24二次函数的图象及性质专题北师大版九年级下

专题一二次函数的图象及性质本部分主要学习了二次函数y=ax2, y=a (x-h) 2, y= a (x-h) 2+ k的图象和性质一、抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴的位置、与坐标轴交点坐标例1抛物线y=3( x-1)2+1的顶点坐标是( )A • ( 1,1)B • (- 1, 1) C. (—1 , - 1) D . (1,—1)析解：因为二次函数y=a (x-h) 2+k的顶点坐标为(h, k),在本题中h=1, k=1，因此y=3 (x-1) 2+1的顶点坐标为(1, 1).故选A .例2 抛物线y=2x2+4x+5的对称轴是x= _____________ .析解：由抛物线的对称轴公式x —,2a4得x —1，即x 1 .2 2例3 二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点的横坐标是( )A . 2 和一3B . - 2 和3C . 2 和3D . - 2 和一3析解：令y=0，则x2+x-6=0，解得X1=2 , X2=-3 .所以二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点的横坐标是2和—3,故选A .二、由抛物线的一些条件来确定不惟一的表达式例4 请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c (a老)的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x v 2时，y随x的增大而增大；当x> 2时，y随x的增大而减小•这样的二次函数的关系式可以是_________________________________ .析解：本题考查了根据条件确定二次函数关系式的能力. 根据所给条件可知这个抛物线所对应的函数关系式中的a v 0,其对称轴为x=2，则符合这两个条件的二次函数的关系式可以是y=- ( x-2) 2+ 2 等.三、根据抛物线的增减性，由x (或y)来了解一些对应y (或x)的取值情况13 5例5若A , y1, B( 1, y2), C y3为二次函数y x24x 5的图象4 3 ■上的三点，贝y y1、y2、y3的大小关系是( )A . y1 v y2V y3B . y3V y2V y1 C. y3V y1 v y2 D . y2V y1 v y3析解：解决此类问题的关键是求出抛物线的对称轴，由a的正负性就可以知道抛物线的增减性，如果所给的点没有在对称轴的同一侧，可以利用抛物线的对称性，找到这个点的对称点，然后根据增减性再做判断. y=-x2-4x+5配方，得y=- (x+2) 2+9，因为a=-1 v 0,所以5当x> -2时，y随x的增大而减小，又- 1 2，所以y3< y2,又由抛物线的对称性知，3y1的值等于函数在x 3处的函数值.因为当x> -2时，y随x的增45 3大而减小， 1 2，所以y3< y1 v y2 .故选C.3 4例6小明从图1的二次函数y=ax2+bx+c图象中，观察得出了下面的五条信息：①a v 0，②c=0,③函数的最小值为-3，④当x v 0时，y> 0,⑤当0v xy X2 v 2时，y1> y 2.你认为其中正确的个数为（） A . 2 B . 3C .4D . 5析解：本题考查了二次函数的相关知识，观察图象可知 a > 0,故①错误；因为函数图象经过原点，故 c=0,②正确；③正确；④正确；⑤二次函数开口向上时，对称轴的左边， y 随x 的增大而减小，故⑤正确，选C .四、同一坐标系下，抛物线和其它函数图象的共存问题例7 在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+b 和二次函数y=ax 2+bx 的图象可能为（ ）析解：此类问题通常从比较简单的图象（直线或双曲线）出发，获得与抛物线有关的字 母的取值情况，然后由字母的取值情况来判断抛物线的大致位置，如果一致则有可能共存于同一个坐标系中，如果不一致则说明是不可能共存于同一坐标系中•本题中我们先看选项x —0，所以抛物线y=ax 2+bx 的开口方向向下，对称轴在2a不可能.再看选项D ，由于直线y=ax+b 经过一、三象限，所以 a > 0,b轴有交点，所以b >0;当a >0, b >0时，x —— 0，所以抛物线y=ax 2+bx 应该开口方 2a 向向上，对称轴在 y 轴的左侧，显然选项 D 也是不可能的.故选 A .注：我们为了帮助大家掌握此类问题的解法，对每一个选项进行了一一分析.当然，在 考试中我们为了节约时间，如果能够分析出选项A 是可以共存于同一个坐标系中，且四个选项中只有一个正确，那么后面的选项就不用再一一分析了.五、 求函数关系式中参数的值例8 若二次函数y=ax 2+2x+a 2-1 （a 和）的图象如图2所示， 则a 的值是 _________ .析解：本题是利用图象求二次函数关系式中的未知数 a .由图象可知（0, 0）点满足关系式 y=ax 2+2x+a 2-1 （a 工0,代入求得 a=±1 .又因图象开口向下，故 a=-1 .六、 二次函数的平移例9 有3个二次函数，甲：y=x 2-i ；乙：y=-x 2+1;丙：y=/+2x-1，则下列叙述中正确 的是（ ） A .甲的图象经过适当的平行移动后，可以与乙的图象重合 B. 甲的图象经过适当的平行移动后，可以与丙的图象重合 C. 乙的图象经过适当的平行移动后，可以与丙的图象重合 D. 甲、乙、丙3个图象经过适当的平行移动后，都可以重合A ，由于直线y=ax+b 经过一、三象限，所以 a >0,又因为直线与y 轴的负半轴有交点，所 以 b v 0;当 a > 0, b v 0 时，x 一2a在y 轴的右侧，显然选项 A 可能，选项 四象限，所以 a v 0,又因为直线与 y0，所以抛物线y=ax 2+ bx 的开口方向向上，对称轴 B 不可能.