空间向量与平面的位置关系

中小学个性化教育专家

精锐教育网站： 考试研究院 1 OC1B1A1D1DABC精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号_

学员编号： 年 级： 高三 课时数：3

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师:

课 题 空间直线与平面，平面与平面的位置关系

授课日期及时段

教学目的 1、 掌握空间平面与直线的位置关系，并会求直线与平面所称的角；

2、 掌握空间平面与平面的位置关系，会画二面角的平面角

教学内容

【知识梳理】

1、 直线与平面有哪些位置关系？

2、 直线与平面所称的角的取值范围是 0,2

3、 直线与平面平行

判定定理： ；

性质定理： ；

4、 直线与平面垂直

（1） 定义：

（2） 判定定理：

空间平面与平面的位置关系

1.复习和回顾平面角的有关知识.

平面中的角 二面角

定义 从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角

图形

结构 射线—点—射线 半平面—直线—半平面

表示法 ∠AOB,∠O等 二面角α—a—β或α-AB-β

2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义，及其共同特征.（空间角转化为平面角）

3.观察：陡峭与否，跟山坡面与水平面所成的角大小有关，而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中，能够转化为两个平面所成角例子非常多，比如在这间教室里，谁能举出能够体现两个平面所成角的实例？（如图1，课本的开合、门或窗的开关.）从而，引出“二面角”的定义及相关内容.

二、学习新课

（一）二面角的定义

平面中的角 二面角

定义 从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角

图形

结构 射线—点—射线 半平面—直线—半平面

表示法 ∠AOB,∠O等 二面角α—a—β或α-AB-β

（二）二面角的图示

1.画出直立式、平卧式二面角各一个，并分别给予表示.

2.在正方体中认识二面角.

（三）二面角的平面角

平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成，它有一个旋转量，它的大小可以度量，类似地，"二面角"也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，它也有一个旋转量，那么，二面角的大小应该怎样度量？

1.二面角的平面角的定义（课本P17）.

2.∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关.

[说明]①平面与平面的位置关系，只有相交或平行两种情况，为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要来研究二面角的度量问题.

②与两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角做类比，用“平面角”去度量. A

C

B D P

③二面角的平面角的三个主要特征：角的顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边分别与棱垂直.

3.二面角的平面角的范围：[0,]

高中数学：用空间向量研究直线与平面的位置关系

一、引言

空间向量是高中数学中的重要内容，它为我们研究三维空间中的几何对象提供了有力的工具。其中，利用空间向量研究直线与平面的位置关系是一个核心的应用领域。通过向量的运算性质，我们可以清晰地描述和判断直线与平面之间的平行、垂直和相交等关系。本文将详细解析如何利用空间向量来研究直线与平面的位置关系，帮助学生更好地掌握这一知识点。

二、基本概念与性质

1. 直线与平面的位置关系：在三维空间中，直线与平面的位置关系主要有三种：平行、相交和直线在平面内。

2. 向量的表示：直线可以用方向向量和一点来表示，而平面则可以用法向量和一点来表示。方向向量和平面的法向量都是描述直线和平面方向的重要工具。

3. 向量的运算：通过向量的加法、减法、数乘和数量积等运算，我们可以推导出判断直线与平面位置关系的关键条件。

三、判断方法

1. 判断直线与平面平行：如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则这条直线与平面平行。即，如果两向量的数量积为零，则直线与平面平行。

2. 判断直线与平面垂直：如果直线的方向向量与平面的法向量平行，则这条直线与平面垂直。即，如果两向量平行（方向相同或相反），则直线与平面垂直。

3. 判断直线在平面内：如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，且直线上的一点在平面内，则这条直线在平面内。

4. 判断直线与平面相交：如果直线既不与平面平行也不在平面内，那么这条直线与平面相交。相交的情况比较复杂，可能涉及到求交点和交角等问题。

四、应用举例

1. 求交点：通过联立直线的方程和平面的方程，可以求出直线与平面的交点。交点坐标满足两个方程，因此可以通过解方程组得到。

2. 求交角：交角是直线与平面相交时的一个重要参数。通过计算直线的方向向量与平面法向量的夹角，可以得到交角的大小。夹角可以通过向量的数量积和模长计算得出。 3. 解决实际问题：在实际问题中，经常需要判断或求解直线与平面的位置关系。例如，在建筑设计中，需要确定光线照射角度；在机械工程中，需要计算零件的加工角度等。利用空间向量的方法，可以方便地解决这些问题。

1 即墨市第五中学高一数学导学案

空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

编写：刘鸿星 审核：宁伟丽 时间：2013-03 编号：8

【课前预习导读】

一、学习目标：

借助长方体模型，在直观认识和理解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系。

二、学习重点：直线与平面、平面与平面的位置关系

三、学习难点：直线与平面、平面与平面的位置关系

四、自主预习

1．一条直线与一个平面的位置关系可能有 。

2．如图，线段BA1所在直线与长方体

1111DCBAABCD的六个面所在平面的位置

关系有 。

3．通过生活实例以及对长方体模型的观察、思考，我们可以得出，直线与平面的位置关系有三种：

（1） ——有 个公共点；

（2） —— 个公共点；

（3） —— 个公共点。

直线与平面 的情况统称为直线在平面外。

4．请画图表示直线与平面的三种位置关系，并用符号表示。

5．观察长方体1111DCBAABCD的六个面，两个平面的位置关系可能有 。

6．通过生活实例以及对长方体模型的观察、思考，我们可以得出，两个平面的位置关系有两种：

（1） —— 公共点；

（2） —— 。 班级： 姓名：

A B C D A1B1 C1 D1

2 7．请画图表示两个平面的两种位置关系，并用符号表示。