三角形全等中的辅助线讲义

全等三角形中的辅助线的作法（二）

在《全等三角形》的解题中，在解决一些复杂的全等三角形问题中往往需要构造辅助线，在前文中介绍了连线构全等、截长补短法、倍长中线法、角平分线构全等四种常见辅助线，本文将继续介绍一线三等角，半角模型，作平行线，补全图形这四种常见辅助线。

一、“一线三等角”模型构造全等三角形

例1：如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，4），

点C的坐标为（3，0），以BC为边作等腰直角三角形ABC，

且90C，请求出点A的坐标.

分析：本小题中首先应该补全图形，由于点A的位置

不能确定，所以存在两种情况，可以在点C的左边或

者右边，如图所示。由于需要求的是点A的坐标，且

90C，BC=AC，所以可考虑构造一线三等角模型，

如图1，作AHx轴，从而得到BOC≌CHA，

再求出点A的坐标。

如图2，过点C作x轴的垂线EF，作EFBE,EFAF,

垂足分别为E，F，利用一线三等角得到BEC≌CFA，

再求出点A的坐标。

练习1：如图，在△𝐴𝐶𝐵中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶，点C的坐标为(−2,0)，

点A的坐标为(−8,3)，求点B的坐标.

练习2：已知：在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A，C分别在y轴和x轴上，且90ACB，BCAC.

（1）如图1，当A（0，-2），C（1，0），点B在第四象限时，求点B的坐标；

（2）如图2，发点C在x轴正半轴上运动，点A（0，a）在y轴正半轴上运动，点B（m，n）在第四象限时，试判断nma,,之间存在怎样的关系，请证明你的结论.

二、半角模型

例2：如图，在四边形ABCD中，90CA，60D，BCAB，E、F分别在AD，CD上，且60EBF.求证：CFAEEF

分析：这是一道典型的“半角”模型，所谓半角模型是指共端点的等线段

及共顶点的倍半角图形，可以通过旋转或翻折可以构造全等，将分散的条

全等三角形

类型一、巧引辅助线构造全等三角形

(1)．倍长中线法：

1、已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.

FEDCBA

(答案与解析）BE＋CF＞EF；

证明：延长FD到G，使DG＝DF,连结BG、EG

∵D是BC中点∴BD＝CD

又∵DE⊥DF

在△EDG和△EDF中EDEDEDGEDFDGDF

∴△EDG≌△EDF（SAS）∴EG＝EF

在△FDC与△GDB中DGDFBDCD21

∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝BG

∵BG＋BE＞EG∴BE＋CF＞EF

(点评）因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DG＝DF,证明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了△BEG中，利用两边之和大于第三边可证.有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.

举一反三：(变式）已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．

求证：CD＝2CE．

(答案）证明： 延长CE至F使EF＝CE，连接BF．

∵ EC为中线，∴ AE＝BE．

在△AEC与△BEF中，,,,AEBEAECBEFCEEF∴ △AEC≌△BEF（SAS）．

∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）

又∵ ∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A． ∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴ AB＝BF．

又∵ BC为△ADC的中线，∴ AB＝BD．即BF＝BD．

在△FCB与△DCB中，,,,BFBDFBCDBCBCBC∴ △FCB≌△DCB（SAS）．∴ CF＝CD．即CD＝2CE．

(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形

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精品文档 全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法

例1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，

求证：CD⊥AC

例2、如图，AD∥BC， AE, BE分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC

例3、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

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精品文档 DOECBA

例4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，

求证： 180CA

例5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，

求证;AB－AC＞PB－PC

例6、已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．

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例7、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?

变式练习

如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC∠外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？

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精品文档 FEDCBA例8、如图所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．

例9、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.

求证：BE+DF=AE.

例10、如图所示，ABC是边长为2的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．

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变式练习

如图所示，ABC是边长为4的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．

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全等三角形⑴----常见辅助线

一.已知中点

1.线段倍长（或作平行线）

模型：如图，已知OA=OC,再倍长DO,使OB=OD,则△AOB≌△COD(SAS)

⑴.如图，在△ABC中，D是BC边的中点.

①.求证：AB+AC>2AD;②.若AB=5,AC=7,AD的取值范围为 .

⑵如图，CE是△ACD中线，点B在AD的延长线上，BD=AC,∠ACD=∠ADC，求证：CE=12BC.

⑶.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点，求证：DE=2AM.

⑷.如图，四边形BEFC中，D为BC中点，∠EDF=90，求证：BE+FC>EF.

DBCAECDABMDEBCADBCEFBACD 2 / 9

2.作垂线(知中点作垂线；证中点作垂线)

模型：如图，OA=OB,BC⊥CD,AD⊥CD,则△AOD≌△BOC(AAS)

⑴.如图，△ABC中，D为BC的中点.

①在图中作出CM⊥AD,BN⊥AD,垂足分别为点M,N;

②⑵求证：DM=DN;

③若AD=3，求AM+AN的值.

⑵.如图，CD为△ABC的角平分线，E,F分别在CD,BD上，且DA=DF,EF=AC.求证：EF∥BC.

⑶.如图，BC⊥CE,BC=CE,AC⊥CD,AC=CD,DE交AC的延长线于点M,M是DE的中点.

①求证：AB⊥AC;②若AB=8，求CM的长.

⑷.如图，已知A(-2,1),C(0,2),且C为线段AB的中点，求点B的坐标.

CDOABDBCAEFDABCMDEABCxyBCAO 3 / 9

3.证中点

【方法技巧】证线段的中点，常过线段的端点构造一组平行线，或过线段的两端点向过中点的线段作垂线，根据AAS或ASA构造全等三角形，证题关键往往是证明一组对应边相等.

【作平行证中点】

⑴.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，D,E分别是AC和AC的延长线上的点，连接BD,BE,若AB=CE，∠DBC=∠EBC.求证：D是AC的中点.