湖北省监利一中2010届高三10月月考 数学文
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湖北省监利一中2010届高三10月月考数学文试题一．选择题（10×5=50分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2. 已知集合，，则成立是成立的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分亦不必要条件3．若角的终边经过点，则的值为（）A． B． C． D．4已知函数在区间[0，1]上是减函数，则实数的取值范围是 ( )A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.5.设函数是定义在上的奇函数，并且当时，有=，则等于（）A. 0.5B. 1C.D.6. 函数的值域是 ( )A.B.C. (0,1) D.7.等差数列共10项，奇数项的和是12.5，偶数项的和是15，那么第6项是（）A. 6B. 5C. 4D. 38. 函数的图像（）A．关于原点对称 B. 关于直线对称C．关于轴对称 D. 关于直线对称9. 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）A. B. C . D.x 1．99 3 4 5．1 6．12y 1．5 4．04 7．5 12 18．0110.已知函数，则当方程有3个根时，实数的取值范围是（）A. B. C. D.二．填空题（5×=25分）12．若函数的图象与的图象关于原点对称，则函数= _13.构造一个满足下面三个条件的函数实例， ①函数在上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； .14. 设a> 0 , ，函数 f ( x )有最大值，则不等式的解集为 ___________________。
15．把数列{2n 1}的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k 行有12 k 个数，第k 行的第s 个数（从左数起）记为(k ，s )，则20101可记为 ▲ ． 三．解答题（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分) 已知sin x ＝135，x ∈(2π，π)，求cos2x 和tan(x ＋4π)值．17已知函数。
（1）当时，求的最大值和最小值。
（2）若在上是单调函数，且，求θ的取值范围。
18、 （本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =。
（n ∈N*）（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{C n }满足C n =且{C n }的前n 项和为T n ，求T 2n （n ∈N*）19. (本小题满分12)如图，周长为16米的篱笆借助一个墙角围成一个矩形ABCD ，在矩形内的一点P 处是一棵树，树距离两墙分别为a 、4米(0<a<12);若将此树围进去，又使围成的面积最大，如何围法，并求最大面积。
20．（本题满分13分）已知：在数列{a n }中，a 1＝41，a n +1＝41a n ＋4n+12．（1）令b n ＝4na n ，求证：数列{b n }是等差数列；（2）若S n 为数列{a n }的前n 项的和，S n ＋λna n ≥95对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．21．（本题满分16分）设函数f (x )＝31x 3－mx 2＋(m 2－4)x ，x ∈R ．（1）当m ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点（2，f (2)）处的切线方程；（2）已知函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β．若对任意的x ∈[α，β]， 都有f (x )≥f (1)恒成立，求实数m 的取值范围．参 考 答 案1. 2. 3、D 4.B 5. C 6.C 7.D 8.A 9.B 10.A11. 2或8 12.． 13. 等等.14. . 15．（10，494）16．解：cos2x ＝1－2sin 2x ＝1－2×(135)2＝169119． ……………………………………6分因为sin x ＝135，x ∈(2π，π)，所以cos x ＝－135＝－1312． ……………………………8分则tan x ＝cosx sinx ＝－125． ………………………………………………………………10分所以tan(x ＋4π)＝1－tanx tanx ＋1＝177． …………………………………………………14分17． 解：（1）时，。
由，当时，有最小值为，当时，有最大值为。
（2）的图象的对称轴为，由于在上是单调函数，所以或，即或，所求的取值范围是18（本小题满分12分）解：（Ⅰ） ···············1分∴a n =n +1 ··············5分（Ⅱ）∵C n =∴C n =∴T 2n =·············9分=（2+4+6+...+2n ）+（22+24+26+. (22)） = ···············11分=········12分19.设CD=x ，则S=x(16-x)=-x 2+16x(4≤x ≤16-a)；当8<16-a 时,S(8)最大=64;当8≥16-a 时，S(16-a)最大=-a 2+16a,总之S max =. 20．解：（1）由a n +1＝41a n ＋142+n ， 得24411+=++n n n n a a …………………………………………………………2分所以b n +1＝b n ＋2，即b n +1－b n ＝2．………………………………………………………………………………………4分 故数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列．…………………………………………5分 （2）因为数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，所以b n ＝1＋2（n －1）＝2n －1．因为b n ＝4na n ，所以 a n ＝nn 412-． ………………………7分 则S n ＝nn n n 412432454341132-+-++++- ．