高中数学教案复数与向量

教学目标

（1）掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；

（2）理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系；

（3）掌握复数的模的定义及其几何意义；

（4）通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想；

（5）通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法．

教学建议

一、知识结构

本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式．

二、重点、难点分析

本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解；难点是复数模的概念．复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视．在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点．复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离．

三、教学建议

1．在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视．

2．理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系

如图所示，建立复平面以后，复数 与复平面内的点 形成—一对应关系，而点 又与复平面的向量 构成—一对应关系．因此，复数集 与复平面的以 为起点，以 为终点的向量集 形成—一对应关系．因此，我们常把复数 说成点Z或说成向量 ．点 、向量 是复数 的另外两种表示形式，它们都是复数 的几何表示． 相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量 相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量相成—一对应关系．复数集只能与复平面上以原点为起点的向量集合构成—一对应关系．

第 1 页 共 5 页 高中数学教案：利用小小飞机场探究复数与向量的关系和应用利用小小飞机场探究复数与向量的关系和应用

一、教学目标：

1. 掌握复数的定义、表示法和运算法则。

2. 掌握在复平面上对复数的表示方法和运用。

3. 掌握向量的概念和基本性质。

4. 掌握向量在平面直角坐标系中的表示法和运算法则。

5. 了解复数和向量之间的联系。

6. 掌握利用复数和向量解决实际问题的方法。

二、教学重点：

1. 复数和向量的基本概念、表示法和运算法则。

2. 复数和向量在平面直角坐标系中的几何意义。

3. 复数和向量之间的联系和应用。

三、教学难点：

1. 复数和向量的联系。 第 2 页 共 5 页

2. 如何运用复数和向量解决实际问题。

四、教学过程：

1. 复数的引入

通过教师引导，让学生想象一下小小飞机场中来了一架无人机，但无人机在飞行过程中遇到了坏天气，无法在地面上找到正确的航向，需要依靠复数和向量计算进行控制。引导学生进入“小小飞机场”模拟中，让学生感受一下复数和向量的应用。

2. 复数的定义和表示法

（1）引导学生回忆数学课上学习的实数和虚数的概念。

（2）通过具体的例子，引导学生认识到复数的必要性。

（3）介绍复数的定义和表示法（代数式、极坐标式）。

（4）通过具体例子让学生感受极坐标式的应用。

3. 复数的运算法则

引导学生回忆复数的四则运算，通过具体例子让学生掌握。

4. 复平面的引入

第 3 页 共 5 页 （1）介绍复平面的定义和性质。

（2）引导学生能够绘制复平面。

（3）通过具体例子让学生掌握复数在复平面上的表示法和应用。

5. 复数的性质

（1）引导学生探究复数的模、共轭和幂次。

（2）通过具体例子让学生掌握复数的性质和应用。

6. 向量的引入

（1）介绍向量的概念和表示法。

（2）向量的基本性质和运算法则。

7. 向量在平面直角坐标系中的表示法

（1）引导学生通过具体的图形认识向量在平面直角坐标系中的表示法。

高中数学复数坐标与向量的转换分析

在高中数学中，复数坐标和向量是两个重要的概念，它们在解决各种实际问题时都起到了关键的作用。本文将以具体的题目为例，分析复数坐标和向量的转换，并给出解题技巧和指导。

一、复数坐标的转换

复数坐标是指平面上的点用复数表示，其中实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。在解决平面几何问题时，常常需要将复数坐标转换为普通坐标或反之。

例如，已知点A的复数坐标为z=3+4i，其中3为实部，4为虚部。要求将点A的复数坐标转换为普通坐标。

解法：根据复数的定义，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。所以，点A的实部为3，虚部为4，即普通坐标为(3, 4)。

这个问题的考点是复数的定义和复数坐标的转换。解题时，需要理解复数的实部和虚部的含义，将复数坐标转换为普通坐标。

类似的题目还有：已知点B的复数坐标为z=2-3i，求点B的普通坐标。

二、向量的转换

向量是指具有大小和方向的量，它在解决平面几何和物理问题时经常被使用。向量的转换包括向量的加法、减法和数乘等运算。

例如，已知向量a=2i+3j，向量b=4i-5j，求向量a和向量b的和。

解法：根据向量的定义，向量的和等于对应坐标的和。所以，向量a和向量b的和为(2+4)i + (3-5)j = 6i - 2j。 这个问题的考点是向量的定义和向量的运算。解题时，需要理解向量的加法运算规则，将向量的坐标进行相应的运算。

类似的题目还有：已知向量c=3i-2j，向量d=5i+4j，求向量c和向量d的差。

三、一题多解

有些题目在解决过程中存在多种解法，这需要我们根据具体情况选择合适的方法。下面以一个题目为例，说明一题多解的情况。

已知点E的复数坐标为z=2+3i，点F的复数坐标为z=4+5i，求向量EF的模长。

解法一：根据复数坐标的定义，点E的普通坐标为(2, 3)，点F的普通坐标为(4,

5)。根据两点间距离的公式，可以求得向量EF的模长为√[(4-2)²+(5-3)²] = √[8+4] =

1 複數中的幾個結論及共應用

數系由實數系擴充到複數系之後，實數系中哪些公式和法則仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法則，是同學們不易弄清的問題，以下給出幾則在複數系中仍然成立的公式和法則及幾個新的公式和法則，並簡單舉例說明其應用.

一、中點公式：A點對應的複數為1111()abiabRR，，B點對應的複數為2222()abiabRR，，C點為AB，兩點的中點，則C點對應的複數為11222abiabi，即121222aabbi．

例1 四邊形ABCD是複平面內的平行四邊形，ABC，，三點對應的複數分別為132iii，，，求D點對應的複數．

解：由已知應用中點公式可得AC，的中點對應的複數為322i，所以D點對應的複數為32[22(1)]352ii．

二、根與係數的關係：若實係數方程20(0)axbxca的兩複根為11abi，22abi，則有1122babiabia，1122()()cabiabia·．

推論：若實係數方程20(0)axbxca有兩虛數根，則這兩個虛數根共軛．

例2

方程20xaxb的一個根為1i，求實數a，b的值．

解：已知實係數方程的一個根為1i，由推論知方程的另一根為1i，由根與係數的關係可知(11)2aii，(1)(1)2bii·．

三、相關運算性質：①z為實數2220zzzzz，z為純虛數200(0)zzzz；②對任意複數有zz；③1212zzzz；④1212zzzz··，特別地有22()zz；⑤1122zzzz；⑥2zzz·．

例3 設1z，且zi，求證21zz為實數．

證明：由條件可知0z，則21zzz·，

所以11zzz，1212222211()11()11zzzzzzzzzzzz， 2 所以21zz為實數．