幂函数导学案(江自龙).pdf

幂函数导学案教学目标：1、掌握幂函数的定义和特点；2、掌握幂函数的图象绘制方法和性质分析；3、体会由特殊到一般的数学研究方法和数学结合的数学思想。

教学重点：从5个具体函数中归纳幂函数性质 教学难点：从幂函数图象中概括性质特征。

教学过程：一、幂函数定义研究1-2132x =y x =y x =y x =y x =y ，，，，问题1：在这5个函数中，有哪些是我们已经学过的函数，有哪些是我们不熟悉的函数？问题2：从自变量、函数值及解析式观察这5个函数，都有什么共同特征？定义：________________________________________________________________ 二、幂函数图象和性质研究问题3：现在我们已经学习了幂函数的定义，我们应该怎么研究幂函数的图象和性质？ 问题4：在高中阶段，我们只研究这5个幂函数的图象和性质，结合我们在前几节所学的知识，我们应该研究它们的图象和哪些性质呢？ 三、课堂探究： 探究任务1：画出1-2132x =y x =y x =y x =y x =y ，，，，的图象和性质，进行小组探究，并展示探究成果。

任务2：使用ggb 画出5个函数的图象。

任务3：观察5个函数图象的精确图象，并完成下表。

y=x 2y x =3x y =21x y =1-=x y定义域 值域 奇偶性 单调性任务4：根据以上归纳，猜想幂函数 ax y = 的一些性质：（1）a>0时 （2）a<0时任务5：观察幂函数)0()0(<=>=a x y a x y aa 和 的动态图象变化，汇总幂函数的性质。

四、探究成果：经过本节课，你有什么收获？。

2.3 幂函数教学目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12 的图象，掌握它们的性质3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小． 教学重点：1.掌握幂函数图象并掌握它们的性质2.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小 教学难点：幂函数图象及其性质教学过程；预习教材P77－P78，完成下面问题： 知识点1 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x －45是幂函数．( )(2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )(3)函数y ＝－x 12 是幂函数．( )(1)√ 函数y ＝x －45 符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)× 幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数；(3)× 幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12 不是幂函数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．【训练1】 若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________．答案 13题型二 幂函数的图象及应用【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 答案 （1）B(2)解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12 或y ＝x 3)来判断．【训练2】 如图是函数y ＝x m n(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn >1答案 C典例迁移题型三 利用幂函数的性质比较大小【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：(1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1. 解 (1)因为幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，所以⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. 【迁移1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫13－0.3”，则二者的大小关系如何？解 因为⎝⎛⎭⎫13－0.3＝30.3，而y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25<3，所以⎝⎛⎭⎫250.3<30.3.即⎝⎛⎭⎫250.3<⎝⎛⎭⎫13－0.3. 【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与0.325 ”，则二者的大小关系如何？解 因为y 1＝⎝⎛⎭⎫25x 在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<25，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫2525 ，又因为函数y 2＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，且25>0.3，所以⎝⎛⎭⎫2525 >0.325 ，所以⎝⎛⎭⎫250.3>0.325 . 规律方法 比较幂值大小的三种基本方法【训练3】 比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.5与⎝⎛⎭⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝⎛⎭⎫1234 与⎝⎛⎭⎫3412.解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝⎛⎭⎫230.5＞⎝⎛⎭⎫350.5.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x是R 上的减函数，∴⎝⎛⎭⎫1234 ＜⎝⎛⎭⎫1212 . y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1212 .∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1234 .课堂达标1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14B ．4C ．22D ． 2答案 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13B ．y ＝x －12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23答案 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A4．函数y ＝x 13 的图象是( )答案 B5．比较下列各组数的大小：(1)－8－78 与－⎝⎛⎭⎫1978 ；(2)⎝⎛⎭⎫－23－23 与⎝⎛⎭⎫－π6－23 .解 (1)－8－78 ＝－⎝⎛⎭⎫1878 ，函数y ＝x 78 在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝⎛⎭⎫1878 >⎝⎛⎭⎫1978 .从而－8－78 <－⎝⎛⎭⎫1978 . (2)⎝⎛⎭⎫－23 －23 ＝⎝⎛⎭⎫23－23 ＝⎝⎛⎭⎫46－23 ，⎝⎛⎭⎫－π6－23 ＝⎝⎛⎭⎫π6－23 .因为函数y ＝x －23 在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以⎝⎛⎭⎫－23－23 <⎝⎛⎭⎫－π6－23 .7．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m5的a 的取值范围．能力提升8．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1,0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1答案 B9．如图，函数y ＝x 23的图象是( )答案 D10．已知幂函数f (x )＝x 12 ，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________．答案 (3,5]11．已知a ＝x α，b ＝x a2 ，c ＝x 1a，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <a <b 12．已知幂函数y ＝f (x )＝x－2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域．13．(选做题)已知函数f (x )＝x 1-a 3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，求最小自然数α. 教学反思。

