线性代数模拟试题
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《线性代数B 》模拟试卷一一、选择题1、行列式311131113的值为（ ）（A ）0 （B ）5 （C ）10 （D ）202、1111123235-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（ ）（A ）121132111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭（B ）111231121-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭（C ）121132111-⎛⎫⎪- ⎪⎪--⎝⎭（D ）均不对 3、矩阵1234113203621490⎛⎫⎪-- ⎪⎪⎪-⎝⎭的秩为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44、已知非齐次线性方程组Ax b =的三个解为123,,ηηη，则下列哪个仍是Ax b =的解为（ ）（A ）123ηηη++（B ）1233ηηη--（C ）123ηηη--（D ）1232ηηη+- 5、下列关于矩阵的秩的说法正确的是（ ） （A ）秩为r 的矩阵中一定有不等于0的r 阶子式； （B ）秩为r 的矩阵中一定没有不等于0的r 阶子式； （C ）秩为r 的矩阵中一定没有等于0的1r -阶子式； （D ）秩为r 的矩阵中一定有不等于0的1r +阶子式二、填空题1、(1,2,3)(1,2,3)T =2、设3元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，12,ηη是它的两个不同的解向量，则该方程组的通解为3、设221111()2331161x x x f x x x x--=，则()f x 中4x 的系数为 4、向量组1234(1,1,0,2),(1,1,0,2),(0,1,1,2),(0,1,1,6)T T T T ββββ=-=-==的秩为5、已知3阶方阵A 的三个特征值为1,2,3，则13()A -=6、二次型2221231231223(,,)2524f x x x x x x x x x x =+++-是否正定：三、计算n 阶行列式121212n n n n x ax x x x a x D x x x a++=+（0a ≠）四、解方程组12341234123421325222333x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪-++=⎩ 五、解矩阵方程：142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭六、问λ取何值时，线性方程组1231232312(2)333(2)3x x x x x x x x λλλ+-=⎧⎪++-=⎨⎪-++=-⎩有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时，求出其通解。
七、已知二次型2221231231223(,,)2344f x x x x x x x x x x =++--，求一个正交线性变换x Py =，将二次型f 化成标准型，并判断其正定性。
八、证明题设η是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-是对应的齐次线性方程组的基础解系，证明：12,,,,n r ηηξηξηξ-+++线性无关。
《线性代数B 》模拟试卷二一、填空题（每空3分，共30分）1．设(1,2,1)α=-，(1,1,1)β=，则T αβ= ；T αβ= ；2．设cos sin sin cos A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，则A 的行列式det()A = ;方阵A 的秩为 ;3．设向量组A ：1(1,4,1,0)α=，2(2,1,1,3)α=--，2(1,0,3,1)α=--，4(0,2,6,3)α=-，则A 的秩为： ；A 的一个最大线性无关向量组为： ；4．设四元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为3，已知1η，2η，3η是它的三个解向量，且11111η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，230110ηη⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭，则方程组Ax b=的通解为： ;5．设二次型2231231231213(,,)26422f x x x x x x x x x x =---++，则二次型对应的矩阵为： ；它是 （正/负）定二次型。
６．设非奇异方阵A 有一个特征值2，则矩阵22A E -+必有一个特征值为： 。
二、举例说明下列命题是错误的（每小题5分，共10分）1．若20A =，则0A =。
2．若0Ax =有唯一解，则Ax b =有唯一解。
三、计算题（共50分）1．计算行列式1111111111111111D --=----。
（６分）2．设3400430000200022A ⎛⎫⎪- ⎪=⎪⎪⎝⎭，问A 是否可逆？若A 可逆，求其逆阵。
（８分）3．解矩阵方程100001143001010201010100120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
（８分）4．已知1103α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，211αλ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，3211αλ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭，11βμ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，问 (1)λ，μ为何值时，β不能用123ααα，，线性表示？ (2)λ，μ为何值时，β可由123ααα，，线性表示，且表示式唯一，并写出表达式；(3)．λ，μ为何值时，β可由123ααα，，线性表示，且表示式不唯一，并写出表达式。
（1６分）5．设111111111A --⎛⎫⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭，求一个正交阵P ,使1P AP -=Λ为对角阵，并写出对角阵Λ。
（1２分）四、证明题（共10分）1．设n 阶方阵A 满足2A A =，则 ()()R A R A E n +-=。
(5分) 2．设实对称阵A 的所有特征值的绝对值都等于１。
