛物线C 除H 以外没有其他公共点．(9分) 直线MH 的方程为y －t ＝p2tx ，(10分)即x ＝2t p(y －t)．代入y 2＝2px 得：y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，(11分)即直线MH 与抛物线C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与抛物线C 没有其他公共点．(12分)必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．17．D 【解析】f ′(x)＝x(2＋cos x)，令f ′(x)＝0，得x ＝0.∴当x>0时，f ′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增．当x<0时，f ′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．∴f(x)的最小值为f(0)＝1.∵函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b>1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，b 的取值范围是(1，＋∞)．二、填空题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．18.53【解析】连接PF 1，QO ，显然|OF 1|＝|OF 2|，由已知点Q 为线段PF 2的中点，则PF 1∥QO ，故|PF 1|＝2b ，又根据椭圆的定义得：|PF 2|＝2a －2b ，在直角三角形PF 2F 1中，(2c)2＝(2b)2＋(2a －2b)2b a ＝23e＝53. 19．(45，41) 【解析】分析乙图，可得(1)第k 行有k 个数，则前k 行共有k （k ＋1）2个数；(2)第k行最后一个数为k 2；(3)每一行的第一个数字都比上一行的最后一个数字大1；(4)从第二行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列．又442＝1 936，452＝2 025，则442<2 017<452，则2 017出现在第45行，第45行第1个数是442＋1＝1 937，这行中第2 017－1 9372＋1＝41个数为2 017，前44行共有44×452＝990个数，则2 017为第990＋41＝1 031个数，则实数对(m ，n)为(45，41)．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．【解析】(1)因为f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x)＝2a(x －5)＋6x .令x ＝1，得f(1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a)(x －1)， 由点(0，6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(4分)(2)由(1)知，f(x)＝12(x －5)2＋6ln x(x>0)，f ′(x)＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）x .令f ′(x)＝0，解得x ＝2或3.(6分)当0<x<2或x>3时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数； 当2<x<3时，f ′(x)<0，故f(x)在(2，3)上为减函数．(8分)由此可知f(x)在x ＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.综上，f(x)的单调增区间为(0，2)，(3，＋∞)，单调减区间为(2，3)，f(x)的极大值为92＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.(10分)21．【解析】(1)由已知：b ＝c ＝2，∴a 2＝4，故所求椭圆方程为x 24＋y22＝1.(4分)(2)由(1)知，C(－2，0)，D(2，0)，由题意可设CM ：y ＝k(x ＋2)，P(x 1，y 1)，M(2，4k)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1y ＝k （x ＋2），整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0.(6分)方程显然有两个解，由韦达定理：x 1x 2＝8k 2－41＋2k 2，得x 1＝2－4k 21＋2k 2，y 1＝4k 1＋2k2.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2，设Q(x 0，0)，(8分)若存在满足题设的Q 点，则MQ ⊥DP ，由MQ →·DP →＝0， 整理，可得8k 2x 01＋2k 2＝0恒成立，所以x 0＝0.(12分)故存在定点Q(0，0)满足题设要求．22．【解析】(1)h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋a ln x ，因为对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2>0，设x 1>x 2，则h(x 1)－h(x 2)>0，问题等价于函数h ()x ＝f ()x ＋g ()x ＝12x 2＋a ln x 在()0，＋∞上为增函数．(2分)所以h ′(x)＝x ＋a x ≥0在()0，＋∞上恒成立，即a ≥－x 2在()0，＋∞上恒成立．∵－x 2<0，所以a ≥0，即实数a 的取值范围是[0，＋∞)．(6分)(2)不等式f ′()x 0＋1f ′()x 0<g ()x 0－g ′()x 0等价于x 0＋1x 0<a ln x 0－a x 0，整理得x 0－a ln x 0＋1＋ax 0<0.设m ()x ＝x －a ln x ＋1＋ax ，由题意知，在[]1，e 上存在一点x 0，使得m ()x 0<0.(7分)由m ′()x ＝1－a x －1＋a x 2＝x 2－ax －（1＋a ）x 2＝（x －1－a ）（x ＋1）x 2. 因为x>0，所以x ＋1>0，即令m ′()x ＝0，得x ＝1＋a.①当1＋a ≤1，即a ≤0时，m ()x 在[]1，e 上单调递增， 只需m ()1＝2＋a<0，解得a<－2.(9分)②当1<1＋a<e ，即0<a<e －1时，m ()x 在x ＝1＋a 处取最小值．令m ()1＋a ＝1＋a －a ln (1＋a)＋1<0，即a ＋1＋1<a ln (a ＋1)，可得a ＋1＋1a<ln (a ＋1)．考查式子t ＋1t －1<ln t ， 因为1<t<e ，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．(11分) ③ 当1＋a ≥e ，即a ≥e －1时，m ()x 在[]1，e 上单调递减，只需m ()e ＝e －a ＋1＋a e <0，解得a>e 2＋1e －1. 综上所述，实数a 的取值范围是()－∞，－2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.(13分)。

华南师大附中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．回答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷一、 单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．过点()1,2-和点()0,3的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-2．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则6a 的值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．83．若直线l 的方向向量是()3,2,1a =，平面α的法向量是()1,2,1u =--，则l 与α的位置关系是（ ）A ．l α⊥B ．//l αC ．l 与α相交但不垂直D ．//l α或l α⊂4．若直线220x y +-=为圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若232a a +=-，344a a +=，则8S =（ ）A ．80B ．85C ．90D ．956．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ） A ．3 B ．14 C ．28 D ．427．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段MF 与y 轴交于点A ，与抛物线C 交于点B ，若||1||3AB MA ==，，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知O 为坐标原点，P 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点. 延长PO ，PF 交椭圆E 于Q ，R 两点，QF FR ⊥，3QF FR =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．4A 1二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．{}n a 是等差数列B ．460a a +=C ．910a a <D ．n S 有最大值81410．已知曲线22:1C mx ny +=，则( )A ．若4m n ==，则曲线C 是圆,其半径为2B ．若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y轴上 C ．若曲线C过点(，(，则C 是双曲线 D ．若0mn =，则曲线C 不表示任何图形11．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．12144a = B ．2022a 是偶数C ．20221232020a a a a a =++++ D ．2020202420223a a a +=12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O =为坐标原点.一束平行于x 轴的光线1l 从点()(),11P m m >射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ）A ．121y y =-B ．延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线 C ．2516AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则4116m =第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．若双曲线221y x m-=的一条渐近线方程为3y x =，则实数m =___________．14．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BCA ∠=︒，M N ，分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为______.全科试题免费下载公众号高中僧课堂15．已知正项数列{}n a 前n 项和n S 满足()()12n n n a a S m m +=+∈R ，，且3510a a +=，则m =__________. 16．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点分别为,A B ，左焦点为F ，以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于,M N 两点.若四边形FAMN 是平行四边形，且平行四边形面积为96，则椭圆的长轴长为___________.四、解答题：本大题共6小题，满分52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17．（本题满分8分）在ABC 中，7cos 8A =，3c =，sin 2sinB A =且b c ≠. （1）求b 的值； （2）求ABC 的面积．18．