3.3 幂函数1.理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象; 2.结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质； 3.能应用幂函数性质解决简单问题。

1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质；2.教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。

一、幂函数的是概念：一般地，函数 叫做幂函数(power function) ，其中 为自变量， 为常数。

二、幂函数的性质一、探索新知 探究一 幂函数概念 （一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付P = W 元 ， P 是W 的函数 （y=x ）(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a 2 ， S 是a 的函数（y=x 2）。

(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a 3， S 是a 的函数（y=x 3）。

(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= 12S 。

a 是S 的函数 。

（y=12x ） (5)如果某人 t s 内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t -1，V 是t 的函数 。

（y=x -1）问题1：以上问题中的函数具有什么共同特征?（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义：一般地，函数y=x ɑ叫做幂函数(power function) ，其中x 为自变量，ɑ 为常数。

注意:幂函数的解析式必须是y = x a 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”． 【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 思考1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？ 思考2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？思考3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？看看自变量x 是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。

练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）4y x =；（2）22y x =；（3）2y x =-；（4）2x y =；（5）2y x -=；（6） 3+2y x =。

幂函数导学案一、学习目标1．掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。

2．能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。

学习重难点：能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，概括出幂函数的性质。

二、学习过程探究任务一：幂函数的概念问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？ （1）边长为的正方形面积，是的函数； （2）面积为的正方形边长，是的函数； （3）边长为的立方体体积，是的函数；（4）某人内骑车行进了1，则他骑车的平均速度，这里是的函数；（5）购买每本1元的练习本本，则需支付元，这里是的函数. 新知：幂函数定义：试试：判断下列函数哪些是幂函数.① ；②；③；④.探究任务二：幂函数的图象与性质问题：作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．从图象分析出幂函数所具有的性质：a 2S a =S a S 12a S =a S a 3V a =V a ts km 1/v t km s -=v t w p w =p w 1y x=22y x =3y x x =-1y =y x =12y x =2y x =1y x -=3y x =1、观察五个幂函数图像，试分析：函数y＝xα在第一象限内的增减性与α有关系吗？试分类说明。

2、再试分析：函数y＝xα在其他象限图像与什么有关系？怎么画？三、 典型例题【例1】 通过图像求下列幂函数的定义域与值域． (1)y ＝x 5； (2)y ＝x 23； (3)y ＝x 13； (4)y ＝x －2；(5)y ＝x－14.【例2】讨论的单调性.【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫25与⎝ ⎛⎭⎪⎫13； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23 34 与⎝ ⎛⎭⎪⎫34 23 .四、反思总结()f x =[0,)+∞五、当堂检测1、下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A．B．C．D．2. 函数的图象是（）.A. B. C. D.3.函数y＝x a，y＝x b，y＝x c的图象如图所示，则实数a，b，c的大小关系为()A a>b>c B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c4.设a＝0.40.5，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．a<c<b B．b<a<cC．a<b<c D．c<a<b5. 已知幂函数的图象过点，则它的解析式为 .6.已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数．(1)求f⎝⎛⎭⎪⎫12的值；(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．3xy-=3-=xy32xy=13-=xy43y x=()y f x=(2,2)。