证明：A 为正交阵。
（５分）《线性代数B 》模拟试卷三一、选择题（每题4分，共24分）1、行列式211121112的值为：（ ）(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 82、1001010()100-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A) 100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)001010100-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭(C)001010100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D) 均不对3、矩阵11101121102301135121-⎛⎫⎪-⎪⎪- ⎪-⎝⎭的秩为：（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 4、下列说法正确的是：( ) (A) A B A B 111()---+=+ (B) A A 11()λλ--= (C) AB A B 111()---= (D) T T A A 11()()--=5、已知非齐次线性方程组Ax b =的三个解为 123,,ηηη,则下列哪个仍是Ax b =的解( )(A) 123ηηη-- (B) 12322ηηη-+ (C) 1232ηηη+- (D)123ηηη++6、已知三阶方阵A 的行列式3A =，则3A =( ) (A) 3 (B) 9 (C) 27 (D) 81二、填空题（每空4分，共24分）1、(4,3,2,1)(1,2,3,4)T = ；2、设A 与B 相乘有意义，则()T AB == ；3、(1,0,1)α=-，(0,1,1)β=-，则α与β的夹角为： ；4、设方阵A 满足220A A E --=，则1A-= ；5、向量组1(1,1,0,2)β=-，2(1,1,0,2)β=-，3(0,1,1,2)β=的秩为： ；6、已知三阶方阵 A P P 1200030001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,这里 P 为3阶可逆方阵，则 3A = ；三、计算n 阶行列式n x a a a x a D aax=（10分）四、（10分）解方程 x x x x x x x x x x x x 1234123412342132344352+-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩五、（12分）设A 423110123⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，2AB A B =+，求B 。
六、（12分）求矩阵A 123213336⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值及特征向量。
七、证明题（8分）设11212312341234,,,βαβααβαααβαααα==+=++=+++，且向量组1234,,,αααα线性无关，证明向量组1234,,,ββββ也线性无关。
《线性代数B 》模拟试卷四一、填空题：（每空4分，共24分）1、()()111111T= .2、设212111()241111x x x f x x x ---=-，则()f x 中3x 的系数为 ；3、已知三阶方阵A 的三个特征值为: 1,2,3，则A = ；4、已知A 是三阶方阵 , 且2A = , 则1A A -*-= ；5、设三元非齐次线性方程组AX=b 的系数矩阵A 的秩为2，且它的三个解向量123,,ηηη满足1(1,1,1)T η=，23(2,1,1)Tηη+=,则Ax b =的通解为 ；6.设121212{(,,...,)0,,,...,}Tn n n V x x x x x x x x x x R ==+++=∈,问V 是不是向量空间？回答： 。
二、选择题:（每小题4分，共24分）1、行列式211121112的值为( ) (A)0 (B)1 (C) 2 (D)42、1110011001--⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭( )(A).110011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B). 101010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C). 111011001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(D). 111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
3、矩阵110121111230-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩为( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 4、设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0Ax =只有零解的充分必要条件是A 的（ ）(A)列向量组线性无关； (B) 列向量组线性相关； (C)行向量组线性无关； (D) 行向量组线性相关。
5. 设线性方程组Ax b =有n 个未知量，m 个方程，且()R A r =，则此方程组（ ）(A) r m =时，有解； (B) r n =时，有唯一解；(C) m n =时，有唯一解； (D) r n <时，有无穷多解。
6、与向量(1,1,1)正交的向量是( )(A)(1,1,1)- (B)(1,1,1)-- (C) (1,1,2)-- (D) (1,1,1)---三、计算行列式:2101030602121476D --=--（6分）四.求向量组(1,1,0,2)T β=-1，2(1,1,0,2)T β=-，3(0,1,1,2)T β=的秩和一个最大无关组。
（8分）五、解矩阵方程：010001123100010231001100312X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（8分） 六、解非齐次线性方程组：12341234123421422221x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩ （12分）七、设123213336A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，求一个正交矩阵P ，使1P AP -=Λ为对角阵。
