2018届浙江教育绿色评价联盟适应性试卷(含解析)

浙江教育绿色评价联盟适应性试卷一、选择题1.已知{}21x M x y ==+，{}21N y y x ==+，那么M N = （ ）A.NB.MC.∅D.R 答案： A解答：∵[),1,M R N ==+∞,∴M N N = .2.已知双曲线2212y x -=，则（ ）A.渐近线方程为y =B.渐近线方程为2y x =±C.渐近线方程为y =D. 渐近线方程为2y x =±答案： C解答：∵1,a b c ===y =，离心率为e =. 3.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若359S a ==，则96S S -=（ ） A.6 B.9 C.15 D.45 答案： D解答：∵3123225393,9S a a a a a a =++==⇒==，∴5223a a d -==， ∴967898533(3)3(96)45S S a a a a a d -=++==+=⨯+=. 4.设函数2()sin cos f x x a x b =++在[0,]2π上的最大值是M ,最小值是m ，则M m -（ ）A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关D.与a 无关，但与b 有关 答案： B解答：2()cos cos 1f x x a x b =-+++,令[]cos ,0,1t x t =∈，则[]2()1,0,1f t t at b t =-+++∈，设最大值1()M f t =，最小值2()N f t =，其中[]12,0,1t t ∈，且12t t ≠，则221212()()M N t t a t t -=--+-，显然M N -与b 无关，对于a ，如取0a ≤时，(1),(0),1M f N f M N a ==-=-与a 有关. 故选B.5.已知数列{}n a 是正项数列，若*2,n n N ≥∈，则“{}n a 是等比数列”是“222112n n n a a a -++≥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案： A解答：∵{}n a 是等比数列，∴222111122n n n n n a a a a a -+-++≥=，即222112n n n a a a -++≥，满足充分性； 当n a n =时，222222211(1)(1)2222n n n a n n n n a -++=-++=+>=，满足222112n n n a a a -++≥，但{}n a 不是等比数列，所以不满足必要性； 故选A.6.已知01m <<，随机变量ξ的分布如下，当m 增大时（ ）A.()E ξ增大，()D ξ增大B.()E ξ减小，()D ξ增大C.()E ξ增大，()D ξ减小D.()E ξ减小，()D ξ减小 答案： B解答：113()11()222222m m E m ξ=-⨯+⨯-+⨯=-+， 2222233131()(1)(1)()(2)22222221353(),422m m D m m m m m m ξ=-+-⋅++-⋅-++-⋅=-++=--+∵01m <<，∴当m 增大时，()E ξ减小，()D ξ增大. 故选B.7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.223 B.163 C.203 D.1答案： C解答：该几何体是棱长为2的正方体截去两个三棱锥得到，如图所示：所以3112022221323V =-⨯⨯⨯⨯⨯=. 8.已知函数2()ln()f x ax bx c =++的部分图象如图所示，则a b c -+=（ ）A.1-B.1C.5-D.5 答案： D解答：由图象可得168a b c ba c a⎧⎪++=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得13283a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩，所以5a b c -+=.9.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3a c b ==，则BA BC ⋅的取值范围为（ ）A.16(,16)3 B.8(,8)3C.36(,8)5D.18(,4)5答案： D解答：由锐角三角形可知：2222(3)44(3)b b b b ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩，解得：22152b <<，222(3)41842(,4)25b b BA BC b +-⋅==+∈ . 10.已知三角形ABC 所在平面与矩形BCEF所在平面互相垂直AB AC ==,BC =2BF =,点D 在边EF 上，满足DAB DAC ∠=∠.若P 在矩形BCEF 内部（不含边界）运动，且满足4DAP π∠=，则二面角A PC B --的取值范围是（ ）A.(,)62ππB.(,)42ππC.(,)32ππD.(,)43ππ答案： A解答：点D 在边EF 上，满足DAB DAC ∠=∠，∴点D 在面ABC 上的射影为BC 的中点，D 为EF 的中点，点P 满足4DAP π∠=，∴AP 在以AD 为轴，顶角为90︒的圆锥侧面上，平面BCEF 平行母线且截圆锥侧面，故点P 的轨迹为抛物线.作AO ⊥面BCEF 于BC 中点，2AO =，连接PC ，过O 作HO PC ⊥，连接AH ，AHO ∠为所求二面角的平面角，2tan AO AHO HO HO∠==，当点P 在边EF 上且DP =时，HO =2tan 3AO AHO HO HO ∠===，当点P 无限接近O 时，HO 接近于0，AHO ∠接近90︒.