（本题满分8分）已知数列{}n a 满足194a =-且134n n a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足30n n b na +=，求{}n b 的前n 项和为n T .19．（本题满分8分）如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点. （1）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（2）求二面角1A A D B --的正弦值.C 1120．（本题满分8分）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，且经过点(2A p ，)(0)m m >，||5AF =． （1）求p 和m 的值；（2）若点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．21．（本题满分10分）某高科技企业研制出一种型号为A 的精密数控车床，A 型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A 型车床所创造价值的第一年）.若第1年A 型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A 型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A 型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用n a （*N n ∈）表示A 型车床在第n 年创造的价值.（1）求数列{}(N )n a n *∈的通项公式n a ；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项的和，n T =nS n，企业经过成本核算，若100n T >万元，则继续使用A 型车床，否则更换A 型车床，试问该企业须在第几年年初更换A 型车床？22．（本题满分10分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，右顶点A 在圆22:3O x y +=上，且121AF AF ⋅=-.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点. ①求证：点M 与点N 的横坐标之积为定值； ②求MON ∆周长的最小值.，则2021122019a a a a =+++，同理2020122018a a a a =+++，2019122017a a a a =+++，依次类推，可得为原点，1,,CA CB CC 的方向为()1,0,2AN =-，()1,1,2BM =-，因为1430 cos,1056AN BMAN BMAN BM⋅-+<===⨯>，所成角的余弦值为30直线四边形FAMNS=椭圆长轴长故ABC 的面积34n ⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭()41n ⎫++-⎪434n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭ABC 为正三角形正三棱柱, 又AO ⊂平面，1BB BC ⊥，1OO ⊂平面1(1,2,3),(2,1,0)AB BD ∴=-=-，1(1,2,3)BA =-. 1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=,1BD BA B ⋂=，且的一个法向量为(,,)n x y z =，(1,1,3)AD =--，1(0,2,0)AA =，则10n AD n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即，得(3,0,1)n =-.）得1(1,2,3)AB =-为平面易得2364|c |o ,28s ||n AB n AB n AB ⋅-===-⋅.B 的平面角为θ所以11(4,4)AM x y =--，22(4,4)AN x y =--，又）由题意知126,,,a a a 构成首项故()*280306,N n a n n n =-∈（万元）由题意知()*78,,,7,N n a a a n n ∈构成首顶(7*17,N 2n n n -⎫∈⎪⎭730,1n n n -≤≤⎫所以，当*12,N n n ∈时，恒有则()13,0AF c =--，()23,0AF c =-，因为121AF AF ⋅=-，所以的渐近线方程为33y x , 当直线的斜率不存在时，直线的方程为=3x ，所以3,2OD MN,所以132OM ON .此时OMN 的周长为6OM ON MN，此时3M Nx x . 当直线的斜率存在时，设其方程为(0)y kx m k ，则(,0)mD k，联立2213ykx m x y，得222(13)6330k xkmx m ，由于直线l 与双曲线所以2130k 且0m ，所以22222364(13)(33)130k m k m k，22310k m --=.则22310m k ,得33k或33k . ，由33ykx m yx ，解得3333(,),(,)33333333m mm m M N k k k k ，则222333()()333333m m mOM k k k ，222333()()333333m m m ON kk k ，22222331333()()1333333333m k m m m mMN k k k k k . 又22221331133M Nm k x x k k ，为定值，所以OMN 的周长为2221111333333k OM ON MNm k k k ，当33k时，周长为22222221112212123113333313333k k k kk m mkk k k k .当33k时，周长为 22222221112212123113333313333k k k k k m m kk kk k ,因为222222212122113113121111442kk k k kkkk k k，所以当33k 时，周长大于2336.当33k时，周长大于2336.综上所述，OMN 周长的最小值为。

某某省揭阳市某某县河婆中学2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的）}3,2,1{=A ,}5,4{=B ,},,|{B b A a b a x x M ∈∈+==,则M 中元素的个数是（ ）A.3B.4C.5D.63<x p ：,31<<-x q ：,则p 是q 成立的（ ）0a b <<,则下列结论不正确的是（）A.a b ->->22a b > D.11a b> 4.已知命题:p ,x R ∃∈使23x x >；命题:(0,),tan sin 2q x x x π∀∈>,则真命题的是（ ）A.()p q ⌝∧B.()()p q ⌝∨⌝C.()p q ∧⌝D.()p q ∨⌝3x >,13y x x =+-,则y 的最小值为（ ） A.2B.3C.4 D.56.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数， 日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…． 生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄 （都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100）， 其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A.94B.95C.96D.987.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）数学试卷第一页（共四页）()2,1A 在直线10ax by +-=()0,0a b >>上,若存在满足该条件的a ,b使得不等式2122m m a b+≤+成立,则实数m 的取值X 围是（ ） A.(,4][2,)-∞-+∞ B.(,2][4,)-∞-+∞ C.(,6][4,)-∞-+∞ D.(,4][6,)-∞-+∞二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。

2020-2021学年广东省汕头市潮阳区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x2−2x>0}，B={x|x2+3x−4>0}，则(∁R A)∩B等于()A. {x|0<x≤1}B. {x|1≤x<2}C. {x|1<x≤2}D. {x|−1≤x<2}2.根据下表样本数据用最小二乘法求得线性回归方程为ŷ=−0.7x+â，则â的值为()A. 10.2B. 10.3C. 10.4D. 10.53.“m=10”是“椭圆x26+y2m=1焦距为4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，若a m+1+a m+a m−1=18，且S m=28，则m的值为()A. 7B. 8C. 14D. 165.若tanθ=2，则cos2θ=()A. 45B. −45C. 35D. −356.已知a=30.2，b=0.53，c=log30.7，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<a<cC. a>b>cD. b>a>c7.已知圆锥的底面半径为R，高为4R，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是()A. 22πR2B. 94πR2 C. 83πR2 D. 52πR28.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，蹴最早系外包皮革、内饰米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录．已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D满足AB=CD=A. 4752π B. 235π C. 4652π D. 230π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知曲线C：mx2−ny2=1()A. 若m=0，n<0，则C是两条直线B. 若m=n<0，则C是圆，其半径为√−nC. 若m>−n>0，则C是椭圆，其焦点在x轴上D. 若mn>0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√mnx10.已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是()A. 若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m//αB. 若m⊥n，m⊥α，n//β，则α⊥βC. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n⊂γ，则m⊥nD. 若m//n，α//β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等11.已知函数f(x)=cos(2x−π6)，则下列结论正确的是()A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)在(π12,7π12)单调递增C. f(x)的图象关于(−76π,0)对称D. y=f(x)+f(x+π4)的最小值为−√212.已知三棱锥P−ABC中，O为AB中点，PO⊥平面ABC，∠APB=90°，PA=PB=2，则下列说法中正确的是()A. 若O为△ABC的外心，则PC=2B. 若△ABC为等边三角形，则AP⊥BCC. 当∠ACB=90°时，PC与平面PAB所成角的范围为(0,π4]D. 当PC=4时，M为平面PBC内动点，若OM//平面PAC，则M在三角形PBC内的轨迹长度为2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若a⃗=(2,−1,1)，b⃗ =(3,−2,−2)，且(a⃗+λb⃗ )⊥b⃗ ，则实数λ=______．14.已知函数f(x)是奇函数，且满足f(x)=f(x+3)，若当x∈(0,32)时，f(x)=√x，则f(2021)=______．15.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P在C上，过点P作l的垂线交l于点E，且∠PFE=60°，|PF|=6，则抛物线C的方程为______．16.