再看选项 C , 轴的负半轴有交点，所以 由于直线y=ax+b 经过二、 b v 0 ;当 a v 0, b v 0,y 轴的左侧，显然选项 C又因为直线与y 轴的正半析解：在平移的过程中，抛物线的形状始终保持不变，而抛物线的形状只与二次项系数 有关，所以甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合，故选B •专题训练(一) 一、填空题1.将抛物线y=x 2向左平移4个单位后，再向下平移 2个单位，则此时抛物线的函数关系式是 _________ .2•抛物线y= (x -1) 2+3的顶点坐标为 _____________ .3.已知二次函数y=-x 2+2x+c 2的对称轴和x 轴相交于点(m, 0),则m 的值为 _________________ .4 .已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y 轴的负半轴，请 你写出一个满足条件的二次函数关系式 _____________ .5.如图3，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax 2+c (a ^0的图象过正方形 ABOC 的三顶点ABC ，则ac 的值是 ____________ .6 .抛物线 y=-2x 2-4x+1的顶点关于x 轴对称的点的坐标是7.开口向下的抛物线 y=( m<2 )x 2+2mx+1的对称轴经过点(一1,3)，则m=8 •函数y=x 2+bx-c 的图象经过点(1, 2)，贝U b-c 的值为 _______________ .二、选择题9. 如图4,抛物线的函数关系式是( A • y=x 2-x+2 B. y=-x 2-x+2 C. y=x 2+x+2 D. y=-x 2+x+210. 已知y=2x 2的图象是抛物线，若抛物线不动，把 个单位，那么在新坐标系下抛物线所对应的函数关系式是(A . y=2 (x-2) 2+2 C . y=2 (x-2) 2-2111. 二次函数y (x2A .向上、直线 x = 4、( 4, 5) B. 向上、直线 x =- 4、(- 4, 5) C. 向上、直线 x = 4、(4, - 5) D. 向下、直线 x =- 4、(- 4, 5)12 .已知函数y=x 2 - 2x-3的图象如图5所示，根据其中提供的 信息，可求得使成立的x 的取值范围是()A . -1$W3B . -3$wiC . x 二3D . x <- 1 或 x >3三、解答题13. 求二次函数y=x 2-2x-1的顶点坐标及它与 x 轴的交点坐标.图4x 轴、y 轴分别向上、向右平移 2 ) B . y=2 (x+2) 2-2 D . y=2 (x+2) 2+224) 5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是(H3 314. 已知二次函数y=x2+4x,(1)利用配方法把该函数化为y=a (x-h) 2+k (其中a、h、k都是常数，且a M))的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标.(2)函数图象与x轴的交点坐标.15 •抛物线y=-x2+ ( m-1) x+m与y轴交于(0, 3)点.(1) 求出m的值并在图6中画出这条抛物线.(2) 求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标.3) x取值什么值时，抛物线在x轴上方？(4) x取什么值时，y的值随x的增大而减小?16.已知两个关于x的二次函数y1与y2, y i=a (x-k)x=k时，y2=17 ；且二次函数y2的图象的对称轴是直线x=-1.(1)求k的值.(2)求函数y1、y2的关系式.(3)在同一直角坐标系内，问函数y1的图象与y2的图象是否有交点？请说明理由.参考答案:一、1. y(x4)222. (1,3) 3. 1 4 .答案不惟一，如y x 25. 26. (1,3)7. 18.二、9. D10.B11. A12.D三、13.解: y x22x 1(x1)22,所以顶点坐标为(1, 2).2令y 0，得x 2x 1 0.解得M 1 2 , x2 1 2 .所以与x轴的交点坐标为(1 2,0) , (1 . 2,0).2 214.解：(1) y x 4x 4 4 (x 2) 4 . 所以对称轴为x 2，顶点坐标为(2, 4).2 (2)令y 0,得x 4x 0 .解得 x 1 0 , x 24 • 所以函数图象与 x 轴的交点坐标为(0,0) , (4,0) •15.解：(1 )由抛物线yx 2 (m 1)x m 与y 轴交于(0,3)，得m 3 .所以抛物线为2y x 2x 3，图象略.(2)由 x 2 2x 3 0，得 x 11 , x23 .所以抛物线与x 轴的交点为(1,0) , (3,0). 因为 yx 2 2x 3 (x 1)2 4,所以抛物线顶点坐标为 (1,4). (3 )由图象可知：当1 x 3时，抛物线在x 轴上方.(4)由图象可知：当x 1时，y 的值随x 值减小而减小.16.解: (1 )由 y 12a(x k) 2, y 1y 2 x 2 6x 12，得 y 2 (y 1y 2)y 12x 6x 12 a(xk)22 x 26x 10 a(x k)2又因为当 x k 时， 2y 2 17，即 k 6k 1017 .解得k 1 1或k 27 (舍去)，故k 的值为1.22o(2)由 k 1，得 y x 6x 10 a(x 1)(1 a)x 2 (2a 6)x 10 a .21) 9，得函数y 2的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1,9).故在同一直角坐标系内，函数 y 的图象与 y 的图象没有交点.所以函数 y 的图象的对称轴为 2a 6 2(1 a)'于是有 丝血 1，解得 2(1 a)所以y 1 2x 1 , y 2 2x 24x 11 .(3 )由 y 12(x 1) 2, 得函数 y 1的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1,2);由 y 2 2x 24x 112( x。