【数学】2.2.2《向量的正交分解与向量的直角坐标运算》课件(新人教B版必修4)

＝－12，1－23，13＝－76，23.
明目标、知重点
例2 已知a＝(－2，3)，b＝(3，1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示 c. 解 设c＝xa＋yb， 则(10，－4)＝x(－2，3)＋y(3，1) ∴＝(－102＝x＋－32yx，＋33xy＋，y)，
∴10＝3λ－2μ， －5＝2λ＋2μ，
λ＝1， 解得μ＝－72，
∴a＝b－72c.
明目标、知重点
例 3 已知 A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，若C→M＝2C→A＋3C→B， 求点 M 的坐标. 解 由A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，得 C→A＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， C→B＝(－1－3，3－4)＝(－4，－1)， ∴C→M＝2C→A＋3C→B＝2(－1，－8)＋3(－4，－1) ＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).
A.－4，12
B.4，－12
C.(－8，1)
D.(8，1)
解析 ∵A→B＝O→B－O→A＝(－8，1)，
∴12A→B＝－4，12.
明目标、知重点
3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，
1234
B(－1，－2)，C(3，1)，且B→C＝2A→D，则顶点 D 的坐标为( A )
明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一 对有序实数(即它的坐标)表示.对于直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标 来表示？
明目标、知重点
探究点一 平面向量的坐标表示 思考1 如果向量a与b的基线互相垂直，则称向量a与b 垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内 所有向量的一组基底？ 答 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一 组基底.

解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（2+（-3），1+4） =（-1，5）；
a-b=（2，1）-（-3，4）=（2-（-3），1-4） =（5，-3）；
3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（6+（-12），3+16） =（-6，19）
练习：
1. a (1,5) b (1,2) c (0,3) 求：2a 3b 7c
2. a (2,4) b (3,5) c (6,3)
求：1 a b 1 c
2
3
变式 :
3.已知 a (1,2) b (2,3) ，实数 x, y 满足等式 xa yb (3,4) ，求 x, y
小结:
1.向量正交分解
即= a a1+e1 a2 e2
2.平面向量的坐标表示
a a1 e1 a2 e2
a
e2
（a1，a2 ）叫做向量a的坐标
O e1
x
平面向量的坐标表示： a =( a1 , a2 )
那么 e1= (1 , 0) e2 = (0, 1) 0 = (0,0)
已知 A（ a1，a2）， B（ b1 ，b2 ）
求：AB 的坐标
y
AB (b1 a1)e1 (b2 a2 )e2
B
a
A
(b1 a1,b2 a2)
e2
O e1
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终 点 的坐标减去始点的坐标．
例1：已知A、B两点坐标，求：OA，OB， AB坐标和长度(用坐标表示向量)
(1)A(3,5)

()
A.12a－32b
B.－12a＋32b
C.32a－12b
D.－32a＋12b
(2)已知点 P，A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)是一个平行四边形的四
个顶点，则点 P 的坐标为________．
【解析】 (1)设 c＝xa＋yb，x，y∈R， ∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)，∴xx＋－yy＝＝－2，1， 解得 x＝12，y＝－32，∴c＝12a－32b，故选 A.
自我尝试 题型一 平面向量的坐标表示 例 1 在直角坐标系 xOy 中，a，b 如图所示，分别求出 a，b 的坐标．
【分析】 本题主要考查向量的正交分解，把它们分解成横、 纵坐标的形式．
【解】 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 则 a1＝|a|cos45°＝4× 22＝2 2，a2＝|a|sin45°＝4× 22＝2 2.
b 向量相对于 x 轴正方向的转角为 120°. ∴b1＝|b|cos120°＝3×－12＝－32， b2＝|b|sin120°＝3× 23＝323.∴a＝(2 2，2 2)，b＝－32，323.
【知识点拨】 (1)向量的坐标就是向量在 x 轴和 y 轴上的分量，而与向量的位 置无关，如图所示，A→B的坐标为(B2－A2，B1－A1)．
即 xy＋ －21＝ ＝1212
(x－1) (y－4)
， ，
解得xy＝＝－－52，， 即 C(－5，－2)．又 E 在 DC 延长线上， ∴C→E＝14D→E，设 E(a，b)，则(a＋5，b＋2)＝14(a－4，b＋3)， 解之得 a＝－8，b＝－53.
∴E－8，－53. 答案：－8，－53
5．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设A→B＝a，B→C＝b， C→A＝c 且 a＝mb＋nc，求 m－n 的值． 解：A→B＝(5，－5)，B→C＝(－6，－3)，C→A＝(1,8)， 由 a＝mb＋nc， 得(5，－5)＝m(－6，－3)＋n(1,8)， ∴－－63mm＋＋n8＝n＝5，－5， 解得mn＝＝－－11.， ∴m－n＝－1＋1＝0.

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课堂互动讲练
考点突破 用基底表示向量 两个非零向量只要不共线，就能构成基底， 而一个平面的基底，一旦确定，平面上任意 一个向量都可以由这组基底唯一地表示出 来．
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例1 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M，A→B＝a，A→D＝b， 试用基底{a，b}表示M→C，M→A，M→B和M→D.
示)，对直线 l 上_任___意___一点 P，存在唯一的实数 t 满
足向量等式O→P＝___(1_－__t_)O_→_A_＋__tO_→_B_____，反之，对每一
个实数 t，在直线 l 上都有__唯___一__的一个点 P 与之对
应．向量等式O→P＝__(_1_－__t)_O→_A__＋__tO→_B____叫做直线 l 的向
证明：如图所示，设 E′是线段 BA 上的一点，且 BE′＝14BA，只要证明 E、E′重合即可． 设O→A＝a，O→B＝b， 则B→D＝13a，O→D＝b＋13a. ∵B→E′＝O→E′－b， E′→A＝a－O→E′，BE→′＝13E′→A，
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【思路点拨】 (1)先计算出A→B，A→C再进行向量的 线性运算； (2)直接利用向量的坐标运算．
【解】 (1)∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)． ∴A→B＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； A→C＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)； A→B＋A→C＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；