设双曲线x216−y2b2=1的左右两个焦点分别为F1、F2，P是双曲线上任意一点，过F1的直线与∠F1PF2的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲线E的方程______ ；M在曲线E上，点A(8,0)，B(5,6)，则12|AM|+|BM|的最小值______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m⃗⃗⃗ =(cos3A2,sin3A2)，n⃗=(cos A2,sin A2)，且满足|m⃗⃗⃗ +n⃗|=√3．(1)求角A的大小；(2)若a=2，且△ABC的面积为√3，求△ABC的周长．18.在数列{a n}中，S n为{a n}的前n项和，若_______，在①S n=3n+1−32；②2S n=a n+1−3，a1=3这两个条件中任选一个填入上面的横线上并解答．注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．(1)证明：{a n}为等比数列；(2)设b n=log3a n，且T n=1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯+1b n b n+1，证明：T n<1．19.已知半径为2的圆C与直线l1：4x+3y+10=0相切，且圆心在x轴非负半轴上．(1)求圆C的方程；(2)直线l2：y=√33x+2√63与圆C交于A，B两点，分别过A，B作直线l2的垂线与x轴分别交于M，N两点，求|MN|．20.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的正弦值．21. 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为80万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚4万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前4个月中的累计生产净收入g(n)是生产时间n 个月的二次函数g(n)=n 2+kn(k 是常数)，且前3个月的累计生产净收入可达309万元，从第5个月开始，每个月的生产净收入都与第4个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励120万元．(1)求前6个月的累计生产净收入g(6)的值；(2)问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入．22. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(2,1)，F 1、F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1． (1)求椭圆C 的方程；(2)过P 点的直线l 1与椭圆C 有且只有一个公共点，直线l 2平行于OP(O 为原点)，且与椭圆C 交于A 、B 两点，与直线x =2交于点M(M 介于A 、B 两点之间)． (ⅰ)当△PAB 面积最大时，求l 2的方程； (ⅱ)求证：|PA|⋅|MB|=|PB|⋅|MA|．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={x|x 2−2x >0}={x|x <0或x >2}， ∴∁R A ={x|0≤x ≤2}，又B ={x|x 2+3x −4>0}={x|x <−4或x >1}，∴(∁R A)∩B ={x|0≤x ≤2}∩{x|x <−4或x >1}={x|1<x ≤2}． 故选：C ．分别求解一元二次不等式化简A 与B ，再由补集与交集运算得答案．本题考查交、并、补集的混合运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．2.【答案】B【解析】解：x −=15×(6+8+9+10+12)=9，y −=15×(6+5+4+3+2)=4， ∵线性回归方程为y ̂=−0.7x +a ̂， ∴4=−0.7×9+a ̂，解得a ̂=10.3． 故选：B ．根据已知条件，求出x ，y 的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解． 本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：若m =10， ∵椭圆x 26+y 210=1，∴a 2=10，b 2=6，2c =2√a 2−b 2=4， 故椭圆x 26+y 2m =1焦距为4，若椭圆x 26+y 2m =1焦距为4，则c =2，故6=m +22 或m =6+22，解得m =2或m =10，综上所述，“m=10”是“椭圆x26+y2m=1焦距为4”的充分不必要条件．故选：A．根据已知条件，结合椭圆的性质，即可求解．本题主要考查椭圆的性质，考查计算能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：∵等差数列{a n}，a m+1+a m+a m−1=18，∴3a m=18，∴a m=6，∵a1=1，S m=28，∴28=(1+6)m2，∴m=8，故选：B．利用等差数列的性质求出a m=6，再利用等差数列的前n项和求解即可．本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵tanθ=2，∴cos2θ=cos2θ−sin2θ=cos2θ−sin2θcos2θ+sin2θ=1−tan2θ1+tan2θ=−35，故选：D．利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为1−tan2θ1+tan2θ，把已知条件代入运算，求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：因为a=30.2>1，b=0.53∈(0,1)，c=log30.7<0，所以a>b>c．故选：C．结合指数与对数函数的单调性确定各数范围，即可比较大小．本题主要考查了指数与对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础题．【解析】解：设内接圆柱的底面半径为r，高为ℎ，全面积为S，则4R− ℎ4R =rR，∴ℎ=4R−4r，∴S=2πrℎ+2πr2=−6πr2+8πRr=−6π(r−23R)2+83πR2∴当r=23R时，S取得最大值83πR2．故选：C．将全面积表示成底面半径的函数，利用求二次函数的性质，求出最大值．本题考查圆柱的表面积和柱体与椎体的结构特征，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示：则“鞠“的表面积为四面体A−BCD外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积，设长方体棱长为a，b，c，则有a2+b2=92，a2+c2=152，b2+c2=132，设长方体外接球半径为R，则有(2R)2=a2+b2+c2，解得4R2=4752，所以外接球的表面积为：S=4πR2=4752π．故选：A．把四面体外接球问题扩展到长方体中，求出长方体外接球半径为R，进而求出结果．本题主要考查几何体的外接球，补形方法的应用等知识，属于中等题．【解析】解：曲线C：mx2−ny2=1．若m=0，n<0，方程化为y=±√−1n，是两条直线，故A正确；若m=n<0，方程化为y2−x2=−1n，曲线C表示焦点在y轴上的等轴双曲线，故B错误；若m>−n>0，方程化为y2−1 n +x21m=1，曲线C是椭圆，其焦点在y轴上，故C错误；若mn>0，则C是双曲线，当m>0且n>0时，方程化为x21m−y21n=1，a=√1m，b=√1n，其渐近线方程为y=±ba x=±√mnx；当m<0且n<0时，方程化为y2−1n−x2−1m=1，a=√−1n ，b=√−1m，其渐近线方程为y=±abx=±√mnx，故D正确．故选：AD．若m=0，n<0，化简曲线C的方程判断A；由条件化曲线C的方程为标准方程判断B与C；分类化曲线C的方程为标准方程，求出渐近线方程判断D．本题考查圆锥曲线的几何性质，考查分类讨论思想，化圆锥曲线方程为标准方程是关键，是中档题．10.【答案】ACD【解析】解：对A中，由α⊥β，过平面α一点P作交线的垂线PA，如图所示，根据面面垂直的性质，可得PA⊥β，又由m⊥β，所以PA//m，又因为m⊄α，所以m//α，所以A正确；对于B中，若m⊥n，m⊥α，只有当n⊥β时，则α⊥β，所以B不正确；对于C中，如图所示，设α∩γ=a，β∩γ=b，在平面γ取一点P，作PA⊥a，PB⊥b，根据面面垂直的性质定理，可得PA⊥α，PB⊥β，因为α∩β=m，可得PA⊥m，PB⊥m，结合线面垂直的判定定理，可得m⊥γ，又因为n⊂γ，所以m⊥n，所以C正确；对于D中，m//n，α//β，根据直线与平面所成角的定义，可得m与α所成的角和n与β所成的角相等，所以D正确．故选：ACD．过平面α一点P作交线的垂线PA，证得PA⊥β，得到PA//m，结合线面平行的判定定理，可判定A正确；根据面面垂直的性质，可判定B不正确；在平面γ取一点P，作垂直交线的直线，得到PA⊥α，PB⊥β，进而证得m⊥γ，可判定C正确；根据直线与平面所成角的定义可判定D正确．本题考查空间线面的位置关系，考查学生的推理能力，属于中档题．11.【答案】CD【解析】解：由于函数f(x)=cos(2x−π6)的最小正周期为2π2=π，故A错误；在(π12,7π12)上，2x−π6∈(0,π)，函数f(x)没有单调性，故B错误；令x=−7π6，求得f(x)=−1，为最小值，故(x)的图象关于(−76π,0)对称，故C正确；y=f(x)+f(x+π4)=cos(2x−π6)+cos(2x+π2−π6)=cos2x×√32+sin2x×12+(cos2x×12−sin2x×√32)=1+√32cos2x+1−√32sin2x，故它的最小值为−√(1+√32)2+(1−√32)2=−√2，故D正确，故选：CD．由题意利用余弦函数的图象和性质，三角恒等变换，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查余弦函数的图象和性质，三角恒等变换，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：O为△ABC的外心，可得OA=OB=OC=√2，PO⊥平面ABC，可得PO⊥OC，即有PC=√PO2+OC2=2，故A正确，若△ABC为等边三角形，若AP⊥BC，又AP⊥PB，可得AP⊥平面PBC，即AP⊥PC，由PO⊥OC可得PC=√PO2+OC2=√2+6=2√2=AC，矛盾，故B错误，若∠ACB=90°时，设PC与平面PAB所成角为θ，可得OC=OA=OB=√2，PC=2，设C到平面PAB的距离为d，由V C−PAB=V P−ABC，可得13d⋅12⋅2⋅2=13⋅√2⋅12AC⋅BC，即有AC⋅BC=2√2d≤AC2+BC22=4，当且仅当AC=BC=2时，取等号，可得d的最大值为√2，sinθ=d2≤√22，即有θ的范围为(0,π4]，故C正确，取BC的中点N，PB的中点K，连接OK，ON，KN，由中位线定理可得ON//AC，OK//PA，可得平面OKN//平面PAC，可得M在线段KN上，而KN=12PC=2，可得D正确，故选：ACD．由线面垂直的性质，结合勾股定理可判断A是否正确．由线面垂直的判断和性质可判断B错误，由线面角的定义和转化为三棱锥的体积，求得C到平面PAB的距离的范围，可判断C正确，由免检平行的性质定理可得线面平行，可得D正确．本题考查空间线面垂直和线面与面面平行的判断和性质，线面角的求法，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．13.【答案】−617【解析】解：a⃗=(2,−1,1)，b⃗ =(3,−2,−2)，∴a⃗+λb⃗ =(2+3λ,−1−2λ,1−2λ)，∵(a⃗+λb⃗ )⊥b⃗ ，∴(a⃗+λb⃗ )⋅b⃗ =3(2+3λ)−2(−1−2λ)−2(1−2λ)=0，解得实数λ=−6．17．故答案为：−617求出a⃗+λb⃗ ，由(a⃗+λb⃗ )⊥b⃗ ，能求出实数λ．本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】−1【解析】解：f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+3)=f(x)，即f(x)是周期为3的周期函数，则f(2021)=f(337×6−1)=f(−1)=−f(1)=−√1=−1，故答案为：−1．先求出函数是周期为3的周期函数，再利用函数的周期性和奇函数的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据条件求出函数的周期性，利用周期性进行转化是解决本题的关键，是基础题．