二、填空题11.已知i 为虚数单位，若1()ia R a i+∈-为纯虚数，则a =_______；复数z a =的模等于_______. 答案：1解答： ∵221(1)()(1)(1)11i i a i a a ia i a a +++-++==-++为纯虚数，∴10a -=，即1a =；1z =+==12.若1()2nx x+展开式的二次项系数之和为64，则n =_______；其展开式的常数项等于_______.（用数字作答） 答案： 652解答：∵264n=，∴6n =，二项式展开式通项为66216611()()22r r r r r r r T C x C x x --+=⋅⋅=⋅， 令620r -=，得3r =，所以展开式的常数项为33615()22C =. 13.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥为“阳马”，现有一“阳马”P ABCD -，已知其体积为8，2,3AB BC ==,则该“阳马”的最长侧棱长等于______；表面积等于______. 答案：21+解答： 因为12383V PA =⨯⨯⨯=，所以4PA =，最长侧棱长为PC ==111123243423212222S =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯=+14.已知实数,x y 满足21222x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2x y +的最大值为_______；x y x ++的最小值为______.答案：4 13解答：画出可行域，如图所求，当2,0x y ==时，2x y +有最大值为4， 对于||x y x ++分两种情况讨论，当0≥+y x 时，x y z 22+=，在)31,31(-B 处取到最小值；当0<+y x 时，y z -=2，在)31,31(-B 处取到最小值，所以||2x y x z ++=的最小值为31.15.已知实数,x y 满足221x y +=，则224121x y +++的最小值为_______. 答案：94解答：令[]2,0,1t x t =∈，则222414131021224t x y t t t -+=+=+++--， 令[]2310(),0,14t f t t t -=∈-，则22(32)(6)()(4)t t f t t --'=--， 所以()f t 在2[0,]3上单调递减，在2[,1]3上单调递增，所以224121x y +++的最小值为29()34f =. 16.甲、乙两位高一学生进行新高考“七选三”选科（即在物、化、生、政、史、地、技术等七门科中任选择三门学科），已知学生甲必选政治，学生乙必不选物理，则甲、乙两位学生恰好有两门选课相同的选法有_______种.（用数字作答） 答案： 110 解答：（1）甲选物理： 15420C ⨯=；（2）甲不选物理：22153390C C C ⨯⨯=；共有2090110+=种.17.已知函数32()6f x x x a =--，若存在0(,]x a ∈-∞，使得0()0f x ≥，则实数a 的取值范围是_______. 答案：[2,0][3,)-+∞解答：因为2()32f x x x '=-，所以有()f x 在(,0)-∞与2(,)3+∞上递增，2(0,)3上递增减； （1）当0a ≤，32max ()()60f x f a a a a ==--≥，得：20a -≤≤； （2）当203a <≤，max ()(0)60f x f a ==-<，所以不符合要求； （3）当23a >，max ()max{(0),()}0f x f f a =≥成立，而(0)60f a =-<，所以只有32()60f a a a a =--≥，于是得：3a ≥；综上可知：[2,0][3,)a ∈-+∞ . 三、解答题18.已知2()cos cos f x x x x =+. （1）求()f x 的最小正周期及其单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3(),12f C c ==，求角C 及AB 边上高的最大值. 答案： （1）见解析； （2）见解析. 解答：（1）21cos 21()cos cos 2sin(2)262x f x x x x x x π+=+=+=++， 所以()f x 的最小正周期是π.()f x 的单调递增区间为(,),36k k k Z ππππ-++∈.（2）由（1）13()sin(2)622f C C π=++=，得6C π=.由余弦定理2222212cos (2c a b ab C a b ab ==+-=+≥. 所以2ab ≤=+当且仅当a b =时取“=”.所以三角形面积11sin 24S ab C ab ==≤,即当a b =时，S 取得最大值. 又1122S ch h ==，所以h 19.在矩形ABCD 中，,E F 分别为AB 与BC 边的中点，现将AED ∆,BEF ∆分别沿,DE EF 折起，使,A B两点重合于点P ，连接PC ，已知2AB BC ==. （1）求证：DF ⊥平面PEF ；（2）求直线PC 与平面PEF 所成角θ的正弦值.答案： （1）见解析；（2解答：（1）∵,EP PF EP PD ⊥⊥，∴EP ⊥平面PFD ，∴EP FD ⊥.又由题意可知：2EF DF DE ===，则EF FD ⊥. ∴DF ⊥平面PEF .（2）由（1）可知，面PEF ⊥底面CDEF ，EF 为交线，过P 作PG EF ⊥，则PG ⊥底面CDEF ，1,22PE PF EF ===363PG EG FG ===. 法一：过C 作CH EF ⊥，交EF 延长线于H ， CH ⊥面PEF ，则CPH ∠即为所求线面角.∵2,PD CD PC ====，CH PG ==.