又41S n ＝1432412432454341+-+-+++n nn n 所以43S n ＝41＋2（143241241414141+--+++n n n ）…………………9分 ＝41＋2×241 (1－141-n ),1－41) －1412+-n n ． 所以S n ＝95 － ⨯92141-n －n n 41312⨯-……………………………11分 因为S n ＋λna n ≥95对任意n ∈N *恒成立，所以 95 －⨯92141-n －n n 41312⨯-＋λ×954)12(≥-nn n 对任意n ∈N *恒成立． 即λ≥98×)121(-n n ＋n31对任意n ∈N *恒成立．…………………………………12分 因为n ≥1，2n －1≥1，所以98×)121(-n n ≤98，当且仅当n ＝1时取等号． 又因为n 31≤31，当且仅当n ＝1时取等号．所以98×)121(-n n ＋n31≤911，当且仅当n ＝1时取等号．…………………………15分 所以λ≥911，所以λ的最小值为911．…………………………………16分21、（I ），，，……………（2分）由得（其中舍去） 即∴＝－1－且的定义域． …………………（6分）（II ）⎪⎩⎪⎨⎧+-+-<+->⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+>+->-+>+-⇔-+>+-5210105252101005201010)52lg(1010lg xxx x x x x a a a xx a x x a x x …（9分）记，则在A 上均单调递减．欲使,那么当时,且 ，易得，故所求a 的取值范围为． ……………………（13分）20．(1)解：∵a ＜0，∴故函数f (x )在区间(－∞，)、(－a ，＋∞)上单调递增，在(，－a )上单调递减 4分(2)解：∵二次函数有最大值，∴a ＜0 5分由得： 6分∵函数与的图象只有一个公共点，∴，又a ＜0，∴－1≤a ＜0 8分 又，∴(－1≤a ＜0) 10分(3)解：当a < 0时，函数f (x )在区间(－∞，)、(－a ，＋∞)上单调递增，函数g (x )在区间(－∞，)上单调递增∴ 12分当a > 0时，函数f (x )在区间(－∞，－a )、(，＋∞)上单调递增，函数g (x )在区间(，＋∞)上单调递增∴综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，]∪[3，＋∞) 13分 20．解：(1)当m ＝3时，f (x )＝31x 3－3x 2＋5x ，f ′(x )＝x 2－6x ＋5．………………………1分因为f (2)＝32，f ′(2)＝－3，所以切点坐标为（2，32）， ………………………2分 切线的斜率为－3． ……………………………………………………………………3分则所求的切线方程为y －32＝－3(x －2)，即9x ＋3y －20＝0．…………………………4分（2）解法一：f ′(x )＝x 2－2mx ＋(m 2－4)，令f ′(x )＝0，得x ＝m －2或x ＝m ＋2． ……6分当x ∈（－∞，m －2）时，f ′(x )＞0，f (x )在（－∞，m －2）上是增函数； 当x ∈（m －2，m ＋2）时，f ′(x )＜0，f (x )在（m －2，m ＋2）上是减函数；当x ∈（m ＋2，＋∞）时，f ′(x )＞0，f (x )在（m ＋2，＋∞）上是增函数．………9分因为函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且f (x )＝31x [x 2－3mx ＋3(m 2－4)]，所以≠0．m2－4＞0，解得m ∈(－4，－2)∪(－2，2)∪(2，4)．当m ∈(－4，－2)时，m －2＜m ＋2＜0，所以α＜m －2＜β＜m ＋2＜0． 此时f (α)＝0，f (1)＞f (0)＝0，与题意不合，故舍去；当m ∈(－2，2)时，m －2＜0＜m ＋2，所以α＜m －2＜0＜m ＋2＜β． 因为对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，所以α＜1＜β． 所以f (1)为函数f (x )在[α，β]上的最小值．因为当x ＝m ＋2时，函数f (x )在[α，β]上取最小值，所以m ＋2＝1，即m ＝－1； 当m ∈(2，4)时，0＜m －2＜m ＋2，所以0<α＜m －2＜m ＋2＜β．因为对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，所以α＜1＜β． 所以f (1)为函数f (x )在[α，β]上的最小值．因为当x ＝m ＋2时，函数f (x )在[α，β]上取最小值，所以m ＋2＝1，即m ＝－1 (舍去)．……15分 综上可知，m 的取值范围是{－1}．………………………………………………………16分解法二：f ′(x )＝x 2－2mx ＋(m 2－4)，令f ′(x )＝0，得x ＝m －2或x ＝m ＋2．……6分 所以，当x ∈（－∞，m －2）时，f ′(x )＞0，f (x )在（－∞，m －2）上是增函数； 当x ∈(m －2，m ＋2)时，f ′(x )＜0，f (x )在(m －2，m ＋2)上是减函数；当x ∈（m ＋2，＋∞）时，f ′(x )＞0，f (x )在（m ＋2，＋∞）上是增函数．………9分当α＜β＜0时，必有α＜m －2＜β＜m ＋2＜0，则当x ∈[α，β]时，f (x )的最小值是f (α)＝0． 此时f (1)＞f (0)＝0＝f (α)，与题意不合，故舍去；当α＜0＜β时，则有α＜m －2＜0＜m ＋2＜β，此时3(m 2－4)＜0，即－2＜m ＜2． 因为对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，所以α＜1＜β． 所以f (1)为函数f (x )在[α，β]上的最小值．又函数f (x )在[α，β]上的最小值就是极小值，所以f ′(1)＝0，得m ＝3（舍去）或m ＝－1；当0＜α＜β时，则有0＜α＜m －2＜m ＋2＜β，此时＞0．3m ＞0，解得m ∈(2，4)．因为对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，所以α＜1＜β． 所以f (1)为函数f (x )在[α，β]上的最小值．又函数f (x )在[α，β]上的最小值就是极小值，所以f ′(1)＝0，得m ＝3或m ＝－1（舍去）． 又因为当m ＝3时，f (1)为极大值，与题意不合，故舍去．……………………………15分 综上可知，m 的取值范围是{－1}．……………………………………………………16分。