15.【答案】x2=6y【解析】解：设准线与x轴的交点为H，准线为x=−p2，焦点为(p2,0)，由抛物线的定义知|PE|=|PF|，又∠PFE=60°，所以△PFE为等边三角形，且∠FEH=30°，所以|EF|=|PF|=6，则|HF|=12|EF|=3，又因为|HF|=p，因此p=3，故抛物线C的方程为x2=6y；故答案为：x2=6y．根据抛物线的定义可得△PFE为等边三角形，从而求得|EF|的长度，进而在Rt△FEH中求出|HF|的长度，进而求出p的值，从而求出结果．本题主要考查抛物线方程的求解，属于基础题．16.【答案】x2+y2=163√5【解析】解：双曲线x216−y2b2=1的a=4，延长F1Q与PF2的延长线交于H，连接OQ，由PQ为∠F1PF2的平分线，且为F1H边上的高，可得△PF1H 为等腰三角形，则|PF1|=|PH|，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a，即有|F2H|=|PH|−|PF2|=|PF1|−|PF2|=2a，由OQ为△F1F2H的中位线，可得|OQ|=12|HF2|=a=4，可得Q的轨迹方程为圆x2+y2=16；设M(x,y)，设T(a,b)，且12|AM|=|TM|，可得√(x−8)2+y2=2√(x−a)2+(y−b)2，平方可得x2+y2−16x+64=4(x2+y2−2ax−2by+a2+b2)，化为x2+y2=8a−163x+8b3y+64−4a2−4b23，由于M在圆x2+y2=16上，可得8a−163=0，8b3=0，64−4a2−4b23=16，解得a=2，b=0，则T(2,0)，连接TB，可得T，M，B三点共线，即有12|AM|+|BM|=|TM|+|BM|取得最小值|TB|=√(2−5)2+62=3√5，故答案为：x2+y2=16，3√5．运用双曲线的定义和等腰三角形的性质，以及圆的定义，可得Q的轨迹方程；可设M(x,y)，设T(a,b)，且12|AM|=|TM|，结合M的轨迹方程，求得a，b，结合三点共线取得最值，可得最小值．本题考查轨迹方程的求法，以及最小值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的定义以及数形结合思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)由|m⃗⃗⃗ +n⃗|=√3得m⃗⃗⃗ 2+n⃗2+2m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=3，即1+1+2(cos3A2cos A2+sin3A2sin A2)=3，∴cosA=12，又∵0<A<π，∴A=π3．(2)∵S△ABC=12bcsinA=√3且A=π3，∴bc=4，又a=2，由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc =(b+c)2−2bc−a22bc，∴12=(b+c)2−8−48，即b+c=4，∴△ABC 的周长为：a +b +c =6．【解析】(1)根据向量长度建立方程关系，利用两角和差的余弦公式进行转化求解即可． (2)根据三角形的面积公式建立方程，利用余弦定理进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，利用向量长度公式以及两角和差的余弦公式，以及余弦定理建立方程是解决本题的关键．18.【答案】证明：(1)选条件①，在S n =3n+1−32，n ∈N ∗中，令n =1，得S 1=a 1=3......(1分)当n ≥2时，a n =S n −S n−1=3n+1−32−3n −32=3n ......(4分)a 1=3符合上式，所以a n =3n ......(5分) 所以a n+1a n=3，n ∈N ∗，∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列.......(6分)选条件②，在2S n =a n+1−3，n ∈N ∗中，令n =1，得2S 1=a 2−3，即a 2=2a 1+3=9......(1分)当n ≥2时，由 {2S n =a n+1−32S n−1=a n −3，得到2a n =a n+1−a n ，则a n+1=3a n ......(4分) 又a 2=3a 1，所以a n+1a n=3，n ∈N ∗......(5分)∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列.......(6分) (2)∵b n =n ， ∴1b n b n+1=1n(n+1)=1n −1n+1......(8分)，∴T n =(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1−1n )+(1n −1n+1)=1−1n+1.....(11分) ∴T n <1......(12分)【解析】(1)选①，根据前n 项和的表达式，构造新等式，即可求解通项公式，进而得到结论，选②，直接根据通项公式和前n 项和的关系可得递推关系，进而得到结论，本题考查等比数列的通项公式以及数列的裂项求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)设圆心为(m,0)，∵圆C 与直线l 1相切，令圆心C 到直线l 1的距离为d 1， 则d 1=|4m+10|√42+32=|4m+10|5=2．∴|4m +10|=10，又圆心在x 轴上且在直线l 1的右上方时，4m +3×0+10>0，∴4m +10=10，即m =0， ∴C(0,0)，圆C 的方程为x 2+y 2=4；(2)如图，过M 作l 2的平行线与BN 交于点E ，可得|ME|=|AB|，∵直线l 2的斜率为√33，∴其倾斜角为π6，得∠EMN =π6．∴|ME||MN|=cos∠EMN =√32，得|MN|=2√33|AB|．记圆C 的圆心到直线l 2：y =√33x +2√63的距离为d ， 则d =2√63√1+(√33)2=2√63×√32=√2．由垂径定理，得|AB|=2√r 2−d 2=2√4−2=2√2． ∴|MN|=2√33|AB|=2√33×2√2=4√63．【解析】(1)设圆心为(m,0)，由圆C 与直线l 1相切，利用圆心C 到直线l 1的距离列式求得m ，则圆C 的方程可求；(2)过M 作l 2的平行线与BN 交于点E ，可得|ME|=|AB|，由直线方程求得倾斜角为π6，得∠EMN =π6，再由点到直线的距离公式及垂径定理求得|AB|，则|MN|可求．本题考查圆的方程的求法，直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)证明：如图，连结A 1E ，∵A 1A =A 1C ，E 是AC 中点，∴A 1E ⊥AC ，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1E ⊥平面ABC ，∴A 1E ⊥BC ， ∵A 1F//AB ，∠ABC =90°，∴BC ⊥A 1F ，∵A 1E ∩A 1F =A 1，∴BC ⊥平面A 1EF ，∴EF ⊥BC ，(2)如图，取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则四边形EGFA 1是平行四边形， ∵A 1E ⊥平面ABC ，∴A 1E ⊥EG ，∴平行四边形EGFA 1是矩形， 由(1)得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， ∴EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上，连结A 1G ，交EF 于点O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成角(或补角)， 设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，则A 1E =2√3,EG =√3， ∵O 为A 1G 的中点，∴EO =OG =A 1G 2=√152， ∴cos∠EOG =EO 2+OG 2−EG 22EO⋅OG=35，∴直线EF 与平面A 1BC 所成角的正弦值为√1−(35)2=45．【解析】(1)连结A 1E ，推导出A 1E ⊥AC ，A 1E ⊥平面ABC ，A 1E ⊥BC ，BC ⊥A 1F ，从而BC ⊥平面A 1EF ，由此能证明EF ⊥BC ，(2)取BC 中点G ，连结EG 、GF ，推导出平行四边形EGFA 1是矩形，EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上，连结A 1G ，交EF 于点O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成角(或补角)，由此能求出直线EF 与平面A 1BC 所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，直线与平面所成角的正弦值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置有关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)据题意g(3)=32+3k =309，解得k =100.∴g(n)=n 2+100n ．第4个月的净收入为g(4)−g(3)=107万元．∴g(6)=g(4)+2×107=42+400+2×107=630万元． (2)g(n)={n 2+100n,n ≤4,g(4)+(n −4)[g(4)−g(3)],n >4,即g(n)={n 2+100n,n ≤4,107n −12,n >4.，要想投资开始见效，必须且只需g(n)−500+120>80n −[4n +n(n−1)2×2]，即g(n)+n 2−77n −380>0，①当n =1，2，3，4时，n 2+100n +n 2−77n −380>0，即2n 2+23n −380>0，即n(2n +23)>380，显然不成立．②当n >4时，107n −12+n 2−77n −380>0， 即n 2+30n −392>0，即n(n +30)>392， 验算得n ≥10时，n(n +30)>392， 所以，经过10个月投资开始见效．【解析】(1)利用g(n)=n 2+kn(k 是常数)，前3个月的累计生产净收入可达309万元，求出k ，得到函数的解析式，然后求解即可．(2)利用已知条件求出g(n)={n 2+100n,n ≤4,107n −12,n >4.，要想投资开始见效，必须且只需g(n)−500+120>80n −[4n +n(n−1)2×2]，然后通过n 的取值，验证求解即可．本题考查函数的实际应用，数列与函数的综合，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．22.【答案】解：(1)设F 1(−c,0)，F 2(c,0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c −2,−1)，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −2,−1)，因为PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−c 2+4+1=−1，解得c =√6，由P(2,1)在椭圆上，可得4a 2+1b 2=1，又a 2=b 2+6，解得a =2√2，b =√2， 则椭圆C 的方程为x 28+y 22=1；(2)(ⅰ)由于k OP =12，设直线l 2的方程为y =12x +t ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{y =12x +tx 2+4y 2=8可得x 2+2tx +2t 2−4=0，则△=4t 2−4(2t 2−4)=−4(t 2−4)>0，解得−2<t <2，x 1+x 2=−2t ，x 1x 2=2t 2−4，则|AB|=√1+14⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52⋅√4t 2−4(2t 2−4)=√52⋅√16−4t 2=√5⋅√4−t 2，又点P 到l 2的距离d =√1+14=√5，所以S △PAB =√52√4−t 2⋅√5=√t 2(4−t 2)≤t 2+4−t 22=2，当且仅当4−t 2=t 2，即t 2=2时，等号成立．又M 介于A ，B 之间，故t =−√2， 所以直线AB 的方程为y =12x −√2；(ⅱ)证明：要证|PA|⋅|MB|=|PB|⋅|MA|，只需证明|PA||MA|=|PB||MB|，由角平分线的性质可得，即证直线x=2为∠APB的平分线，转化为证明k PA+k PB=0，由于k PA+k PB=y1−1x1−2+y2−1x2−2=(12x1+t−1)(x2−2)+(12x2+t−1)(x1−2)(x1−2)(x2−2)=x1x2+(t−2)(x1+x2)−4(t−1)(x1−2)(x2−2)=2t2−4−2t(t−2)−4(t−1)(x1−2)(x2−2)=−4+4t−4t+4(x1−2)(x2−2)=0，因此结论成立．【解析】(1)由向量数量积的坐标表示，解方程可得c，再由P满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；(2)(ⅰ)设直线l2的方程为y=12x+t，联立椭圆方程，运用韦达定理和三角形的面积公式、基本不等式，可得面积的最大值，求得t，即可得到所求直线方程；(ⅱ)运用分析法证明．由角平分线的性质定理即证直线x=2为∠APB的平分线，转化为证明k PA+k PB=0，运用直线的斜率公式，化简整理，结合韦达定理，即可得证．本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