∴sin CH PC θ==. 法二：过C 作PG 的平行线CZ ，则CZ ⊥底面CDEF ，以C 为原点，,,CD CF CZ 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则5,0)3G，53P，2,0)E ，(0,1,0)F，53CP = .取面PEF法向量1,0)n =-. sin cos ,CP n θ=<>== . 20.已知函数()2ln f x x x =-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：211ln 2()12x e f x x-+≤<+. 答案：（1）见解析； （2）见解析. 解答：（1）定义域为{}0x x >，21()x f x x-'=. 令()0f x '=，得：12x =. ∴()f x 的单调递增区间为1(,)2+∞，单调递减区间为1(0,]2.（2）由（1）知min 1()()1ln 22f x f ==+，所以1ln 2()f x +≤成立.另一方面，要证21()12x e f x x -<+成立，只要证212ln 420x e x x x-+-+>，设函数21()2ln 42x e g x x x x-=+-+， 求导212122(21)2(2)(21)()4x x e x e x x g x x x x -----'=+-=. 令21()2,(0,)x t x e x x -=-∈+∞，则21()2(1)x t x e -'=-，由()0t x '=得12x =，所以1(0,)2x ∈时()0t x '<，即()t x 为减函数， 1(,)2x ∈+∞时()0t x '>，即()t x 为增函数．则1()()02t x t ≥=. 即212(2)(21)()0x e x x g x x---'=>由得12x >， 所以1(0,)2x ∈时()0g x '<；1(,)2x ∈+∞时()0g x '>，则min 1()()2ln 202g x g ==->，从而有当(0,)x ∈+∞，212ln 420x e x x x-+-+>， 综上，211ln 2()12x e f x x-+≤<+成立. 21.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，其右顶点A 到上顶A 的直线:()(0)l y k x a k =-<与椭圆E 交于另一点B ，点C 为y 轴上一点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若ABC ∆是等边三角形，求直线l 的方程.答案：（1）22143x y +=；（2）2)y x =-. 解答：（1）由题意可知：12c e a ===又因为：222a b c =+，所以得：2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，椭圆E 的方程为：22143x y +=.（2）设00(,)M x y 为AB 的中点，连结CM ，则有由ABC ∆为等边三角形可知：MC AB ⊥，且MC AB =.联立方程22(2)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：2222(43)1616120k x k x k +-+-=. 设11(,)B x y ，则1,2x 为方程的两根，且2128643k x k -=+，210228243x k x k +==+， 由直线:()l y k x a =-可知：02643k y k -=+，所以22286(,)4343k k M k k -++；1212243AB k =-=+. 202843k MC k ==+.由MC AB =22281243243k k k =++，解得：k =，又因为0k <，所以k = 所以直线l的方程：2)y x =-. 22.已知正项数列{}n a 满足101a <<，*1sin ()1n n n a a n N a +=∈+. （1）求证：11n n a a +<<；（2）设n S是数列的前n项和，求证：1n S <.答案：（1）见解析；（2）见解析.解答：（1）方法一：令()sin (0)f x x x x =->，()cos 10f x x '=-≤，∴()f x 在(0,)+∞单调递减，∴()(0)0f x f <=，∴sin x x <，1sin 1n n n n a a a a +-=+. ∵{}n a 是正项数列，∴sin n n a a <，∴1sin 111n n n n n a a a a a +=<<++， ∴101n a +<< ∴1sin 011n n n n n n n n a a a a a a a a +-=-<-<++. ∴11n n a a +<<，方法二：①当1n =时，101a <<成立.②假设*()n k k N =∈时，01k a <<成立， 那么1n k =+时，1sin 111k k k k k a a a a a +=<<++，∴101k a +<<. 由①和②可知，01n a <<对所有正整数都成立.下同方法一.（2）1sin 11n n n n n a a a a a +=<++Q ，1111+>∴+n n a a . ,11-1,2≥∴1->n n a a n 时-1-22111111,,1n n a a a a ->->L ， 累加得n a n a n a a n n >+>∴>1111-1,1-1-1，当n=1时，上式也成立. )1--(21-221,2≥∴n n n n n n n a n n =+<+=<时 )2--1-(2∴1-n n a n < )1-2(22<a ，又∵11<a ， 累加得1-21)1---2-1(2n n n S n =+++< .。