2020学年第一学期9+1高中联盟期中考试高二年级数学学科试题第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线3y =+的倾斜角为（ ）A ． 30°B ． 60°C ． 120°D ．150°2. 已知直线1:10l mx y +-=，()2:2310l m x my ++-=，m R ∈，则“2m =-”是“12l l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.椭圆2241x y +=的离心率为 （ ）A ．34 B C ． 23D ．4. 在空间直角坐标系中，已知()()1,0,2,3,2,4M N --，则MN 的中点Q 关于平面xOy 的对称点坐标是（ ）A ．()1,1,1-B ．()1,1,1--C . ()1,1,1--D ．()1,1,1 5. 已知m 为空间的一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若//,//m ααβ，则//m β B ．若,m αβα⊥⊥，则//m β C . 若//,m ααβ⊥，则m β⊥ D ．若,//m ααβ⊥，则m β⊥6. 方程2x =所表示的曲线大致形状为（ ）A ．B ．C .D ．7. 已知点F 为椭圆221:+184x y C =的右焦点，点P 为椭圆1C 与圆()222:218C x y ++=的一个交点，则PF =（ ）A ． 1BC . 2D ．8. 设有一组圆()()()224*:1k C x y k k k N -+-=∈，给出下列四个命题：①存在k ，使圆与x 轴相切 ②存在一条直线与所有的圆均相交 ③存在一条直线与所有的圆均不相交 ④所有的圆均不经过原点 其中正确的命题序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C .①②④D ．①③④9. 若三棱锥P ABC -满足，,,PA BC PB AC PC AB ===，则该三棱锥可能是（ ） A ．2,3,4AB BC CA === B ．3,4,5AB BC CA === C . 4,5,6AB BC CA === D ．以上选项都不可能10. 如图，在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -，若点,M N 分别为线段1BD ，1CB 上的动点，点P 为底面ABCD 上的动点，则MN MP +的最小值为（ ）A ．23B ．CD ．1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知直线():10l mx y m m R ++-=∈过定点P ，则点P 的坐标是___________，点P 关于直线20x y +-=的对称点Q 的坐标是__________.12.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该几何体的体积为__________，表面积为___________.13.已知(),P m n 是椭圆2214x y +=上的动点，则23m n +的最大值是 ，点P 到直线:20l x y -+=的最小距离是___________.14.如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面ABC ，AD PB ⊥，垂足为D ，DE PC ⊥，垂足为E ，若2PA AC ==，则PEEC= ，三棱锥P ADE -体积的最大值是__________.15.经过点()2,1M -作圆22:5O x y +=的切线，则切线的方程为 ．16.已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线AB 与1A C 所成角的余弦值为 ．17.已知O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，P为C 上一点，且2PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段2PF 交于点M ，与y 轴交于点N ，若直线1F M 与y 轴交于点Q ，且3ON OQ =，则C 的离心率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 已知m R ∈，命题:p 方程22119x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题:q 函数()2f x x x m =-+在[]2,2-上有零点.（1）若命题p 是真命题，求实数的取值范围；（2）若命题,p q 中有且只有一个真命题，求实数m 的取值范围. 19. 如图，三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，113CC B π∠=，平面ABC ⊥平面11BCC B ，,E F 分别为棱11A B 、BC 的中点.（1）求证：//BE 平面11A FC ； （2）求二面角111F AC B --的大小.20. 如图，已知三棱锥A BCD -中，点M 在BD 上，2BAD BDC π∠=∠=，BM MD DC ==，且ACD∆为正三角形.（1）证明：CM AD ⊥；（2）求直线CM 与平面ACD 所成角的正弦值.21.如图，已知圆()()221:112C x y -++=，圆()()222:215C x y +++=，过原点O 的直线l 与圆1C ，2C 的交点依次是,,P O Q .（1）若2OQ OP =，求直线l 的方程；（2）若线段PQ 的中点为M ，求点M 的轨迹方程.22.如图，已知椭圆22:143x y Γ+=，斜率为k 的直线l 与椭圆Γ交于,A B 两点，过线段AB 的中点M 作AB 的垂线交y 轴于点C .（1）设直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若1k =，直线l 经过椭圆Γ的左焦点，求1211k k +的值； （2）若AB =23,14k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求OMC ∆面积的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CABDD 6-10:DBCCA 二、填空题11. ()()1,1,1,3- 12. 26π+，)144π+13. 5，5 14. 3，3415. 250x y -+=16. 4 17. 13三、解答题18.解：（1）命题:91014p m m m ->+>⇒-<<， 即实数m 的取值范围为()1,4-；（2）命题p 真：[]2,2x ∈-时，216,4m x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，p 真q 假时1,44m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，p 假q 真时[]6,1m ∈--，∴[]16,1,44m ⎛⎫∈--⋃ ⎪⎝⎭. 19.证明：（1）取11A C 的中点G ，连接,EG FG ， 于是111//2EG B C ，又111//2BF B C ， 所以//BF EG ，所以四边形BFGE 是平行四边形，所以//BE FG ，而BE ⊄面11A FC ，FG ⊆面11A FC ， 所以直线//BE 平面11A FC ；（2）连接11,FB B G ，∵ 四边形11BCC B 为菱形，01160CC B ∠=，F 为BC 的中点，∴111FB B C ⊥，∵平面ABC ⊥平面11BCC B ，∴1FB ⊥平面111A B C ，又111B G AC ⊥，∴11FG A C ⊥， ∴1FGB ∠就是二面角11F A C B --的平面角，设棱长为2，则11FB BG ==14FGB π∠=，∴二面角11F A C B --的大小为4π. 20.解：（1）取AD 中点P ，连结,MP CP ，由条件CP AD ⊥， 又由,//2BAD MP AB π∠=得MP AD ⊥，∴AD ⊥面CMP ，又∵CM ⊂面MPC ，∴CM AD ⊥；（2）过M 作MH CP ⊥于点H ，由（1）可知，AD MH ⊥，∴MH ⊥面ACD ， ∴MCP ∠即为直线CM 与面ACD 所成的角， 不妨设1CD =，则CM MP CP ===，∴cos MCP ∠==∴sin 3MCP ∠=所以直线CM 与平面ACD21.解：（1）设直线l 的方程为：y kx =，12,C C 到直线l 的距离为12,d d .由条件=221243d d -=，所以2243⨯-=，整理，得240k k -=，解得0k =或4k =， 所以直线l 的方程为：0y =或4y x =；（2）设:l y kx =；则由()()22215y kx x y =⎧⎪⎨+++=⎪⎩消去y ，得()()221240k x k x +++=， 解得122240,1k x x k+==-+.其中2k ≠-， 所以()222424,11k k k Q k k +⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭， 由()()22112y kx x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩消去y ，得()()221220k x k x ++-=， 解得342220,1kx x k -==+，其中1k ≠，所以()222222,11k k k P k k -⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 设(),M x y ，则()22211211k x k k k y k +⎧=-⎪+⎪⎨+⎪=-⎪+⎩消去k ，得：2220x y x y +++=，（挖去点33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭和36,55⎛⎫- ⎪⎝⎭）. 22.解：（1）由已知可得直线l 的方程为：1y x =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：27880x x +-=，且121288,77x x x x +=-=-，所以12121212121212121221181113x x x x x x x x k k y y x x x x x x +++=+=+==+++++；（2）设直线l 的方程为：y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2224384120k x kmx m +++-=，由韦达定理可知21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++， 所以2443M kmx k =-+， 线段AB 的中垂线方程为：221434343km m y x k k k ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭，整理得2143my x k m =--+， 所以243C my k =-+.又由()222221212228412414234343km m AB x x x x k k k -⎛⎫=+-=+--= ⎪++⎝⎭， 整理可得：2224343k k +-=+，即()222224314341k m k k +=+-+①， 所以()22222411222434343OMD M km m k S OC x m k k k ∆===+++将①代入整理可得：2211112231432124OMC kk S k k k k k k∆=-=-++++， 因为23,14k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2k ⎤∈⎥⎣⎦，而我们知道，1112,3124y y k k kk==-++都是关于k 在2⎤⎥⎣⎦上的单调递减函数，所以当1k =时，OMC S ∆有最小值128，当k =时，OMC S ∆所以1,2842OMC S ∆⎡∈⎢⎣⎦.。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知命题p ：13x <<，q ：31x >，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．双曲线2228x y -=的实轴长是( ) A ．2B ．22C ．4D ．423．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．16B ．13C ．23D ．14．已知函数xxe x f =)(的导函数为)(x f '，则0)(>'x f 的解集为( ) A ．)1,(--∞ B ．),0(+∞ C ．),1(+∞-D ．)0,(-∞5．函数)(x f y =的导函数)('x f y =的图象如图所示，则函数)(x f y =的图象可能是( )6．直线01=-+y ax 平分圆0134222=-+-+y x y x 的面积，则a =（ ）A ．1B ．3C ．3D ．27．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（ ） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=8．若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在)1(∞+-，上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．[)+∞-,1 B ．()+∞-,1C ．(]1,-∞-D ．()1,-∞-9．如图，已知直线与抛物线)0(22>=p px y 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB,OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标（4，2），则p=( )。

A ．3 B ．45C ．52D ．410．函数的1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 图像经过四个象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．163->a B ．16356-≤≤-a C ．56->aD ．16356-<<-a 11．已知椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21F F 、，P 为椭圆上的一点2PF 与椭圆交于Q 。

2020-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上. 答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第I 卷 选择题 （60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共12小题，每小题5分，共60分.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）直线20x --=的倾斜角为（ ） （A ）30︒（B ）60︒（C ）120︒（D ）150︒（2）经过()0,2A ，()10B ,两点的直线的方向向量为()1k ，，则k 的值是（ ） （A ）1-（B ）1 （C ）2- （D ）2（3）抛物线22x y =的焦点坐标为（ ） （A ）()1,0（B ）()0,1（C ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（D ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（4）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60（D ）72（5）已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） （A ）19（B ）17（C ）13（D ）7（6）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元,之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ） （A ）15天（B ）16天 （C ）17天 （D ）18天（7）圆C x y 221:9+=与圆222:(1)(2)36C x y -++=的位置关系是（ ）（A ）相交 （B ）相离（C ）内切 （D ）内含（8）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为15，到y 轴的距离为12，则p 的值为（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（9）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，110,a =公差 3.5,d =-n S 取得最大值时n 的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（10）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ） （A ）111333OA OB OC ++（B ）111234OA OB OC ++（C ）111244OA OB OC ++（D ）111446OA OB OC ++（11）已知2222:02x y C x y -+--=，直线:220l x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线,MA MB ，切点为,A B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB 的方程为（ ）（A ）210x y +-= （B ）210x y ++= （C ）210x y --= （D ）2+10x y -=（12）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122b F F a=，点P 为双曲线右支一点，I 为PF F 12∆的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，给出下列结论：①当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒②离心率e =③λ=④点I 的横坐标为定值a 上述结论正确的是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ） ①③④ （D ）②③④第II 卷 （90分）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分.二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（13）已知直线l 与平面α平行，直线l 的一个方向向量为()1,3,u z =，向量()4,2,1v =-与平面α垂直，则z = .（14）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = .（15）已知数列{}n a 满足11a =，111+)n n a n N a *-=∈(，则4a = .（16）已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则实数m 的取值范围为________.（17）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求点B 到直线1AC 的距离为________. （18）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，并且经过点(2,M -，经过焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则p = ，线段AB 的长为 .（19）已知数列{}n a 为等比数列，132a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，则当n = 时，n T 有最大值为 .（20）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(,0)F c ，点P 在椭圆C 上，线段PF与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则椭圆C 的离心率为 .三. 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （21）（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点()30A -,，()1,2B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程； （Ⅱ）过点()0,2P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，求弦MN 的长．（22）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．（Ⅰ）求证：GF ⊥平面PCB ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小；（III ）在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．（23）（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21,n n S S a a n N *==+∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若13n n b -=，令11=n n n n n c a b a a +⋅+⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .（24）（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值.参考答案一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（双空题答对一空得3分，答对两空得5分） 三. 解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则()2,1D -，由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-，………………2分 所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x=--，………………3分设圆C 的标准方程为()222x a y r -+=，其中(),0C a ，半径为r （0r >），由圆的性质，圆心(),0C a 在直线CD 上，化简得1a =-，………………5分所以圆心()1,0C -，2r CA ==，所以圆C 的标准方程为()2214x y ++=……6分（Ⅱ）则直线l 的方程为324y x =+………………………8分 圆心()1,0C -到直线l 的距离为1d ==………………10分所以，MN ===12分 （22）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A B C P G F ………………1分(0,1,1),(2,2,2),(0,2,2)GF PB PC ∴==-=-设平面PCB 的法向量为111(,,)m x y z =，则1111122200,2200x y z m PB y z m PC ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即 (3)分令1=1z ，则110,1x y ==，(0,1,1)m ∴=∴//GF m ，故GF ⊥平面PCB ．………………4分(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面PCB 的法向量为(0,1,1)m =，(2,2,2),(2,0,2)PB PA =-=-设平面PAB 的法向量为222(,,)n x y z =，则2222222200,2200x y z n PB x z n PA ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即，令2=1z ，则221,0x y ==，所以平面PAB 的法向量(1,0,1)n =………………6分11cos ,222m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅………………7分 ∴平面PAB 与平面PCB 的夹角大小为60．………………8分（III ）解：假设线段AP 上存在一点M ,设AM AP λ=，[]01λ∈，，则(2202M λλ-，，），(2202DM λλ∴=-，，）,设平面ADF 的法向量为333(,,)t x y z = (2,0,0),(1,1,1)DA DF ==由0,0DA t DF t ⋅=⋅=得到(0,1,1)t =-……………9分DM 与平面ADF 所成角为30︒ DM ∴与t 所成角为60︒，222,(22)42cos 60cos DM t t M tDM D λλλ⋅>==⋅-+∴︒=<，解得12λ=，……11分 故在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒，z点M 的坐标为101（，，）.．...............12分 （23）（本小题满分13分）解: (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则由4224,21,n n S S a a n N *==+∈可得11114684,(21)22(1) 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩……………………2分 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩因此21()n a n n N *=-∈……………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)及1=3n n b - ，知11(21)3(21)(21)n n c n n n -=-⋅+-+………………………5分数列{}n c 的前n 项和为n T ，0121111=13+33+53+(2131335(21)(21)n n T n n n -⨯⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅+++⋅⋅⋅+⨯⨯-+）..7分 则令0121133353(21)3,11111(1)1335(21)(21)22121n n A n nB n n n n T A B-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯-+++=+…………8分 ()01211231133353(21)3,3133353233(21)3n n nA n A n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅………………9分两式相减得1231212(3333)(21)32(33)21+(21)33(22)213n nn n nA n A n n --=+⨯+++⋅⋅⋅+--⋅--=--⋅=⋅---………………10分 所以()131nA n =-⋅+……………………12分综合知()13121nn nT A B n n =+=-⋅+++……………………13分 （24）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b +=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22431x y +=；………………3分 (Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22431(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k kD k k -+++，………………5分 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++，………………6分则3(0)4OP k k k=-≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k , 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥， 则1OP EQ k k ⋅=-，即32()14n k k m--⋅=-恒成立， 所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.………………8分 （III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22431x y +=联立可得M点的横坐标为x =，………………9分由//OM l可得：22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥，………………11分=即2k =±时取等号，………………12分所以当2k =±时，AD AE OM +的最小值为………………13分。

2020-2021学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）命题“∀x∈R ，|x|+x 2≥0”的否定是（ ）A.∀x∈R ，|x|+x 2＜0B.∀x∈R ，|x|+x 2≤0C.∃x 0∈R ，|x 0|+x 02＜0D.∃x 0∈R ，|x 0|+x 02≥02.（单选题，5分）复数z 满足（1+i ）•z=-1+i ，其中i 为虚数单位，则复数z=（ ）A.1+iB.1-iC.iD.-i3.（单选题，5分）已知1，a 1，a 2，3成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则 a 1+a 2b 2 的值为（ ）A.2B.-2C.±2D. 544.（单选题，5分）设实数x 、y 满足 {y ≤xx +y ≤4y ≥−2，则z=2x+y 的最小值为（ ） A.-8B.-6C.6D.105.（单选题，5分）已知双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 （a ＞0，b ＞0）右顶点与抛物线y 2=8x 焦点重合且离心率e= 32 ，则该双曲线方程为（ ）A. x 24−y 25=1 B. x 25−y 24=1 C. y 24−x 25=1 D. y 25−x 24=16.（单选题，5分）已知函数f （x ）= 12 x 3+ax+4，则“a ＞0”是“f （x ）在R 上单调递增”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.（单选题，5分）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律．其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”．现恰有30人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂（即1520），其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（）A.32B.33C.34D.358.（单选题，5分）双曲线x2a2 - y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）关于直线y=- bax的对称点Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. √52B. √5C. √3D. √329.（多选题，5分）下列选项中正确的是（）A.不等式a+b≥2√ab恒成立B.存在实数a，使得不等式a+1a≤2成立C.若a、b为正实数，则ba +ab≥2D.若正实数x，y满足x+2y=1，则2x +1y≥810.（多选题，5分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1，下列结论正确的有（）A.直线BC与平面ABC1D1所成的角为π4B.C到平面ABC1D1距离为长√22C.两条异面直线CD1和BC1所成的角为π4D.三棱锥D1-DAB中三个侧面与底面均为直角三角形11.（多选题，5分）已知数列{a nn+2n}是首项为1，公差为d的等差数列，则下列判断正确的是（）A.a1=3B.若d=1，则a n=n2+2nC.a2可能为6D.a1，a2，a3可能成等差数列12.（多选题，5分）已知P是左、右焦点分别为F1，F2的椭圆x24+y22=1上的动点，M（0，2），下列说法正确的有（）A.|PF1|+|PF2|=4B.|PF1|-|PF2|的最大值为2 √2C.存在点P，使∠F1PF2=120°D.|MP|的最大值为2+ √213.（填空题，5分）函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线方程为___ ．14.（填空题，5分）复数z=（12+4a-a2）-（8a-16）i在复平面上对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为___ ．15.（填空题，5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=___ ．16.（填空题，5分）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是双曲线上一点，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半径为(√3−1)a，则其渐近线方程是___ ．17.（问答题，10分）在① S3=12，② 2a2-a1=6，③ a8=16，这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处中并作答．已知{a n}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S n，若____，且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且b2=a1，b4=a4，求数列{a n+b n}的前n项和T n．18.（问答题，12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的顶点为O，准线方程为x=−12．（1）求抛物线方程；（2）若过点D（1，1）的直线1交抛物线于A，B两点，且D为AB的中点求直线l的方程；（3）过点（1，0）且斜率为1的直线与抛物线交于P，Q两点，求△OPQ的面积．19.（问答题，12分）如图，在梯形ABCD中，AB || DC，∠ABC=60°，FC⊥平面ABCD，四边形ACFE为矩形，点M为线段EF的中点，且AD=CD=BC=1，CF=√32．（1）求证：平面BCM⊥平面AMC；（2）求平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值．20.（问答题，12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1-2S n=1，n∈N*．（Ⅰ）证明：{S n+1}为等比数列，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n= na n，求{b n}的前n项和T n，并判断是否存在正整数n使得T n•2n-1=n+50成立？若存在求出所有n值；若不存在说明理由．21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点为F(√3，0)，且该椭圆经过点P(√3，12)．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，试问在x轴上是否存在定点Q使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，说明理由．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=xlnx-ax2（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点为x1，x2，且x1＜x2，求证：x1•x2＞1．。

2020-2021学年广东省梅州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．命题“∃x0∈（0，+∞），x02+1≤2x0”的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），x2+1≤2x B．∀x∈（0，+∞），x2+1＞2xC．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1≤2x D．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1＞2x2．已知直线l1：mx﹣2y+1＝0，l2：x﹣（m﹣1）y﹣1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若向量，，且，则实数λ的值是（）A．0B．1C．﹣2D．﹣14．已知圆C的圆心是直线x+y+1＝0与直线x﹣y﹣1＝0的交点，直线3x+4y﹣11＝0与圆C 交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为（）A．x2+（y+1）2＝18B．C．（x+y）2+y2＝18D．5．已知双曲线的一个焦点与抛物线y2＝﹣12x的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）A．6B．C．D．6．若函数f（x）＝2x+在区间[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a≥2C．a＜2D．a≤27．一个矩形铁皮的长为16cm，宽为10cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为x（cm），小盒子的容积为V（cm3），则（）A．当x＝2时，V有极小值B．当x＝2时，V有极大值C．当时，V有极小值D．当时，V有极大值8．设函数f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x）若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2020，则不等式e x f（x）＞e x+2019的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（2019，+∞）C．（2019，+∞）D．（0，+∞）二、多项选择题（共4小题）.9．设f（x），g（x）都是单调函数，其导函数分别为f'（x），g'（x），h（x）＝f（x）﹣g （x），下列命题中正确的是（）A．若f'（x）＞0，g'（x）＞0，则h（x）单调递增B．若f'（x）＞0，g'（x）＜0，则h（x）单调递增C．f'（x）＜0，g'（x）＞0，则h（x）单调递减D．若f'（x）＜0，g'（x）＜0，则h（x）单调递减10．下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（）A．设A，B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线B．设定C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P 的轨迹为椭圆C．方程2x2﹣5x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D．双曲线与椭圆有相同的焦点11．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子中正确的是（）A．a1+c1＝a2+c2B．a1﹣c1＝a2﹣c2C．c1a2＞a1c2D．12．关于函数，下列说法正确的是（）A．x0＝2是f（x）的极小值点B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正整数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x1≠x2，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．直线l过坐标原点且与线y＝e x相切，则l的方程为．14．已知过点的椭圆C的焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），则椭圆C的标准方程是．15．如图，桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面的高度约为米（精确到0.1米）．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E为PC 中点，则直线OE与直线PD所成角的余弦值为．四、解答题：解答应写出文字说明。

2020-2021学年广东省广州市海珠区高二（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）已知集合A={x|-3＜x＜3}，集合B={x|x2-3x-4≥0}，则A∩B=（）A.（-3，1]B.[-2，3）C.（-3，-2]D.（-3，-1]2.（单选题，5分）已知椭圆x225+y216=1，则该椭圆的离心率为（）A. 45B. 1625C. 35D. 9253.（单选题，5分）已知命题p：∃a≥0，a2+a＜0，则命题￢p为（）A.∀a≥0，a2+a≤0B.∀a≥0，a2+a＜0C.∀a≥0，a2+a≥0D.∃a＜0，a2+a＜04.（单选题，5分）等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3=6，a4+a5+a6=-3，则a7+a8+a9=（）A.24B. 32C. 34D. −2785.（单选题，5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.π+2B. 3π+23C. 2+3π6D. 2π+366.（单选题，5分）设正数m，n满足1m +1n=1，则9m+4n的最小值为（）A.9B.16C.25D.267.（单选题，5分）椭圆x2m2+y2n2=1(m＞n＞0)和双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1，F2，点P是这两曲线的一个交点，则|PF1|⋅|PF2|的值为（）A.m2-a2B. 12（m-a）C. √m−√aD.m-a8.（单选题，5分）几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段，某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成30°角，则该椭圆的离心率为（）A. 2√33B. √32C. √63D. 129.（多选题，5分）已知命题p：若x＜y＜0，则-x＞-y，命题q：若x＜y，则x2＜y2，则下列命题中真命题（）A.p∧qB.p∨qC.p∧（￢q）D.（￢p）∨q10.（多选题，5分）已知 1a ＜1b ＜0 ，则下列不等式正确的是（ ） A. 1a+b ＜1abB.|a|+b ＞0C.lna 2＞lnb 2D. a −1a ＞b −1b11.（多选题，5分）已知直线l 1、l 2的方向向量分别是 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，4，x ）， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，y ，2），若| AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=6且l 1⊥l 2，则x+y 的值可以是（ ） A.-3B.-1C.1D.312.（多选题，5分）已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为 √63 ，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是（ ）A.椭圆C 的方程为 y 23 +x 2=1B.椭圆C的方程为 x 23 +y 2=1 C.|PQ|= 2√33D.△PF 2Q 的周长为4 √313.（填空题，5分）已知x ，y 满足条件 {x −y +1≥0x +y −3≤0y ＞1，则 z =−32x +y 的最小值为___ ． 14.（填空题，5分）数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n = 2n (n+2) ，则S 4=___ ．15.（填空题，5分）如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2， AA 1=2√2 ，若M 是AA 1的中点，则BM 与平面B 1D 1M 所成角的正弦值是___ ．16.（填空题，5分）过双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0) 的右顶点且斜率为3的直线，与双曲线的左、右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是___ .（用区间表示）17.（问答题，10分） ① a 4+a 5=-4， ② a 2+a 6=-6， ③ S 7=14这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求k的值；若k 不存在，说明理由．问题：等差数列{a n }前n 项和为S n ，a 7=3，若 ____，是否存在k ，使得S k-1＞S k 且S k ＜S k+1？18.（问答题，12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P到两点M（√3，0），N（−√3，0）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线y=kx+2与曲线C有公共点，求实数k的取值范围．19.（问答题，12分）某公司进行技术创新，将原本直接排放进大气中的二氧化碳转化为固态形式的化工产品，从而实现“变废为宝、低碳排放”．经过生产实践和数据分析，在这种技术下，该公司二氧化碳月处理成本y（元）与二氧化碳月处理量x（x∈[300，600]，单位：吨）之间x2 -300x+80000，假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200满足函数关系y= 12元．（1）该公司二氧化碳月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低，最低平均成本是多少？（2）该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少？（月收益=月收入-月处理成本）20.（问答题，12分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点．（1）求证：AB1 || 平面DBC1；（2）若AB1⊥BC1，求二面角D-BC1-C的余弦值．21.（问答题，12分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=3a n +3n+1（n∈N*）．（1）求证：数列 {an 3n } 是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式；（3）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证： S n3n ＞3n 2−74 ．22.（问答题，12分）已知点A （1，0），E ，F 为直线x=-1上的两个动点，且 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，动点P 满足 EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， FO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OP ⃗⃗⃗⃗⃗ （其中O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与轨迹C 相交于两不同点M ，N ，如果 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4 ，证明直线l 必过一定点，并求出该定点的坐标．。